Квантовая механика
Покупка
Тематика:
Квантовая механика
Издательство:
Лаборатория знаний
Год издания: 2020
Кол-во страниц: 294
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-00101-856-8
Артикул: 630028.02.99
Учебное пособие предназначено для подготовки специалистов в области наукоемких технологий, связанных с квантовой физикой микромира, в частности для подготовки студентов по направлению «Наноматериалы и нанотехнологии». В книге подробно изложены основные виды формализма квантовой механики, включая операторную алгебру, матричную механику и скобочный аппарат Дирака. Значительное внимание уделено приближенным квантово-механическим методам, широко применяемым в квантовой химии. В соответствии с требованиями новых образовательных стандартов в книгу включены элементы развивающегося направления квантовой механики, а именно квантовой теории кубитов, которое связано с проектированием и созданием в будущем квантовых компьютеров. Достаточное место отведено технике конкретных квантово-механических вычислений. Для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений, а также преподавателей физики и других естественнонаучных дисциплин в технических вузах.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Квантовая механика Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов Москва 2020 Лаборатория знаний Допущено Научнометодическим советом по физике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям Учебное пособие 3е издание, электронное
УДК 530.1 ББК 22.31 Б18 Байков Ю. А. Б18 Квантовая механика : учебное пособие / Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов. — 3-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 294 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный. ISBN 978-5-00101-856-8 Учебное пособие предназначено для подготовки специалистов в области наукоемких технологий, связанных с квантовой физикой микромира, в частности для подготовки студентов по направлению «Наноматериалы и нанотехнологии». В книге подробно изложены основные виды формализма квантовой механики, включая операторную алгебру, матричную механику и скобочный аппарат Дирака. Значительное внимание уделено приближенным квантово-механическим методам, широко применяемым в квантовой химии. В соответствии с требованиями новых образовательных стандартов в книгу включены элементы развивающегося направления квантовой механики, а именно квантовой теории кубитов, которое связано с проектированием и созданием в будущем квантовых компьютеров. Достаточное место отведено технике конкретных квантово-механических вычислений. Для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений, а также преподавателей физики и других естественнонаучных дисциплин в технических вузах. УДК 530.1 ББК 22.31 Деривативное издание на основе печатного аналога: Квантовая механика : учебное пособие / Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. — 291 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-1159-0. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-00101-856-8 c○ Лаборатория знаний, 2015 2
