Математические пятиминутки

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПЯТИМИНУТКИ

Fünf Minuten
Mathematik

100 Beiträge der Mathemak-Kolumne
der Zeitung DIE WELT

Mit einem Geleitwort von Norbert Lossau

3., aktualisierte Auage

Spektrum

Ehrhard Behrends

Перевод с немецкого
Н. А. Шиховой
И. А. Маховой

Э. Берендс

5-е издание, электронное

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПЯТИМИНУТКИ

Москва
Лаборатория знаний
2020

УДК 51(079)
ББК 22.1
Б48

Берендс Э.
Б48
Математические пятиминутки / Э. Берендс ; пер. с нем. —
5-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 379 с. —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл.
с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-903-9
Книга представляет собой перевод широко известной зарубежному читателю книги для математического досуга. Ее автор —
профессор математики Берлинского университета, блистательный
популяризатор науки. В основу книги легли более 100 эссе, которые
Э. Берендс публиковал в своей рубрике в газете «ДиВельт». Русское
издание представляет собой перевод 3-го немецкого издания, в котором исправлены замеченные опечатки.
Книга написана живым и доступным языком, сложные математические факты излагаются под неожиданным углом зрения, при
этом их научная составляющая не нарушается. Приводятся многочисленные исторические факты. Книга богато иллюстрирована.
Автор поставил своей целью уверить читателя, что математика
не сухой и нудный предмет, а, напротив, она полна очарования
и достойна восхищения.
Книга адресована широкому кругу читателей, всем, кто готов
занять свой досуг захватывающим и познавательным чтением.
УДК 51(079)
ББК 22.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Математические пятиминутки / Э. Берендс ; пер. с нем. — 3-е изд., испр.
и доп. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — 376 с. : ил. —
ISBN 978-5-9963-1735-6.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-903-9

Перевод немецкого издания
F¨unf Minuten Mathematik
автора Ehrhard Behrends,
опубликованного издательством
Springer Spektrum

c○ Springer Fachmedien Wiesbaden
2006, 2008, 2013
Springer Fachmedien Wiesbaden is
a part of Springer Science+Business
Media
All Rights Reserved

c○ Лаборатория знаний, 2015

4

ПРЕДИСЛОВИЕ
К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ

Для третьего немецкого издания был подготовлен ряд дополнений. Особенно следует отметить несколько фильмов,
посвященных лотерее, экспоненциальному росту и размерности. Их легко найти в YouTube или при помощи
QR-кодов, размещенных в книге.
Меня также очень порадовало то обстоятельство, что
успех книги не ограничился Германией. К настоящему
времени книга переведена на японский (2006), английский
(2008),
французский
(2012)
языки;
в
процессе
подготовки переводы на итальянский, русский и турецкий.
Как нетрудно убедиться, уважаемые читатели, у математики много интересных аспектов, благодаря которым
она
стала
важной
составной
частью
нашей
культуры,
и вы можете наслаждаться ее красотой, даже не имея
специальной подготовки.

Эрхард Берендс, Берлин, октябрь, 2012

ПРЕДИСЛОВИЕ
КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Книга F¨unf Minuten Mathematik вызвала широкий интерес;
появились переводы на японский и английский языки.
Переписка с переводчиком на английский язык Дэвидом Креймером оказалась особенно плодотворной. Он
отметил опечатки, которым удалось проникнуть в текст;
и в некоторых местах книги его вопросы привели к дополнениям, облегчающим понимание для математически
неподготовленного читателя.
Во
второе
издание
вошли
эти
улучшения,
а
также
многочисленные
замечания,
полученные от читателей.
Нужно еще сказать, что колонка «Пять минут математики» в газете Die Welt была переименована в «Математика
в 2008 году». Теперь в нее пишут 12 авторов, каждый по
одному месяцу, а я только координирую их работу.

Эрхард Берендс, Берлин, май, 2008

ПРЕДИСЛОВИЕ

В 2003 и 2004 годах появилась первая, а на тот момент
и
единственная
регулярная
колонка
в
общегерманской
газете.
Рубрика
«Пять
минут
математики»
выходила
каждый понедельник в Die Welt, а через несколько недель
эту колонку перепечатывали в Berliner Morgenpost.
За
два
года
было
опубликовано
сто
эссе
о
самых
разных математических дисциплинах. Постоянные читатели колонки получили представление о криптографии
и
теории
кодирования,
познакомились
с
очарованием
простых чисел и бесконечного, узнали, как математика
работает
в
CD-плеерах
и
томографах,
разобрались
со
знаменитой задачей Монти Холла и другими загадками
теории вероятностей, — и это лишь несколько тем.
Всего
в
книге
сто
глав.
Они
тщательно
выверены
и дополнены примечаниями, таблицами и иллюстрациями,
отчего объем текста увеличился почти вдвое.
Если вы хотите узнать больше о тех аспектах современной
математики,
для
понимания
которых
не
нужно
специальных
знаний,
то
обязательно
найдете
чтонибудь интересное на
этих страницах. Автор особенно
надеется убедить тех читателей, которые в детстве были
травмированы школьной математикой, что это вовсе не
тот иссушающе скучный предмет, который они помнят,
а источник очарования и восхищения.

