Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Геометрические построения на плоскости и в пространстве: задачи и решения

Покупка
Основная коллекция
ПООП
Артикул: 082980.07.01
Доступ онлайн
от 560 ₽
В корзину
Книга представляет собой учебное пособие но одному из важнейших разделов конструктивной геометрии — решению геометрических задач на построение. В ней широко представлены методы геометрических ностре-ний, составляющих стержень идей «наглядной» геометрии, в которой весьма ограничены алгебраические вычисления площадей и объемов (разумеется, кроме алгебраического метода геометричесских построений). В пособие включено 640 задач с решениями. Большинство из этих решений выполнено но строгой схеме: анализ, построение, доказательство, исследование с обязательным выполнением рисунка. В книге — 710 рисунков, как к решениям задач, так и множествам связей и конфигураций различных геометрических объектов, помогающих решению задач. Книга предназначена для студентов учреждений среднего профессионального образования и учащихся средних школ. Она может служить полезным пособием и для студентов и преподавателей педагогических вузов.
Дадаян, А. А. Геометрические постороения на плоскости и в пространстве: задачи и решения : учебное пособие / А. А. Дадаян. — 2-е изд. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2020. — 464 с. : ил. — (Профессиональное образование). - ISBN 978-5-91134-807-6. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1082973 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.

   А.А. Дадаян





   ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Задачи и решения

   2-е издание

   Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособя для студентов образовательных заведений среднего профессионального образования







МОСКВА 2020

УДК 514(075) ББК 22.151я723
      Д14




Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры теория вероятностей МГУ В.В. Сенатов;


      Дадаян А.А.
Д14 Геометрические постороения на плоскости и в пространстве: задачи и решения : учебное пособие / А.А. Дадаян. — 2-е изд. — Москва : ФОРУМ : ИНФРА-М, 2020. — 464 с. : ил. — (Профессиональное образование).

        ISBN 978-5-91134-807-6 (ФОРУМ)
        ISBN 978-5-16-009146-4 (ИНФРА-М)

        Книга представляет собой учебное пособие по одному из важнейших разделов конструктивной геометрии — решению геометрических задач на построение. В ней широко представлены методы геометрических пострений, составляющих стержень идей «наглядной» геометрии, в которой весьма ограничены алгебраические вычисления площадей и объемов (разумеется, кроме алгебраического метода геометричесских построений).
        В пособие включено 640 задачс решениями. Большинство из этих решений выполнено по строгой схеме: анализ, построение, доказательство, исследование с обязательным выполнением рисунка. В книге — 710 рисунков, как к решениям задач, так и множествам связей и конфигураций различных геометрических объектов, помогающих решению задач.
        Книга предназначена для учителей и учащихся средних школ. Она может служить полезным пособием и для студентов и преподавателей педагогических вузов.

                                                    УДК 514(075)
                                                    ББК 22.151я723









ISBN 978-5-91134-807-6 (ФОРУМ) © Дадаян А.А., 2007, 2013
ISBN 978-5-16-009146-4 (ИНФРА-М) © Издательство «ФОРУМ», 2007, 2013

Оглавление









Оглавление..........................................................3
Предисловие.........................................................8
Введение...........................................................13
Глава 1. Общие сведения о решении задач на построение..............19
  § 1.1. Задачи на геометрические построения.......................19
  § 1.2. Связи и конфигурации......................................27
     1. Две точки..................................................27
     2. Точка и прямая.............................................27
     3. Две прямые.................................................28
     4. Прямая MN и две точки А и В................................28
     5. Точка и окружность.........................................29
     6. Прямая и окружность........................................30
     7. Угол и точка...............................................30
     8. Угол и прямая..............................................31
     9. Окружность (О, R), прямая MN и точка Р на этой прямой......31
     10. Две окружности (два круга)................................32
     11. Точка Р на окружности (О, r) и прямая MN..................32
     12. Прямая АВ и две параллельные прямые CD и EF...............33
     13. Окружность S и две параллельные прямые AB и CD............34
     14. Окружность S и угол а.....................................34
  § 1.3. Общие точки двух геометрических фигур.....................36
  § 1.4. Определение положения геометрической фигуры...............38
     1. Точка......................................................38
     2. Прямая и отрезок прямой....................................40
     3. Угол.......................................................40
     4. Окружность.................................................40
     Задачи для самостоятельного решения (во всех случаях исследуйте вопрос существования решения).................................43
  § 1.5. Задачи на построение углов и отрезков.....................43
  § 1.6. Задачи на построение некоторых множеств точек, встречающихся в сложных задачах..................................................45
  Решения задач из главы 1.........................................47
Глава 2. Простейшие задачи на геометрические построения............59
  § 2.1. Элементарные построения...................................59
  § 2.2. Основные построения (простейшие задачи)...................61
     Задачи........................................................71
     Задачи для самостоятельного решения...........................72
     Решения задач из главы 2......................................73

