Математика

        

Москва
2016

Чернецов М.М.,

Карбачинская Н.Б.,
Лебедева Е.С.,  
Харитонова Е.Е.

Учебное пособие

Под редакцией М.М. Чернецова

МатеМатика

федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования

российский государственный университет правосудия

УДК 22.1
ББК 51
М 34

А в т о р ы:

Чернецов М.М., доцент кафедры общеобразовательных 
дисциплин ФГБОУ ВПО РГУП, кандидат философских наук

Карбачинская Н.Б., старший преподаватель кафедры 
общеобразовательных дисциплин ФГБОУ ВПО РГУП

Лебедева Е.С., старший преподаватель кафедры 
общеобразовательных дисциплин ФГБОУ ВПО РГУП

Харитонова Е.Е., старший преподаватель кафедры 
общеобразовательных дисциплин ФГБОУ ВПО РГУП

Р е ц е н з е н т:

Деза Е.И., доцент, кандидат физико-математических 
наук, доктор педагогических наук, профессор кафедры 
теоретической информатики и дискретной математики 
ФГБОУ ВПО МПГУ
                                         
Математика: Учебное пособие / Под ред. М.М. Чернецова. 2-е изд., 
испр. и доп. — М.: РГУП, 2016. — 342 с.

ISBN 978-5-93916-481-8

Содержание учебного пособия соответствует Примерной программе изучения общеобразовательной дисциплины «Математика» в учреждениях начального и среднего профессионального образования.
В пособии содержится значительное число упражнений и кратко изложенный соответствующий теоретический материал по всем разделам, изучаемым 
в данной дисциплине: числовые множества, степени, корни, логарифмы, тригонометрия, начала математического анализа, прямые и плоскости, многогранники и фигуры вращения, векторы и координаты, элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся на базе основного общего среднего образования по всем специальностям. Оно может быть использовано учащимися старших классов общеобразовательных школ и преподавателями математики.

© Коллектив авторов, 2016
© Российский государственный  
ISBN 978-5-93916-481-8
университет правосудия, 2016

М 34

Содержание

 

Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Глава 1. Развитие понятия о числе
§ 1. Основные операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13
§ 2. Замкнутость множеств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
§ 3. Числовые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
I. Множество натуральных чисел N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
II. Множество целых чисел Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
III. Множество рациональных чисел Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
IV. Множество иррациональных чисел J . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
V. Множество действительных чисел R . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
VI. Множество комплексных чисел C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

Глава 2. Функции и их свойства
§ 1. Понятие функции и её основные свойства. . . . . . . . . . . . . . . .29
I. Понятие функции. Область определения и множество 
значений функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
II. Нули функции. Промежутки знакопостоянства  
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
III. Четность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
IV. Периодичность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
V. Монотонность функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
VI. Стационарные и критические точки функции. . . . . . . . . .33
VII. Точки экстремума и экстремумы функции . . . . . . . . . . . .33
VIII. Выпуклость и точки перегиба графика функции . . . . . .35
IХ. Асимптоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
§ 2. Композиция функций и взаимно обратные функции. . . . . .36

Математика 

4

Глава 3. Корни, степени и логарифмы
§ 1. Корень натуральной степени и его свойства . . . . . . . . . . . . . .47
I. Квадратный корень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
II. Корень n-ой степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
§ 2. Степень с действительным показателем и её свойства . . . . .54
I. Степень с рациональным показателем . . . . . . . . . . . . . . . . . .54
II. Степень с действительным показателем . . . . . . . . . . . . . . . .54
§ 3. Иррациональные уравнения и неравенства. . . . . . . . . . . . . . .59
I. Иррациональные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
II. Иррациональные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
§ 4. Логарифмы и их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
I. Понятие логарифма. Натуральный и десятичный 
логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
II. Свойства логарифмов и основные формулы . . . . . . . . . . . .66
§ 5. Показательная и логарифмическая функции, их графики 
и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
I. Показательная функция, её свойства и график. . . . . . . . . . .71
II. Логарифмическая функция, её свойства и график . . . . . . .71
§ 6. Показательные и логарифмические уравнения  
и неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
I. Показательные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75
II. Показательные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
III. Логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
IV. Логарифмические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

Глава 4. Основы тригонометрии
§ 1. Радианная мера угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
§ 2. Синус, косинус, тангенс и котангенс действительного числа . . .91
I. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
II. Знаки тригонометрических функций по четвертям. . . . . .91
III. Связь между значениями тригонометрических  
функций чисел «α» и «−α» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
§ 3. Основные формулы тригонометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

