Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Квантовая механика

Покупка
Артикул: 630028.02.99
Учебное пособие предназначено для подготовки специалистов в области наукоемких технологий, связанных с квантовой физикой микромира, в частности для подготовки студентов по направлению «Наноматериалы и нанотехнологии». В книге подробно изложены основные виды формализма квантовой механики, включая операторную алгебру, матричную механику и скобочный аппарат Дирака. Значительное внимание уделено приближенным квантово-механическим методам, широко применяемым в квантовой химии. В соответствии с требованиями новых образовательных стандартов в книгу включены элементы развивающегося направления квантовой механики, а именно квантовой теории кубитов, которое связано с проектированием и созданием в будущем квантовых компьютеров. Достаточное место отведено технике конкретных квантово-механических вычислений. Для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений, а также преподавателей физики и других естественнонаучных дисциплин в технических вузах.
Байков, Ю. А. Квантовая механика : учебное пособие / Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов. - 3-е изд. - Москва : Лаборатория знаний, 2020. - 294 с. - ISBN 978-5-00101-856-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1200576 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Квантовая
механика

Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов

Москва

2020
Лаборатория знаний

Допущено 
Научнометодическим советом по физике
Министерства образования и науки Российской Федерации
в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по техническим направлениям подготовки
и специальностям

Учебное пособие

3е издание, электронное

УДК 530.1
ББК 22.31
Б18

Байков Ю. А.
Б18
Квантовая
механика
:
учебное
пособие
/
Ю. А. Байков,
В. М. Кузнецов. — 3-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 294 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10". — Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-856-8
Учебное пособие предназначено для подготовки специалистов в области наукоемких технологий, связанных с квантовой физикой микромира,
в частности для подготовки студентов по направлению «Наноматериалы
и нанотехнологии». В книге подробно изложены основные виды формализма
квантовой механики, включая операторную алгебру, матричную механику
и скобочный аппарат Дирака. Значительное внимание уделено приближенным квантово-механическим методам, широко применяемым в квантовой
химии. В соответствии с требованиями новых образовательных стандартов
в книгу включены элементы развивающегося направления квантовой механики, а именно квантовой теории кубитов, которое связано с проектированием
и
созданием
в
будущем
квантовых
компьютеров.
Достаточное
место
отведено технике конкретных квантово-механических вычислений.
Для студентов и аспирантов высших технических учебных заведений,
а также преподавателей физики и других естественнонаучных дисциплин
в технических вузах.
УДК 530.1
ББК 22.31

Деривативное издание на основе печатного аналога: Квантовая механика : учебное пособие / Ю. А. Байков, В. М. Кузнецов. — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2013. — 291 с. : ил. — ISBN 978-5-9963-1159-0.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-856-8
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

Оглавление

Предисловие6
введение7

глава 1. Операторное представление квантовой механики9

11Квантово-механическиепостулатыСобственныефункцииисобственныезначенияквантово-механическихоператоровУравненияЛагранжаиГамильтона9

12Волноваяфункцияиееинтерпретациявсвязисизмерениями16
13Классификацияоператоровквантовоймеханики23
14ОсновноеуравнениеквантовоймеханикиГамильтонианиоператоримпульса 28

15УравнениеШредингераСобственныефункцииисобственныезначенияоператораэнергиииихсвойства35

16СтационарныесостоянияОбщеерешениеуравненияШредингеравпроизвольныймоментвремениТеоремаЭренфеста 39

17Задачадвухтелвсистемецентрамасс46
18Атомныеструктурывсистемецентрамасс48
19ПриближениеБорна—Оппенгеймера54
110МолекулярныеструктурывприближенииБорна—Оппенгеймера57
111СобственныефункцииисобственныезначенияоператораимпульсаУсловиянормировкивслучаяхограниченногоинеограниченногопространстваДельта-функцияДиракаиеесвойства59

112Разложениеволновойфункциипособственнымфункциямоператораимпульсасистемы,обладающимсвойствомполноты 64

113Собственныефункцииисобственныезначенияоператоракоординаты67
114КоммутаторыиантикоммутаторыквантовоймеханикиДвижениезаряженнойнерелятивистскойчастицывпроизвольномэлектромагнитномполеОператорсилыЛоренцавквантовоймеханике70

