Математика и информатика. Часть первая: математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ПРАВОСУДИЯ

В.Т. Королев, Д.А. Ловцов, В.В. Радионов

М
М
Мааатттееем
ммааатттииикккааа иии ииинннф
ффооорррм
ммааатттииикккааа

Ч
ЧЧааассстттььь пппееерррввваааяяя

М
М
Мааатттееем
ммааатттииикккааа

МОСКВА

2015

УДК 67.5
ББК 51.77
        М 34

Авторы:

Королев В.Т. – профессор, кандидат технических наук
Ловцов Д.А. – профессор, доктор технических наук
Радионов В.В. – доцент, кандидат технических наук

Рецензенты:

А.В. Чечкин – заслуженный работник высшей
школы РФ, лауреат Государственной премии,
професор, доктор физико-математических наук
(ВА РВСН им. Петра Великого)
В.В. Плетнев – доцент, кандидат юридических наук (СКФ
ФГБОУ ВПО РАП)

Королев В.Т., Ловцов Д.А., Радионов В.В.
М 34      Математика и информатика. Часть первая: Математика /
Под редакцией Д.А. Ловцова. – М.: Российский государственный университет правосудия, 2015. – 246 с.

ISBN 978-5-93916-462-7
Содержание учебного пособия (часть первая) отвечает требованиям ФГОС высшего профессионального образования по специальности 031003.65 – «Судебная экспертиза», а также по направлениям подготовки 080100.62 – «Экономика», 080200.62 –
«Менеджмент».
Изложены основания математики, начала математического анализа с элементами алгоритмов решения вычислительных задач,
введение в теорию вероятностей, основы защиты информации.
Пособие адресовано студентам специалитета и бакалавриата
вузов. Им могут пользоваться и преподаватели, ведущие занятия
по этой и родственным дисциплинам, а также эксперты, которые
самостоятельно изучают элементы высшей математики.

ISBN 978-5-93916-462-7
УДК 67.5
ББК 51.77

© Королев В.Т., Ловцов Д.А., Радионов В.В., 2015
© Российский государственный университет правосудия, 2015

Предисловие

3

СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ..................................................................................... 5
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................. 9

РАЗДЕЛ I. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ...................................12
1.1. Понятие множества ................................................................12
1.2. Операции над множествами..................................................15
1.3. Аксиомы и теоремы алгебры множеств...............................18
Вопросы и задачи для самоконтроля ..............................................20

Глава 2. ЧИСЛА ...................................................................................22
2.1. Системы счисления................................................................22
2.2. Классы чисел...........................................................................26
2.3. Элементы статистической обработки данных ....................32
2.4. Алгоритмы решения вычислительных задач......................35
Вопросы и задачи для самоконтроля ..............................................40

Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ .....................41
3.1. Понятие высказывания ..........................................................41
3.2. Операции над высказываниями............................................42
3.3. Аксиомы и теоремы алгебры логики ....................................52
Вопросы и задачи для самоконтроля ..............................................57

РАЗДЕЛ II. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Глава 4. ФУНКЦИИ..............................................................................59
4.1. Понятие функции ....................................................................59
4.2. Аппроксимация функций........................................................65
4.3. Предел функции......................................................................69
Вопросы и задачи для самоконтроля ..............................................77

Глава 5. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ......79
5.1. Производная функции............................................................79
5.2. Свойства дифференцируемых функций..............................83
5.3. Дифференциал функции .......................................................86
Вопросы и задачи для самоконтроля ..............................................88

Глава 6. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ..................89
6.1. Определенный интеграл........................................................89
6.2. Машинные алгоритмы вычисления определенных
интегралов.............................................................................100
Вопросы и задачи для самоконтроля ............................................108

Математика и информатика

4

РАЗДЕЛ III. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 7. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ..............................................109
7.1. Элементы комбинаторики....................................................109
7.2. Случайные события..............................................................116
7.3. Классическое определение вероятности ..........................123
7.4. Теорема умножения вероятностей.....................................126
7.5. Основные формулы теории вероятностей........................130
Вопросы и задачи для самоконтроля ............................................136

Глава 8. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ................................................138
8.1. Понятие случайной величины.............................................138
8.2. Законы распределения случайных величин .....................140
8.3. Числовые характеристики случайных величин.................147
8.4. Канонические распределения случайных величин..........154
8.5. Энтропия и информация......................................................160
Вопросы и задачи для самоконтроля ............................................173

РАЗДЕЛ IV. ОСНОВНЫЕ СПОСОБЫ И МЕТОДЫ ЗАЩИТЫ
ИНФОРМАЦИИ

Глава 9. ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ
ИНФОРМАЦИИ..................................................................................176
9.1. Принципы и основные понятия криптографической
защиты информации............................................................176
9.2. Основные понятия и определения в криптографии.........182
Вопросы и задачи для самоконтроля ............................................185

