Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Алгебра и геометрия. Сборник задач и решений с применением системы Maple

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 639818.04.01
К покупке доступен более свежий выпуск Перейти
Сборник содержит условия и примеры 43 типов задач по алгебре и аналитической геометрии для студентов университетов, технических и экономических вузов. Все задачи снабжены ответами. Задачи могут быть использованы как для самостоятельного решения, так и в качестве контрольных работ и типовых заданий при очном и дистанционном обучении. Даны рекомендации применения системы компьютерной математики Maple. В приложении содержится краткий справочник по основным командам этой системы. Для студентов и преподавателей университетов, технических и экономических вузов.
8
54
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Кирсанов, М. Н. Алгебра и геометрия. Сборник задач и решений с применением системы Maple : учебное пособие / М.Н. Кирсанов, О.С. Кузнецова. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 272 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/20873. - ISBN 978-5-16-012325-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1194140 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

СБОРНИК ЗАДАЧ И РЕШЕНИЙ 
С ПРИМЕНЕНИЕМ СИСТЕМЫ 
MAPLE

М.Н. КИРСАНОВ 
О.С. КУЗНЕЦОВА

Рекомендовано
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по УГС технического профиля
и УГС 38.00.00 «Экономика и управление»
(квалификация (степень) «бакалавр»)

Москва
ИНФРА-М
2021

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК (512+514+004)(075.8)
ББК 22.14:22.15:32.97я73
 
К43

Кирсанов М.Н.
К43  
Алгебра и геометрия. Сборник задач и решений с применением системы Maple : учебное пособие / М.Н. Кирсанов, О.С. Кузнецова. — 
Москва : ИНФРА-М, 2021. — 272 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/20873.

ISBN 978-5-16-012325-7 (print)
ISBN 978-5-16-105232-7 (online)
Сборник содержит условия и примеры 43 типов задач по алгебре и аналитической геометрии для студентов университетов, технических и экономических вузов. Все задачи снабжены ответами. Задачи могут быть использованы как для самостоятельного решения, так и в качестве контрольных 
работ и типовых заданий при очном и дистанционном обучении. Даны 
рекомендации применения системы компьютерной математики Maple. 
В приложении содержится краткий справочник по основным командам 
этой системы.
Для студентов и преподавателей университетов, технических и экономических вузов.

УДК (512+514+004)(075.8)
ББК 22.14:22.15:32.97я73

Р е ц е н з е н т ы:
Гусятников В.Н. — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и информатики 
Саратовского социально-экономического института Российского 
экономического университета имени Г.В. Плеханова;
Ткачёв В.Г. — доктор физико-математических наук, профессор Математического института Университета Линчёпинга (Швеция)

ISBN 978-5-16-012325-7 (print)
ISBN 978-5-16-105232-7 (online)
© Кирсанов М.Н., Кузнецова О.С., 
2016

Данная книга доступна в цветном исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

I.
Линейная алгебра

Г л а в а 1. Определитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.1 Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.2 Квадратные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

1.3 Определитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Свойства определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Вычисление определителя в Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Теорема Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Г л а в а 2. Линейное векторное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 n-мерные векторы, действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Линейная зависимость векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Базис и ранг системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Г л а в а 3. Системы линейных уравнений (СЛУ) . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 Основные определения и обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Исследование СЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Решение СЛУ в общем случае . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ) . . . . . . . . . . . . 34

Г л а в а 4. Алгебра матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Сложение матриц и умножение матриц на число . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Произведение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3 Обратимость матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Матричные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Г л а в а 5. Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Геометрическое изображение комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа . . 49

Г л а в а 6. Характеристический многочлен матрицы . . . . . . . . . . . . 52

6.1 Характеристическая матрица и многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Собственные векторы и значения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Содержание

II.
Аналитическая геометрия

Г л а в а 1.
Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.1 Понятие вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.2 Операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на

число. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.3 Деление коллинеарных векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.4 Проекции векторов на прямую и плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.5 Базис и координаты векторов на плоскости и в пространстве . . . . . 60
1.6 Свойства координат вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Г л а в а 2. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.1 Геометрические свойства скалярного произведения . . . . . . . . . . . . 62
2.2 Алгебраические свойства скалярного произведения . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Скалярное произведение в координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Г л а в а 3. Векторное произведение и его свойства . . . . . . . . . . . . . 65

3.1 Ориентация плоскости и пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2 Геометрические свойства векторного произведения . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Алгебраические свойства векторного произведения . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Векторное произведение в ортонормированных координатах . . . . . . 66

Г л а в а 4. Смешанное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1 Геометрические свойства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Алгебраические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Cмешанное произведение в координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Смешанное произведение через метрические параметры . . . . . . . . . 69
4.5 Двойное векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Г л а в а 5. Фигуры на плоскости и в пространстве . . . . . . . . . . . . . . 70

5.6 Уравнение фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.7 Уравнение линии в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Г л а в а 6. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1 Основная теорема о прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Основные виды уравнений прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.3 Взаимное расположение двух прямых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.4 Угол между двумя прямыми в декартовой системе координат . . . . . 74
6.5 Расстояние от точки до прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Г л а в а 7. Плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.1 Основная теорема о плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.2 Основные виды уравнений плоскостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Взаимное расположение двух плоскостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.4 Угол между двумя плоскостями в декартовой системе координат . . . 79

Содержание
5

7.5 Расстояние от точки до плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Г л а в а 8. Кривые второго порядка на плоскости . . . . . . . . . . . . . . 86

8.1 Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.2 Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3 Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.4 Касательные к эллипсу, гиперболе и параболе . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.5 Классификация линий второго порядка на плоскости. . . . . . . . . . . 99

III.
Практические задания

Г л а в а 1. Линейная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

1.1 Определитель 3-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.2 Определитель 4-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
1.3 Определитель 5-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.4 Система линейных уравнений 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.5 Система линейных уравнений 3-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.6 Система линейных уравнений 4-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
1.7 Разложение вектора в линейную комбинацию
. . . . . . . . . . . . . . . 111

1.8 Система линейных уравнений 3-го порядка, множество решений . . . 112
1.9 Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

1.10 Разложение вектора по базису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.11 Однородные системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.12 Однородные системы линейных уравнений-2 . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.13 Обратная матрица, умножение и сложение матриц . . . . . . . . . . . . 125
1.14 Алгебра матриц. Вычисление определителя . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1.15 Произведение матриц и решение уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
1.16 Матричное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
1.17 Действия над комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
1.18 Деление комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
1.19 Извлечение корня из комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
1.20 Собственные числа матрицы второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . 140
1.21 Собственные числа матрицы третьего порядка . . . . . . . . . . . . . . . 140

Г л а в а 2. Аналитическая геометрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

2.1 Разные задачи. Векторная алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.2 Разные задачи. Скалярное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.3 Векторная алгебра, скалярное и векторное произведения . . . . . . . . 145
2.4 Разные задачи. Векторное произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.5 Разные задачи. Смешанное и двойное векторное произведения . . . . 149
2.6 Радиус окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.7 Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.8 Разные задачи. Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.9 Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

2.10 Разные задачи. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Содержание

2.11 Разные задачи. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.12 Разные задачи. Окружность и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.13 Разные задачи. Окружность, касательная . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.14 Центр кривой второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.15 Разные задачи. Прямая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.16 Разные задачи. Прямая-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2.17 Геометрия на плоскости, медианы, высоты (1) . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.18 Геометрия на плоскости, медианы, высоты (2) . . . . . . . . . . . . . . . 171
2.19 Задачи аналитической геометрии в пространстве . . . . . . . . . . . . . 171
2.20 Разные задачи. Плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
2.21 Расстояние между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
2.22 Геометрия в пространстве. Объём тетраэдра . . . . . . . . . . . . . . . . 177

