Основы теории цепей

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ

Г.Н. Арсеньев, В.Н. Бондаренко, И.А. Чепурнов

Под редакцией профессора Г.Н. Арсеньева

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом профессионального образования 
в качестве учебного пособия для учебных заведений, реализующих программу 
среднего профессионального образования по укрупненной группе специальностей 
11.02.00 «Электроника, радиотехника и системы связи» 
(протокол № 5 от 16.03.2020) 

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва 
ИД «ФОРУМ» — ИНФРА-М
2021

УДК 621.3.011.7(075.32) 
ББК 31.211я723
 
А85

Арсеньев Г.Н.
А85 
 
Основы теории цепей : учебное пособие / Г.Н. Арсеньев, В.Н. Бондаренко, И.А. Чепурнов ; под ред. Г.Н. Арсеньева. — Москва : ИД «ФОРУМ» : ИНФРА-М, 2021. — 448 с. — 
(Среднее профессиональное образование).

ISBN 978-5-8199-0799-3 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013988-3 (ИНФРА-М)

В учебном пособии на основе положений теории электромагнитного поля изложены вопросы теории электрических линейных и нелинейных цепей, даны общие теоретические 
сведения о методах расчета, на многочисленных примерах показана методика применения 
методов расчета, входящих в программы подготовки специалистов. Описаны методики составления передаточных функций, уравнений равновесия и уравнений состояния электрических цепей. Математическую основу анализа и синтеза электрических цепей составили 
частотный, операторный и метод пространства состояний. Практическому применению этих 
методов способствовали как специально разработанные системы расчетно-аналитических 
компьютерных программ, так и уже известные математические среды типа Mathcad. Теоретические расчеты и выводы подтверждены наглядными практическими примерами, выполненными в компьютерных математических и графических средах.
Для студентов и курсантов электро- и радиотехнических специальностей средних профессиональных и высших учебных заведений, также может быть полезным для инженеров и технических специалистов, занимающихся анализом, синтезом и эксплуатацией электрических 
цепей и устройств.

УДК 621.3.011.7(075.32) 
ББК 31.211я723

Р е ц е н з е н т ы:
С.А. Вашкевич, доктор технических наук, доцент, научный консультант Смоленского 
филиала НОУ ВПО «Академия права и управления (институт)»;
В.В. Горячкин, доктор технических наук, профессор математики и информатики Голицынского пограничного института ФСБ России

© Арссньев Г.Н., Бондарснко В.Н.,
Чепурнов И.А., 2015
© ИД «ФОРУМ», 2015, 2020
ISBN 978-5-8199-0799-3 (ИД «ФОРУМ»)
ISBN 978-5-16-013988-3 (ИНФРА-М)

Ïðåäèñëîâèå

 ïîäãîòîâêå            âàæíåéøàÿ ðîëü îòâîäèòñÿ îâëàäåíèþ

íàó÷íî-òåîðåòè÷åñêèìè è ïðàêòè÷åñêèìè ìåòîäàìè ïîëó÷åíèÿ è
íåíèÿ íîâûõ çíàíèé â ñâîåé ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòè. Òåîðåòè÷åñêîå è ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ýòèõ ìåòîäîâ íà÷èíàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî â ïðîöåññå îáó÷åíèÿ, óæå íà íà÷àëüíîì ýòàïå ïðè èçó÷åíèè åñòåñòâåííî-íàó÷íûõ è îáùåïðîôåññèîíàëüíûõ äèñöèïëèí. Ïðîõîæäåíèå ýòèõ
äèñöèïëèí ïî ñðîêàì è ñîäåðæàíèþ ñòðóêòóðèðîâàíî ó÷åáíûì ïëàíîì
ïîäãîòîâêè ïî êîíêðåòíîé ñïåöèàëüíîñòè. Ðàçâèòèå èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé âûçâàëî ïîÿâëåíèå ñèñòåì êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè (ÑÊÌ), êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ îáúåêòàìè èçó÷åíèÿ ïî ìíîãèì ñïåöèàëüíîñòÿì, íî
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óíèâåðñàëüíîå òåõíè÷åñêîå è ïðîãðàììíîå ñðåäñòâî
îáó÷åíèÿ. Êîìïüþòåðíûå ñðåäñòâà è ÑÊÌ îäíîâðåìåííî ðàñøèðÿþò èíôîðìàöèîííóþ ñîñòàâëÿþùóþ ïðîöåññà îáó÷åíèÿ, óñèëèâàþò àêòèâíóþ
ñîñòàâëÿþùóþ è èíòåíñèôèöèðóþò â öåëîì ó÷åáíóþ äåÿòåëüíîñòü îáó÷àþùèõñÿ è îáó÷àþùèõ.