Глава 10. МЕТОДЫ КРИПТОГРАФИЧЕСКОЙ ЗАЩИТЫ
ИНФОРМАЦИИ..................................................................................186
10.1. Метод вертикальной перестановки ..................................186
10.2. Метод гаммирования..........................................................192
Вопросы и задачи для самоконтроля ............................................198

ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ........................................................................199

ПРИЛОЖЕНИЕ. ТЕСТЫ ...................................................................214

ЛИТЕРАТУРА.....................................................................................244

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ................................................................247

Предисловие

5

Предисловие

ПРЕДИСЛОВИЕ

Зачем юристу, судебному эксперту математика? Ведь
юриспруденция считается сугубо гуманитарной областью, и многие из наших читателей пошли учиться в юридическое учебное
заведение для того, чтобы не мучиться с математикой. Они
считают, что юристу в его будущей работе математика не понадобится, и, стало быть, незачем тратить на нее время. Но
это убеждение противоречит практике.

Обратимся к Распоряжению Правительства Российской
Федерации от 24 декабря 2013 г. № 2506-р «Концепция развития
математического образования в Российской Федерации». В нем
отмечается следующее.
Математика занимает особое место в науке, культуре и
общественной жизни, являясь одной из важнейших составляющих мирового научно-технического прогресса. Изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая
познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин.
Качественное математическое образование необходимо каждому для его успешной жизни в современном обществе.

Всякое специальное образование предполагает освоение,
наряду с профильными науками, еще и базовых достижений человеческой культуры. Естественные науки (а это – половина (как
минимум!) 
мировой 
культуры) 
составляют 
базис 
научнотехнической революции и опираются на математику. Математика – одна из важнейших составляющих культуры, такая же, как
философия, естествознание и др. Любопытно, что существенный вклад в достижения математики внесли юристы. Так, Пьер
Ферма (1601-1665) – французский математик, слушал право в
Тулузском университете, служил советником кассационной палаты Тулузского парламента. Одна из самых таинственных и
фантастических историй в математике связана с великой теоремой Ферма, которая утверждает, что уравнение xn+yn=zn при n>2
не имеет решений в натуральных числах (к примеру, таких, как
32+42=52). Ферма на полях книги древнегреческого математика

Математика и информатика

6

Диофанта написал, что «открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки». С тех пор математики бились над доказательством этой теоремы, но получили его в конце XX века. А Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 –
1716) был юристом по образованию, необычайно разносторонним и талантливым ученым, чьи способности с наибольшей силой проявились в математике. Именно юрист Лейбниц впервые
ввел в употребление такие математические термины, как абсцисса, ордината, координата, функция, алгоритм и др.
Итак, математика для юристов – это общеобразовательная дисциплина, как право для инженеров или экономика для тех
и других.

В юриспруденции, в судебной экспертизе, как и в математике, применяются одинаковые методы построения рассуждений,
цель которых – выявить истину. Правовед, как и математик, должен
уметь мыслить логически, применять на практике индуктивный (от
частного к общему) и дедуктивный (от общего к частному) методы.
Математика способствует формированию такого склада ума, при
котором критической проверке и логическому обоснованию подвергаются те или иные сведения, утверждения, точки зрения. Математика имеет свой язык, овладев которым юрист, судебный эксперт
приобретает такие важные навыки рационального выражения мысли, как точность, ясность, последовательность, лаконичность, выразительность. Осваивая математику, будущий правовед формирует свое профессиональное мышление. Английский философ и
естествоиспытатель Роджер Бэкон говорил: «Кто не знает математики, не может освоить никакой другой науки и даже не в состоянии
обнаружить своего невежества».

В то же время и сугубо профессиональная деятельность юриста требует от него математических познаний. Так, сегодня многие
правовые акты оперируют с формулами.

 Пример. В Законе «О трудовых пенсиях в РФ» (ст. 16, ч. 1)
приведена формула:

П=ПК/(Т×К)/КН+Б

(смысл каждого из операндов в статье поясняется).
К сожалению, формула записана небрежно. Правая часть
ее по смыслу – многоэтажная дробь. Но здесь она заменена строкой делений, а деление задано символом /. Такая форма записи

Предисловие

7

чревата ошибками в вычислениях. Дело в том, что операции в
цепочке сложений без скобок, операции в цепочке умножений без
скобок можно выполнять в любом порядке. Бывает, что это распространяют и на цепочку делений. Однако операции в цепочке
делений без скобок следует выполнять только в порядке их следования в строке. Запись в традиционной для математики форме

П= КН
К
Т
ПК
×
+Б

задает единственный порядок выполнения вычислений, и он не
зависит от указанной особенности операции деления.