IV.
Введение в Maple

Г л а в а 1. Ввод информации и простейшие вычисления. . . . . . . . . . 179

Г л а в а 2. Программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

2.1 Оператор цикла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2.2 Условный оператор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.3 Процедуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2.4 Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Г л а в а 3. Упрощение и преобразование выражений . . . . . . . . . . . . 186

3.1 Оператор simplify . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.2 Оператор combine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.3 Операторы factor, ifactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.4 Оператор collect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.5 Оператор isolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.6 Оператор subs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.7 Операторы ввода и вывода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Приложение 1. Maple. Пакет LinearAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Приложение 2. Maple. Пакет geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

V.
Ответы

Г л а в а 1. Ответы к заданиям по линейной алгебре . . . . . . . . . . . . . 244

Г л а в а 2. Ответы к заданиям по геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Предметный и именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Предисловие

Не научившись решать задачи, математику не поймёшь, даже если

прекрасно разберёшься со всеми понятиями, теоремами и доказательствами. Более того, часто именно проблемы, возникающие при
решении задач, подталкивают к внимательному изучению теории. При
серьёзном отношении к науке теория и практика идут рядом, взаимно
дополняя и поддерживая друг друга. Существует множество хорошо
зарекомендовавших себя пособий и сборников задач по алгебре и
аналитической геометрии, обеспечивающих методическую и теоретическую поддержку студентов [18,19].

Авторы настоящего пособия задались целью издать сборник задач

по математике, где будет представлена и теория, и варианты задач.
Отличительных особенностей у настоящего сборника две. Во-первых,
к задачам даются ответы. Это делает книгу удобной для студентов
при самостоятельном изучении предмета и для преподавателей при
проведении контрольных работ. Число вариантов и разнообразие задач достаточное. При самостоятельной работе с материалом можно
выбрать подходящую по трудности задачу, решить её, проверить ответ.
Если что-то долго не получается, лучше обратиться к преподавателю.
Но если такой возможности нет (например, при дистанционном или
заочном обучении), может помочь система компьютерной математики.
Авторы остановились на распространённой и несложной в обучении
системе Maple (разработка канадской компании Waterloo Maple, Inc).
Выбор этой системы субъективен и связан с тем, что это была первая система, которая в свое время оказалась в руках авторов. Не
менее удобной системой компьютерной математики является система Mathematica [15]. Существуют и свободные системы, например
Maxima [34], http://maxima.sourceforge.net/ru/, Reduce [35]
http://www.reduce-algebra.com и др. [16].

В примерах решений большинства задач даются рекомендации по

применению системы Maple. В конце книги есть справочный материал
по пакетам линейной алгебры LinearAlgebra и геометрии Geometry с
описанием многих команд и операторов системы. C основами программирования и вычислений в системе Maple можно также ознакомиться
в литературе [1,6,8–10,12–14,16,17,20–24,28].

Авторы благодарят студентов ССЭИ РЭУ В. Терешкина, Э. Байра
мову, А. Саркисова, П. Ступникова, А. Пужайкину и других студентов
1 курса ФУСИТ, решавших задачи сборника и исправивших допущенные опечатки. Особая благодарность профессорам В.Г. Ткачёву и
В.Н. Гусятникову за ряд методических замечаний по тексту рукописи.

Авторы будут благодарны всем приславшим свои замечания о

книге: mpei2004@yandex.ru, astra1987@mail.ru.

Ч а с т ь I

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Г л а в а 1

Определитель

1.1 Перестановки

Пусть M ′ — конечное множество из n элементов. Перенумеруем

элементы множества M ′: 1, 2, . . . , n. Обозначим M = {1, 2, . . . , n}, то
есть номера элементов множества M ′ рассматриваем как элементы
другого множества M.