Ðàñøèðåíèå ïåðå÷íÿ ó÷åáíûõ äèñöèïëèí åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïðèâå
ëî ê óìåíüøåíèþ âðåìåíè íà èçó÷åíèå äèñöèïëèí, ñâÿçàííûõ ñ îñíîâàìè
ïîñòðîåíèÿ, ìåòîäàìè àíàëèçà è ñèíòåçà ñòðóêòóð è ïàðàìåòðîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé è äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ÷òî ìîæåò îòðèöàòåëüíî ñêàçàòüñÿ íà
óðîâíå îáùåèíæåíåðíîé ïîäãîòîâêè ñïåöèàëèñòîâ.  ïåðâóþ î÷åðåäü ñîêðàùåíèå âðåìåíè ïîâëèÿëî íà óðîâåíü ïðàêòè÷åñêîãî îâëàäåíèÿ ìåòîäàìè ïîëó÷åíèÿ çíàíèé â ðàìêàõ ðàñïèñàíèÿ çàíÿòèé, ÷òî íå ïîçâîëÿåò â
ïîëíîé ìåðå äîñòèãíóòü îáó÷àþùèìñÿ òðåáóåìûõ óðîâíåé óñâîåíèÿ, ïðàêòè÷åñêèõ óìåíèé è íàâûêîâ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ âàæíåéøåé ñîñòàâëÿþùåé
ïîäãîòîâêè èíæåíåðíûõ êàäðîâ.

 ïîñëåäíèå ãîäû èç ïå÷àòè âûøåë ðÿä ó÷åáíèêîâ è ó÷åáíûõ ïîñîáèé

ïî îñíîâàì òåîðèè öåïåé, ïî òåîðèè ðàäèîòåõíè÷åñêèõ öåïåé è ñèãíàëîâ,
êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò òðåáîâàíèÿì ÃÎÑÒ è îòðàæàþò ñîâðåìåííûå íàó÷íûå äîñòèæåíèÿ â îáëàñòè òåîðèè ýëåêòðî- è ðàäèîòåõíèêè. Cîäåðæàíèå
ýòèõ ó÷åáíèêîâ îðèåíòèðîâàíî â ñðåäíåì íà 100 ÷àñîâ ó÷åáíîãî âðåìåíè, à
ïðè òàêèõ îáúåìàõ âðåìåíè ðàñêðûòèå ãëóáèííûõ îñíîâ íàó÷íîñòè, à îñîáåííî åå ïðèêëàäíîé íàïðàâëåííîñòè, íàïðèìåð, äëÿ ðàäèîýëåêòðîííûõ
ñèñòåì êîñìè÷åñêèõ, ïðîòèâîðàêåòíûõ ñðåäñòâ, ñâÿçàíî ñ áîëüøèìè òðóäíîñòÿìè, à ÷àùå âñåãî íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì.  ýòèõ óñëîâèÿõ íàèáîëåå ìåòîäè÷åñêè îïðàâäàííûì ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîå, âçàèìîñâÿçàííîå
ïîñòðîåíèå ó÷åáíûõ êóðñîâ, ÷òî ïîçâîëèò íàó÷íîå è ïðàêòè÷åñêîå ñîäåðæàíèå ñïåöèàëüíîñòè èçëàãàòü íå â îäíîì, à â ñåðèè ó÷åáíèêîâ è ó÷åáíûõ
ïîñîáèé ïî ðàçëè÷íûì äèñöèïëèíàì, îáúåäèíåííûõ ìåòîäîëîãèåé ïðàêòè
ñïåöèàëèñòîâ

