Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить

The Proof is in the Pudding

3-е издание, электронное 

Доказать нельзя поверить

Перевод с английского
Н. А. Шиховой

Стивен
Кранц

Изменчивая природа
Изменчивая природа

математического
математического
доказательства
доказательства

Москва
Лаборатория знаний
2020

УДК 51.1
ББК 22.1
К78

Кранц С.
К78
Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить / С. Кранц ; пер. с англ. Н. А. Шиховой. —
3-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 323 с. —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул.
экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-896-4
Книга знакомит читателя с тем, как развивалось с течением времени понятие математического доказательства. Некоторые иллюстративные
и интересные математические результаты приведены с доказательствами
и поясняющими примерами. Рассмотрен вклад в историю доказательства
многих великих математиков. Легкий и увлекательный стиль автора делает
изложение доступным широкому кругу читателей.
Для преподавателей математики, студентов и всех интересующихся
математическими науками.
УДК 51.1
ББК 22.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить / С. Кранц ;
пер. с англ. Н. А. Шиховой. — 2-е изд. — М. : Лаборатория знаний, 2017. —
320 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-064-7.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-896-4

Translation from English language
edition:
The Proof is in the Pudding
by Steven G. Krantz

c○
Copyright
2011 Springer New York
Springer New York is a part
of Springer Science+Business Media
All Rights Reserved

c○ Лаборатория знаний, 2016

4

Посвящается Джерри Лайонсу,
учителю и другу

ПРЕДИСЛОВИЕ

Название этой книги не совсем уж легкомысленное1). Я так и слышу
упреки, что правильно говорить «The proof of the pudding is in the eating»,
что нет никакого смысла во фразе «The proof is in the pudding». Однако
так все говорят, и совершенно ясно, что при этом имеют в виду. Так
же и с математическим доказательством. Доказательство в математике —
психологический инструмент, предназначенный для убеждения некоего
лица или аудитории в том, что некоторое математическое утверждение
истинно. Структуру и язык для построения такого доказательства выбирает
его автор, но оно должно быть скроено по меркам той аудитории, которая
будет его воспринимать и оценивать. Поэтому не бывает «единственного»
или «правильного», или «наилучшего» доказательства какого бы то ни
было результата. Доказательство — часть ситуациональной этики: ситуации
меняются, математические ценности и стандарты развиваются и эволюционируют, и именно таким изменчивым путем математика меняется и растет.
Эта книга об
изменчивой и
растущей
природе
математического
доказательства. В ранней математике «истины» устанавливались эвристически и эмпирически. Основное внимание уделялось вычислениям. Почти
не было теории, никакого формализма, и очень мало математических
обозначений в том виде, как мы сейчас их понимаем. Поэтому те, кто
желали изучить какие-либо математические вопросы, оказывались в невыгодном положении — им было сложно выражать свои мысли. Особенно
сложно было формулировать общие утверждения о математических идеях.
Практически невозможно было формулировать теоремы и доказывать их.
Хотя есть некоторые намеки на доказательства даже в табличках
древнего Вавилона (таких как Плимптон 322) за 1800 до н. э., понятие
доказательства возникло, видимо, только в Древней Греции. Самые ранние
математические таблички содержали числа и элементарные вычисления.
Из-за скудости текстов, дошедших до наших дней, мы не знаем, как это
случилось, как кому-то пришло в голову, что некоторые из математических

1)Оригинальное название книги «The proof is in the pudding» на русский язык можно
перевести как «Доказательство в пудинге». Эта фраза получила популярность от другой:
«The proof of the pudding is in the eating», т. е. «Чтобы распробовать пудинг, надо его
съесть». Похоже, что автор афоризма неизвестен. Его использовали в качестве перевода
похожего выражения на испанском языке: «al fre´ir de los huevos lo ver´a» («увидишь,
когда изжаришь яичницу»), автор этой фразы — Мигель Сервантес. — Прим. перев.