Оглавление

Глава 3. Общие требования к решению задач на построение............80
  § 3.1. Схема решения геометрических задач на построение..........80
  § 3.2. Основные этапы в решении задач на построение..............82
     1. Пояснительный рисунок......................................82
     2. Анализ.....................................................83
     3. Построение.................................................87
     4. Доказательство.............................................87
     5. Исследование...............................................88
  § 3.3. Пример решения геометрической задачи на построение........90
     Задачи.......................................................103
  § 3.4. Геометрические софизмы...................................104
     Решения задач из главы 3.....................................107
Глава 4. Методы решения геометрических задач на построение........109
  § 4.1. Введение.................................................109
  § 4.2. Решение геометрических задач на построение методом пересечений.....................................................113
     Задачи.......................................................120
  § 4.3. Решение геометрических задач на построение методом параллельного переноса и поворота...............................120
  § 4.4. Решение геометрических задач на построение методом симметрии.......................................................128
  § 4.5. Решение геометрических задач на построение методом спрямления......................................................132
  § 4.6. Решение геометрических задач на построение методом подобия.136
  § 4.7. Решение геометрических задач на построение методом обратности......................................................142
     Решения задач из главы 4.....................................145
Глава 5. Алгебраический метод решения геометрических задач на построение........................................................165
  § 5.1. Введение.................................................165
  § 5.2. Решение простейших задач на построение алгебраическим методом.........................................................167
     Задачи.......................................................175
  § 5.3. Отношение отрезков.......................................177
     1. Отношение т : п : р.......................................177
     2. Отношения а²: b², а³: b³ и т. п...........................178
     3. Отношения Оа :-7b, 4!a : 4fb и т. д.......................180
     Решения задач из главы 5.....................................182
Глава 6. Построение отрезков, многоугольников и окружностей.......195
  § 6.1. Построение отрезков и углов..............................195
  § 6.2. Построение треугольников.................................200
     Задачи.......................................................210
  § 6.3. Построение четырехугольников.............................211
     1. Построение квадрата.......................................211
     Задачи.......................................................212
     2. Построение прямоугольника.................................213
     3. Построение ромба..........................................214

Оглавление                                                           5

     4. Построение параллелограмма.................................214
     5. Построение трапеции........................................218
     6. Построение произвольных четырехугольников..................223
  § 6.4. Построение окружности и ее частей.........................229
  § 6.5. Решение сложных задач на построение на плоскости..........236
     Решения задач из главы 6......................................258
Глава 7. Построение правильных многоугольников.....................334
  § 7.1. Простейшие задачи на построение правильных многоугольников.... 334
     I. Построение квадрата........................................334
     Задачи для самостоятельного решения...........................335
     II. Построение правильного шестиугольника и равностороннего треугольника..................................................335
     Задачи для самостоятельного решения...........................336
     Упражнения для самостоятельного построения....................337
  § 7.2. Задача об отыскание общего метода построения правильных многоугольников..................................................337
  § 7.3. Построение правильного пятиугольника......................339
     Задачи для самостоятельного решения...........................341
  § 7.4. О невозможности построения при помощи циркуля и линейки правильного семиугольника........................................342
     Задачи........................................................344
     Решения задач из главы 7......................................344
Глава 8. Основные построения в пространстве........................348
  § 8.1. Изображение пространственных фигур........................348
     Задачи........................................................355
  § 8.2. Общие принципы построения в пространстве..................356
     Задачи........................................................359
  § 8.3. Основные методы построения в пространстве.................359
     Задачи........................................................361
     Задачи........................................................363
     Задачи........................................................365
  § 8.4  . Построение сечений многогранников и круглых тел.........366
     Задачи........................................................367
  § 8.5. Построение правильных многогранников......................369
     Решения задач из главы 8......................................370
Глава 9. Неразрешимость классических задач на построение...........384
  § 9.1. Трисекция угла............................................384
  § 9.2. Удвоение куба.............................................387
  § 9.3. Квадратура круга..........................................387
  § 9.4. Невозможность построения треугольника по трем ее биссектрисам.....................................................388
Глава 10. Построение геометрических фигур в зависимости от принятых инструментов.......................................................391
  § 10.1. Использование различных инструментов при решении геометрических задач на построение...............................391
  § 10.2. Решение задач на построение одним циркулем...............393
     I. Построение параллельных и перпендикулярных прямых..........395

