Геометрия правильных звездчатых многогранников

С Т О Л Е Т И Ю  Ф А К У Л Ь Т Е ТА  М А Т Е М А Т И К И  П О С В Я Щ А Е М

А. Л. Вернер, М. Н. Васильева, 
О. Г. Голокова (Данилова)

ГЕОМЕТРИЯ 
ПРАВИЛЬНЫХ ЗВЁЗДЧАТЫХ
МНОГОГРАННИКОВ

У ч е б н о е  п о с о б и е

Санкт-Петербург
Издательство РГПУ им. А.И. Герцена
2018

ББК 22.151
 
В31

 
Вернер А. Л., Васильева М. Н., Голокова (Данилова) О. Г. 
В31  Геометрия правильных звёздчатых многогранников: учебное 
пособие. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2018. — 100 с. 

 
ISBN 978-5-8064-2493-9

Рассказ об однородных звёздчатых многогранниках обычно ограничивается указанием структуры их рёбер и граней. Но они обладают интересной 
геометрией, об элементах которой сказано в параграфе 1. Элементы теории 
многогранных поверхностей для многогранников Кеплера — Пуансо изучаются в параграфах 2–5. В параграфах 6 и 7 рассматриваются два многолистных  
накрытия сферы: при центральном проектировании и при сферическом изображении многогранников Кеплера — Пуансо. Эти результаты изложены в магистерских ВКР М. Н. Васильевой и О. Г. Даниловой (Голоковой). По аналогии 
с их работами интересно было бы изучить геометрию нескольких однородных 
многогранников, о которых сказано в последнем параграфе пособия.

ББК 22.151

 
© Коллектив авторов, 2018
ISBN 978-5-8064-2493-9 
© Издательство РГПУ им. А. И. Герцена, 2018

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4

Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  6

§ 1. Элементы теории многогранников (многогранных поверхностей)  . . . .  8

§ 2. Геометрия большого икосаэдра   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  18

§ 3. Геометрия большого звёздчатого додекаэдра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  33

§ 4. Геометрия большого додекаэдра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  44

§ 5. Геометрия малого звёздчатого додекаэдра  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  53

§ 6. Центральная проекция на сферу правильных многогранников  . . . . . . . .  67

§ 7. Сферические изображения правильных звёздчатых многогранников  . . . .  79

§ 8. Тематика дальнейших исследований  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  88

Литература  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  98

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта работа первоначально была выполнена нами в течении 
трёх лет: 2014–2017. Итогом её стали две магистерские ВКР 
[20] и [21]. Нас побудили написать учебное пособие для 
 будущих учителей математики по материалам этих ВКР следующие обстоятельства.
Многогранники всегда были и будут одним из интересных 
и важных разделов школьного курса геометрии. Популярная 
литература по геометрии тоже уделяет много внимания многогранникам, в том числе и звёздчатым. Например, сейчас издаётся большая серия заготовок по моделированию многогранников под общим называнием «Волшебные грани». Но в популярной литературе обычно сказано лишь о сим метричности 
этих фигур, об их «внешнем виде» — так сказать, «экстерьере». 
Правильным звёздчатым многогранникам посвящена отдельная глава в обстоятельной монографии Г. С. М. Коксетера 
[18]. Но и в ней ничего не сказано о кривиз нах вершин этих 
многогранников, их полярной двойственности, об их сферическом отображении — объектах, традиционных для Александровской геометрии. Мы восполняем этот пробел в геометрии 
правильных звёздчатых многогранников. Для многосвязных 
большого додекаэдра и малого звёздчатого додекаэдра мы 
проводим преобразования, проясняющие их топологическое 
строение.
Для изучения многогранников достаточно обычной школьной стереометрии и традиционной аналитической геометрии. 
Поэтому уже студенты младших курсов математических 

 факультетов могут исследовать другие звёздчатые формы, 
например, полуправильных многогранников, однородных 
многогранников и т. д. Выбор большой. Наше пособие и преследует цель побудить студентов к геометрическим исследованиям и указать направления этих исследований. Последний параграф мы посвятили тематике дальнейших исследований.

Авторы

ВВЕДЕНИЕ

Геометрия правильных многогранников издревле интересовала людей. Евклид завершал свои «Начала» построением 
пяти правильных (платоновых) многогранников (рис. 1 а—д). 

Рисунок 1
а) Тетраэдр б) Куб в) Октаэдр г) Додекаэдр д) Икосаэдр

Звёздчатые правильные многогранники стали рассматривать позднее. Иоганн Кеплер (1571–1630), продолжая рёбра 
и грани додекаэдра, построил малый звёздчатый додекаэдр 
(рис. 2) и большой звёздчатый додекаэдр (рис. 3):

 
Малый звёздчатый додекаэдр  
Большой звёздчатый додекаэдр
 
Рисунок 2 
Рисунок 3

Луи Пуансо (1777–1859) уже в начале XIX века нашёл ещё 
два правильных звёздчатых многогранника: большой додекаэдр 
(рис. 4) и большой икосаэдр (рис. 5). 

