Математика : пособие для поступающих в вузы

Москва
Лаборатория знаний
2020

8-е издание, электронное

Математика

М. И. Шабунин

Пособие
  х
и
щ
ю
а
п
у
т
с
о
п
 я
л
д
в вузы

УДК 51(076)
ББК 22.1.729

Ш12

Шабунин М. И.

Ш12
Математика : пособие для поступающих в вузы /
М. И. Шабунин. — 8-е изд., электрон. — М. : Лаборатория
знаний,
2020. — 747 с. — Систем.
требования:
Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-902-2
Книга предназначена для всех, кто, обладая знаниями
основ школьного курса математики, хочет систематизировать свои знания, а также стремится успешно сдать ЕГЭ
и вступительные экзамены в вуз. Пособие окажется полезным
студентам педагогических вузов, а также учителям средних
школ.
Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный
материал
и
подробно
разобранные
примеры,
взятые
из олимпиад МФТИ и практики вступительных экзаменов
в
вузы,
предъявляющие
достаточно
высокие
требования
к
математической
подготовке
абитуриентов.
Кроме
того,
в
пособие
включены
задачи
для
самостоятельной
работы
учащихся. Ко всем задачам даны ответы, а к некоторым
наиболее трудным — краткие указания.
В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов в МФТИ.
УДК 51(076)
ББК 22.1.729

Деривативное издание на основе печатного аналога: Математика : пособие для поступающих в вузы / М. И. Шабунин. —
8-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 744 с. : ил. —
ISBN 978-5-00101-199-6.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или
выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-902-2
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

Оглавление

▼

Предисловие автора
10

Глава
1. Действительные числа
11

§ 1. Необходимые и достаточные условия. Целые и рациональные
числа. Метод математической индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

§ 2. Действительные числа, степени и корни, логарифмы. Тождественные преобразования алгебраических выражений
. . . . . . . . .
19

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

§ 3. Последовательность.
Арифметическая
и
геометрическая
прогрессии. Предел последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

§ 4. Основные
формулы
тригонометрии.
Арксинус,
арккосинус
и арктангенс числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

1. Основные формулы тригонометрии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

2. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

§ 5. Числовые неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73

Ответы и указания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

Глава
2. Алгебраические уравнения
78

§ 6. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений . . . . . . . . . . .
78

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

Оглавление

§ 7. Рациональные уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

§ 8. Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак модуля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97

Глава
3. Показательные и логарифмические уравнения
98

§ 9. Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

§ 10. Логарифмические уравнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Глава
4. Тригонометрические уравнения
110

§ 11. Простейшие тригонометрические уравнения. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим относительно sin x, cos x и tg x . . . . . . 110
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§ 12. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители,
с помощью формул понижения степени
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

§ 13. Уравнения,
решаемые
с
помощью
оценки
их
левой
и
правой частей. Уравнения, содержащие знаки корня и модуля
. . 127

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

§ 14. Тригонометрические уравнения различных видов . . . . . . . . . . . . . 140

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Задачи к главе IV
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Оглавление
5

Глава
5. Системы уравнений
156

§ 15. Основные понятия, относящиеся к системам уравнений. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

§ 16. Системы алгебраических уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

1. Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными . . . . 170
а) Однородные системы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

б) Симметрические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
в) Другие типы систем
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
2. Иррациональные системы с двумя неизвестными
. . . . . . . . . . 181

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3. Алгебраические системы с тремя неизвестными
. . . . . . . . . . . 186

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

§ 17. Задачи на составление и решение уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . 200

1. Задачи на движение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

2. Задачи на сплавы и смеси
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

3. Задачи на совместную работу
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

§ 18. Системы показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

1. Системы показательных уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

2. Системы, содержащие логарифмы с постоянными основаниями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

3. Системы, содержащие логарифмы с переменными основаниями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4. Системы тригонометрических уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Оглавление