ïðèìå

÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ îáùèõ ìåòîäîâ ïîëó÷åíèÿ çíàíèé â îòäåëüíûõ äèñöèïëèíàõ.
 ó÷åáíèêàõ è ó÷åáíûõ ïîñîáèÿõ [4]—[14] íà îñíîâå ìíîãîëåòíåãî ëè÷íîãî îïûòà àâòîðîâ ÷òåíèÿ ëåêöèé, ïîñòàíîâêè ïðàêòè÷åñêîé è ó÷åáíî-èññëåäîâàòåëüñêîé ÷àñòè êóðñîâ è äèñöèïëèí â öåëîì, îïûòà êàôåäðû àâòîìàòèêè ÊÂÈÐÒÓ ÏÂÎ, êàôåäðû âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè è àâòîìàòèêè,
êàôåäðû ýëåêòðîòåõíèêè è ðàäèîòåõíèêè ÔÂÀ ÐÂÑÍ, ÌÂÈÐÝ ÊÂ, ÔÂÀ
èì. À.Ô. Ìîæàéñêîãî èçëîæåíû íàçíà÷åíèå, ìåòîäèêà ïðèìåíåíèÿ èíæåíåðíûõ ìåòîäîâ àíàëèçà êà÷åñòâà â ïåðåõîäíûõ è óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìàõ
àâòîìàòè÷åñêèõ óñòðîéñòâ è ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé â ðàäèîýëåêòðîííûõ ñèñòåìàõ. Òåîðåòè÷åñêèé è ïðàêòè÷åñêèé ìàòåðèàë ïî èññëåäîâàíèþ öåïåé è
ñèñòåì ðàññìîòðåí ñ ïîçèöèé êîìïëåêñíîãî èçó÷åíèÿ ïðîöåññîâ â ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ è ñèñòåìàõ, èíæåíåðíûõ ìåòîäîâ èõ àíàëèçà è
ñèíòåçà. Çà âðåìÿ, ïðîøåäøåå ïîñëå âûõîäà ó÷åáíûõ èçäàíèé èç ïå÷àòè,
áûëè ïîëó÷åíû ìíîãî÷èñëåííûå ïîëîæèòåëüíûå îòçûâû îò âåäóùèõ ñïåöèàëèñòîâ âóçîâ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè íà ñîäåðæàíèå è ìåòîäèêó èçëîæåíèÿ íàó÷íûõ ïîëîæåíèé òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è ïðèåìîâ èõ
ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ. Áûëè òàêæå ïîëó÷åíû íîâûå ïðàêòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû â îáëàñòè òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì è
ïðîöåññîâ óïðàâëåíèÿ. Âñå ýòî ïîñëóæèëî äëÿ àâòîðîâ ñòèìóëîì ïî äàëüíåéøåé ðàçðàáîòêå ìåòîäèê êîìïëåêñíîãî ìåæäèñöèïëèíàðíîãî ïðèìåíåíèÿ ìåòîäîâ àíàëèçà è ñèíòåçà äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â îáëàñòè âðåìåííîé, êîìïëåêñíîé è ÷àñòîòíîé ïåðåìåííîé. Ïðèìåíåíèå ýòèõ ìåòîäîâ,
ïîääåðæàííûõ êîìïüþòåðíûìè ñðåäñòâàìè ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè ñðåäàìè
òèïà Mathcad è Matlab, ïîçâîëÿåò ôîðìèðîâàòü ñîäåðæàíèå îòäåëüíûõ äèñöèïëèí â áëî÷íî-ìîäóëüíûå ñòðóêòóðû, êîòîðûå îáåñïå÷èâàþò ìåæäèñöèïëèíàðíóþ ïðååìñòâåííîñòü îâëàäåíèÿ ìåòîäàìè ïîëó÷åíèÿ çíàíèé â
îòäåëüíûõ äèñöèïëèíàõ, ïåðåíåñåíèå è ñîâåðøåíñòâîâàíèå èõ â ïðîöåññå
èçó÷åíèÿ äðóãèõ äèñöèïëèí.
 êíèãå íà ïðèìåðàõ ïðîñòûõ è ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èçëîæåíî ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ èõ àíàëèçà è ðàñ÷åòà. Ðàñ÷åò è àíàëèç
äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé îñóùåñòâëÿþòñÿ ÷àñòîòíûìè, âðåìåííûìè è îïåðàòîðíûìè ìåòîäàìè, àíàëèòè÷åñêèìè è ÷èñëåííûìè ñïîñîáàìè ñ ïðèìåíåíèåì ïåðñîíàëüíûõ ÝÂÌ. Èçëîæåíèå ìåòîäèê
ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé è ïðîãðàìì äëÿ ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ñîäåðæàíèÿ ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ.
Ïðè èçëîæåíèè ìàòåðèàëà, îñîáåííî ïðè èçëîæåíèè ìåòîäîâ àíàëèçà,
àâòîðû ñòðåìèëèñü ìàêñèìàëüíî èñïîëüçîâàòü òå òåîðåòè÷åñêèå ìåòîäû, à
èìåííî ÷àñòîòíûå, îïåðàòîðíûå è âðåìåííûå, êîòîðûå èçó÷àëèñü â êóðñå
«Ìàòåìàòèêà». Ýòè ìåòîäû ÿâëÿþòñÿ îñíîâîïîëàãàþùèìè ïðè ïîäãîòîâêå
ñïåöèàëèñòîâ ïî ðàäèîòåõíèêå è ðàäèîýëåêòðîííûì ñèñòåìàì.
Ïðè èçó÷åíèè îáó÷àþùèìèñÿ â ñïåöèàëüíûõ äèñöèïëèíàõ îáðàçöîâ
ðàäèîýëåêòðîííûõ ñèñòåì, ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ ñîäåðæàíèå
êíèãè áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü áîëåå áûñòðîìó óñòàíîâëåíèþ ñâÿçè ìåæäó
êîíêðåòíûì èñïîëíåíèåì îáðàçöà ñèñòåìû, ïðèíöèïàìè åãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ è ìåòîäàìè òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà. Êîìïëåêñíîå è âçàèìîñâÿ
4
Ïðåäèñëîâèå