 
Большой додекаэдр 
Большой икосаэдр
 
Рисунок 4 
Рисунок 5

Вскоре (в 1811 году), отвечая на вопрос Л. Пуансо: «Есть 
ли ещё правильные звёздчатые многогранники?», Огюст Коши 
(1789–1857) доказал, что, кроме уже найденных четырёх правильных звёздчатых многогранников, других таких многогранников нет [11]. 

§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОГОГРАННИКОВ 
(МНОГОГРАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ)

1.1. О понятии многогранник (многогранная поверхность). После такого наглядного знакомства с правильными 
многогранниками, уточним понятие многогранник, вспомним 
определение правильного многогранника и убедимся, что 
четыре звёздчатых многогранника (рис. 2 — рис. 5) удовлетворяют этому определению.
Первую главу своей знаменитой монографии «Выпуклые 
многогранники»[2, с. 7] академик А. Д. Александров начинает 
так: 
«Многогранником называют или тело, ограниченное конечным числом многоугольников, или поверхность, составленную 
из конечного числа многоугольников. Мы преимущественно 
будем понимать под многогранником именно многогранную 
поверхность, т. е. фигуру, образованную конечным числом 
многоугольников…»
И в нашем пособии многогранник — это фигура, составленная из конечного числа многоугольников. Более подробно:
Многогранная поверхность — это фигура в пространстве, 
составленная из конечного числа простых плоских многоугольников, которые прикладываются друг к другу равными сторонами, другими словами, склеиваются (рис. 6).

Рисунок 6. Пример многогранной поверхности

Эти многоугольники называются гранями многогранной 
поверхности, а стороны и вершины граней — ребрами и вершинами многогранной поверхности. При этом выполняются 
два условия:
1) К той стороне, где уже приложен многоугольник, прикладывать другие не разрешается, так что многоугольники 
встречаются по сторонам только попарно. Но могут оставаться и свободные стороны, составляющие край многогранной 
поверхности (рис. 7). Если свободных сторон не остается, то 
многогранная поверхность называется замкнутой.

Рисунок 7. Пример многогранной поверхности с краем

2) От каждого многоугольника многогранной поверхности 
можно перейти к другому многоугольнику, идя по многоугольникам, имеющим склеенные стороны. 
Простейшим примером многогранной поверхности с краем 
является любой простой плоский многоугольник, край его — 
это ограничивающая его простая замкнутая ломаная (рис. 8). 
Одномерный аналог многогранной поверхности — это ломаная, которая составлена из отрезков (рис. 9).

Рисунок 8. Простейший пример многогранной поверхности с краем

Рисунок 9. Ломаная

Допускается, что грани многогранной поверхности могут 
пересекаться или налегать друг на друга, как могут пересекаться или налегать друг на друга отрезки ломаной (рис. 10). 

Рис. 10. Ломаные с самопересечением и наложением

Данное определение многогранной поверхности можно 
расширить, если в определении говорить не о гранях — простых плоских многоугольниках, а о гранях, ограниченных 
плоскими замкнутыми ломаными (хотя бы и само пересекающимися).
В нашем пособии под словом многогранник мы будем 
иметь в виду второе — расширенное — понимание его граней, 
допускающее самопересечение их сторон. Именно такие грани — звёздчатые пятиугольники (пентаграммы) имеют малый 
и большой звёздчатые додекаэдры (рис. 2 и рис. 3).
Эти грани являются правильными многоугольниками, так 
как у них равны друг другу и стороны, и углы.
Именно при таком — расширенном — понимании многогранника, допускающем и пересечения сторон граней, и пере

сечения самих граней, четыре звёздчатых многогранника на 
рисунках 2–5 являются правильными многогранниками 
в смысле следующего определения: 
Определение. Многогранник называется правильным, 
если все его грани — равные друг другу правильные многоугольники и все двугранные углы между его соседними гранями равны.
1.2. Кривизна многогранной поверхности. Если вершина 
А многогранной поверхности F не принадлежит краю этой 
поверхности, то углы граней поверхности F, сходящихся в вершине А, образуют многогранный угол V(А). 
Сумму величин плоских углов многогранного угла V(А) 
обозначим α(А), а кривизной угла V(А) и кривизной вершины А многогранной поверхности F называется число 
Ѡ(А) =  2π – α(А).
Кривизной Ѡ(F) многогранной поверхности F называется сумма кривизн всех ее вершин. 
Будем считать, что у многогранной поверхности F:
f — число ее граней, е — число ее вершин, а к — число ее 
ребер.
Тогда число χ(F) = е – к + f называется эйлеровой характеристикой многогранной поверхности F.
Теорема. Кривизна Ѡ(F) замкнутой многогранной поверхности F равна 2πχ(F), т. е. выполняется равенство: 

 
Ѡ(F) = 2π(F) 
(*)

Доказательство. Можно считать, что грани F — треугольники Тi, так как при триангуляции простых граней число 
е – к + f не изменяется. 
Посчитаем сумму всех углов граней Тi. С одной стороны, 
она равна πf (граней f, а сумма углов в треугольнике равна π). 
С другой стороны, для любой вершины Аi выполняется равенство
 
Ѡ(Аi) = 2π – (Аi), 
(1)
значит, 
 
(Аi) = 2π – Ѡ(Аi). 
(2)