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

Глава
6. Алгебраические неравенства
243

§ 19. Основные понятия, связанные с решением неравенств
. . . . . . . . 243

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

§ 20. Квадратный трехчлен и квадратные неравенства
. . . . . . . . . . . . . 251

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

§ 21. Рациональные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

1. Метод интервалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

2. Расположение
корней
квадратного
трехчлена
на
числовой
оси
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

§ 22. Иррациональные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Глава
7. Показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства
285

§ 23. Показательные неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

§ 24. Логарифмические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

1. Логарифмические неравенства с постоянными основаниями
291

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

2. Логарифмические неравенства с переменными основаниями
301

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

§ 25. Тригонометрические неравенства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

Оглавление
7

Глава
8. Системы неравенств с двумя переменными
322

§ 26. Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
1. Прямая на плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

2. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
3. Линейные неравенства с двумя переменными . . . . . . . . . . . . . . 324
4. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

5. Уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

§ 27. Нелинейные системы неравенств с двумя переменными . . . . . . . 336

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

Глава
9. Планиметрия
344

§ 28. Треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

§ 29. Четырехугольник
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388

§ 30. Окружность и круг
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

§ 31. Комбинации геометрических фигур
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

Глава 10. Прямые и плоскости в пространстве
429

§ 32. Справочный материал по стереометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
§ 33. Сечения многогранников
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

§ 34. Вычисление углов в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

1. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

Оглавление

2. Перпендикулярность
прямой
и
плоскости.
Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью
. . . . . . 467

а) Перпендикулярность прямой и плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

б) Угол между прямой и плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470

3. Двугранные углы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

§ 35. Вычисление расстояний в пространстве
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

1. Расстояние между двумя точками
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

2. Расстояние от точки до прямой
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

3. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488

4. Расстояние между скрещивающимися прямыми
. . . . . . . . . . . 494

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Глава 11. Многогранники
500

§ 36. Треугольная пирамида
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

1. Объем пирамиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500

2. Пирамида и сфера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509

3. Разные задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515

§ 37. Четырехугольная и шестиугольная пирамиды
. . . . . . . . . . . . . . . . 530

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530

§ 38. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543

Глава 12. Круглые тела, комбинации геометрических тел
559

§ 39. Конус, цилиндр и сфера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

1. Конус и сфера. Цилиндр и сфера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

2. Сфера, прямая и плоскость
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

§ 40. Комбинации круглых тел и многогранников
. . . . . . . . . . . . . . . . . 568

1. Цилиндр и многогранник. Конус и многогранник
. . . . . . . . . 568

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

2. Комбинации многогранников
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581

Оглавление
9

Задачи к главам 10–12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

Первый уровень
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585

Второй уровень
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

Третий уровень
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600

Глава 13. Производная и интеграл
603

§ 41. Производная и ее применение к исследованию функций . . . . . . 603

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621

§ 42. Интеграл и его приложения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632

Глава 14. Задачи с параметрами. Разные задачи
633

§ 43. Уравнения и системы уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . 633

Примеры уравнений с параметрами
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633

Примеры систем уравнений с параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672

§ 44. Неравенства и системы неравенств с параметрами . . . . . . . . . . . . 673

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

§ 45. Делимость
целых
чисел,
сравнения,
целочисленные
решения
уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 701

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702

§ 46. Элементы комбинаторики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702

Справочные сведения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

§ 47. Разные задачи по алгебре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