Предисловие

процедур требуют логического обоснования. И мы действительно не представляем, как возникло формальное понятие доказательства. «Республика»
Платона уже содержит явное его описание. В «Физике» Аристотеля
не просто обсуждаются доказательства, но изучаются тонкие различия
в их методах. Многие древние греки, включая Евдокса, Теэтета, Фалеса,
Евклида и Пифагора, либо использовали доказательства, либо ссылались
на них. Протагор был софистом, работы которого признавал сам Платон.
Его «Антилогии» были искусно сплетенными строгими рассуждениями,
которые можно считать ростками доказательств.
Считается, что Евклид был первым, кто систематически использовал
точные определения, аксиомы, строгие правила логики, чтобы сформулировать и доказать каждое утверждение (т. е. каждую теорему). Формализм
Евклида, как и его методология, стал образцом — и даже для наших
современников — для установления математических фактов.
Интересно, что математическая формулировка факта — это самостоятельная сущность, обладающая собственной ценностью и значимостью.
А доказательство — это средство общения. Создатель или первооткрыватель
нового математического результата хочет, чтобы другие тоже его приняли
и в него поверили. В естественных науках (химии, биологии или физике,
например) для этого используется специальный метод — воспроизводимый
эксперимент1). Для математика воспроизводимый эксперимент — это доказательство, которое может прочесть, понять и оценить другой человек.
Идея доказательства возникает в разных жизненных ситуациях, не
только в математике. В суде юрист (адвокат или прокурор) должен
установить истину с помощью принятых версий доказательств. Для
криминального дела это означает «вне разумных сомнений», а для
гражданского — что доводы одной стороны должны перевешивать доводы другой. К математическим доказательствам такое представление
не приближается ни на йоту. В реальном окружающем нас мире нет
формальных определений или аксиом; нет смысла устанавливать факты
путем строгих интерпретаций. Адвокат использует, конечно же, логику.
Скажем, «обвиняемый слеп и поэтому не мог вести машину в Каньон
Топанга ночью 23 марта» или «обвиняемый неграмотен и поэтому не мог
построить атомную бомбу, которая использовалась с целью...». Но главное
орудие адвоката, конечно же, не логика, а факты. Адвокат приводит

1)Точнее, воспроизводимый эксперимент с контролем, поскольку аккуратный ученый
сравнивает результаты своих экспериментов с некоторым стандартом или нормой. Это
позволяет оценить результаты.

Предисловие
7

доводы, не допускающие разумных сомнений, собирая доказательства
с решительным перевесом в пользу своего клиента.
В то же время в обычной, в повседневной речи тоже есть понятие
доказательства, и оно тоже отличается от математического. Муж может
сказать «Думаю, моя жена беременна», в то время как жена может это
знать наверняка. Беременность — это не вневременный непреложный факт
(вроде теоремы Пифагора), а факт «временный», который нарушится через
несколько месяцев. Так что в этом контексте понятие истины отличается
от того, что используется в математике, и методы проверки истинности
тоже. В действительности здесь проявляется различие между знанием
и уверенностью, которая никогда не играет формальной роли в математике.
В современном обществе «доказательств» для предъявления штрафа за
превышение скорости нужно гораздо меньше, чем для обвинения в убийстве. Похоже, что еще меньше доказательств требуется для оправдания
военных действий1). Широкая панорама мнений о современном понятии
доказательства — в самых разных контекстах — представлена в [NCBI]. Говорят (см. [MCI]), что в некоторых областях математики (таких как топология
малой размерности) доказательство можно пересказать на языке жестов.
Французский математик Жан Лере (1906–1998) так пишет о системе
ценностей в современной математике.

...разные области математики нераздельны как части живого организма; как
живой организм, математика должна постоянно создаваться заново; каждое
поколение должно перестроить ее вновь — шире, больше и прекраснее прежней. Смерть математических исследований стала бы концом математического
мышления, которое составляет структуру научного языка, и таким образом,
концом нашей научной цивилизации. Поэтому мы должны передать нашим
детям силу характера, моральные ценности и стремление к полной жизни.