Оглавление

     II. Деление окружности на равные части и построение правильных многоугольников................................................397
     III. Сложение, вычитание, умножение и деление отрезков......402
     IV. Построение центра окружности...............................405
     V.  Умножение и деление углов. Построение пропорциональных отрезков....................................................406
  § 10.3. Решение задач на построение одной линейкой с привлечением какой-то дополнительной фигуры.................................407
     I. Примеры задач, решаемых одной линейкой...................407
     II. Использование теоремы о пересечении высот треугольника в одной точке для построения одной линейкой.........................410
     III. Применение свойства трапеции к построениям одной линейкой.413
Приложение 1.....................................................416
  I. Свойства геометрических фигур...............................416
     I. Свойства геометрических фигур на плоскости...............416
     1. Прямая и ее элементы.....................................416
     2. Угол.....................................................419
     3. Многоугольник............................................421
     4. Треугольник..............................................422
     5. Параллелограмм...........................................425
     6. Прямоугольник............................................426
     7. Ромб и квадрат...........................................426
     8. Трапеция.................................................427
     9. Окружность и круг. Элементы окружности и круга...........428
     10. Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей...............................432
     11. Вписанные и описанные многоугольники....................433
  II. Свойства геометрических фигур в пространстве..................434
     II. Изображения пространственных фигур......................434
     1. Плоскость и ее свойства..................................435
     2. Взаимное расположение прямой и плоскости.................436
     3. Параллельность прямых и плоскостей.......................437
     4. Угол между прямыми в пространстве........................438
     5. Перпендикуляр и наклонная к плоскости....................438
     6. Свойства параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей..................................................439
     7. Двугранные и многогранные углы. Угол между плоскостями...440
     8. Многогранники............................................441
      8.1. Призма................................................442
      8.2. Параллелепипед........................................443
      8.3. Пирамида..............................................444
      8.4. Усеченная пирамида....................................445
      8.5. Правильные многогранники..............................446
     9. Круглые тела.............................................448
      9.1. Цилиндр...............................................448
      9.2. Конус.................................................449
      9.3. Усеченный конус.......................................449

Оглавление                                                        7

      9.4. Сфера и шар..........................................450
      9.5. Части шара...........................................451
Приложение 2. Геометрические преобразования и их свойства.......454
     1. Перемещения.............................................454
     2. Параллельный перенос....................................455
     3. Осевая симметрия........................................456
     3. Поворот. Центральная симметрия..........................457
     4. Гомотетия. Подобие......................................458
Литература......................................................460

Предисловие






    Назначение этой книги — служить учебным пособием по одному из важнейших разделов конструктивной геометрии — решению геометрических задач на построение.
    Расположение материала и стиль изложения книги несколько отличаются от порядка изложения школьного курса геометрии, так как в учебниках по геометрии, к сожалению, не предусмотрена специальная тема, целиком посвященная задачам на построение фигур по заданным условиям и с использованием тех или иных инструментов. В учебниках, в лучшем случае, даются некоторые лишь фрагменты этого раздела геометрии. Более того, изучая те или иные фигуры, например, многогранники и другие пространственные тела, учащиеся не всегда пользуются методами их построения, что отрицательно сказывается не только на знаниях, но и на умении правильно решать геометрические задачи.
    К написанию настоящего пособия автора побудила потребность учителей, учащихся средних школ, студентов педагогических и технических вузов и колледжей, а также выпускников школ, готовящихся к вступительным экзаменам по математике, иметь систематическое пособие с углубленным изложением весьма важного и необходимого в теории и методах геометрических построений материала. Учитывая, что пособия, которые бы в достаточно полной мере освещали затронутые вопросы, не издавались почти пятьдесят лет, а выпущенные в середине прошлого века аналогичные пособия¹ составляют библиографическую редкость, появление данной книги, посвященной этому разделу геометрии, должно восполнить этот пробел.