Примеры с решениями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705

Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708

Ответы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709

Варианты олимпиад и письменных вступительных экзаменов по математике в МФТИ
710

Ответы к вариантам  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714

Предисловие автора

▼

Книга предназначена для тех, кто, обладая знаниями основ школьного
курса
математики,
стремится
систематизировать
эти
знания
и успешно сдать вступительные экзамены в вуз.
Каждый раздел пособия содержит необходимый справочный материал и подробно разобранные примеры, взятые из практики вступительных
экзаменов
в
вузы,
предъявляющие
достаточно
высокие
требования к математической подготовке абитуриентов. Кроме того,
в пособие включены задачи для самостоятельной работы учащихся,
расположенные в порядке возрастания трудности. Ко всем этим задачам даны ответы, а к некоторым наиболее трудным — краткие указания.
Для удобства
пользования
книгой
ответы
приводятся
сразу
после условий задач параграфа (главы).
В пособие также включены образцы вариантов вступительных экзаменов таких вузов, как МГУ, МФТИ, МГИЭМ, МИРЭА, и др.
Автор стремился подобрать примеры с тем расчетом, чтобы в каждом разделе пособия был предоставлен набор ключевых задач и методов их решения, имея в виду конечную цель: способствовать формированию умений и навыков, необходимых не только для успешной
сдачи вступительных экзаменов, но и для повышения уровня математической культуры учащихся.
Работа над пособием, по мнению автора, окажется особенно эффективной, если учащийся сначала попытается самостоятельно решить
разобранный в тексте пример, а затем сравнит свое решение с тем,
которое приводится в книге.
В работе над пособием автор опирался на многолетний опыт создания учебников и учебных пособий для средней и высшей школы,
участия в организации и проведении вступительных экзаменов в Московском физико-техническом институте, чтения лекций по телевидению для поступающих в вузы и на курсах повышения квалификации
учителей средних школ.
В седьмое издание включены задачи МФТИ 2003–2013 гг., новые
разделы — делимость целых чисел и элементы комбинаторики. Добавлены задачи в §§ 43 и 44 (задачи с параметрами), среди которых —
задачи ЕГЭ.
М. И. Шабунин

Глава 1

Действительные числа

▼

§ 1. Необходимые и достаточные условия.
Целые и рациональные числа.
Метод математической индукции

Справочные сведения

1. Прямые и обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия.

а) Формулировка каждой теоремы содержит условие теоремы и заключение. Поменяв местами в формулировке некоторой теоремы
условие и заключение, получим формулировку теоремы, обратной данной.

б) Пусть A — некоторое высказывание, т. е. утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Тогда
всякое высказывание B, из которого следует A, называется достаточным условием для A, а всякое высказывание C, которое
следует из A, называется необходимым условием для A. В этих
случаях пишут: B ⇒ A, A ⇒ C.

в) Если высказывания M и N таковы, что каждое из них следует
из другого (M ⇒ N, N ⇒ M), то говорят, что каждое из этих
высказываний является необходимым и достаточным условием
другого, и пишут M ⇔ N. Тот факт, что M ⇔ N, выражают
также следующими формулировками:

– для
справедливости
M
необходимо
и
достаточно,
чтобы
имело место N;

– M справедливо тогда и только тогда, когда выполняется
N;

– M имеет место в том и только в том случае, если справедливо N.

2. Делимость целых чисел.

а) Множество натуральных чисел обозначают буквой N, а множество целых чисел — буквой Z. Если n — натуральное число, то
пишут n ∈ N, а если k — целое число, то пишут k ∈ Z.

Натуральное число a записывают так:

a = anan−1 . . . a1a0

Глава 1. Действительные числа

или в виде суммы

a = an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · · + a1 · 10 + a0,

где an, an−1, . . . , a1, a0 — цифры соответствующих разрядов.
б) Если r — остаток от деления натурального числа a на натуральное число m, то

a = mq + r,

где r может принимать одно из значений 0, 1, . . . , m − 1; q —
целое неотрицательное число.
В том случае, когда r = 0, говорят, что a делится на m.
в) Если r — остаток от деления натурального числа a на натуральное число m, то:
– остаток от деления на m числа na, где n ∈ N, равен остатку
от деления на m числа nr;
– остаток от деления на m числа ak, где k ∈ N, равен остатку
от деления на m числа rk.
г) Если
r1
и
r2 — остатки
от
деления
на
натуральное
число
m
натуральных чисел a и b соответственно, то остатки от деления
на m чисел a + b, a − b и ab совпадают с остатками от деления
на m чисел r1 + r2, r1 − r2 и r1r2 соответственно.
д) Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда
двузначное число, полученное из данного отбрасыванием всех
цифр, кроме двух последних, делится на 4.
е) Натуральное число делится на 3 (на 9) тогда и только тогда,
когда сумма его цифр делится на 3 (на 9).