115Соотношениянеопределенностейдляканоническисопряженныхвеличин77

глава 2. Матричное представление квантовой механики 84

21МатрицыиихсвойстваНулевая,единичнаяипостояннаяматрицы84
22Преобразованиематрициихдиагонализация 87
23СвойстваэрмитовыхиунитарныхматрицМатрицаунитарногопреобразования 89

24МатрицаэнергиииеекоординатноепредставлениеПредставлениеволновойфункцииввидеунитарнойматрицы97

25УравнениядвижениявоператорнойиматричнойформахИнтегралыдвиженияОператорчетностикакинтегралдвижения101

4Оглавление

26Системасобственныхфункцийоператораэнергиикакунитарнаяматрица104

глава 3. «Бра-кет» формализм Дирака107

31«Бра-»и«кет-векторы»Диракаиихсвойства107
32Аналогия«бра-кет»формализмасматричнымпредставлениемквантовоймеханикиГипервириальнаятеорема108

33ПроекционныеоператорыСледпроекционногооператора112
34Разложениеединицычерезпроекционныеоператоры115
35Спектральноеразложениеэрмитовыхинеэрмитовыхоператоровпоихсобственнымвекторамв«бра-кет»формализме116

36ОднородныефункцииитеоремаЭйлерадляоднородныхфункций118
37Теоремавириалавклассическоймеханике119

глава 4. вариационный принцип в квантовой механике121

41Среднеезначениеэнергииосновногосостоянияквантовойсистемы121
42СвязьвариационногопринципасуравнениемШредингера123
43Вариационныйпринципдлявозбужденныхсостояний 125
44ДифференциальнаятеоремаГельмана-Фейнмана127
45ИнтегральнаятеоремаГельмана-Фейнмана128
46Теоремавириалавквантовыхсистемахсоднороднойпотенциальнойэнергией130

47Связьвариационногопринципасизменениеммасштабапространственныхкоординат133

48ТеоремавириалавприближенииБорна—Оппенгеймера135

глава 5. Теория возмущений 139

51Невырожденнаятеориявозмущений 139
52Резольвентаиееприменениевтеориивозмущений 142
53ТеоремаВигнераВычислениеточныхпоправоккэнергии 146
54Вариационныйметодвтеориивозмущений 151
55Вырожденнаятеориявозмущений155
56ТеориявозмущенийБриллюэна—Вигнера 158
57Сравнениеразличныхметодовтеориивозмущений161

глава 6.  Момент импульса и его представление в квантовой 
механике168

61Операторыкомпонентмоментаимпульсаиихкоммутаторы 168
62Собственныефункцииоператорамоментаимпульса172
63Собственныезначенияоператорамоментаимпульсаиегокомпонент175
64Матричноепредставлениемоментаимпульсаиегопроекций178
65Выражениядляматричныхэлементовоператоровкомпонентмоментаимпульса181

66Сложениеоператоровмоментаимпульсаиегокомпонент 184

глава 7.  Тождественные частицы и спин. Квантовомеханические спиноры188

71Симметричныеиантисимметричныеволновыефункцииквантовыхсистем188

72ЛинейныекомбинациинесимметризованныхволновыхфункцийРазличимостьтождественныхчастиц189

Оглавление5

73ДетерминантСлэтераипринципПаулидлятождественныхчастиц191
74Спин-орбитали194
75Спиновыесостояниямногоэлектронныхсистем196
76Операторыперестановокиантисимметризации201
77Понятиепроекционногооператора203
78Операторантисимметризациииегокоммутационныесвойства206
79Спиновыефункцииэлектронаиихпредставлениевматричнойформе 208
710Двух-итрехэлектронныеспиновыефункции210
711Симметричныеиантисимметричныеспинорыдвух-итрехэлектронныхсистем212

глава 8.  Квантово-механическое описание состояний атомов 
легких и тяжелых химических элементов215

81АтомводородаСобственныефункции(водородныеорбитали)исобственныезначенияоператораГамильтонадляатомаводородаиводородоподобныхатомов215

82СамосогласованноеполеОбменноевзаимодействиеэлектроновватомегелияимолекулеводорода224