Содержание

5

I. Зависимости между тригонометрическими функциями 
одного и того же аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
II. Формулы сложения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
III. Формулы удвоенного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98
IV. Формулы понижения степени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
V. Формулы половинного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
VI. Преобразование произведения тригонометрических 
функций в сумму (разность) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99
VII. Преобразование суммы и разности  
тригонометрических функций в произведение . . . . . . . . . . .100
VIII. Выражение тригонометрических функций через  
тангенс половинного аргумента (универсальная 
подстановка) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
IХ. Введение вспомогательного угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
Х. Формулы приведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
§ 4. Тригонометрические функции, основные свойства 
и графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
I. Функция y = sin x, её свойства и график . . . . . . . . . . . . . . . .110
II. Функция y = cos x, её свойства и график . . . . . . . . . . . . . . .111
III. Функция y = tg x, её свойства и график. . . . . . . . . . . . . . . .112
IV. Функция y = ctg x, её свойства и график . . . . . . . . . . . . . . .114
§ 5. Обратные тригонометрические величины . . . . . . . . . . . . . . .121
I. Арксинус числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121
II. Арккосинус числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
III. Арктангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
IV. Арккотангенс числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
§ 6. Тригонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
I. Уравнение sin x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
II. Уравнение cos x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
III. Уравнение tg x = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
IV. Уравнение ctg x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
V. Примеры решения более сложных тригонометрических 
уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

Математика 

6

Глава 5. Производная и её приложения
§ 1. Предел последовательности и предел функции . . . . . . . . . .141
I. Последовательность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
II. Предел последовательности и его свойства . . . . . . . . . . . .142
III. Предел функции и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
§ 2. Производная функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
I. Понятие производной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146
II. Таблица производных основных функций и правила 
дифференцирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
§ 3. Применение производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
I. Монотонность функции, стационарные и критические 
точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
II. Точки экстремума, экстремумы, промежутки  
выпуклости и точки перегиба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151
III. Схема исследования функции y = f (x) и построение  
её графика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153
IV. Наибольшее и наименьшее значения функции 
на промежутке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

Глава 6. Первообразная и её приложения
§ 1. Первообразная функции и неопределенный интеграл . . . .168
§ 2. Определенный интеграл и его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . .174
§ 3. Приложения определенного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . .175
I. Площадь криволинейной трапеции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
II. Вычисление площадей фигур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
III. Вычисление объемов тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
IV. Физические приложения определенного интеграла . . . .181

Глава 7. Прямые и плоскости в пространстве
§ 1. Изображение пространственных фигур на плоскости . . . .188
§ 2. Взаимное расположение прямых и плоскостей 
в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194
I. Основные аксиомы стереометрии и следствия из них . . .194
II. Взаимное расположение прямых. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

Содержание 

7

III. Взаимное расположение прямой и плоскости . . . . . . . . .196
IV. Взаимное расположение плоскостей. . . . . . . . . . . . . . . . . .196
§ 3. Углы и расстояния в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
I. Угол между прямыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
II. Угол между прямой и плоскостью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
III. Расстояния в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204
IV. Угол между плоскостями. Двугранный угол . . . . . . . . . . .204
§ 4. Некоторые теоремы о параллельности 
и перпендикулярности в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

Глава 8. Многогранники
§ 1. Призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215
I. Призма. Правильная призма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215
II. Параллелепипед. Куб… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .216
III. Объём и площадь поверхности призмы,  
прямоугольного параллелепипеда и куба. . . . . . . . . . . . . . . . .217
§ 2. Пирамида. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
I. Пирамида. Правильная пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222
II. Усечённая пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224
III. Объём и площадь поверхности пирамиды . . . . . . . . . . . .225
§ 3. Правильные многогранники. Симметрия  
в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232
I. Правильные многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232
II. Симметрия в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233

Глава 9. Фигуры (тела) вращения
§ 1. Цилиндр. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
I. Цилиндр. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235
II. Объём и площадь поверхности цилиндра . . . . . . . . . . . . .236
§ 2. Конус. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
I. Конус. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239
II. Усечённый конус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .240
III. Объём и площадь поверхности конуса. . . . . . . . . . . . . . . .240
§ 3. Шар и сфера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243