3. Метод математической индукции.
Метод
доказательства, называемый
методом
математической
индукции, основан на следующем принципе, который является одной из аксиом арифметики натуральных чисел.
Предложение
A(n),
зависящее
от
натуральной
переменной
n,
считается истинным для всех n ∈ N, если выполнены следующие
два условия:

а) предложение A(n) истинно для n = 1;
б) из предположения, что A(n) истинно для n = k (где k — любое
натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего
значения n, т. е. для n = k + 1.

Этот принцип называется принципом математической индукции.
Под методом
математической
индукции
понимают
следующий
способ доказательства: во-первых, проверяют истинность высказывания A(1), и, во-вторых, предположив истинность высказывания
A(k), пытаются доказать, что истинно высказывание A(k + 1). Если
это удается доказать (при любом натуральном k), то предложение
A(n) считается истинным для всех значений n.

§ 1. Необходимые и достаточные условия
13

4. Рациональные числа.

а) Рациональное число a можно записать в виде

a = p

q ,
где
p ∈ Z,
q ∈ N,

а сумма и произведение рациональных чисел a = p

q
и b = p1

q1
определяются равенствами

a + b = pq1 + qp1

qq1
,
ab = pp1

qq1 .

б) Любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби, используя алгоритм деления уголком.

Например, 3

8 = 0, 375; − 27

11 = −2, 4545 . . . = −2, (45).

Обратно,
зная
бесконечную
периодическую
десятичную
дробь,
можно
найти
соответствующее
этой
дроби
рациональное
число,
используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии:

a + aq + aq2 + · · · =
a

1 − q ,
|q| < 1.

Например,
2, 4(31) = 2, 4 +
31
103 +
31
105 + · · · = 2, 4 +
31
103 ·
1

1 −
1

102

=

= 2 427

990 = 2407

990 . Этот же результат можно получить и другим спо
собом. Пусть x = 2, 4(31), тогда 103x = 2431, (31), 10x = 24, (31),

откуда 990x = 2431 − 24 = 2407, x = 2407

990 .

Примеры с решениями

Пример
1. Сформулировать
и
доказать
теорему,
обратную
теореме
Пифагора.

Решение. Условие M теоремы Пифагора можно записать в виде
следующего высказывания:

M ≡ {в треугольнике ABC угол C — прямой},

а заключение N этой теоремы формулируется так:

N ≡ {c2 = a2 + b2},

где a, b, c — стороны, лежащие против углов A, B и C соответственно.
Справедлива также теорема, обратная теореме Пифагора: если
c2 = a2 + b2, то угол C — прямой.

Глава 1. Действительные числа

Для доказательства этой теоремы можно воспользоваться либо
теоремой косинусов, либо третьим признаком равенства треугольников (по трем сторонам).

Пример 2. Выяснить, какое из утверждений A и B следует из другого, используя символы ⇒, ⇔:
1) A ≡ {четырехугольник Q — ромб},
B ≡ {диагонали четырехугольника Q взаимно перпендикулярны};
2) A ≡ {произведение чисел x и y равно нулю},
B ≡ {хотя бы одно из чисел x, y равно нулю}.

Решение. 1) Здесь A ⇒ B, но из B не следует A.
2) В этом случае A ⇒ B и B ⇒ A, т. е. A ⇔ B.

Пример 3. Доказать, что число a = n3 + 17n делится на 6 при любом
натуральном числе n.

Доказательство. Эту задачу можно решить, применив метод математической индукции. Приведем другой способ решения. Заметим,
что натуральное число делится на 6 тогда и только тогда, когда
на 6 делится число a + 6k, где k — целое число. В частности, число
a делится на 6, если число b = a − 18n = n3 − n делится на 6. Но
b = n3 − n = (n − 1)n(n + 1) — произведение трех последовательных
натуральных чисел, из которых одно делится на 3 и по крайней
мере одно делится на 2. Поэтому число b делится на 6, откуда
следует, что число a также делится на 6.

Пример 4. Найти последнюю цифру числа a = 432283.