Оглавление Предисловие6 введение7 глава 1. Операторное представление квантовой механики9 11Квантово-механическиепостулатыСобственныефункцииисобственныезначенияквантово-механическихоператоровУравненияЛагранжаиГамильтона9 12Волноваяфункцияиееинтерпретациявсвязисизмерениями16 13Классификацияоператоровквантовоймеханики23 14ОсновноеуравнениеквантовоймеханикиГамильтонианиоператоримпульса 28 15УравнениеШредингераСобственныефункцииисобственныезначенияоператораэнергиииихсвойства35 16СтационарныесостоянияОбщеерешениеуравненияШредингеравпроизвольныймоментвремениТеоремаЭренфеста 39 17Задачадвухтелвсистемецентрамасс46 18Атомныеструктурывсистемецентрамасс48 19ПриближениеБорна—Оппенгеймера54 110МолекулярныеструктурывприближенииБорна—Оппенгеймера57 111СобственныефункцииисобственныезначенияоператораимпульсаУсловиянормировкивслучаяхограниченногоинеограниченногопространстваДельта-функцияДиракаиеесвойства59 112Разложениеволновойфункциипособственнымфункциямоператораимпульсасистемы,обладающимсвойствомполноты 64 113Собственныефункцииисобственныезначенияоператоракоординаты67 114КоммутаторыиантикоммутаторыквантовоймеханикиДвижениезаряженнойнерелятивистскойчастицывпроизвольномэлектромагнитномполеОператорсилыЛоренцавквантовоймеханике70 115Соотношениянеопределенностейдляканоническисопряженныхвеличин77 глава 2. Матричное представление квантовой механики 84 21МатрицыиихсвойстваНулевая,единичнаяипостояннаяматрицы84 22Преобразованиематрициихдиагонализация 87 23СвойстваэрмитовыхиунитарныхматрицМатрицаунитарногопреобразования 89 24МатрицаэнергиииеекоординатноепредставлениеПредставлениеволновойфункцииввидеунитарнойматрицы97 25УравнениядвижениявоператорнойиматричнойформахИнтегралыдвиженияОператорчетностикакинтегралдвижения101
4Оглавление 26Системасобственныхфункцийоператораэнергиикакунитарнаяматрица104 глава 3. «Бра-кет» формализм Дирака107 31«Бра-»и«кет-векторы»Диракаиихсвойства107 32Аналогия«бра-кет»формализмасматричнымпредставлениемквантовоймеханикиГипервириальнаятеорема108 33ПроекционныеоператорыСледпроекционногооператора112 34Разложениеединицычерезпроекционныеоператоры115 35Спектральноеразложениеэрмитовыхинеэрмитовыхоператоровпоихсобственнымвекторамв«бра-кет»формализме116 36ОднородныефункцииитеоремаЭйлерадляоднородныхфункций118 37Теоремавириалавклассическоймеханике119 глава 4. вариационный принцип в квантовой механике121 41Среднеезначениеэнергииосновногосостоянияквантовойсистемы121 42СвязьвариационногопринципасуравнениемШредингера123 43Вариационныйпринципдлявозбужденныхсостояний 125 44ДифференциальнаятеоремаГельмана-Фейнмана127 45ИнтегральнаятеоремаГельмана-Фейнмана128 46Теоремавириалавквантовыхсистемахсоднороднойпотенциальнойэнергией130 47Связьвариационногопринципасизменениеммасштабапространственныхкоординат133 48ТеоремавириалавприближенииБорна—Оппенгеймера135 глава 5. Теория возмущений 139 51Невырожденнаятеориявозмущений 139 52Резольвентаиееприменениевтеориивозмущений 142 53ТеоремаВигнераВычислениеточныхпоправоккэнергии 146 54Вариационныйметодвтеориивозмущений 151 55Вырожденнаятеориявозмущений155 56ТеориявозмущенийБриллюэна—Вигнера 158 57Сравнениеразличныхметодовтеориивозмущений161 глава 6. Момент импульса и его представление в квантовой механике168 61Операторыкомпонентмоментаимпульсаиихкоммутаторы 168 62Собственныефункцииоператорамоментаимпульса172 63Собственныезначенияоператорамоментаимпульсаиегокомпонент175 64Матричноепредставлениемоментаимпульсаиегопроекций178 65Выражениядляматричныхэлементовоператоровкомпонентмоментаимпульса181 66Сложениеоператоровмоментаимпульсаиегокомпонент 184 глава 7. Тождественные частицы и спин. Квантовомеханические спиноры188 71Симметричныеиантисимметричныеволновыефункцииквантовыхсистем188 72ЛинейныекомбинациинесимметризованныхволновыхфункцийРазличимостьтождественныхчастиц189