83ВариационныйметодвмоделидвухэлектроннойсистемыПриближениеХартри231

84УравнениеТомаса—Фермидлямногоэлектронныхатомов237

глава 9.  взаимосвязь «бра-кет» формализма Дирака 
с операторным и матричным представлениями 
квантовой механики 244

91ЗависимостьамплитудвероятностиоткоординатыВолноваяфункциякакамплитудавероятности 244

92СвязьуравненийГамильтонаиШредингера 249
93Симметрияизаконысохранения250
94Средниеэнергиив«бра-кет»представлении256

глава 10. Квантовая механика кубитов262

101Матрицаплотностиквантовыхсистемиеесвойства 262
102Одно-идвухкубитовыеквантовыесистемыЧистыеисмешанныесостоянияоднокубитовыхсистем265

103Основныевидыоднокубитовыхквантовыхопераций267
104КвантовыесостояниядвухкубитовыхсистемКвантоваякогерентностьвекторовсостоянийкубитов269

105ИнтерферометрМаха-Цендераиегоописаниеоднокубитовымиоперациями270

106Двухкубитовыеквантовыеоперации272
107Запутанныесостояниякубитовиихописаниематрицейплотностидвухкубитовыхсистем274

108Векторсостояниядвухкубитовыхсистемиегоразложениепобазиснымфункциямкубитов(разложениеШмидта)278

109ЭнтропияфонНойманаиеесвязьсматрицейплотностидвухкубитовыхсистем279

1010Классификациякубитовыхсостоянийдлябозоновифермионов280

Заключение287
литература288

ПреДислОвие

Предлагаемаячитателямкнига«Квантоваямеханика»,нарядусвышедшимв2011гучебнымпособиемтехжеавторов«Физикаконденсированногосостояния»,написанапоматериаламлекций,читаемыхвРХТУимДИМенделееваврасширенномкурсефизикидляподготовкиспециалистовпонаправлению«Наноматериалыинанотехнологии»

Выбортематикидляпредлагаемоговариантаквантовоймеханикиопре
делялсятребованияминовыхобразовательныхстандартовдлявысшихтехническихучебныхзаведенийВкнигеподробноизложеныосновныевидыформализмаквантовоймеханики,включаяоператорнуюалгебру,матричнуюмеханикуГайзенбергаи«скобочный»аппаратДиракаПоследнийсущественвсвязистем,чтовобразовательныестандартывключеныэлементыновогоразвивающегосянаправленияквантовоймеханики,аименнотеориикубитовыхсистем,котороесвязаноспроектированиемисозданиемвбудущемквантовыхкомпьютеровЭтойтемевкнигепосвященаотдельнаяглаваЗначительноевниманиеавторыуделилирассмотрениюметодоврешенияуравненияШредингеравразличныхприближениях,вчастности,методамтеориивозмущений,приближениюБорна–Оппенгеймера,атакжеметодамХартри–Фока,широкоприменяемымвквантовойхимии

Достаточноевниманиеуделенотехникеконкретныхквантово-механичес
кихвычислений,например,болееподробному,чемвдругихизданиях,вычислениюкоммутаторовприопределениисилыЛоренца,вычислениюэнтропиифонНойманакубитовыхсистемирешениюрядадругихзадач

Вцеломучебноепособиесочетаетстрогоеизложениефундаментальныхосновтеориисрассмотрениемновыхсовременныхзадач,требующихквантовомеханическогоописания

Академик П. Д. Саркисов

ввеДение

СовременноесостояниенаукиоматериалахтребуетглубокихипрочныхзнанийвобластифундаментальныхдостиженийфизикиихимиимикромираПосколькуобъемпоступающейнаучнойинформацииизгодавгодрастет,возникаетпроблемасистематизациииупорядоченияизвестныхранеенаучныхданныхсвновьприобретаемымиВпоследнеевремябольшуюзначимостьприобреливопросы,связанныеснанотехнологиямииполучениемнаихосноверазличныхнаноматериаловДлярешениямногихпрактическихзадачвэтойобластитребуютсяспециалистысдостаточноширокимкругозоромвобластяхфизикиихимиимикромираВсилутого,чтофизическиеихимическиепроцессы,происходящиевмикромире,основанынаформализмеквантовоймеханики,возникаетпроблемаизложенияэтойдисциплинысучетомсовременныхдостиженийвееразвитииПредлагаемаякнигаосновананакурселекций,читаемыхстудентамРХТУимДИМенделеевапонаправлениямподготовки,требующимпрохожденияуглубленногокурсафизики,частьюкоторогоявляетсяквантоваямеханика