çàííîå èçëîæåíèå ìàòåðèàëà ñïîñîáñòâóåò áîëåå ãëóáîêîìó ðàñêðûòèþ è
ïîíèìàíèþ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ, èõ ìàòåìàòè÷åñêîìó îïèñàíèþ è ôîðìèðîâàíèþ îáó÷àþùèìèñÿ ñïîñîáíîñòåé àíàëèçèðîâàòü ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå è îïðåäåëÿòü íàïðàâëåíèÿ ðàçâèòèÿ òåîðèè è
ïðàêòèêè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé è ðàäèîýëåêòðîííûõ ñèñòåì.
Àâòîðû âûðàæàþò áëàãîäàðíîñòü ðåöåíçåíòàì äîêòîðó òåõíè÷åñêèõ
íàóê, äîöåíòó Ñ.À. Âàøêåâè÷ó; äîêòîðó òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðó
Â.Â. Ãîðÿ÷êèíó çà öåííûå çàìå÷àíèÿ è ïðåäëîæåíèÿ, êîòîðûå ñïîñîáñòâîâàëè óëó÷øåíèþ ñîäåðæàíèÿ ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ.

Ïðåäèñëîâèå
5

Ãëàâà 1
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎËÎÆÅÍÈß ÒÅÎÐÈÈ
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÃÎ ÏÎËß È ÈÕ ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ
Ê ÒÅÎÐÈÈ ÝËÅÊÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÖÅÏÅÉ

1.1. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå êàê âèä ìàòåðèè

Ïîä ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì ïîíèìàþò âèä ìàòåðèè, õàðàêòåðèçóþùèéñÿ ñîâîêóïíîñòüþ âçàèìîñâÿçàííûõ è âçàèìîîáóñëîâëèâàþùèõ äðóã
äðóãà ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé [21]. Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü ïðè îòñóòñòâèè äðóãîãî âèäà ìàòåðèè — âåùåñòâà, õàðàêòåðèçóåòñÿ íåïðåðûâíûì ðàñïðåäåëåíèåì â ïðîñòðàíñòâå (ýëåêòðîìàãíèòíàÿ
âîëíà â âàêóóìå) è ìîæåò ïðîÿâëÿòü äèñêðåòíóþ ñòðóêòóðó (ôîòîíû).  âàêóóìå ïîëå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, ïîëþ ïðèñóùè õàðàêòåðíûå äëÿ íåãî ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå ñâîéñòâà, äîñòóïíûå íàáëþäåíèþ.
Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå îêàçûâàåò ñèëîâîå âîçäåéñòâèå íà ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû. Ñèëîâîå âîçäåéñòâèå ïîëîæåíî â îñíîâó îïðåäåëåíèÿ äâóõ
âåêòîðíûõ âåëè÷èí, îïèñûâàþùèõ ïîëå: íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ E (Â/ì) è èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B (Â ñ/ì2). Íà çàðÿä q (Êë),
äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ õ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå íàïðÿæåííîñòè E è ìàãíèòíîì ïîëå èíäóêöèè Â, äåéñòâóåò ñèëà Ëîðåíöà F qE q[õB].
Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå îáëàäàåò ýíåðãèåé, ìàññîé è êîëè÷åñòâîì äâèæåíèÿ, ò. å. òàêèìè æå àòðèáóòàìè, ÷òî è âåùåñòâî. Ýíåðãèÿ â åäèíèöå
îáúåìà, çàíÿòîãî ïîëåì â âàêóóìå, ðàâíà ñóììå ýíåðãèé ýëåêòðè÷åñêîé è
ìàãíèòíîé êîìïîíåíò ïîëÿ