 Или такой пример. Суду необходимо определить степень опьянения потерпевшего. В руководстве по судебномедицинской экспертизе СМЭ приведена следующая шкала о
степени опьянения:

1.5 – 2.5 промилле ⎯ опьянение средней тяжести,
2.5 – 3.0 промилле ⎯ сильное опьянение,
3.0 – 5.0 промилле ⎯ тяжелое отравление.

В рамках СМЭ было установлено, что содержание алкоголя
в крови потерпевшего составило 2.9 промилле. На первый взгляд
результаты экспертизы говорят о том, что потерпевший находился в состоянии сильного опьянения. Однако такой вывод доверия
не заслуживает, поскольку в задании на проведение СМЭ погрешность измерений указана не была. На практике, если нет
специальных указаний о требуемой точности, подобные измерения выполняются по упрощенной методике с погрешностью в
±20% от измеренного значения. Значит, содержание алкоголя в
крови потерпевшего составляло 2.9±0.6 промилле, то есть могло
лежать в пределах от 2.3 до 3.5 промилле. В этом случае судья не
может сделать никакого вывода о степени опьянения потерпевшего, кроме того, что пьяным он был.
В данном случае были нарушены положения Закона
«Об обеспечении единства измерений», в котором говорится,
что «единство измерений – состояние измерений, при котором
их результаты выражены в узаконенных единицах величин и
погрешности измерений не выходят за установленные границы
с заданной вероятностью». Для однозначного определения степени опьянения в задании на экспертизу нужно было бы потре

Математика и информатика

8

бовать проведения измерений с погрешностью, существенно
меньшей, чем 20%. Конкретное числовое значение требуемой
точности измерений можно получить, используя аппарат теории
вероятностей.

В практике судебной экспертизы широко проводятся различного рода исследования и эксперименты. При обработке их
результатов применяются методы математической статистики.
Статистика же опирается на теорию вероятностей. Та в свою очередь использует результаты математического анализа, основу
которого составляют такие фундаментальные понятия, как число,
функция, производная, интеграл. А в математическом анализе
используется аппарат теории множеств и математической логики.
Сказанное и определило структуру первой части учебного пособия. Её содержимое разбито на четыре раздела:
 
I. Основания математики.
 
II. Основы математического анализа.
 
III. Основы теории вероятностей.
 
IV. Основные способы и методы защиты информации.

Учебный материал изложен на уровне основ, элементов, понятий, в нем нет математических тонкостей, которые не столь важны
для будущих юристов. Зато имеется достаточно примеров из области юриспруденции. При разработке таких примеров использовалась
«Справочная правовая система «КонсультантПлюс». Поэтому материал вполне доступен студентам как высших, так и средних учебных
заведений юридического профиля.

Каждую главу завершает параграф с вопросами и задачами
для самоконтроля.

Приложение содержит контрольные домашние задания
(КДЗ) – тесты по всем темам. Они используются при проведении
текущего контроля за ходом изучения учебного материала.

Введение

9

Введение

Наказание и иные меры уголовноправового характера, применяемые к лицу, совершившему преступление, не могут иметь
своей целью причинение физических страданий
или унижение человеческого достоинства.
(УК РФ. Ст. 7, ч. 2)

ВВЕДЕНИЕ

Математика – древнейшая из наук. Долгое время она была
лишь инструментом для производства вычислений в различных
областях человеческой деятельности. Поэтому Ф. Энгельс так
определил ее предмет:

Математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира.

Однако по мере своего развития математика все больше и
больше превращалась в самодостаточную формализованную
науку. С середины XX века она развивается во многом сама по
себе, изучая абстрактные объекты, ее результаты (какое-то время, часто достаточно большое) не находят непосредственного
применения в практике за пределами самой математики. Это
позволило коллективу французских математиков под общим
псевдонимом Н. Бурбаки утверждать:

Чистая математика представляется скоплением
абстрактных форм – математических структур,
не имеющих никакого отношения к окружающей
действительности.

Абстрактный характер современной математики, с одной
стороны, делает ее аппарат универсальным инструментом исследований в любых областях науки, а с другой стороны, существенно затрудняет ее освоение.
В математике изучают с т р у к т у р ы  трех типов:
алгебраические структуры, когда на некотором множестве задается конечное число операций, свойства которых описываются системой аксиом;
структуры порядка, которые характеризуются тем,
что на рассматриваемом множестве задается отношение следо