Эрхард Берендс, Берлин, июль, 2006

«ПЯТЬ МИНУТ МАТЕМАТИКИ»
В ГАЗЕТЕ DIE WELT

Большинство людей не испытывают особой симпатии к
математике. Числа и формулы кажутся им сложными,
путанными, абстрактными и далекими от жизни. Возможно, действительно нужно обладать предрасположенностью
вроде музыкальности,
чтобы развить в себе страстный
интерес к математике.
Тем не менее я убежден, что многие скептики живо
интересовались бы этой царицей наук, если бы только ктонибудь построил для них мост в захватывающее царство
математики.
Такие мосты могли бы строить учителя, облекая уроки
математики
в
увлекательные
истории
из
повседневной
жизни. Что, если обсуждение абстрактных кривых мотивировать поиском оптимальных сроков для опционов?
Или если использовать геометрию для вычисления жизненного пространства в геометрически сложном жилище
и количества рулонов обоев для него? А когда речь заходит
о простых числах, внимание многих учеников обязательно
привлечет история о криптографии и сложностях взлома
секретных кодов.
Математика находится
в
центре нашей жизни.
Она
всюду, куда ни посмотришь: в сканере на кассе в магазине,
в
вычислениях
процентов
по
закладной,
в
пин-коде
кредитной карты, в компьютерном томографе и в дизайне
автомобиля или самолета.
Математика
отправляет
зонды
на
дальние
планеты
и вдыхает жизнь в роботов. Именно она — движущая сила
технологического прогресса, а еще — если позволить себе
углубиться в предмет — математика невероятно увлекательна. И даже если в далекие школьные годы мост к ней
построен не был, все равно у взрослых есть возможность
приблизиться к математике.

«Пять минут математики» в газете Die Welt
9

Во-первых, в последние годы в СМИ науке и технологиям
стало
уделяться
значительно
больше
внимания,
хотя
о математике этого, увы, не скажешь.
Только несколько газет и телепередач регулярно, или
хотя бы от случая к случаю, рассказывают о связанных
с математикой темах, а ведь остается еще больше тем,
заслуживающих, чтобы о них рассказали. Такое впечатление, что для многих редакторов математика — запретная
тема, табу.
Die Welt не страдает от такого подхода и не боится,
например, посвятить целый разворот числу π (25 февраля
2006 г.).
Благодаря перу профессора Эрхарда Берендса еженедельная колонка «Пять минут математики» предоставила
постоянную печатную трибуну для публикации сотни эссе
о
математике.
Судя
по
большому
числу
читательских
откликов, мы знаем, что колонка вызвала устойчивый интерес. О математике — упакованной в интересные истории —
рассказывается точно и сжато, доходчиво и компетентно.
И — о чудо из чудес! — несъедобный предмет математики
вдруг обретает приятный вкус.
«Пять минут математики» заслуживают того, чтобы
расширить
круг
читателей,
не
ограничиваясь
подписчиками
Die Welt,
и
нам
приятно,
что,
издав
книгу,
издательство сделало
доступным эту серию статей для
широкой аудитории.
Профессор Берендс, строитель мостов, указывает путь
через крепостной ров, населенный драконами математических страхов, к твердыне математики. Он умело излагает
математическую суть, так что от абстракции не остается
и следа.
Если
мы
собираемся
повышать
статус
математики
в общественном мнении, нам нужно больше таких авторов,
и конечно же, больше изданий, где они могут выступить.

Д-р Норберт Лоссау,
главный научный редактор Die Welt,
автор колонки «Пять минут физики».

ВВЕДЕНИЕ

История этой книги началась 25 января 2002 г. во время
обеда, который устроило Немецкое математическое общество, чтобы установить контакты между общественными
деятелями и группой журналистов. Разговаривали о том,
как
воспринимает
математику
общественность.
Одним
из
участников
встречи
был
Норберт
Лоссау,
научный
редактор газеты Die Welt, с которым я встретился еще раз
через несколько месяцев. Беседы с ним привели к идее
регулярной колонки, посвященной математике.
Я составил обширную презентацию, название «Пять
минут математики» было принято, художник нарисовал
логотип,
и
12
мая
2003 г.
колонка
впервые
увидела
свет в Die Welt. Так и пошло — неделя за неделей; ритм
нарушался, только если понедельник выпадал на праздник
и газета не выходила. Через два года сто статей из колонки
«Пять минут математики» привели к созданию другой
рубрики.
Выбирая темы, я старался обращаться в основном к тем
читателям, которые давно окончили школу и, возможно,
забыли о математике, однако хотели бы что-нибудь узнать
о ней. Правильно ли, что формула корней квадратного
уравнения и умение рисовать графики — предел того, что
ст´оит
знать
о
математике?
Где
математика
реального
мира?
За два года мне удалось объять широкий спектр тем;
в
этом можно
убедиться,
просмотрев оглавление.
Есть
современные и классические, есть попроще и посложней.
Читатель
узнает,
как
математика
пронизывает
нашу
жизнь, о чем бы речь ни шла — о лотерее, криптографии,
томографии или об оценке страховых полисов.