¹ Сошлемся здесь на более или менее полные пособия по методам геометрических построений: 1. А. Адлер. Теория геометрических построений, М.: Учпедгиз, 1940; 2. И. И. Александров. Сборник геометрических задач на построение, М.: Учпедгиз, 1950; 3. Н Ф. Четверухин. Методы геометрических построений, М.: Учпедгиз, 1952; 4. Б. И. Аргунов, М. Б. Балк. Геометрические построения на плоскости. М.: Учпедгиз, 1957.

Предисловие

9

    Геометрические задачи на построение не только дают возможность глубже изучить геометрию, но и прививают такие навыки и способности, которые весьма полезны каждому. Отметим лишь, что решение геометрических задач на построение:
    1)     является одним из надежных способов систематического повторения геометрии;
    2)     заставляет учащегося обстоятельно и глубоко вникнуть в известные геометрические факты;
    3)     приучает учащихся проявлять настойчивость в достижении намеченной цели;
    4)     приучает учащихся логически и рационально мыслить, дисциплинировать свое мышление;
    5)    приучает проявлять инициативу и изобретательность;
    6)    способствует развитию пространственных представлений.
    Принимая во внимание роль, которую играют геометрические задачи на построение в усвоении курса геометрии и развитии мышления, необходимо предлагать учащимся эти задачи в течение всего времени прохождения курса геометрии, начиная от самых легких и постепенно переходя к более сложным. Осуществить решение геометрических задач на построение достаточно легко, так как на протяжении изучения курса геометрии имеется возможность найти достаточное количество задач этого рода, которые были бы тесно связаны с любой прорабатываемой темой курса.
    Приведем краткую характеристику материала настоящего пособия.
    Весь материал изложен в десяти главах и двух приложениях.
    Глава 1 содержит обзор общих сведений по решению геометрических задач на построение. Здесь дается определение понятия геометрической задачи на построение, ее условия и заключения, устанавливаются всевозможные связи и конфигурации между различными геометрическими фигурами, их положениями, а так же представлена система задач с решениями и рисунками к ним.
    Глава 2 посвящается решению простейших задач на построение. Существуют задачи (мы называем их основными), которые широко используются при решении более сложных задач. А потому, при решении сложной задачи, в которой как элемент встречается эта простейшая, каждый раз не нужно приводить ее полное решение, требуется лишь ссылка на нее, при условии, что чи

Предисловие

татель уже знает как ее решить. Далее приводятся примеры использования этих простейших задач.
    В главе 3 изложены общие требования к решению задач на построение, дана схема и основные этапы в решении задач на построение и на многих примерах показано как все это используется при решении задач.
    Предмет главы 4 — методы решения геометрических задач на построение. Выделяются и иллюстрируются шесть чисто геометрических методов решения задач на построение: метод пересечений (метод геометрического места точек), метод параллельного переноса, метод симметрии (осевой и центральной), метод спрямления, метод подобия и метод обратности.
    Алгебраическому методу решения геометрических задач на построение посвящена отдельная 5 глава. Здесь же даны решения простейших задач на построение, решаемые алгебраическим методом и использование отношений отрезков.
    Глава 6 — специальная. Здесь представлено большое число задач (более двухсот) на построение отрезков, многоугольников (специально выделены группы задач на построение треугольников, квадратов, прямоугольников, ромбов, параллелограммов, трапеций, произвольных четырехугольников), построение окружностей и ее частей. Выделен специальный параграф, где представлены решения более сложных задач на построение.
    Глава 7 посвящена построению правильных многоугольников. Вначале главы приводятся решения задач на построение простейших правильных многоугольников, известных из школьного курса геометрии, затем рассматривается задача на отыскание общего метода построения правильных многоугольников, приведено построение правильного пяти- и десятиугольника и показано, что невозможно при помощи циркуля и линейки построить некоторые правильные многоугольники.
    В главе 8 рассматриваются некоторые методы решения задач на построение в пространстве при помощи циркуля и линейки. Первый параграф главы посвящен весьма важному вопросу стереометрии: изображению пространственных фигур на плоскости. Затем представлены общие принципы построения в пространстве и некоторые методы построения. Материал § 8.4 весьма важен для развития пространственных представлений; здесь представлены задачи на построение сечений многогранников и круглых тел.