Эти номера можно располагать в различном порядке. Если они

идут по возрастанию 1, 2, . . . , n, то такое расположение называется
естественным (каноническим).

Определение 1.1. Любое расположение чисел 1, 2, . . . , n в неко
тором порядке называется перестановкой из n чисел (индексов).

Пример 1.1. Пусть M = {1, 2, 3}. Элементы множества M допус
кают 6 перестановок: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 3, 1, 2.

В общем случае перестановка из n чисел имеет вид (i1, i2, . . . , in),

где 1 ⩽ ik ⩽ n, ik ̸= il, если k ̸= l.

Теорема 1.1. Число всевозможных перестановок из n чисел рав
но P(n) = 1 · 2 · . . . · n = n! 1

!

В Maple для вычисления факториала есть оператор factorial.
Например, factorial(5) дает результат 120.

1n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n, n-факториал.

1.2
Квадратные матрицы
9

Определение 1.2. Говорят, что символы i и j образуют ин
версию (беспорядок) в перестановке, если i > j, но i стоит в
перестановке раньше j.

Пример 1.2. Перечислим инверсии в перестановке (4, 2, 3, 1): 4 и

2; 3 и 1; 2 и 1; 4 и 3; 4 и 1.

Определение 1.3. Перестановка называется чётной или нечёт
ной в зависимости от того, чётное или нечётное число инверсий
образуют индексы этой перестановки.

Примеры перестановок:
1) (1, 2, 3, 4, 5) — чётная перестановка,

0 инверсий; 2) (4, 2, 3, 1) — нечётная перестановка, 5 инверсий.

Определение 1.4. Взаимное перемещение двух символов переста
новки называется транспозицией перестановки.

Теорема 1.2. Одна транспозиция меняет тип перестановки на

противоположный.

Следствие 1.1. Если n > 2, то число чётных перестановок из n

символов равно числу нечётных и равно n!

2 .

1.2 Квадратные матрицы

Определение 1.5. Квадратной матрицей n-го порядка называ
ется таблица, состоящая из n2 чисел aij, записанных в виде n
строк и n столбцов:

A =

a11
a12
. . .
a1n

a21
a22
. . .
a2n

. . .
. . .
. . .
. . .

an1
an2
. . .
ann

.
(1.1)

Матрицы обозначаются A, B, A1, A2, и т.д. Числа aij называются

элементами матрицы A. Элементы aij имеют два индекса: первый i
указывает на номер строки; второй j – на номер столбца, на пересечении которых стоит aij.

Элементы a11, a22, . . ., ann образуют главную диагональ, а элемен
ты a1n, a2n, . . ., an1 образуют побочную диагональ матрицы A.

Определение 1.6. Транспонированием матрицы A называется

такое преобразование A, при котором её строки заменяются на

Определитель
Глава 1

столбцы с теми же номерами. Транспонированная матрица A обозначается A′ или A⊤:

A′ =

a11
a21
. . .
an1

a12
a22
. . .
an2

. . .
. . .
. . .
. . .

a1n
a2n
. . .
ann

.
(1.2)

Пример 1.3. Транспонируем матрицу A:

A =

1
3

0
2

,
A′ =

1
0

3
2

.

!
Транспонирование матрицы в Maple — см. с. 217.

Таким образом, если A = (aij), A′ = (a′

ij), то a′

ij = aji. Отметим

также, что (A′)′ = A.

Определение 1.7. Следом Tr (A) квадратной матрицы A назы
вается сумма её элементов, находящихся на главной диагонали:

Tr (A) = a11 + a22 + . . . + ann.

Пример 1.4. Найдём след матрицы A:

A =

1
3

0
2

,
Tr (A) = a11 + a22 = 1 + 2 = 3.

Ответ: Tr (A) = 3.

!
След матрицы в Maple — см. с. 217.