Wýì 0E2/2 B2/20.

Çäåñü 0
9
1

4
9 10

— ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ; Ô/ì; 0
7
4
10
—

ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ, Ãí/ì.
Ìàññà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â åäèíèöå îáúåìà ðàâíà ÷àñòíîìó îò äåëåíèÿ ýíåðãèè ïîëÿ Wýì íà êâàäðàò ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â âàêóóìå, ðàâíîé ñêîðîñòè ñâåòà. Íåñìîòðÿ íà ìàëîå çíà÷åíèå ìàññû ïîëÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàññîé âåùåñòâà, íàëè÷èå ìàññû ïîëÿ óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ïðîöåññû â ïîëå ÿâëÿþòñÿ ïðîöåññàìè èíåðöèîííûìè.
Êîëè÷åñòâî äâèæåíèÿ åäèíèöû îáúåìà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìàññû åäèíèöû îáúåìà ïîëÿ íà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû â âàêóóìå.

Ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ ìîãóò áûòü èçìåíÿþùèìèñÿ è íåèçìåííûìè âî âðåìåíè. Íåèçìåííûì â ìàêðîñêîïè÷åñêîì ñìûñëå ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì ÿâëÿåòñÿ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîå ïîëå, ñîçäàííîå ñîâîêóïíîñòüþ
çàðÿäîâ, íåïîäâèæíûõ â ïðîñòðàíñòâå è íåèçìåííûõ âî âðåìåíè. Â ýòîì
ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, à ìàãíèòíîå îòñóòñòâóåò.
Ïðè ïðîòåêàíèè ïîñòîÿííûõ òîêîâ ïî ïðîâîäÿùèì òåëàì âíóòðè è âíå
èõ ñóùåñòâóþò ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ, íå âëèÿþùèå äðóã íà äðóãà, ïîýòîìó èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ðàçäåëüíî.  èçìåíÿþùåìñÿ âî âðåìåíè ïîëå ýëåêòðè÷åñêîå è ìàãíèòíîå ïîëÿ, êàê óïîìèíàëîñü, âçàèìîñâÿçàíû
è îáóñëîâëèâàþò äðóã äðóãà, ïîýòîìó èõ íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü ðàçäåëüíî.

1.2. Èíòåãðàëüíûå è äèôôåðåíöèàëüíûå
ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îñíîâíûìè âåëè÷èíàìè,
õàðàêòåðèçóþùèìè ïîëå

Ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ ìîãóò áûòü îïèñàíû èíòåãðàëüíûìè èëè äèôôåðåíöèàëüíûìè ñîîòíîøåíèÿìè. Èíòåãðàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ îòíîñÿòñÿ
ê îáúåìó (äëèíå, ïëîùàäè) ó÷àñòêà ïîëÿ êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, à äèôôåðåíöèàëüíûå — ê ó÷àñòêó ïîëÿ ôèçè÷åñêè áåñêîíå÷íî ìàëûõ ðàçìåðîâ. Îíè
âûðàæàþòñÿ îïåðàöèÿìè ãðàäèåíòà, äèâåðãåíöèè, ðîòîðà (ðàñêðûòèå îïåðàöèè grad, div è rot â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò ñì. â [23, 25]).  ìàêðîñêîïè÷åñêîé òåîðèè ïîëÿ îïèñûâàþò ñâîéñòâà ïîëÿ, óñðåäíåííûå ïî
áåñêîíå÷íî ìàëîìó ôèçè÷åñêîìó îáúåìó è âî âðåìåíè. Ýòîò îáúåì â îòëè÷èå îò ìàòåìàòè÷åñêè áåñêîíå÷íî ìàëîãî îáúåìà ìîæåò ñîäåðæàòü áîëüøîå
÷èñëî àòîìîâ âåùåñòâà. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé
òåîðèè ïîëÿ íå îïèñûâàþò ïîëÿ âíóòðè àòîìîâ, äëÿ ýòîãî, êàê èçâåñòíî,
ñëóæàò óðàâíåíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ.
 ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå ïîòîê âåêòîðà íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Å ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü (ðèñ. 1.1) ðàâåí ñâîáîäíîìó çàðÿäó qñâ, íàõîäÿùåìóñÿ âíóòðè ýòîé ïîâåðõíîñòè, äåëåííîìó íà 0ã (òåîðåìà Ãàóññà)