Решение. Последняя цифра у числа a такая же, как и у числа
2283. Выпишем последовательные степени двойки:

21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, 24 = 16, 25 = 32, 26 = 64 и т. д.

Отсюда следует, что последние цифры этих чисел повторяются через 4. Поэтому последняя цифра у числа 2k такая же, как
у числа 2p, где p — одно из чисел 1, 2, 3, 4, а разность k − p
кратна четырем. Так как 283 = 280 + 3, где 280 делится на 4, то
последняя цифра числа 2283 — восьмерка (23 = 8).

Замечание. Если рассматривать последовательные натуральные степени числа 3 (или числа 7), то можно заметить, что последние
цифры получаемых чисел повторяются через 4. Поэтому последняя
цифра у числа 3214 такая же, как у числа 32, т. е. девятка, так
как 214 = 53 · 4 + 2.
Аналогично,
последняя
цифра
числа
7365 — семерка,
так
как
365 = 91 · 4 + 1.

§ 1. Необходимые и достаточные условия
15

Пример 5. Доказать, что число a = (x + 7y + 3)5(5x + 3y + 2)4 делится
на 16 при любых целых x и y.

Доказательство. Если числа x и y — оба четные или оба нечетные, то 5x + 3y + 2 — четное число, и поэтому (5x + 3y + 2)4 делится
на 24 = 16. Если же одно из чисел x, y — четное, а другое — нечетное, то x + 7y + 3 — четное число и поэтому (x + 7y + 3)5 делится на
25 и, значит, делится на 16.

Пример 6. Найти остаток от деления числа a на m, если:
1) a = 3751 · 4915, m = 3;
2) a = 2127 + 1821, m = 17.

Решение. 1) Заметим, что если натуральное число n не делится на
3, т. е. n = 3p± 1, где p ∈ N, то n2 = 3q+1, где q ∈ N. Поэтому остаток от деления на 3 числа n2 равен 1, если n не делится на 3.
Числа 37 и 49 не делятся на 3 и, следовательно, остаток от деления на 3 каждого из чисел 3750 = (372)25, 4914 равен 1, а остаток
от деления на 3 числа a совпадает с остатком от деления на три
числа b = 37 · 49 = (36 + 1)(48 + 1), т. е. равен 1.
2) Так как 24 = 16 = 17−1, 18 = 17+1, а 127 = 4·31+3, то остаток
от деления на 17 числа a совпадает с остатком от деления на 17
числа b = 23 · (−1)31 + 121 = −8 + 1 = −7, т. е. равен 10, поскольку
−7 = 17(−1) + 10.

Ответ. 1) 1;
2) 10.

Пример 7. Доказать, что натуральное число

a = anan−1 . . . a1a0 = an · 10n + an−1 · 10n−1 + · · · + a1 · 10 + a0

делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма

s = a0 − a1 + a2 + · · · + (−1)n−1an−1 + (−1)nan,

т. е. сумма цифр этого числа, взятых с чередующимися знаками.

Доказательство. Остаток от деления на 11 чисел 102k, где k ∈ N,
равен 1, так как 102k = 99 . . . 99
2k цифр
+1, а остаток от деления на 11

чисел 102k+1, где k = 0, 1, 2, . . ., равен −1, так как 10 = 11 − 1,
102k+1 = 102k(11 − 1), а остаток от деления на 11 числа 102k равен 1.
Итак, остаток от деления на 11 числа a равен s.

Пример 8. Доказать, что если число a ∈ N не делится на 5, то число
a4 − 1 делится на 5.

Доказательство. Пусть r — остаток от деления a на 5. Так как a
не делится на 5, то a = 5k + r, где k ∈ N, r — одно из чисел 1, 2,
3, 4. Из равенства a4 = (5k + r)4 = 5p + r4, где p ∈ N, следует, что

Глава 1. Действительные числа

остаток от деления a4 на 5 равен остатку от деления r4 на 5. Так
как 14 = 1, 24 = 5 · 3 + 1, 34 = 5 · 16 + 1, 44 = 5 · 31 + 1, то остаток
от деления r4 на 5 при r = 1, 2, 3, 4 равен 1. Поэтому остаток от
деления a4 − 1 на 5 равен нулю, т. е. число a4 − 1 делится на 5,
если a не делится на 5.