Однаизважнейшихцелей,стоящихпередавторами,состоялавтом,чтобыдатьчитателюясноепониманиеформализмаквантовоймеханики,вчастности,операторнойалгебрыиматричноймеханики,длярешенияприкладныхвычислительныхзадач,неизбежновозникающихприисследованиипроцессовмолекулярно-атомныхвзаимодействийввеществе,которыесоставляютосновуфизикиихимиимикромираОсобоевниманиебылоуделеноописаниюразличныхприближенныхподходовквантово-механическогоформализма,играющихзначительнуюрольприпроведенииконкретныхквантово-механическихвычисленийиоценокфизическихпараметровватомныхимолекулярныхсистемахЭтоотноситсяпреждевсегоканализумолекулярныхгамильтониановвприближенииБорна–Оппенгеймера,методутеориивозмущенийРэлея–
ШредингераиБриллюэна–ВигнераиособеннокметодамХартри–Фока,стольчастоиспользуемымвквантовойхимии

Большоевниманиеавторыуделилиизложениювариационногопринципавквантовойтрактовкеформальныхметодов,которыеприменяютсявоператорнойалгебреиматричноймеханикеГайзенбергаВчастности,этоотноситсякполучениюуравненияШредингера,атакжекдоказательствамтеоремГельмана–ФейнманаитеоремывириаладляквантовыхсистемсоднороднойпотенциальнойэнергиейвприближенииБорна–Оппенгеймера

Особоеместовкнигеотведено«бра-кет»формализмуДиракаиегосвя
зисоператорнойалгеброй,чтооченьважнодляизложенияновейшихиссле
Введение

дованийвобластиквантовоймеханикикубитовВчастности,этоотноситсякописаниюодно-идвухкубитовыхсистемисоответствующихквантовыхоперацийЭтонаправлениевквантовоймеханикеинтенсивноразвиваетсявовсеммиреиимеетбольшиеперспективы,связанныессозданиемквантовыхкомпьютеров

Однойиззадачавторовявлялосьознакомитьчитателейстехникойкон
кретныхквантово-механическихвычисленийсиспользованиемизвестныхтеоремиканоновоператорнойалгебры,матричноймеханики,операцийскубитовымисистемамиНаглядноэтолучшевсегопроявляетсяприиспользованииформализмаматричнойалгебрыспинороводно-,двух-итрехэлектронныхсистем,спомощьюкоторогоможнополучитьмногоинформации,связаннойсизучениемквантовыхсостоянийлегкиххимическихэлементовпериодическойсистемыМенделеева

Впредлагаемомвариантекурса«Квантоваямеханика»авторыотошлиоттрадиционнойтрактовкисоотношениянеопределенностей,посколькуточныеквантово-механическиерасчетыуказываютнанесколькоинойчисловойкоэффициентсвязиэтогосоотношенияспостояннойПланкаБолееподробно,чемранее,изложенапроцедуравычислениякоммутаторовприопределенииоператорасилыЛоренцаивнекоторыхдругихзадачахВместестем,учитываяучебнуюнаправленностьиздания,приизложениитрадиционныхразделовквантовоймеханикиавторыопиралисьнаметодикуизложениятакихизвестныхучебниковимонографий,как«Механика»и«Квантоваямеханика»ЛДЛандауиЕМЛифшица;«Квантоваямеханика»ЛШиффа;«Квантоваямеханика»ЭФерми;«Фейнмановскиелекциипофизике»РФейнмана,РЛейтонаиМСэндса,атакженанедавновышедшуюкнигуИМайера«Избранныеглавыквантовойхимии»

Прочтениепредлагаемоговарианта«Квантовоймеханики»,помнениюавторов,продолжитзнакомствочитателясосновамиматематическогоанализа,матричнойилинейнойалгебры,атакжесквантовымипредставлениямиомикромиреврамкахуглубленногокурсафизикиРХТУимДИМенделееваКнигарассчитананастудентов,аспирантов,преподавателейинаучныхработников,занимающихсяизучениемфизикиихимиимикромира,атакжепроблемами,стоящимипередсовременнымматериаловедением,вчастности,втакихобластях,какнаноматериалыитехнологииихполучения