Å S
d
q
ñâ

ã
0
,
(1.1)

ãäå dS — ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè, íàïðàâëåííûé â ñòîðîíó âíåøíåé íîðìàëè
ê îáúåìó; ã — îòíîñèòåëüíàÿ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü äèýëåêòðèêà.

1.2. Èíòåãðàëüíûå è äèôôåðåíöèàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ...
7

Ðèñ. 1.1

 äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå òåîðåìà Ãàóññà çàïèñûâàåòñÿ òàê:

div
ñâ

ã
E 0
,
(1.2)

ãäå ñâ — îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ñâîáîäíîãî çàðÿäà, Êë/ì3.
Ïåðåõîä îò (1.1) ê (1.2) îñóùåñòâëÿþò äåëåíèåì îáåèõ ÷àñòåé (1.1) íà
îáúåì V, íàõîäÿùèéñÿ âíóòðè ïîâåðõíîñòè S, è ñòðåìëåíèè îáúåìà V ê
íóëþ.
Ôèçè÷åñêè divE îçíà÷àåò èñòîê âåêòîðà â äàííîé òî÷êå.
 ýëåêòðîñòàòè÷åñêîì ïîëå è â ñòàöèîíàðíîì ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå íà
çàðÿä q äåéñòâóåò ñèëà F qE. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Å ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàê ñèëîâàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïîëÿ E
F
lim
q
q
0
. Åñëè q ïîä äåéñòâèåì ñèë

ïîëÿ ïåðåìåñòèòñÿ èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2 (ðèñ. 1.2), òî ñèëû ïîëÿ ñîâåðøàò

ðàáîòó A
q
d
E l

1

2
, ãäå d l — ýëåìåíò ïóòè èç 1 â 2.

Ïîä ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ Ul2 ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2 ïîíèìàþò ðàáîòó,
ñîâåðøàåìóþ ñèëàìè ïîëÿ ïðè ïåðåíîñå çàðÿäà q 1 Êë èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2

U12 1 2 E l
d

1

2
.
(1.3)

U12 íå çàâèñèò îò òîãî, ïî êàêîìó ïóòè ïðîèñõîäèëî ïåðåìåùåíèå èç
òî÷êè 1 â òî÷êó 2. Âûðàæåíèþ (1.3) ñîîòâåòñòâóåò äèôôåðåíöèàëüíîå ñîîòíîøåíèå

E grad .
(1.4)

Ãðàäèåíò (grad ) â íåêîòîðîé òî÷êå ïîëÿ îïðåäåëÿåò ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ â ýòîé òî÷êå, âçÿòóþ â íàïðàâëåíèè íàèáîëüøåãî åãî âîçðàñòàíèÿ.
Çíàê ìèíóñ îçíà÷àåò, ÷òî Å è grad íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî.
Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íàçûâàþò ïîòåíöèàëüíûì, åñëè äëÿ íåãî
Å l
d
0.

Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïîëÿðèçîâàííîãî äèýëåêòðèêà îïèñûâàåòñÿ âåêòîðîì ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ (èíäóêöèè)

D 0E P,
(1.5)

ãäå Ð — ïîëÿðèçîâàííîñòü äèýëåêòðèêà, ðàâíàÿ ýëåêòðè÷åñêîìó ìîìåíòó
åäèíèöû îáúåìà ïîëÿðèçîâàííîãî äèýëåêòðèêà.

8
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ...