Оглавление5 73ДетерминантСлэтераипринципПаулидлятождественныхчастиц191 74Спин-орбитали194 75Спиновыесостояниямногоэлектронныхсистем196 76Операторыперестановокиантисимметризации201 77Понятиепроекционногооператора203 78Операторантисимметризациииегокоммутационныесвойства206 79Спиновыефункцииэлектронаиихпредставлениевматричнойформе 208 710Двух-итрехэлектронныеспиновыефункции210 711Симметричныеиантисимметричныеспинорыдвух-итрехэлектронныхсистем212 глава 8. Квантово-механическое описание состояний атомов легких и тяжелых химических элементов215 81АтомводородаСобственныефункции(водородныеорбитали)исобственныезначенияоператораГамильтонадляатомаводородаиводородоподобныхатомов215 82СамосогласованноеполеОбменноевзаимодействиеэлектроновватомегелияимолекулеводорода224 83ВариационныйметодвмоделидвухэлектроннойсистемыПриближениеХартри231 84УравнениеТомаса—Фермидлямногоэлектронныхатомов237 глава 9. взаимосвязь «бра-кет» формализма Дирака с операторным и матричным представлениями квантовой механики 244 91ЗависимостьамплитудвероятностиоткоординатыВолноваяфункциякакамплитудавероятности 244 92СвязьуравненийГамильтонаиШредингера 249 93Симметрияизаконысохранения250 94Средниеэнергиив«бра-кет»представлении256 глава 10. Квантовая механика кубитов262 101Матрицаплотностиквантовыхсистемиеесвойства 262 102Одно-идвухкубитовыеквантовыесистемыЧистыеисмешанныесостоянияоднокубитовыхсистем265 103Основныевидыоднокубитовыхквантовыхопераций267 104КвантовыесостояниядвухкубитовыхсистемКвантоваякогерентностьвекторовсостоянийкубитов269 105ИнтерферометрМаха-Цендераиегоописаниеоднокубитовымиоперациями270 106Двухкубитовыеквантовыеоперации272 107Запутанныесостояниякубитовиихописаниематрицейплотностидвухкубитовыхсистем274 108Векторсостояниядвухкубитовыхсистемиегоразложениепобазиснымфункциямкубитов(разложениеШмидта)278 109ЭнтропияфонНойманаиеесвязьсматрицейплотностидвухкубитовыхсистем279 1010Классификациякубитовыхсостоянийдлябозоновифермионов280 Заключение287 литература288
ПреДислОвие Предлагаемаячитателямкнига«Квантоваямеханика»,нарядусвышедшимв2011гучебнымпособиемтехжеавторов«Физикаконденсированногосостояния»,написанапоматериаламлекций,читаемыхвРХТУимДИМенделееваврасширенномкурсефизикидляподготовкиспециалистовпонаправлению«Наноматериалыинанотехнологии» Выбортематикидляпредлагаемоговариантаквантовоймеханикиопре делялсятребованияминовыхобразовательныхстандартовдлявысшихтехническихучебныхзаведенийВкнигеподробноизложеныосновныевидыформализмаквантовоймеханики,включаяоператорнуюалгебру,матричнуюмеханикуГайзенбергаи«скобочный»аппаратДиракаПоследнийсущественвсвязистем,чтовобразовательныестандартывключеныэлементыновогоразвивающегосянаправленияквантовоймеханики,аименнотеориикубитовыхсистем,котороесвязаноспроектированиемисозданиемвбудущемквантовыхкомпьютеровЭтойтемевкнигепосвященаотдельнаяглаваЗначительноевниманиеавторыуделилирассмотрениюметодоврешенияуравненияШредингеравразличныхприближениях,вчастности,методамтеориивозмущений,приближениюБорна–Оппенгеймера,атакжеметодамХартри–Фока,широкоприменяемымвквантовойхимии Достаточноевниманиеуделенотехникеконкретныхквантово-механичес кихвычислений,например,болееподробному,чемвдругихизданиях,вычислениюкоммутаторовприопределениисилыЛоренца,вычислениюэнтропиифонНойманакубитовыхсистемирешениюрядадругихзадач Вцеломучебноепособиесочетаетстрогоеизложениефундаментальныхосновтеориисрассмотрениемновыхсовременныхзадач,требующихквантовомеханическогоописания Академик П. Д. Саркисов
ввеДение СовременноесостояниенаукиоматериалахтребуетглубокихипрочныхзнанийвобластифундаментальныхдостиженийфизикиихимиимикромираПосколькуобъемпоступающейнаучнойинформацииизгодавгодрастет,возникаетпроблемасистематизациииупорядоченияизвестныхранеенаучныхданныхсвновьприобретаемымиВпоследнеевремябольшуюзначимостьприобреливопросы,связанныеснанотехнологиямииполучениемнаихосноверазличныхнаноматериаловДлярешениямногихпрактическихзадачвэтойобластитребуютсяспециалистысдостаточноширокимкругозоромвобластяхфизикиихимиимикромираВсилутого,чтофизическиеихимическиепроцессы,происходящиевмикромире,основанынаформализмеквантовоймеханики,возникаетпроблемаизложенияэтойдисциплинысучетомсовременныхдостиженийвееразвитииПредлагаемаякнигаосновананакурселекций,читаемыхстудентамРХТУимДИМенделеевапонаправлениямподготовки,требующимпрохожденияуглубленногокурсафизики,частьюкоторогоявляетсяквантоваямеханика Однаизважнейшихцелей,стоящихпередавторами,состоялавтом,чтобыдатьчитателюясноепониманиеформализмаквантовоймеханики,вчастности,операторнойалгебрыиматричноймеханики,длярешенияприкладныхвычислительныхзадач,неизбежновозникающихприисследованиипроцессовмолекулярно-атомныхвзаимодействийввеществе,которыесоставляютосновуфизикиихимиимикромираОсобоевниманиебылоуделеноописаниюразличныхприближенныхподходовквантово-механическогоформализма,играющихзначительнуюрольприпроведенииконкретныхквантово-механическихвычисленийиоценокфизическихпараметровватомныхимолекулярныхсистемахЭтоотноситсяпреждевсегоканализумолекулярныхгамильтониановвприближенииБорна–Оппенгеймера,методутеориивозмущенийРэлея– ШредингераиБриллюэна–ВигнераиособеннокметодамХартри–Фока,стольчастоиспользуемымвквантовойхимии Большоевниманиеавторыуделилиизложениювариационногопринципавквантовойтрактовкеформальныхметодов,которыеприменяютсявоператорнойалгебреиматричноймеханикеГайзенбергаВчастности,этоотноситсякполучениюуравненияШредингера,атакжекдоказательствамтеоремГельмана–ФейнманаитеоремывириаладляквантовыхсистемсоднороднойпотенциальнойэнергиейвприближенииБорна–Оппенгеймера Особоеместовкнигеотведено«бра-кет»формализмуДиракаиегосвя зисоператорнойалгеброй,чтооченьважнодляизложенияновейшихиссле
Введение дованийвобластиквантовоймеханикикубитовВчастности,этоотноситсякописаниюодно-идвухкубитовыхсистемисоответствующихквантовыхоперацийЭтонаправлениевквантовоймеханикеинтенсивноразвиваетсявовсеммиреиимеетбольшиеперспективы,связанныессозданиемквантовыхкомпьютеров Однойиззадачавторовявлялосьознакомитьчитателейстехникойкон кретныхквантово-механическихвычисленийсиспользованиемизвестныхтеоремиканоновоператорнойалгебры,матричноймеханики,операцийскубитовымисистемамиНаглядноэтолучшевсегопроявляетсяприиспользованииформализмаматричнойалгебрыспинороводно-,двух-итрехэлектронныхсистем,спомощьюкоторогоможнополучитьмногоинформации,связаннойсизучениемквантовыхсостоянийлегкиххимическихэлементовпериодическойсистемыМенделеева