АвторыпризнательныпрофессоруНИУМФТИЮВПетровузапросмотррукописиирядзамечаний

Глава 1

ОПераТОрнОе ПреДсТавление 

КванТОвОй МеханиКи

1.1. Квантово-механические постулаты. собственные 

функции и собственные значения квантово-механических 
операторов. Уравнения лагранжа и гамильтона

Известно,чтовклассическоймеханикедвижениемеханическойсистемыопределяетсяпринципомнаименьшегодействия,илипринципомГамильтонаСогласноэтомупринципукаждаямеханическаясистемасостоящаяиз«s»частиц(элементов)характеризуетсяопределеннойфункциейL q q
qs
( ,
,...
,
1
2




q q
q t
s
1
2
,
,...
, ) иликраткоL q q t
i
i
(
,
, ),

гдеqi(t)(i=1,…,s)—обобщенныекоорди
натычастиц,q t
i( ) ихпроизводныеповремени(обобщенныескорости);t—времяПустьвмоментывремениt1иt2 системазанимаетопределенныеположения,характеризуемыедвумянаборамикоординатq(1),q(2),тогдавинтервале[t1,t2]системадвижетсятакимобразом,чтоинтегралS
L q q t dt
i
i
t

t
= ∫ ( ,
, )
,


1

2

назы
ваемыйдействием,имеетнаименьшеевозможноезначениеФункцияL q q t
i
i
( ,
, )


называетсяфункциейЛагранжаЗависимостьфункцииЛагранжаотпеременныхqiиqi являетсявыражениемтогофакта,чтомеханическоесостояниесистемыполностьюопределяетсязаданиемвлюбоймоментвременикоординатискоростейвсехчастицДляупрощенияпоследующихрассужденийпредположим,чторассматриваемаясистемаобладаетоднойстепеньюсвободы,техарактеризуетсяоднойфункциейq(t)иеепроизводнойq t( ) Пустьq(t)—тозначениефункции,называемойдинамическойпеременной,прикоторойдействиеSимеетнаименьшеезначениеЭтоозначает,чтоинтегралSвозрастаетпризаменеq(t)налюбуюдругуюфункциюq(t)+δq(t),гдеδq(t)—малаявариацияфункцииq(t)вовсемвременноминтервале[t1,t2]Изтребованийq(t1)= q(t1)+δq(t1),q(t2)= q(t2)+δq2(t2),вытекает,чтоδq(t1)=δq(t2)=0

ИзменениедействияSпризаменеq(t)наq(t)+δq(t)даетсяразностью

δS
L q
q q
q t dt
L q q t dt

t

t

t

t
=
+
+
−
∫
∫

1

2

1

2
(
,
, )
( , , )
.
δ
δ




Разложениепостепенямδqиδ q этойразности(вподынтегральномвыра
жении)начинаетсясчленовпервогопорядкаНеобходимымусловиеммини
Глава1Операторноепредставлениеквантовоймеханики

мальностиSявляетсяобращениевнульсовокупностиэтихчленовразложенияИначеговоря,перваявариациядействияSдолжнабытьравнанулю,тепринципнаименьшегодействияозначаетравенство

δ
δ
S
L q q t dt

t

t
=
=
∫

1

2
0
( , , )
,

(111)

или

∂
∂
+ ∂
∂






=
∫
L
q q
L
q q dt

t

t
δ
δ



1

2
0.

Замечая,чтоδ
δ
q
d
dt q
=
иинтегрируявторойчленв(111)почастям,полу
чим:

δ
δ
δ
S
L
q q
L
q
t
L
q
qdt

t

t

t

t
= ∂
∂
+
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂






=
∫


1

2

1

2
0.(112)

Посколькуδq(t1)=δq(t2)=0,первыйчленв(112)исчезает,аусловиеравен
стванулюпервойвариациидействияприпроизвольномδq(t)означаетспра
ведливостьследующегоуравнения− ∂
∂
+ ∂
∂
∂
∂





 =
L
q
t
L
q
0. Приналичииsстепенейсвободынеобходимоварьировать«s»различныхфункцийqi(t),(i=1,…,s)Очевидноврезультатемыполучимсистемуsдифференциальныхуравненийвида