Математика 

8

I. Шар и сфера. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243
II. Объём и площадь поверхности шара . . . . . . . . . . . . . . . . . .244

Глава 10. Векторы и координаты
§ 1. Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
I. Векторы. Основные понятия. Правила действия 
с векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248
II. Компланарные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249
III. Скалярное произведение векторов. Основные  
формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
§ 2. Координаты в пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250
I. Прямоугольная система координат в пространстве . . . . .250
II. Правила действий с векторами в координатах.  
Основные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251

Глава 11. Элементы комбинаторики
§ 1. Основные методы и формулы комбинаторики . . . . . . . . . . .259
I. Перебор возможных вариантов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
II. Логический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260
III. Основные комбинаторные конструкции:  
перестановки, размещения, сочетания. . . . . . . . . . . . . . . . . . .261
IV. Общая схема решения некоторых задач по  
комбинаторике (схема Гладковой Е. Б.). . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
§ 2. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
I. Треугольник Паскаля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271
II. Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272
§ 3. Правила сложения и умножения в комбинаторике . . . . . . .274
I. Правило сложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274
II. Правило умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274

Глава 12. Элементы теории вероятностей и математической 
статистики
§ 1. Основные понятия теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . .278
§ 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.  
Условная вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

Содержание

§ 3. Формула полной вероятности. Формула Байеса. . . . . . . . . .291
§ 4. Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
§ 5. Статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297
Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .305
Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333
Список использованной литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339
Список рекомендованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340

ПредиСловие

На протяжении всей истории цивилизованного человечества математике придавалось особое значение, не случайно её считали и считают «царицей наук», и, как положено царице, она и изящна, и красива, 
и величава, и труднодоступна.
В переводе с греческого μαθημα [матэма] — это знание, познание 
путём рассуждения. История науки и познания в целом убедительно 
подтверждают «непостижимую эффективность» математики, которая 
стала действенным, наиболее безупречным методом получения достоверного знания о мире.
Общепризнано, что математика является важнейшей составляющей 
человеческой культуры и её изучение во все времена и на всех ступенях образования считалось одним из приоритетных. Хорошее математическое образование и развитие математических способностей 
необходимо не только тому, кто впоследствии займётся научными исследованиями в области точных наук, но и тем, кто выберет для себя 
гуманитарное образование. Математический стиль мышления, умение 
рассуждать строго, без логических скачков, привычка к полноценности аргументации нужны также экономистам и историкам, биологам 
и лингвистам, психологам и юристам.
Данное пособие предназначено для студентов первого курса факультета непрерывного образования Российского государственного 
университета правосудия, обучающихся по различным специальностям юридического и экономического профиля, но может быть использовано во всех учебных учреждениях среднего профессионального 

Предисловие

11

образования, где изучается общеобразовательная дисциплина «Математика», а также учащимися старших классов общеобразовательных 
школ, в том числе и для подготовки к ЕГЭ.
Содержание пособия в целом соответствует Примерной программе изучения математики в системе СПО. Незначительное отклонение 
в плане избыточности материала вызвано желанием представить некоторые разделы («Развитие понятия о числе», «Приложения определённого интеграла», «Элементы комбинаторики» и «Элементы теории 
вероятностей») в более полном, относительно законченном виде, а также дать возможность студентам, проявляющим интерес к математике, 
в какой-то мере удовлетворить его.
Предлагаемый к изучению материал представлен в пособии крупными блоками: алгебра, математический анализ, геометрия, стохастика 
(комбинаторика и теория вероятностей), что удобно для организации 
повторения и самостоятельной работы и позволяет «охватить» предмет в целом. Последовательность изучения тем, составляющих данные 
блоки, может быть различной, в соответствии с рабочими и календарно-тематическими планами той или иной специальности.
Учебное пособие в значительной мере представляет собой сборник 
задач, распределённых к большинству параграфов по уровням сложности, что позволяет учесть профиль специальности и адекватно организовать самостоятельную работу студентов, применяя индивидуальный подход. В то же время весь необходимый для выполнения заданий 
теоретический материал содержится в каждом параграфе и проиллюстрирован на конкретных разобранных примерах. Как правило, теоретический материал представлен кратко в виде перечисления основных формул и формулировок с соответствующими пояснениями 
и «картинками». Часть материала справочного характера (формулы 
планиметрии, таблицы квадратов, степеней, факториалов) размещена в приложении.
В пособии принята сквозная нумерация заданий, что, на наш взгляд, 
весьма удобно как для студентов, так и для преподавателей — позволяет облегчить указание и поиск заданий и ответов. Также для удобства пользования пособием в заданиях ко многим параграфам выдержан принцип парности, то есть задания в чётных номерах аналогичны 