Впредлагаемомвариантекурса«Квантоваямеханика»авторыотошлиоттрадиционнойтрактовкисоотношениянеопределенностей,посколькуточныеквантово-механическиерасчетыуказываютнанесколькоинойчисловойкоэффициентсвязиэтогосоотношенияспостояннойПланкаБолееподробно,чемранее,изложенапроцедуравычислениякоммутаторовприопределенииоператорасилыЛоренцаивнекоторыхдругихзадачахВместестем,учитываяучебнуюнаправленностьиздания,приизложениитрадиционныхразделовквантовоймеханикиавторыопиралисьнаметодикуизложениятакихизвестныхучебниковимонографий,как«Механика»и«Квантоваямеханика»ЛДЛандауиЕМЛифшица;«Квантоваямеханика»ЛШиффа;«Квантоваямеханика»ЭФерми;«Фейнмановскиелекциипофизике»РФейнмана,РЛейтонаиМСэндса,атакженанедавновышедшуюкнигуИМайера«Избранныеглавыквантовойхимии» Прочтениепредлагаемоговарианта«Квантовоймеханики»,помнениюавторов,продолжитзнакомствочитателясосновамиматематическогоанализа,матричнойилинейнойалгебры,атакжесквантовымипредставлениямиомикромиреврамкахуглубленногокурсафизикиРХТУимДИМенделееваКнигарассчитананастудентов,аспирантов,преподавателейинаучныхработников,занимающихсяизучениемфизикиихимиимикромира,атакжепроблемами,стоящимипередсовременнымматериаловедением,вчастности,втакихобластях,какнаноматериалыитехнологииихполучения АвторыпризнательныпрофессоруНИУМФТИЮВПетровузапросмотррукописиирядзамечаний
Глава 1 ОПераТОрнОе ПреДсТавление КванТОвОй МеханиКи 1.1. Квантово-механические постулаты. собственные функции и собственные значения квантово-механических операторов. Уравнения лагранжа и гамильтона Известно,чтовклассическоймеханикедвижениемеханическойсистемыопределяетсяпринципомнаименьшегодействия,илипринципомГамильтонаСогласноэтомупринципукаждаямеханическаясистемасостоящаяиз«s»частиц(элементов)характеризуетсяопределеннойфункциейL q q qs ( , ,... , 1 2 q q q t s 1 2 , ,... , ) иликраткоL q q t i i ( , , ), гдеqi(t)(i=1,…,s)—обобщенныекоорди натычастиц,q t i( ) ихпроизводныеповремени(обобщенныескорости);t—времяПустьвмоментывремениt1иt2 системазанимаетопределенныеположения,характеризуемыедвумянаборамикоординатq(1),q(2),тогдавинтервале[t1,t2]системадвижетсятакимобразом,чтоинтегралS L q q t dt i i t t = ∫ ( , , ) , 1 2 назы ваемыйдействием,имеетнаименьшеевозможноезначениеФункцияL q q t i i ( , , ) называетсяфункциейЛагранжаЗависимостьфункцииЛагранжаотпеременныхqiиqi являетсявыражениемтогофакта,чтомеханическоесостояниесистемыполностьюопределяетсязаданиемвлюбоймоментвременикоординатискоростейвсехчастицДляупрощенияпоследующихрассужденийпредположим,чторассматриваемаясистемаобладаетоднойстепеньюсвободы,техарактеризуетсяоднойфункциейq(t)иеепроизводнойq t( ) Пустьq(t)—тозначениефункции,называемойдинамическойпеременной,прикоторойдействиеSимеетнаименьшеезначениеЭтоозначает,чтоинтегралSвозрастаетпризаменеq(t)налюбуюдругуюфункциюq(t)+δq(t),гдеδq(t)—малаявариацияфункцииq(t)вовсемвременноминтервале[t1,t2]Изтребованийq(t1)= q(t1)+δq(t1),q(t2)= q(t2)+δq2(t2),вытекает,чтоδq(t1)=δq(t2)=0 ИзменениедействияSпризаменеq(t)наq(t)+δq(t)даетсяразностью δS L q q q q t dt L q q t dt t t t t = + + − ∫ ∫ 1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) . δ δ Разложениепостепенямδqиδ q этойразности(вподынтегральномвыра жении)начинаетсясчленовпервогопорядкаНеобходимымусловиеммини