∂
∂
∂
∂





 − ∂
∂
=
=
t
L
q
L
q
i
s

i
i

0
1 2
(
, ,... ),(113)

называемыхуравнениямиЛагранжаСматематическойточкизренияэтосистемаsдифференциальныхуравнений2-гопорядкаотносительноsнеизвестныхфункцийqi(t)Общеерешениетакойсистемысодержит2s произвольныхпостоянных,дляопределениякоторыхнеобходимознатьначальныеусловиявмоментвремениt=0,например,значениявсехначальныхкоординатискоростейэлементовэтоймеханическойсистемы[1]

РассмотримдействиеSкаквеличину,характеризующуюдвижениемехани
ческойсистемыпоистиннымтраекториям,длякоторыхсправедливвариационныйпринципнаименьшегодействия,исравнимзначениядлятраекторий,имеющихобщееначалоq(t1)=q(1),норазличныеположениявмоментвремениt2Другимисловами,будемрассматриватьинтегралдействиядляистинныхтраекторийкакфункциюкоординат,зависящуюотверхнегопределаинтегрированииИзменениедействияприпереходеотоднойтраекториикдругой(вслучаеоднойстепенисвободы)даетсявыражением(112)ПосколькувсеистинныетраекториидействительногодвиженияудовлетворяютуравнениямЛагранжа,интегралв(112)равеннулюВпервомчленевыражения(112),всилутого,чтовсетраекторииначинаютсяводнойточке,можноположитьδq(t1)=0,авариациюδq(t2)обозначитькакδqОпределивчастнуюпроизвод
11Квантово-механическиепостулатыСобственныефункции
11

нуюфункцииЛагранжа∂
∂
L
q какобобщенныйимпульср,окончательнополу
чим,чтоδS =pδqВслучаепроизвольногочисластепенейсвободымеханическойсистемыбудемиметь

δ
δ
S
p q
i
i
i
=∑
. (114)

Отсюдаследует,чточастныепроизводныеотдействияпообобщеннымко
ординатамравнысоответствующимобобщеннымимпульсам

∂
∂
=
S
q
p

i
i.(115)

ДействиеSможнорассматриватьикакявнуюфункциювремениПоопреде
лениюдействия,егополнаяпроизводнаяповременивдольтраекторииравна

dS
dt
L
=
.(116)

Сдругойстороны,рассматриваяSкакфункциюкоординативременииис
пользуяформулу(115),можнозаписать

dS
dt
S
t
S
q q
S
t
p q

i
i
i
i
i
i
= ∂
∂ +
∂
∂
= ∂
∂ +
∑
∑

 ,

откуда,используя(116),получаем:

∂
∂ =
−∑
S
t
L
p q
i
i
i
 .

ВводяфункциюГамильтонапоформулеH
p q
L
i
i
i
=
−
∑

, имеемокончательно:

∂
∂ = −
S
t
H q p
i
i
( ,
).(117)

Используяэтуформулу,можнозаписатьдифференциалдействияввиде

dS
p dq
Hdt
i
i
i
=
−
∑
. (118)

ЭтовыражениеопределяетdSкакфункциюоткоординативремени,асамодействиеможнозаписатьввидеинтеграла

S
p dq
Hdt
i
i
i
=
−








∑
∫
.(119)

Предполагаядлякраткостиналичиевсистемеоднойкоординатыиодногоимпульса,длявариациидействияимеем

δ
δ
δ
δ
δ
S
pdq
pd q
H
q
qdt
H
p
pdt
=
+
− ∂
∂
− ∂
∂



=
∫
0.

Глава1Операторноепредставлениеквантовоймеханики

Представляявтороеслагаемоеввидеpdδq=d(pδq)–dpδqиинтегрируяпер
выйчлен,имеем[1]:

δ
δ
δ
δ
S
p dq
H
p dt
q dp
H
q dt
p q
=
− ∂
∂





 −
+ ∂
∂













+
=
∫
0.