Математика 

заданиям в нечётных, что позволяет, например, решать нечётные номера в процессе занятий, а чётные — самостоятельно, для закрепления 
пройденного. Особенно это важно для слабоуспевающих студентов.
При подборе и составлении заданий были использованы различные 
источники (учебники, задачники и т. п.), авторам которых мы выражаем благодарность. Вся использованная литература указана в соответствующем списке на стр. 339.
Считаем своим долгом выразить глубокую признательность рецензенту — кандидату физико-математических наук, доктору педагогических наук Е. И. Деза за ценные советы и пожелания, которые способствовали улучшению пособия, а также выразить благодарность 
Ю. М. Чернецовой за помощь в подготовке пособия к изданию.

Авторы

Глава 1. Развитие понятия о числе

 
 
 
 
§ 1. Основные операции над множествами

Обычно множества обозначаются заглавными буквами латинского 
алфавита: A, B, C… или перечислением (полным или частичным) его 
элементов, заключенных в фигурные скобки.
Примеры.
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0} — множество цифр.
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;…} — множество натуральных чисел.
Также множество можно записать, используя формулу, по которой 
вычисляются его элементы.
Пример. {2n, n Î Z} — множество четных целых чисел
(или {2n | n Î Z} — множество всех чисел вида 2n, где n — целое  
число).
Запись x Î A означает, что x — элемент множества A. Символом Î 
обозначается отношение принадлежности. Запись x Ï A означает, 
что x не принадлежит A, то есть x не является элементом множества A.
Запись A Ì B означает, что множество A включается во множество 
B; множество A является подмножеством B, то есть все элементы множества A являются элементами множества B. Символом Ì обозначается отношение включения.
Определение. Пустым множеством называется множество, в котором нет ни одного элемента. Пустое множество обозначается символом ∅.
Определение. Множества A и B называются равными (A = B), если 
они состоят из одних и тех же элементов или они оба пустые.

Математика 

14

Определение. Объединением множеств A 
и B называется множество, состоящее из всех 
элементов, принадлежащих хотя бы одному 
из множеств A или B.
A È B = {x | x Î A или x Î B}.    
 
 
   A È B
Определение. Пересечением множеств A 
и B называется множество, состоящее из тех 
и только тех элементов, которые принадлежат 
и множеству A, и множеству B.
A Ç B = {x | x Î A и x Î B}.  
 
 
 
   A Ç B
Определение. Разностью множеств A 
и B называется множество, состоящее из тех 
элементов множества A, которые не являются 
элементами множества B.
A \ B = {x | x Î A и x Ï B}.  
  
 
 
   A \ B
Предполагается, что все встречающиеся в данном курсе множества 
являются подмножествами некоторого универсального множества U.
Определение. Дополнением множества A называется множество  

\
A
U A
=
.
Пример 1.

\
.
Q
R Q
=
 Множество иррациональных 
чисел является до пол не нием множества 
рациональных чисел Q до множества R дей ствитель ных чисел.
Пример 2.
A = {1; 2; 3; 4; 5}; B = {1; 3; 5; 7; 9}.
A È B = {1; 2; 3; 4; 5; 7; 9}; A Ç B = {1; 3; 5}; A \ B = {2; 4}; 
A Ç ∅ = ∅; A È ∅ = A;
A È U = U; A Ç U = A; U \ A = 
.
A

Пример 3.
A = {1; 2; 3; 5; 7}; B = {2; 4; 6; 8}.
A È B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; A Ç B = ∅; A \ B = {1; 2; 3; 5; 7}.
Пример 4.
A = {1; 3}; B = {3}.
A È B = {1; 3} = A; A Ç B = {3} = B; A \ B = {1}.

A

A

A

B

B

B

Q
Q

R

Глава1.Развитиепонятияочисле


15

Иногда удобно (для краткости) использовать следующие обозначения:
R \ {0} — все действительные числа, кроме нуля 
(R \ {0} = (−¥;0) È (0;+¥));

,
,
Z
Q
R
+
+
+  — положительные целые, рациональные, действительные числа, соответственно;

,
,
Z
Q
R
-  — отрицательные целые, рациональные, действительные числа, соответственно;

0
0
0
,
,
Q
R
Z
+
+
+ — неотрицательные целые, рациональные, действительные числа, соответственно (то есть положительные и нуль);

0
0
0
,
,
Q
Z
R
- — неположительные целые, рациональные, действительные числа, соответственно (то есть отрицательные и нуль).