Глава1Операторноепредставлениеквантовоймеханики мальностиSявляетсяобращениевнульсовокупностиэтихчленовразложенияИначеговоря,перваявариациядействияSдолжнабытьравнанулю,тепринципнаименьшегодействияозначаетравенство δ δ S L q q t dt t t = = ∫ 1 2 0 ( , , ) , (111) или ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∫ L q q L q q dt t t δ δ 1 2 0. Замечая,чтоδ δ q d dt q = иинтегрируявторойчленв(111)почастям,полу чим: δ δ δ S L q q L q t L q qdt t t t t = ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∫ 1 2 1 2 0.(112) Посколькуδq(t1)=δq(t2)=0,первыйчленв(112)исчезает,аусловиеравен стванулюпервойвариациидействияприпроизвольномδq(t)означаетспра ведливостьследующегоуравнения− ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = L q t L q 0. Приналичииsстепенейсвободынеобходимоварьировать«s»различныхфункцийqi(t),(i=1,…,s)Очевидноврезультатемыполучимсистемуsдифференциальныхуравненийвида ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = = t L q L q i s i i 0 1 2 ( , ,... ),(113) называемыхуравнениямиЛагранжаСматематическойточкизренияэтосистемаsдифференциальныхуравнений2-гопорядкаотносительноsнеизвестныхфункцийqi(t)Общеерешениетакойсистемысодержит2s произвольныхпостоянных,дляопределениякоторыхнеобходимознатьначальныеусловиявмоментвремениt=0,например,значениявсехначальныхкоординатискоростейэлементовэтоймеханическойсистемы[1] РассмотримдействиеSкаквеличину,характеризующуюдвижениемехани ческойсистемыпоистиннымтраекториям,длякоторыхсправедливвариационныйпринципнаименьшегодействия,исравнимзначениядлятраекторий,имеющихобщееначалоq(t1)=q(1),норазличныеположениявмоментвремениt2Другимисловами,будемрассматриватьинтегралдействиядляистинныхтраекторийкакфункциюкоординат,зависящуюотверхнегопределаинтегрированииИзменениедействияприпереходеотоднойтраекториикдругой(вслучаеоднойстепенисвободы)даетсявыражением(112)ПосколькувсеистинныетраекториидействительногодвиженияудовлетворяютуравнениямЛагранжа,интегралв(112)равеннулюВпервомчленевыражения(112),всилутого,чтовсетраекторииначинаютсяводнойточке,можноположитьδq(t1)=0,авариациюδq(t2)обозначитькакδqОпределивчастнуюпроизвод
11Квантово-механическиепостулатыСобственныефункции 11 нуюфункцииЛагранжа∂ ∂ L q какобобщенныйимпульср,окончательнополу чим,чтоδS =pδqВслучаепроизвольногочисластепенейсвободымеханическойсистемыбудемиметь δ δ S p q i i i =∑ . (114) Отсюдаследует,чточастныепроизводныеотдействияпообобщеннымко ординатамравнысоответствующимобобщеннымимпульсам ∂ ∂ = S q p i i.(115) ДействиеSможнорассматриватьикакявнуюфункциювремениПоопреде лениюдействия,егополнаяпроизводнаяповременивдольтраекторииравна dS dt L = .(116) Сдругойстороны,рассматриваяSкакфункциюкоординативременииис пользуяформулу(115),можнозаписать dS dt S t S q q S t p q i i i i i i = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∑ ∑ , откуда,используя(116),получаем: ∂ ∂ = −∑ S t L p q i i i . ВводяфункциюГамильтонапоформулеH p q L i i i = − ∑ , имеемокончательно: ∂ ∂ = − S t H q p i i ( , ).(117) Используяэтуформулу,можнозаписатьдифференциалдействияввиде dS p dq Hdt i i i = − ∑ . (118) ЭтовыражениеопределяетdSкакфункциюоткоординативремени,асамодействиеможнозаписатьввидеинтеграла S p dq Hdt i i i = − ∑ ∫ .(119) Предполагаядлякраткостиналичиевсистемеоднойкоординатыиодногоимпульса,длявариациидействияимеем δ δ δ δ δ S pdq pd q H q qdt H p pdt = + − ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∫ 0.