Предисловие

11

    Глава 9 посвящена классическим задачам неразрешимости при помощи циркуля и линейки: трисекции угла, удвоения куба и квадратуре круга. Здесь же рассматривается еще одна весьма важная задача на построение, которая, к сожалению, не включена в программу школьного курса геометрии: задача о невозможности построения треугольника по трем ее биссектрисам.
    Наконец, последняя 10-я глава книги посвящена вопросу построения геометрических фигур в зависимости от принятых инструментов. Здесь рассматриваются: а) предложение Мора-Маскерони о конструктивных возможностях одного циркуля и приводятся решения многих задач на построение одним циркулем, и б) предложение Штейнера о построениях одной линейкой с привлечением свойств некоторых фигур (точки пересечения высот треугольника, свойств трапеции и др.).
    В общей сложности в книге приведены решения более шестисот задач, а для самостоятельного решения читателю предлагается чуть более трех десятков простейших задач. Решения всех задач и рисунки к ним (а в книге более 600 рисунков) представлены в главах, чтобы читатель, желающий решить ту или иную задачу самостоятельно, знал, каким методом легче решить ее.
    В качестве приложений представлены: а) свойства многих геометрических фигур (приложение 1), изучаемых в курсе геометрии, но представленных в различных разделах учебников, а потому трудных для поиска; б) геометрические преобразования с их свойствами (приложение 2), разбросанные во всех учебниках, и также трудные для поиска. Поэтому, включение указанных приложений позволит читателю сэкономить время и сосредоточиться на решении задач, найдя нужное свойство фигуры или преобразования в нашей книге, не обращаясь к школьным учебникам в поисках нужного свойства.
    Как известно, решение задачи на построение состоит из четырех этапов: анализа, построения, доказательства и исследования. Однако при решении отдельных задач автор ограничивается краткими указаниями, считая задачу решенной, если она сводится к основным построениям, известным из курса геометрии (таких задач в пособии весьма незначительное число). И все же рекомендуется читателю решать задачи подробно, выполняя все этапы решения, с применением циркуля и линейки и при затруднении каждый раз обращаться к прило

Предисловие

жениям 1 и 2, о содержании которых отмечено в предыдущем абзаце.
    Книга адресована учителям математики, учащимся школ, студентам педагогических и технических вузов и колледжей, а также выпускникам средних школ, готовящимся к вступительным экзаменам по математике в высшие учебные заведения.

А. А. Дадаян

Введение






    Геометрические задачи на построение всегда привлекали внимание как специалистов, так и любителей математики.
    Являясь основным стержнем геометрии и выделяя геометрию от остальных разделов математики, конструктивная геометрия не только дает возможность основательно изучить геометрию, ее специфику, но и прививает такие навыки и способности, которые весьма полезны каждому, кто связан с графическими приложениями в производстве и технике.
    Очень много разнообразных построений можно выполнить с помощью только циркуля и линейки. Традиционное ограничение — решение геометрических задач на построение при помощи только циркуля и линейки — восходит к глубокой древности, в основном, к античному периоду развития математики. Правда, греки для решения таких задач использовали и другие инструменты. Однако классическим подходом считалось использование только циркуля и линейки. Например, известно, что построения одной линейкой и циркулем (при постоянном растворе) встречались уже у индусов и арабов. Одной из самых знаменитых классических задач на построение является задача Апполония (ок. 220 г. до н. э.), которую можно сформулировать так: даны три окружности, требуется провести четвертую окружность, касательную к трем данным. При этом не исключено, что одна или большее число данных окружностей могут «вырождаться» в точку (окружность нулевого радиуса) или прямую (окружность бесконечного радиуса). В общем случае (когда все данные окружности имеют конечные и различные радиусы) эта задача принадлежит к числу весьма трудных задач.
    Большая заслуга в решении задач на построение принадлежит Леонардо да Винчи.
    К достаточно сложным задачам относятся и задачи построения правильных n-угольников. Что касается частных случаев, то для значений n = 3, 4, 5, 6, решения были известны уже в древности. Они известны и школьникам. Но в случае правильного семиугольника построение, как оказалось, невозможно.