Пример 9. Методом математической индукции доказать равенство

12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6
.
(1)

Доказательство. При n = 1 равенство (1) является верным (1 = 1).
Нужно доказать, что из предположения о том, что является верным равенство (1), следует справедливость равенства

12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3)

6
,
(2)

полученного из (1) заменой n на n + 1.
Прибавляя к обеим частям (1) слагаемое (n + 1)2, имеем

12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1)

6
+ (n + 1)2.
(3)

Преобразуя правую часть (3), получаем

n + 1

6
(2n2 + 7n + 6) = (n + 1)(n + 2)(2n + 3)

6
.

Таким образом, равенство (2) является верным, и поэтому формула
(1) доказана для любого n ∈ N.
Дадим
другое
доказательство
формулы
(1),
используя
сим
вол
nk=1
ak,
которым
обозначается
сумма
a1 + a2 + · · · + an,
т. е.

nk=1
ak = a1 + a2 + · · · + an. Воспользуемся тождеством

(x + 1)3 − x3 = 3x2 + 3x + 1.
(4)

Полагая в (4) x = 1, 2, . . . , n и складывая получаемые равенства,
находим

n
k=1

(k + 1)3 − k3= 3

n
k=1
k2 + 3

n
k=1
k + n.
(5)

Левая часть (5) равна (n + 1)3 − 1, а
nk=1
k = n(n + 1)

2
. Поэтому из (5)

получаем

3

n
k=1
k2 = (n + 1)3 − (n + 1) − 3

2 n(n + 1) = n(n + 1)(2n + 1)

2
,

откуда следует равенство (1).

§ 1. Необходимые и достаточные условия
17

Пример 10. Доказать, что для любых a, b и при любом n ∈ N справедлива формула бинома Ньютона

(a+b)n = C0
nan +C1
nan−1b+···+Ck
nan−kbk +···+Cn−1
n
abn−1 +Cn
nbn =

=

n
k=0
Ck
nan−kbk,
(6)

где
C0
n = 1,

Ck
n = n(n− 1)...(n− (k− 1))

k!
,
k = 1,2...,n;
k! = 1·2·...·k.
(7)

Правую часть формулы (6) называют разложением бинома, числа
Ck
n — биномиальными
коэффициентами,
слагаемое
Ck
nan−kbk — k-м
членом разложения бинома.

Доказательство. Воспользуемся
методом
математической
индукции. При n = 1 формула (6) верна, так как ее правая часть равна
левой: C0
1a + C1
1b = a + b.
Предполагая справедливым равенство (6), докажем, что верна
формула

(a + b)n+1 =

n+1
k=0
Ck
n+1an+1−kbk.
(8)

Умножая обе части равенства (6) на (a + b), получаем

(a + b)n+1 = An + Bn,
где
An = an+1 +

n
k=1
Ck
nan+1−kbk,

Bn =

n
k=0
Ck
nan−kbk+1 =

n
k=1
Ck−1
n
an+1−kbk + bn+1.

Следовательно,

(a + b)n+1 = an+1 +

n
k=1
(Ck
n + Ck−1
n
)an+1−kbk + bn+1.
(9)

Сравнивая правые части равенств (8) и (9), заключаем, что для
доказательства формулы (8) достаточно показать, что

Ck
n + Ck−1
n
= Ck
n+1.
(10)

Используя (7), находим

Ck−1
n
= n(n − 1) · · · (n − (k − 2))

(k − 1)!
= kn(n − 1) · · · (n − (k − 2))

k!
.

Поэтому

Ck
n + Ck−1
n
= n(n − 1) · · · (n − (k − 2))

k!
(n − (k − 1) + k) =

= (n + 1) ((n + 1) − 1) · · · ((n + 1) − (k − 1))

k!
= Ck
n+1.