Глава1Операторноепредставлениеквантовоймеханики Представляявтороеслагаемоеввидеpdδq=d(pδq)–dpδqиинтегрируяпер выйчлен,имеем[1]: δ δ δ δ S p dq H p dt q dp H q dt p q = − ∂ ∂ − + ∂ ∂ + = ∫ 0. Награницахинтегрированиямыдолжныположитьδq = 0. Втакомслучаеприпроизвольныхнезависимыхδqиδpвариациядействияможетбытьравнанулюлишьпривыполненииусловийdq H p dt − ∂ ∂ = 0, dp H q dt + ∂ ∂ = 0.Последеле нияобоихуравненийнаdt,получаемизвестныеуравненияГамильтона: q H p p H q = ∂ ∂ = − ∂ ∂ ; .(1110) Ввидунезависимостиобобщенныхкоординатqiиимпульсовpiвслучаеs-степенейсвободывместо(1110)будемиметьсистему2sдифференциальныхуравнений1-гопорядкаq H pi = ∂ ∂ ; p H q i i = − ∂ ∂ (i=1,2,…,s),которуюназываютканоническойдлядинамическихпеременныхqi,piПереходотодногонаборанезависимыхпеременныхкдругомуосуществляетсяспомощьюпреобразованийЛежандра ВотличиеотуравненийЛагранжа(113),которыеинвариантныотно сительнолюбыхпреобразованийЛежандраотоднихобобщенныхкоординаткдругим,уравненияГамильтонамогутсохранятьсвойканоническийвидлишьприсоблюденииопределенныхусловийПустьуравнениядвиженияГамильтонавновыхпеременныхP, Q сновойфункциейH'(P,Q)имеютвид: Q H P P H Q i i i i = ∂ ′ ∂ = − ∂ ′ ∂ ; ПриэтомпреобразованияQi=Qi(q,p, t),Pi=Pi(q,p, t)называютканоническими,содержащимивсе2sнезависимыхпеременныхqир Какбылопоказановыше,каноническиеуравненияГамильтонамогутбытьполученыизпринципанаименьшегодействия,записанноговвиде δ p dq Hdt i i i − = ∑ ∫ 0. (1111) Длятого,чтобыновыепеременныеPiиQiудовлетворялиуравнениямГа мильтона,длянихтакжедолженбытьсправедливпринципнаименьшегодействия[1] δ PdQ H dt i i i − ′ = ∑ ∫ 0. (1112) Новыражения(1111)и(1112)будутэквивалентнымидругдругулишьприусловии,чтоихподынтегральныевыраженияотличаютсянаполныйдиф
11Квантово-механическиепостулатыСобственныефункции 13 ференциалпроизвольнойфункцииFкоординат,импульсовивремениТогдаразностьобоихинтеграловбудетнесущественнойприварьированиипостоянной,образуемойразностьюзначенийFнапределахинтегрированияСледовательно,должновыполнятьсяусловие p dq Hdt PdQ H dt dF i i i i i i − = − ′ + ∑ ∑ . ВсякоеканоническоепреобразованиехарактеризуетсясвоейфункциейF,называемойпроизводящейфункциейОчевиднополныйдифференциалпроизводящейфункцииравен dF p dq PdQ H H dt i i i i i i = − + ′− ∑ ∑ ( ) . (1113) Предполагая,чтопроизводящаяфункциязависиттолькоотстарыхqiино выхQi—координативремени,имеем:F=F(q,Q,t) p F q P F Q H H F t i i i i = ∂ ∂ = − ∂ ∂ ′ = + ∂ ∂ , , . (1114) ПризаданнойфункцииFформулы(1114)устанавливаютсвязьмеждуста рыми(pi,qi)иновыми(Pi,Qi)динамическимипеременными,атакжеопределяютновуюфункциюГамильтоначерезстаруюОднакоможновыразитьпроизводящуюфункциючерезстарыекоординатыqiиновыеимпульсыPiТогда,переписываяуравнение(1113)ввиде d F PQ p dq Q dP H H dt i i i i i i i i i + = + + ′− ∑ ∑ ∑ ( ) ивводяновуюпроизводящуюфункциюΦ( , , ) , q P t F PQ i i i = +∑ получимследу ющуюсистемуканоническихуравненийГамильтона: p q Q P H H t i i i i = ∂ ∂ = ∂ ∂ ′ = + ∂ ∂ Φ Φ Φ , , .