Лере говорит нам, что математические идеи хорошо приживаются на
новых местах и хорошо переносят проверку временем, потому что у нас
есть такой строгий и проверенный стандарт для формулирования и записи
идей. Это великая традиция, она стоит того, чтобы ее сохраняли.
В доказательстве есть и человеческий фактор, который нельзя игнорировать. Принятие новой математической истины — это социологический
процесс. Это что-то, что происходит в математическом сообществе. Оно
включает понимание, усваивание, обдумывание и обсуждение. Самые

1)Эти идеи раскрываются в [SWD]. К этой же теме относятся захватывающие статьи
[ASC], [MCI]. Целый выпуск журнала Philosophical Transactions of the Royal Society, осень
2005 г., посвящен статьям такого рода. Все они были написаны в связи с конференцией
в Британии, где стояли вопросы вроде тех, что обсуждаются в этой книге. См. также
[PTRS].

Предисловие

выдающиеся математики иногда ошибаются и объявляют новые результаты, а потом выясняется, что неизвестно, как их доказать. В 1879 г.
А. Кемпе опубликовал доказательство теоремы о четырех красках, и оно
продержалось целых 11 лет, пока П. Хивуд не нашел фатальную ошибку
в работе. Первая совместная работа Харди и Литтлвуда была заявлена на
заседании Лондонского математического общества в июне 1911 г. Но она
никогда не была опубликована, поскольку позднее они обнаружили ошибку
в доказательстве. Коши, Ламе и Куммер — каждый из них в тот или иной
момент своей карьеры полагал, что доказал Великую теорему Ферма.
И каждый из них ошибался. Радемахер в 1945 г. думал, что опроверг
гипотезу Римана. Его работа была даже опубликована в Time Magazine.
Позднее Радемахеру пришлось отозвать свое утверждение, поскольку
Зигель нашел ошибку. В этой книге мы изучаем социальную базу
математических дисциплин, разбираемся, как во взаимодействии разных
математиков и разных математических культур творится форма нашей
науки. Математические ошибки исправляются, причем не формальной
логикой, а другими математиками. Это один из краеугольных камней
нашей науки1).
В самом начале XX в. Брауэр дал революционное доказательство своей
теоремы о неподвижной точке, а спустя некоторое время решительно
отрекся от доказательств от противного (по крайней мере в отношении
доказательств существования, а результат о неподвижной точке был
именно таким) и создал движение интуиционизма. Позднее эту программу
поддержал
Эррет
Бишоп,
и
его
работа
Foundations
of
Constructive
Analysis, написанная в 1967 г., была довольно заметной (переработанное
издание, написанное в соавторстве с Дугласом Бриджесом, опубликовано
в 1985 г.). Эти идеи представляют особенный интерес для специалистов
в теории компьютерных наук, ведь значимость доказательств от противного
в компьютерных науках небесспорна (несмотря даже на то, что в свое
время Алан Тьюринг расшифровал код Энигмы, применив как раз идеи
доказательства от противного в контексте вычислительных машин).
В последние тридцать лет или около того стало ясно, что мы
переосмыслили и решительно расширили наше представление о доказательстве. В этом явлении важную динамичную роль сыграли компьютеры.
Они могут делать сотни миллионов операций в секунду. Это открывает
возможности для экспериментирования, вычисления и визуализации таких

1)Математики делают ошибки на каждом шагу. Почти всякая опубликованная статья по
математике содержит ошибки. В книге [LEC] задокументировано много важных ошибок
в математической литературе до 1935 г.