Награницахинтегрированиямыдолжныположитьδq = 0. Втакомслучаеприпроизвольныхнезависимыхδqиδpвариациядействияможетбытьравнанулюлишьпривыполненииусловийdq
H
p dt
− ∂
∂
= 0, dp
H
q dt
+ ∂
∂
= 0.Последеле
нияобоихуравненийнаdt,получаемизвестныеуравненияГамильтона:



q
H
p
p
H
q
= ∂
∂
= − ∂
∂
;
.(1110)

Ввидунезависимостиобобщенныхкоординатqiиимпульсовpiвслучаеs-степенейсвободывместо(1110)будемиметьсистему2sдифференциальныхуравнений1-гопорядкаq
H
pi
= ∂
∂
;
p
H
q
i
i
= − ∂
∂
(i=1,2,…,s),которуюназываютканоническойдлядинамическихпеременныхqi,piПереходотодногонаборанезависимыхпеременныхкдругомуосуществляетсяспомощьюпреобразованийЛежандра

ВотличиеотуравненийЛагранжа(113),которыеинвариантныотно
сительнолюбыхпреобразованийЛежандраотоднихобобщенныхкоординаткдругим,уравненияГамильтонамогутсохранятьсвойканоническийвидлишьприсоблюденииопределенныхусловийПустьуравнениядвиженияГамильтонавновыхпеременныхP, Q сновойфункциейH'(P,Q)имеютвид:



Q
H
P
P
H
Q
i
i
i
i
= ∂
′
∂
= − ∂
′
∂
;


ПриэтомпреобразованияQi=Qi(q,p, t),Pi=Pi(q,p, t)называютканоническими,содержащимивсе2sнезависимыхпеременныхqир

Какбылопоказановыше,каноническиеуравненияГамильтонамогутбытьполученыизпринципанаименьшегодействия,записанноговвиде

δ
p dq
Hdt
i
i
i
−







 =
∑
∫
0.
(1111)

Длятого,чтобыновыепеременныеPiиQiудовлетворялиуравнениямГа
мильтона,длянихтакжедолженбытьсправедливпринципнаименьшегодействия[1]

δ
PdQ
H dt
i
i
i
−
′







 =
∑
∫
0.
(1112)

Новыражения(1111)и(1112)будутэквивалентнымидругдругулишьприусловии,чтоихподынтегральныевыраженияотличаютсянаполныйдиф
11Квантово-механическиепостулатыСобственныефункции
13

ференциалпроизвольнойфункцииFкоординат,импульсовивремениТогдаразностьобоихинтеграловбудетнесущественнойприварьированиипостоянной,образуемойразностьюзначенийFнапределахинтегрированияСледовательно,должновыполнятьсяусловие

p dq
Hdt
PdQ
H dt
dF
i
i
i
i
i
i
−
=
−
′
+
∑
∑
.

ВсякоеканоническоепреобразованиехарактеризуетсясвоейфункциейF,называемойпроизводящейфункциейОчевиднополныйдифференциалпроизводящейфункцииравен

dF
p dq
PdQ
H
H dt
i
i
i
i
i
i
=
−
+
′−
∑
∑
(
)
. (1113)

Предполагая,чтопроизводящаяфункциязависиттолькоотстарыхqiино
выхQi—координативремени,имеем:F=F(q,Q,t)

p
F
q
P
F
Q
H
H
F
t
i
i
i
i
= ∂
∂
= − ∂
∂
′ =
+ ∂
∂
,
,
. (1114)

ПризаданнойфункцииFформулы(1114)устанавливаютсвязьмеждуста
рыми(pi,qi)иновыми(Pi,Qi)динамическимипеременными,атакжеопределяютновуюфункциюГамильтоначерезстаруюОднакоможновыразитьпроизводящуюфункциючерезстарыекоординатыqiиновыеимпульсыPiТогда,переписываяуравнение(1113)ввиде

d F
PQ
p dq
Q dP
H
H dt
i
i
i
i
i
i
i
i
i
+







 =
+
+
′−
∑
∑
∑
(
)

ивводяновуюпроизводящуюфункциюΦ( , , )
,
q P t
F
PQ
i
i
i
=
+∑
получимследу
ющуюсистемуканоническихуравненийГамильтона:

p
q
Q
P
H
H
t
i
i
i
i
= ∂
∂
= ∂
∂
′ =
+ ∂
∂
Φ
Φ
Φ
,
,
.(1115)