(1115) Аналогичнымобразомможноперейтикформуламканоническихпреоб разований,выраженныхчерезпроизводящиефункцииотпеременныхpиQ,либоpиPВовсехподобныхслучаяхсвязьмеждуновойистаройгамильтоновымифункциямивыражаетсячерезчастнуюпроизводнуюповремениотпроизводящейфункцииВчастности,еслиэтапроизводящаяфункциянезависитотвремени,тоH'=HВэтомслучаедляполученияновойфункцииГамильтонадостаточнозаменитьвстаройфункцииНвеличиныриqчерезновыединамическиепеременныеPиQ Разнообразиеканоническихпреобразованийвгамильтоновомметодели шаетпонятияобобщенныхкоординатиимпульсовихпервоначальногосмыслаПосколькупреобразованияЛежандраQi=Qi(p,q,t),Pi=Pi(p,q,t)связываюткаждуюизвеличинP,Qкакскоординатамиq,такисимпульсамиp,топеременныеQнеимеютсмыслачистопространственныхкоординат,этожеотноситсяикпеременнымPНапример,впреобразованииQi=pi,Pi=–qi,14 Глава1Операторноепредставлениеквантовоймеханики которомусоответствуетпроизводящаяфункцияF q Q i i i =∑ , каноническийвидуравненийнеменяется,нопроисходитпростоепереименованиекоординатиимпульсовмеханическойсистемы Ввидуэтойусловностипеременныеpиqвгамильтоновомметодезаписиуравненийдвиженияобычноназываютканонически сопряженными величинами иликаноническими динамическими переменными[1] Понятиядинамическихпеременных(координатыиимпульсымикро частиц)справедливыивквантовоймеханике,новнейподэтимтерминомобычнопонимаютлюбуюфизическуювеличину,связаннуюстакназываемымиквантовымисостояниямифизическойсистемыиотвечающуюследующимквантово-механическимпостулатам[2] Первый постулат.Каждаядинамическаяпеременная,характеризующаядвижениечастицы,можетбытьпредставленалинейнымоператором,илииначеговоря,каждойдинамическойпеременнойможнопоставитьвсоответствиелинейныйоператорˆ. Ω ПриэтомскаждымоператоромˆΩ связанолинейноеквантово-механичес коеуравнениевида ˆ , Ωu u ω ω ω = (1116) служащеедляопределениятакназываемыхсобственных функций uωисобственных значений ω квантово-механического оператора ˆ. Ω Второй постулат.Врезультатеизмерениядинамическойпеременной,ха рактеризуемойоператоромˆΩ, можетбытьполученолишьоднокакое-либоизсобственныхзначенийωэтогооператораОчевидно,чтособственные значения всех квантово-механических операторов, поставленных в соответствие измеряемым в эксперименте физическим переменным, являются вещественными величинами Вотличиеотклассическоймеханики,гдекаждоесостояниечастицыилиси стемычастицсчитаетсяполностьюопределенным,есливзаданныймоментвременивсекоординатыиимпульсыэлементовсистемыизвестны,квантовомеханическое состояние носит вероятностный характерВероятностьпереходачастицы(системычастиц)изодногоквантовогосостояниявдругоеопределяетсязаданиемтакназываемойволновой функциисистемыΨ( ,... , ,... , ), r r p p t n n 1 1 зависящейотдинамическихпеременныхПриэтомΨ 2 dГ, гдеd dr dr dr d p d p n n Γ = 1 2 1 , ,... , ,... —элементфазовогокоординатно-импульсногопространстваГильберта,естьвероятностьтого,чтосистемачастицимееткоординаты,заключенныевинтервалах r r dr i i i ÷ + (i=1,…n)иимпульсывинтер валах p p d p i i i ÷ + .Предполагается,чтоволноваяфункцияΨописываеткван товыесостояния,вкоторыхдинамическаяпеременная, характеризуемаяквантово-механическимоператоромˆΩ, можетприниматьфиксированныесобственныезначенияω Еслидопустить,чтовсесобственныефункцииоператорадинамическойпеременнойобразуютполнуюсистемувтомсмысле,чтопонимможнораз