Введение

    К неразрешимым задачам относятся и три классические задачи, над которыми «ломали» умы многие как специалисты, так и любители математики, начиная с древности и почти до XVII века. Это задачи о 1) трисекции угла (разделить произвольный угол на три равные части); 2) квадратуре круга (построить круг равновеликий данному квадрату) и 3) удвоении куба (построить куб, объем которого в два раза больше объема данного куба).
    Весьма важно отметить и тот факт, что познавательное значение теории геометрических построений с помощью циркуля и линейки заключается в том, что она предложила одно из первых доказательств невозможности в математике, дав точное обозрение совокупности объектов, которые можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой.
    Решение основной задачи теории построений циркулем и линейкой, заключается: а) в точном описании совокупности построений, которые можно осуществить; б) в описании алгоритма, который дает возможность решить всякую конкретную задачу или узнать, что эта задача неразрешима; в) в доказательстве справедливости выполненных построений или невозможности таких построений и, наконец, г) в исследовании числа решений задачи, если таковые имеются.
    Постановка задачи. При строгом описании понятия «построение с помощью циркуля и линейки» следует дать ответ на три вопроса:
    а) что мы хотим построить?
    б) каковы исходные данные?
    в) какими средствами мы можем пользоваться?
    Прежде всего, будем иметь в виду, что все наши построения проводятся на выбранной раз навсегда плоскости (если задача планиметрическая) или пространстве (если задача стереометрическая).
    Для ответа на первый вопрос нужен анализ конкретных задач. Этот анализ показывает, что главной целью решения всегда является построение конечного числа точек. Сама по себе задача, конечно, не всегда формулируется так. Однако легко проверить, что любая задача сводится именно к такой задаче.
    Примеры. 1. Для некоторой окружности достаточно построить ее центр и одну из ее точек.
    2.    Для построения прямой достаточно построить какие-либо две ее точки.

Введение

15

    3.     Задача трисекции угла сводится к построению двух точек: по одной на промежуточных лучах, проходящих между лучами, делящих угол на три равные части.
    4.     Задача построения треугольника (по каким бы то ни было данным) сводится к задаче построения трех его вершин.
    5.     Задача построения многоугольника сводится к задаче построения его вершин; однако в этом случае дополнительно нужно указать, какие отрезки, соединяющие пары точек, должны входить в число сторон многоугольника, так как без этого указания ответ не может быть определен однозначно.
    6.     Задача удвоения куба сводится к задаче построения двух точек, отстоящих друг от друга на заданное расстояние (ребро куба, объем которого вдвое больше объема данного куба).
    Список подобного рода задач можно увеличить. В принципе, разумеется, могут быть и задачи, для решения которых нужно в каком-то смысле найти бесконечно много точек (например, построить параболу с заданной осью).
    Отметим, что задачи, которые не сводятся к отысканию конечного числа точек, в нашем пособии не будут рассматриваться.
    Мы не станем также заниматься вопросом о дополнительных сведениях, которые нужно получить, когда искомая конечная система точек построена (например, указать пары точек, являющиеся смежными вершинами искомого многоугольника). Обычно эти сведения получаются прямым рассмотрением рисунка.
    Таким образом, на вопрос 1) наш ответ таков: целью любой задачи на построение является указание конечного числа точек (на плоскости или в пространстве).
    Ответ на вопрос 2) довольно прост: в качестве первоначальных данных у нас также должна иметься конечная совокупность точек.
    В самом деле, например, для задания угла достаточно задать его вершину и две точки на сторонах; для задания окружности достаточно задать три ее точки или центр и одну точку окружности; для задания квадрата достаточно задать его вершины и т. п.
    Таким образом, мы принимаем следующий ответ на вопрос 2): исходными данными любой задачи на построение является система конечного числа точек (на плоскости или в пространстве).
    Ответ на вопрос 3) достаточно прост, так как, в основном, при решении задач на построение мы будем использовать цир

Доступ онлайн
от 560 ₽
В корзину