Ðèñ. 1.2

 ñòàöèîíàðíîì íåèçìåííîì âî âðåìåíè ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå â ïðîâîäÿùåé ñðåäå â ñìåæíûå ìîìåíòû âðåìåíè ðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ îäèíàêîâî, ïîýòîìó äëÿ ýòîãî ïîëÿ ñïðàâåäëèâî îïðåäåëåíèå ðàçíîñòè ïîòåíöèà
ëîâ ïî ôîðìóëå U12 E l
d .

1

2
Âíóòðè èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîé ÝÄÑ ðåçóëüòèðóþùàÿ íàïðÿæåííîñòü
ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Åðåç ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå ïîòåíöèàëüíîé (êóëîíîâîé) ñîñòàâëÿþùåé Åïîò è ñòîðîííåé ñîñòàâëÿþùåé Åñòîð
Åðåç Åïîò Åñòîð.

Åñòîð ðàçäåëÿåò çàðÿäû âíóòðè èñòî÷íèêà, îíà îáóñëîâëåíà õèìè÷åñêèìè, ýëåêòðîõèìè÷åñêèìè, òåïëîâûìè è äðóãèìè ïðîöåññàìè íå ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïðîèñõîæäåíèÿ è íàïðàâëåíà âñòðå÷íî Åïîò.  ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå ìîãóò ïðîòåêàòü ýëåêòðè÷åñêèå òîêè.
Ïîä ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì ïîíèìàþò íàïðàâëåííîå (óïîðÿäî÷åííîå)
äâèæåíèå ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ. Òîê â íåêîòîðîé òî÷êå ïîëÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñâîåé ïëîòíîñòüþ ä (À/ì2). Èçâåñòíû òðè âèäà òîêà: òîê ïðîâîäèìîñòè
(ïëîòíîñòüþ äïð), òîê ñìåùåíèÿ (ïëîòíîñòüþ äñì) è òîê ïåðåíîñà (ïëîòíîñòüþ äïåð).
Òîê ïðîâîäèìîñòè ïðîòåêàåò â ïðîâîäÿùèõ òåëàõ ïîä äåéñòâèåì ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, ïëîòíîñòü åãî ïðîïîðöèîíàëüíà Å

äïð Å,
(1.6)

ãäå — óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü ïðîâîäÿùåãî òåëà, Îì1 ì1. Â ìåòàëëàõ
òîê ïðîâîäèìîñòè îáóñëîâëåí óïîðÿäî÷åííûì äâèæåíèåì ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíîâ, â æèäêîñòÿõ — äâèæåíèåì èîíîâ.
Ïëîòíîñòü òîêà ñìåùåíèÿ â äèýëåêòðèêå ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ D 0E P

äñì d
dt
d
dt
d
dt
d
dt
r
D
E
P
E
0
0
.
(1.7)

Ñëàãàåìîå 0
d
dt
E ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîñòàâëÿþùóþ òîêà ñìåùåíèÿ,

îáóñëîâëåííóþ èçìåíåíèåì âî âðåìåíè íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ Å â âàêóóìå.
Íîñèòåëÿìè òîêà ñìåùåíèÿ â ôèçè÷åñêîì âàêóóìå (â íåì íåò ÷àñòèö âåùåñòâà) ÿâëÿþòñÿ âèðòóàëüíûå ÷àñòèöû. Îíè âñåãäà âîçíèêàþò ïàðàìè, êàê
áû èç íè÷åãî, íàïðèìåð ýëåêòðîí è ïîçèòðîí èëè ïðîòîí è àíòèïðîòîí
è ò. ï. Êàæäàÿ ïàðà âèðòóàëüíûõ ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ êîðîòêî æèâóùåé (âðåìÿ
æèçíè t). Ñîñòàâëÿþùèå åå ÷àñòèöû ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ íà î÷åíü ìàëîå
ðàññòîÿíèå õ, à çàòåì ýòè ÷àñòèöû ñ ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêà çàðÿäàìè
àííèãèëèðóþò. Êàæäàÿ âèðòóàëüíàÿ ÷àñòèöà îáëàäàåò ðàçáðîñîì ýíåðãèè