1.3 Определитель

Рассмотрим матрицу A (1.1). Составим произведение n элементов

матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца A:

a1i1 · a2i2 · . . . · anin,
(1.3)

где i1, i2, . . . , in — номера столбцов.

Ясно, что (i1, i2, . . . , in) — перестановка чисел (1, 2, . . . , n). Про
изведений вида (1.3) можно составить столько, сколько существует
перестановок из (i1, i2, . . . , in), то есть n! штук. Все эти n! произведений будут называться членами определителя, причём каждому из

1.4
Свойства определителя
11

них приписывается знак (−1)t, где t — число инверсий в перестановке
(i1, i2, . . . , in).

Определение 1.8. Определителем |A|, соответствующим квад
ратной матрице A n-го порядка, называется алгебраическая сумма
n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы A, взятых по одному из каждой строки и каждого
столбца; при этом члену приписывается знак плюс или минус в
зависимости от того, чётную или нечётную перестановку образуют индексы столбцов элементов члена, при условии, что первые
индексы расположены в порядке следования строк:

|A| = det A =

a11
a21
. . .
an1

a12
a22
. . .
an2

. . .
. . .
. . .
. . .

a1n
a2n
. . .
ann

.
(1.4)

Теорема 1.3 (о знаке члена определителя). Знак члена определи
теля ai1j1 ·ai2j2 ·. . .·ainjn совпадает со знаком (−1)s+t, где s — число
инверсий в перестановке индексов строк (i1, i2, . . . , in), а t — число
инверсий в перестановке индексов столбцов (j1, j2, . . . , jn).

Пример 1.5. Вычислим определитель квадратной матрицы A вто
рого порядка, если

A =

1
3

0
2

,
|A| = a11a22 − a12a21 = 1 · 2 − 0 · 2 = 2.

Ответ: |A| = 2.

Вычисление определителя по его определению удобно лишь для

n = 2. Для определителей высших порядков пользуются различными
методами, упрощающими вычисления (методы треугольника и Саррюса
для определителей 3-го порядка, см. с. 14, разложение определителя по
его строке или столбцу по теореме Лапласа, см. с. 14, а также другие
приёмы понижения порядка для определителей порядков, больших 3).

Понятие определителя матрицы введено в математике не искус
ственно. Эта величина естественно появляется, например, при решении
системы линейных уравнений (с. 27).

1.4 Свойства определителя

Свойства определителя не сложны, легко запоминаются, а разумное

их применение часто существенно упрощает вычисления. Доказательства свойств можно найти в учебниках [4,18] и др.

Определитель
Глава 1

Свойство 1.1 (равноправия строк и столбцов определителя). Вели
чина определителя при транспонировании не меняется.

Свойство 1.2 (знакопеременность определителя). Если две строки

определителя поменять местами, то он только изменит свой знак
на противоположный.

Свойство 1.3. Если определитель содержит две одинаковые

строки, то он равен нулю.

Свойство 1.4 (однородность определителя). Если все элементы

некоторой строки определителя имеют общий множитель, то
этот множитель может быть вынесен за знак определителя.

Свойство 1.5. Если определитель содержит строку, все элемен
ты которой равны нулю, то такой определитель равен нулю.

Свойство 1.6. Если все элементы некоторой строки определи
теля пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 1.7 (аддитивность определителя). Если все элементы

i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых, то этот определитель можно представить в виде суммы двух
определителей, все элементы которых, кроме i-й строки, совпадают с элементами данного определителя, а элементами i-й строки
первого определителя являются первые слагаемые, элементами i-й
строки второго определителя являются вторые слагаемые элементов i-й строки исходного определителя.

Определение 1.9. Говорят, что i-я строка определителя явля
ется линейной комбинацией остальных строк, если существует
набор чисел k1, k2, . . . , ki−1, ki+1, . . . , kn таких, что i-я строка равна
k1, умноженному на 1-ю строку, плюс k2, умноженному на 2-ю
строку, и т.д. плюс kn, умноженному на n-ю строку.