Предисловие
9

вещей, что были немыслимы полвека назад. Следует иметь в виду, что
математическое мышление включает овладение понятиями и рассуждениями, в то время как компьютер — просто средство для манипулирования
данными, это совершенно разные вещи. Непохоже (см. блестящую книгу
Роджера Пенроуза «Новый ум короля»), что когда-либо компьютер сможет
думать и доказывать математические теоремы так, как это делает человек.
Тем не менее компьютер может предоставить ценную информацию
и натолкнуть на идею. Он может изобразить для пользователя вещи,
которые тот раньше представить себе не мог. Это ценный инструмент.
В нашей книге мы уделим много места изучению роли компьютеров
в современной человеческой мысли.
Размышляя о роли компьютеров в математике, уместно напомнить
известную историю. Тихо Браге (1546–1601) был одним из величайших
астрономов Возрождения. Он разработал научную процедуру, которая
позволила ему создать обширную базу данных о движении планет. Его
даровитый ученик Иоганн Кеплер (1571–1630) страстно желал получить
доступ
к
этим данным, поскольку
у него
были
идеи о
том, как
сформулировать математические законы, описывающие движение планет.
И Браге, и Кеплер были целеустремленными людьми, однако их взгляды на
очень многие вещи разнились. Браге опасался, что Кеплер воспользуется
данными, чтобы подтвердить теорию Коперника о Солнечной системе
(а именно, что в центре системы находится вовсе не Земля, а Солнце, —
это представление противоречило христианской догме). Пока Браге был
жив, Кеплер так и не получил доступа к его расчетам.
Однако в эту историю странным образом вмешалось провидение.
Спонсор Тихо Браге передал ему остров, где тот построил обсерваторию
и работал в ней. Поэтому Браге приходилось выполнять некоторые
социальные обязанности — выказывать свою признательность и сообщать
о достижениях. На одном приеме Браге выпил так много пива, что его
мочевой пузырь лопнул, и он умер. Кеплер вступил с семьей Браге в торг
за данные, которые ему были так нужны. Течение научной истории
изменилось навсегда.
Кеплер не использовал ни дедуктивное мышление или рассуждение,
ни аксиоматический метод, ни стратегии математических доказательств
для вывода своих трех законов движения планет. Он просто всматривался
в сотни страниц данных Браге о планетах и считал, считал, считал...
Примерно в то же время свою теорию логарифмов разрабатывал
Джон Непер (1550–1617). Это замечательный инструмент вычислений, он
мог бы резко упростить задачу Кеплера. Но тот не мог понять смысла
логарифмов и отказался от них. Он не шел простым путем. Только

Предисловие

вообразите себе, что мог бы сделать Кеплер, будь у него компьютер!
Правда, он мог бы и от компьютера отказаться просто оттого, что не
понял принципа работы процессора.
Мы говорим здесь о Кеплере и Непере потому, что эта история предвосхитила современные споры об использовании компьютеров в математике.
Одни утверждают, что компьютер позволяет нам видеть (вычислительно
и визуально) вещи, которых мы раньше не могли представить. А другие
считают, что все эти вычисления, конечно, очень хороши и полезны, но не
составляют математического доказательства. Похоже, что первые смогут
снабдить вторых информацией, и так возникнет симбиоз, приводящий
к серьезным результатам. Мы обсудим эти соображения в книге.
Давайте вернемся к изменениям, которые произошли в математике
за последние тридцать лет и были отчасти обусловлены пришествием
высокоскоростных компьютеров. Вот матрикул некоторых компонентов
этого процесса.

• В 1974 г. Аппель и Хакен [APH1] объявили, что задача о четырех
красках решена. Иначе говоря, получен ответ на вопрос о том,
сколько нужно красок, чтобы раскрасить любую карту так, что соседние страны получаются разных цветов. Построенное доказательство
потребовало 1200 часов работы суперкомпьютера в университете
Иллинойса. Математическое общество было в замешательстве, ведь
такое «доказательство» никто не мог изучить или проверить. Или
хотя бы понять. До сих пор не существует доказательства теоремы
о четырех красках, которое может быть изучено и проверено человеком.
• Со временем люди все более и более свыклись с использованием
компьютеров в доказательствах. В первые дни своего существования
теория вейвлетов (к примеру) зависела от оценок некоторых постоянных, а их можно было получить только с помощью компьютера.
Оригинальное доказательство де Бранжа гипотезы Бибербаха [DEB2]
опиралось на результат теории специальных функций, который тоже
можно было проверить только на компьютере (позднее обнаружилось,
что это результат Аски и Гаспера, который доказан традиционно).
• Развитие новых обучающих средств, таких как программное обеспечение The Geometer’s Sketchpad, многих, включая Филдсовского
медалиста Уильяма Тёрстона, навело на мысль, что традиционные
доказательства могут уступить дорогу экспериментированию, т. е.
проверке тысяч или миллионов частных случаев на компьютере.