W
h
t
è ðàçáðîñîì èìïóëüñà m
h
x
, ãäå ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà h 6,626 1034 Äæ ñ. Äëÿ êàæäîé ïàðû âèðòóàëüíûõ ÷àñòèö âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ çàðÿäà, íî â ðàìêàõ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé íàáëþäàþòñÿ ìåñòíûå íàðóøåíèÿ çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è çàêîíà ñîõðàíåíèÿ
èìïóëüñà. Ñëàãàåìîå dP/dt îáóñëîâëåíî èçìåíåíèåì ïîëÿðèçîâàííîñòè âî
âðåìåíè (èçìåíåíèåì ðàñïîëîæåíèÿ ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ â äèýëåêòðèêå ïðè

1.2. Èíòåãðàëüíûå è äèôôåðåíöèàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ...
9

èçìåíåíèè Å âî âðåìåíè).  êà÷åñòâå ïðèìåðà òîêà ñìåùåíèÿ ìîæåò áûòü
íàçâàí òîê ÷åðåç êîíäåíñàòîð. Òîê ïåðåíîñà îáóñëîâëåí äâèæåíèåì ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðèìåðîì òîêà ïåðåíîñà ìîæåò ñëóæèòü òîê â ýëåêòðîííîé ëàìïå. Åñëè ïîëîæèòåëüíûé çàðÿä îáúåìíîé ïëîòíîñòè äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ õè îòðèöàòåëüíûé çàðÿä îáúåìíîé ïëîòíîñòè — ñî ñêîðîñòüþ õ, òî ïëîòíîñòü òîêà ïåðåíîñà â ýòîì
ïîëå äïåð õõâ ÿâíîì âèäå íå çàâèñèò îò íàïðÿæåííîñòè Å â äàííîé òî÷êå ïîëÿ. Åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå ïîëÿ îäíîâðåìåííî ñóùåñòâîâàëè
áû âñå òðè âèäà òîêà, òî ïîëíàÿ ïëîòíîñòü òîêà äïîë äïð äñì äïåð. Äëÿ
áîëüøèíñòâà çàäà÷ òîê ïåðåíîñà îòñóòñòâóåò.
Òîê — ýòî ñêàëÿð àëãåáðàè÷åñêîãî õàðàêòåðà. Ïîëíûé òîê ÷åðåç ïîâåðõíîñòü S
I
d

s
ïîë
ïîë
S.
(1.8)

Åñëè â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå âûäåëèòü íåêîòîðûé îáúåì, òî òîê, âîøåäøèé â îáúåì, áóäåò ðàâíÿòüñÿ òîêó, âûøåäøåìó èç îáúåìà, ò. å.

ïîë
dS 0,
(1.9)

ãäå dS — ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè îáúåìà, îí íàïðàâëåí â ñòîðîíó âíåøíåé ïî
îòíîøåíèþ ê îáúåìó íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè.
Óðàâíåíèå (1.9) âûðàæàåò ïðèíöèï íåïðåðûâíîñòè ïîëíîãî òîêà: ëèíèè
ïîëíîãî òîêà ïðåäñòàâëÿþò çàìêíóòûå ëèíèè, íå èìåþùèå íè íà÷àëà, íè
êîíöà. Ýëåêòðè÷åñêèå òîêè íåðàçðûâíî ñâÿçàíû ñ ìàãíèòíûì ïîëåì. Ýòà
ñâÿçü îïðåäåëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé ôîðìîé çàêîíà ïîëíîãî òîêà

B
l
0
d
I
ïîë .
(1.10)

Öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó ðàâíà ïîëíîìó òîêó, îõâà÷åííîìó ýòèì êîíòóðîì; d l — ýëåìåíò äëèíû êîíòóðà (ðèñ. 1.3). Òàêèì îáðàçîì, âñå âèäû òîêîâ, õîòÿ è èìåþò ðàçëè÷íóþ ôèçè÷åñêóþ ïðèðîäó, îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñîçäàâàòü ìàãíèòíîå ïîëå.

Ôåððîìàãíèòíûå âåùåñòâà îáëàäàþò ñïîíòàííîé íàìàãíè÷åííîñòüþ.
Õàðàêòåðèñòèêîé åå ÿâëÿåòñÿ ìàãíèòíûé ìîìåíò åäèíèöû îáúåìà âåùåñòâà J (åãî íàçûâàþò íàìàãíè÷åííîñòüþ). Äëÿ ôåððîìàãíèòíûõ âåùåñòâ

H 0(H J) 0rH aH,
(1.11)

10
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ...

Ðèñ. 1.3