Сложение строк понимается так, что складываются все эле
менты, стоящие в одном столбце. Некоторые числа kj могут быть
равны нулю.

Частные случаи:

1) k1 = k2 = . . . = kn соответствует i-й нулевой строке;
2) kj ̸= 0, остальные ks = 0 соответствует пропорциональным строкам;
3) kj = 1 ̸= 0, остальные ks = 0 соответствует равным строкам.

1.5
Теорема Лапласа
13

Свойство 1.8. Если в определителе одна из строк является

линейной комбинацией других его строк, то определитель равен
нулю.

Свойство 1.9. Величина определителя не изменится, если к

некоторой его строке прибавить линейную комбинацию других его
строк.

1.5 Теорема Лапласа

Определение 1.10. Пусть дан определитель ∆ или квадратная

матрица порядка n и некоторое натуральное число k. Минором
k-го порядка данного определителя (матрицы) называется определитель, порожденный матрицей, состоящей из элементов, находящихся на пересечении любых k строк и k столбцов данного
определителя (матрицы).

Замечание 1.1. Минорами первого порядка являются элементы

определителя. При k = n есть только один минор δ.

Определение 1.11. Пусть дан определитель ∆ порядка n, в

нем минор M порядка k. Дополнительным до минора M называется определитель (n − k)-го порядка, порожденный матрицей,
состоящей из элементов, находящихся на пересечении тех строк
и столбцов, которые не вошли в минор M. Дополнительный минор
обозначается M.

Определение 1.12. Алгебраическим дополнением AM минора M

определителя ∆ называется его дополнительный минор M, взятый

со знаком плюс или минус в зависимости от того, чётной или
нечётной является сумма номеров строк и столбцов, на пересечении которых находится данный минор M:

AM = (−1)SM · M,
SM = i1 + i2 + . . . + ik + j1 + j2 + . . . + jk,

минор M находится на пересечении строк с номерами i1, i2, . . . ik,
столбцов j1, j2, . . . , jk.

Теорема 1.4 (Лапласа 1). Пусть дан определитель ∆ порядка n,

в нем зафиксировано k строк, 1 ⩽ k ⩽ n. Тогда ∆ равен сумме
произведений всевозможных миноров k-го порядка, составленных из

1Pierre-Simon de Laplace (1749–1827) — французский математик.

Определитель
Глава 1

выбранных k строк, на их алгебраические дополнения:

∆ = M1A1 + M2A2 + . . . + MsAs,

где M1, M2, . . . , Ms — всевозможные миноры k-го порядка, составленные из выбранных k строк определителя ∆.

При k = 1 i-я строка определителя ∆ (ai1, ai2, . . . , ain) состоит из

n миноров 1-го порядка. Для элемента aij через Mij обозначим его
дополнительный минор. По определению 1.11 порядок Mij равен n − 1,
а он сам получается из ∆ вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.
Алгебраическое дополнение элемента aij обозначим Aij = (−1)i+jMij.

Следствие 1.2. Определитель ∆ равен сумме произведений всех

элементов любой его строки на их алгебраические дополнения:

∆ = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin.

Пример 1.6. Вычислим определитель матрицы третьего порядка



5
−2
0

4
−2
4

5
0
−2

.
(1.5)

Решение
Способ 1. Применим правило треугольника (рис. 1.1), согласно

которому определитель третьего порядка равен сумме трёх слагаемых
с плюсом и трёх слагаемых с минусом:

5
−2
0

4
−2
4

5
0
−2

= 5 · (−2) · (−2) + 5 · (−2) · 4 + 4 · 0 · 0−

−5 · (−2) · 0 − 5 · 0 · 4 − 4 · (−2) · (−2) = 20 − 40 − 16 = −36.

«+»

,

«−»

Рис. 1.1. Правило треугольника

К покупке доступен более свежий выпуск Перейти