Так что приход компьютеров действительно изменил наш взгляд на
то, что можно считать доказательством. Ведь смысл в том, чтобы убедить

Предисловие
11

другого человека в том, что какое-то утверждение истинно. Очевидно,
есть много разных способов сделать это.
Еще интереснее, возможно, некоторые новые социальные тренды
в математике, приводящие к построению нестандартных доказательств
(мы подробно обсудим их позднее).

• Одним из грандиозных предприятий математики XX в. стала классификация конечных простых групп. Даниэль Горенштейн из Ратгерского
университета дирижировал этим процессом. Сейчас считается, что эта
задача решена. Замечательно здесь то, что одна теорема потребовала
усилий многих сотен ученых. «Доказательство» здесь — собрание сотен
статей и работ, охватывающих период более 150 лет. Сейчас оно
включает более 10 000 страниц, и его до сих пор подчищают и упорядочивают. Окончательная «запись доказательства» займет несколько
томов, и нет никакой уверенности в том, что работающие сейчас
эксперты проживут достаточно долго, чтобы увидеть результат своих
усилий.
• Решение Томаса Хейлса задачи Кеплера об упаковке сфер во многом
(как и решение задачи о четырех красках) опирается на компьютерные
вычисления. Особенно интересно, что его доказательство вытеснило
более раннее доказательство Ву Йи Хсианга, опирающееся на сферическую тригонометрию, а не на компьютерные вычисления. Хейлс
допускает, что его «доказательство» нельзя проверить традиционным
путем. Он организовал группу FlySpeck энтузиастов со всего света,
чтобы построить процедуру проверки своих компьютерных аргументов.
• Про доказательство гипотезы Пуанкаре, построенное Григорием Перельманом, и про программу геометризации Тёрстона слышали все.
В 2003 г. Перельман написал три статьи о том, как использовать
теорию Ричарда Гамильтона о потоках Риччи, чтобы осуществить
идею Тёрстона (она называется «программой геометризации») разбить
трехмерное многообразие на части. У этого результата есть одно
важное следствие — доказательство знаменитой гипотезы Пуанкаре.
Хотя статьи Перельмана не совсем строгие и исчерпывающие, они
исполнены воображения и глубоких геометрических идей. Эта работа
подтолкнула бурную деятельность и спекуляции о том, как программу можно завершить и оценить. Джон Лотт и Брюс Кляйнер
(из Мичиганского университета), Ганг Тиан (Принстон) и Джон
Морган (Колумбия) предприняли огромные усилия, чтобы завершить
программу Гамильтона—Перельмана, построить и записать настоящее
доказательство, которое другие смогут изучить и проверить.

Предисловие

• Программа геометризации Тёрстона — это отдельная история. В начале
1980-х гг. он объявил, что получил результат о структуре трехмерных
многообразий, по крайней мере, для некоторых важных подклассов
многообразий, и знает, как его доказать. Классическая гипотеза Пуанкаре оказалась бы простым следствием из программы геометризации
Тёрстона. Он написал множество работ [THU3] (объемом в целую книгу),
а математический факультет Принстонского университета сделал их
доступными по всему миру. Эти работы под общим названием The
Geometry and Topology of Three-Manifolds [THU4] написаны увлекательно
и захватывающе. Но написаны они довольно неформальным стилем,
хотя содержат глубокую качественную математику. Их трудно понять
и оценить.

Цель этой книги — изучить все идеи и направления, представленные
выше. По дороге мы познакомим читателя с пластом культуры: кто такие
математики, что их заботит и чем они занимаются. Мы расскажем, почему
математика важна и почему так сильно влияет на сегодняшний мир. Мы
надеемся, что читатель не только познакомится, но и будет очарован этой
древней прославленной наукой и почувствует, как много еще предстоит
узнать.

Декабрь, 2010
Стивен Кранц,
Сент-Луис, Миссури