Аналогичнымобразомможноперейтикформуламканоническихпреоб
разований,выраженныхчерезпроизводящиефункцииотпеременныхpиQ,либоpиPВовсехподобныхслучаяхсвязьмеждуновойистаройгамильтоновымифункциямивыражаетсячерезчастнуюпроизводнуюповремениотпроизводящейфункцииВчастности,еслиэтапроизводящаяфункциянезависитотвремени,тоH'=HВэтомслучаедляполученияновойфункцииГамильтонадостаточнозаменитьвстаройфункцииНвеличиныриqчерезновыединамическиепеременныеPиQ

Разнообразиеканоническихпреобразованийвгамильтоновомметодели
шаетпонятияобобщенныхкоординатиимпульсовихпервоначальногосмыслаПосколькупреобразованияЛежандраQi=Qi(p,q,t),Pi=Pi(p,q,t)связываюткаждуюизвеличинP,Qкакскоординатамиq,такисимпульсамиp,топеременныеQнеимеютсмыслачистопространственныхкоординат,этожеотноситсяикпеременнымPНапример,впреобразованииQi=pi,Pi=–qi,14
Глава1Операторноепредставлениеквантовоймеханики

которомусоответствуетпроизводящаяфункцияF
q Q
i
i
i
=∑
, каноническийвидуравненийнеменяется,нопроисходитпростоепереименованиекоординатиимпульсовмеханическойсистемы

Ввидуэтойусловностипеременныеpиqвгамильтоновомметодезаписиуравненийдвиженияобычноназываютканонически сопряженными величинами
иликаноническими динамическими переменными[1]

Понятиядинамическихпеременных(координатыиимпульсымикро
частиц)справедливыивквантовоймеханике,новнейподэтимтерминомобычнопонимаютлюбуюфизическуювеличину,связаннуюстакназываемымиквантовымисостояниямифизическойсистемыиотвечающуюследующимквантово-механическимпостулатам[2]

Первый постулат.Каждаядинамическаяпеременная,характеризующаядвижениечастицы,можетбытьпредставленалинейнымоператором,илииначеговоря,каждойдинамическойпеременнойможнопоставитьвсоответствиелинейныйоператорˆ.
Ω

ПриэтомскаждымоператоромˆΩ связанолинейноеквантово-механичес
коеуравнениевида

ˆ
,
Ωu
u
ω
ω
ω
=
(1116)

служащеедляопределениятакназываемыхсобственных функций uωисобственных значений ω квантово-механического оператора ˆ.
Ω

Второй постулат.Врезультатеизмерениядинамическойпеременной,ха
рактеризуемойоператоромˆΩ, можетбытьполученолишьоднокакое-либоизсобственныхзначенийωэтогооператораОчевидно,чтособственные значения всех квантово-механических операторов, поставленных в соответствие 
измеряемым в эксперименте физическим переменным, являются вещественными 
величинами

Вотличиеотклассическоймеханики,гдекаждоесостояниечастицыилиси
стемычастицсчитаетсяполностьюопределенным,есливзаданныймоментвременивсекоординатыиимпульсыэлементовсистемыизвестны,квантовомеханическое состояние носит вероятностный характерВероятностьпереходачастицы(системычастиц)изодногоквантовогосостояниявдругоеопределяетсязаданиемтакназываемойволновой функциисистемыΨ( ,...
,
,...
, ),




r
r
p
p t
n
n
1
1

зависящейотдинамическихпеременныхПриэтомΨ
2 dГ, гдеd
dr dr
dr d p
d p
n
n
Γ = 




1
2
1
,
,...
,
,...
—элементфазовогокоординатно-импульсногопространстваГильберта,естьвероятностьтого,чтосистемачастицимееткоординаты,заключенныевинтервалах


r
r
dr
i
i
i
÷
+
(i=1,…n)иимпульсывинтер
валах


p
p
d p
i
i
i
÷
+
.Предполагается,чтоволноваяфункцияΨописываеткван
товыесостояния,вкоторыхдинамическаяпеременная, характеризуемаяквантово-механическимоператоромˆΩ, можетприниматьфиксированныесобственныезначенияω

Еслидопустить,чтовсесобственныефункцииоператорадинамическойпеременнойобразуютполнуюсистемувтомсмысле,чтопонимможнораз