Математика и информатика

10

вания, когда про некоторые пары элементов из этого множества
можно сказать, какой из них предшествует другому;
топологические структуры, обладающие тем свойством, что каждому элементу из некоторого множества сопоставляется такое его подмножество, которое называют окрестностью
этого элемента.
Например, в арифметике заданы арифметические операции над целыми числами и аксиомы (скажем, такая: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется). Значит, целые числа
суть алгебраическая структура.
Существуют и составные структуры. Про любые два целых
числа можно сказать, какое из них предшествует другому на числовой прямой. А это структура порядка. Поэтому целые числа
представляют собою составную структуру.
На протяжении всей истории математики ученые стремились разработать формализованную процедуру построения той
или иной математической теории. Первым это сделал древнегреческий математик Евклид в III веке до нашей эры. Он сформулировал систему аксиом, на основе которой построил стройную теорию геометрии. Она оставалась незыблемой почти две
тысячи лет. Революционный переворот в этой области совершил
Н.И. Лобачевский, который в 1826 г. построил свою геометрию,
отличную от евклидовой. Основу ее составила система аксиом
Евклида, в которой была изменена только одна аксиома – о параллельных прямых. Теперь она утверждала, что через точку
вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей
данную. Геометрия Лобачевского оказалась тоже логически
стройной и математически строгой теорией, хотя ее положения
не подтверждались практикой того времени. В дальнейшем был
разработан а к с и о м а т и ч е с к и й  м е т о д  – строго формализованная процедура построения любой дедуктивной теории. Эта
процедура сводится к следующей схеме:
1. Выбирается совокупность первичных (фундаментальных)
понятий, составляющих предмет теории.
2. Задается набор операций, операндами в которых
выступают введенные понятия.
3. Составляется система простых, совместимых и независимых аксиом.
Под а к с и о м о й  некоторой теории при ее дедуктивном
построении понимается высказывание, принимаемое на веру
(без доказательства). Аксиомы отвечают таким требованиям:

Введение

11

никакую из аксиом нельзя разбить на две или больше
частей (аксиомы просты),
аксиомы не противоречат друг другу, то есть из них
нельзя логически вывести два взаимоисключающих утверждения
(они совместимы),
ни одну из аксиом нельзя вывести из совокупности других (аксиомы независимы).
4. Из аксиом путем некоторых рассуждений (или выполнения заданных операций над фундаментальными понятиями) выводятся логические следствия – теоремы, которые и составляют
содержание теории.
Приведенная схема дает общее представление о сущности
аксиоматического метода. Ниже, следуя этой схеме, мы излагаем
раздел «Основания математики» (теорию множеств и математическую логику).
Характерной чертой математики является то, что ее абстрактные методы применимы к объектам произвольной природы,
то есть математика остается инструментом познания все более
сложных процессов и явлений, в том числе и не только математической природы. Этим обусловлено интенсивное использование
математики в самых различных областях науки и практики, включая и сугубо гуманитарные.
Математика для специалиста в той или иной области является орудием, инструментом в его профессиональной деятельности. Поэтому он должен изучать математику для того, чтобы выбрать ту из ее теорий, которая ему кажется подходящей. Далее
абстрактным понятиям этой теории придается содержательный
смысл из сферы его профессиональной деятельности. В результате, абстрактная теория преобразуется в математическую модель, которая и становится инструментом в руках профессионала.

Раздел I. Основания математики

12

Глава 1. Элементы теории множеств
Раздел I. Основания математики

Если все преступления, совершенные
по совокупности, являются преступлениями
небольшой и средней тяжести, то окончательное наказание назначается путем поглощения менее строгого наказания более строгим либо путем частичного или полного сложения назначенных наказаний.
(УК РФ. Ст. 69, ч. 2)

РАЗДЕЛ I.
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

1.1. Понятие множества

М н о ж е с т в о  – одно из первичных, фундаментальных понятий математики. Однако строгого определения этого понятия в
рамках самой теории множеств не существует. Его можно лишь
пояснить, приведя примеры множеств. Скажем, множество студентов первого курса университета, множество законодательных
актов по правам человека, множество пятен на Солнце и т.д.
Объекты, составляющие множество, называют элементами. Когда это удобно, элементы множества называют точками (например, элементы множества рациональных чисел – точки на числовой прямой). В теории множеств, как и в любой математической теории, используют свою систему обозначений.
Так, сами множества обозначают прописными буквами A, B, X,
Y, а для обозначения элементов используют строчные буквы a,
b, x, y. Если a – элемент множества A, то говорят, что a принадлежит A, и этот факт задают такой записью: a∈A. Если же a
не является элементом множества A, то пишут: a∉A и говорят,
что a не принадлежит A.
Различают конечные множества и бесконечные. Конечное
множество состоит из конечного числа элементов, причем неважно, известно это число или нет, главное, что оно существует. Общее число элементов в конечном множестве называют его мощностью. Количество элементов в бесконечных множествах сравнивают на равномощность и на больше, меньше по мощности.
Задать конечное множество можно, просто перечислив его
элементы. Например, множество X из n элементов: X={x1, x2,…, xn}.
В частности, при n=1 имеем одноэлементное множество X={x1}.