§ 2. Замкнутость множеств

Определение. Множество A называется замкнутым относительно 
операции ∗, если результат применения этой операции к любым элементам множества A также является элементом множества A. (Если 
для любых a, b Î A, a ∗ b Î A, то множество A замкнуто относительно 
операции ∗).
Для доказательства замкнутости множества относительно операции необходимо либо непосредственным перебором всех случаев убедиться в этом (пример 1б), либо провести рассуждение в общем виде (пример 2). Чтобы опровергнуть замкнутость, достаточно 
привести один пример, демонстрирующий нарушение замкнутости 
(пример 1а).
Пример 1.
Пусть A = {0;1}.
а) В качестве операции ∗ возьмем арифметическую операцию сложения (+). Исследуем множество A на замкнутость относительно операции сложения (+):
0 + 1 = 1 Î A; 0 + 0 = 0 Î A; 1 + 0 = 1 Î A; 1 + 1 = 2 Ï A.
Имеем, что в одном случае (1 + 1) результат применения операции (+)  
к элементам множества A не принадлежит множеству A. На основании 

Математика 

16

этого делаем вывод о том, что множество A не является замкнутым относительно операции сложения.
б) Теперь в качестве операции ∗ возьмем операцию умножения (⋅).
0 ⋅ 1 = 0 Î A; 0 ⋅ 0 = 0 Î A; 1 ⋅ 0 = 0 Î A; 1 ⋅ 1 = 1 Î A.
Для любых элементов множества A результат применения операции 
умножения также является элементом множества A. Следовательно, A 
замкнуто относительно операции умножения.
Пример 2.
Исследовать на замкнутость относительно четырех арифметических 
операций множество целых чисел, кратных 7.
Z7 = {7n, n Î Z} — множество чисел, кратных семи.
Очевидно, что Z7 — незамкнуто относительно операции деления, 
так как, например,
7 Î Z7, 14 Î Z7, но 7 : 14 = ½ Ï Z7.
Докажем замкнутость множества Z7 относительно операции сложения. Пусть a, b — произвольные числа из Z7, тогда a = 7k, b = 7m, где 
k, m — целые числа. Рассмотрим сумму a + b: a + b = 7k + 7m = 7(k+m) — 
получаем элемент из Z7. Таким образом, доказано, что множество Z7  
замкнуто относительно сложения. Аналогично доказывается замкнутость относительно операций вычитания и умножения (проделайте 
это самостоятельно).

Вопросы и задачи

1. Исследуйте на замкнутость относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления следующие множества:
а) множество четных чисел (иначе: множество целых чисел, делящихся на 2 (Z2));
б) множество отрицательных целых чисел (Z — );
в) A = {0;1};
г) C = {−1;0;1}.

Глава1.Развитиепонятияочисле


17

2. Исследуйте на замкнутость относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления следующие множества:
а) множество нечетных чисел;
б) множество натуральных чисел, последняя цифра которых нуль;
в) B = {1};
г) D = {−1;1}.
3. Исследуйте на замкнутость относительно операции возведения 
в степень следующие множества:
а) множество N натуральных чисел;
б) множество Q рациональных чисел;
в) D = {−1;1};
г) множество нечетных чисел.
4. Исследуйте на замкнутость относительно операции возведения 
в степень следующие множества:
а) множество Z целых чисел;
б) множество R действительных чисел;
в) множество четных чисел;
г) C = {−1;0;1}.
5. Пусть множество G, состоящее только из рациональных чисел, 
замкнуто относительно сложения.
а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве G, 
если известно, что оно содержит число 4.
б) Докажите, что множество G содержит число 2, если оно содержит числа 5 и 12.
6. Пусть множество K, состоящее только из целых чисел, замкнуто 
относительно вычитания.
а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве K, 
если известно, что оно содержит число 5.
б) Докажите, что множество K содержит число 6, если оно содержит числа 7 и 3.
7. Приведите пример множества, состоящего из натуральных чисел 
и незамкнутого относительно операции:
а) сложения;
б) умножения.