Нелинейная инкрементальная строительная механика


В. В. ПЕТРОВ








НЕЛИНЕЙНАЯ ИНКРЕМЕНТАЛЬНАЯ СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА



Издание 3-е, переработанное и дополненное













Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2020

УДК539.3
ББК38.112
    П30



Рецензенты:
академик РААСН, доктор технических наук, профессор В. И. Травуш, доктор технических наук, заведующий кафедрой ССМиК Тульского ГУ, профессор А. А. Трещев,
доктор технических наук, профессор СПб ГАСУ В. В. Карпов.




     Петров, В. В.
П30 Нелинейная инкрементальная строительная механика : монография / В. В. Петров.- 3-е изд., перераб. и доп. - Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2020. - 484 с. : ил., табл.
        ISBN 978-5-9729-0405-1


       В книге рассмотрены различные аспекты решения задач нелинейной строительной механики тонкостенных пространственных систем. Необходимость расчета конструкций на устойчивость и стремление полнее использовать возможности конструкционных материалов потребовало учета конечных перемещений и перехода к общим нелинейным зависимостям напряжений от деформаций. Поэтому нелинейные задачи включены в число объектов рассматриваемых строительной механикой.
       В книге обсуждаются и развиваются методы расчета тонкостенных пространственных систем, с помощью которых нелинейные задачи можно решать с помощью линейных уравнений. Это возможно сделать в рамках инкрементального подхода, когда на основе нелинейных уравнений получают линейные инкрементальные уравнения, содержащие в качестве неизвестных приращения (инкременты) искомых функций.
       Книга адресована широкому кругу читателей, научным работникам, преподавателям вузов, инженерам проектировщикам, специализирующимся в области расчета тонкостенных конструкций, аспирантам и магистрантам.

                                                          УДК 539.3
                                                          ББК38.112



ISBN 978-5-9729-0405-1

  © В. В. Петров, 2020
  © Издательство «Инфра-Инженерия», 2020
                         © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

 ПРЕДИСЛОВИЕ...................................................7

 Глава 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ.........................................13
 Основные соотношения нелинейной механики твердого деформируемого тела..............................13
 Механические свойства материалов при одноосном растяжении .20
 Теория малых упруго-пластических деформаций................28
 Уравнение изгиба балки из нелинейно-упругого материала ...34 Уравнение изгиба пластинки из нелинейно-упругого материала.36
 Смешанная форма уравнений изгиба пологой оболочки из нелинейно-упругого материала...........................39
 Уравнения гибких пологих оболочек в смешанной форме...........42
 Уравнения изгиба гибких пологих оболочек в перемещениях.......46
 Уравнения изгиба физически и геометрически нелинейных пологих оболочек ..............49
 Граничные условия..........................................50
 Полная энергия деформации гибкой пологой оболочки .........51

 Глава 2. ИНКРЕМЕНТАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ ....................54
 Получение инкрементальных уравнений .......................54
 Линеаризация уравнений методом последовательных нагружений....61
 Итерационные методы уточнения решений метода последовательных нагружений........................65
 Выделение главной части решения............................69
 Уточнение главной части решения модифицированным методом А.А. Ляпунова.....................................72
 Уточнение решения методом наискорейшего спуска.............73
 Экстраполяционные и интерполяционные методы уточнения решений.75
 Двухшаговый метод последовательного возмущения параметров..76
 Фундаментальная инкрементальная система уравнений механики деформируемого твердого тела...........80
 Физические инкрементальные уравнения нелинейно-упругого сжимаемого материала...................92
 Инкрементальные уравнения изгиба оболочек из нелинейно деформируемого материала.....................96
 Инкрементальные уравнения изгиба пологих оболочек пластинок и балок ..............................102
 Инкрементальные уравнения гибких пологих оболочек в перемещениях..................................107

3

 Инкрементальные уравнения в полных функциях.................108
 Уравнения изгиба физически нелинейных гибких пологих оболочек в полных функциях..........................114

 Глава 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ....................117
 Инкрементальные уравнения геометрически нелинейной теории пологих оболочек..........................117
 Выделение главной части решения.............................118
 Выделение главной части решения при расчете гибких круглых пластинок........................119
 Главная часть решения гибкой пологой оболочки на прямоугольном плане .....................................125
 Расчет гибких оболочек методом Бубнова-Галеркина............145
 Оболочки шарнирно-неподвижно опертые по   контуру...........150
 Несимметричные формы потери устойчивости гибких цилиндрических панелей......................................154
 Применение вариационного метода Власова-Канторовича.........156
 Деформации пластин и цилиндрических панелей под действием сжимающих сил приложенных на контуре .........163
 Сравнение метода Власова-Канторовича с методом вариационных итераций и другими методами..........166

 Глава 4. ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ .......................168
 Изгиб балок из нелинейно-упругого материала ................169
 Расчет балок вариационным методом Ритца-Тимошенко ..........169
 Расчет балки методом Бубнова-Галеркина .....................176
 Расчет нелинейно-упругих балок методом упругих решений......180
 Расчет нелинейно-упругой балки методом переменных параметров упругости ............................185
 Расчет нелинейно-упругой балки методом Ньютона-Канторовича..188
 Инкрементальное уравнение изгиба балки из нелинейно деформируемого материала.......................194
 Двухшаговый метод последовательного возмущения параметров...198
 Решение инкрементальных уравнений изгиба балки методом конечных разностей ....................202
 Инкрементальная форма метода Ритца-Тимошенко................203
 Решение инкрементального уравнения изгиба балки методом Бубнова-Галеркина .....................205
 Расчет нелинейно-упругих пластинок..........................208
 Расчет пластинки методом Ритца-Тимошенко....................209
 Расчет пластинки методом Бубнова-Галеркина..................212
 Расчет нелинейно-упругих пластинок методом упругих решений .214
 Расчет нелинейно-упругой пластинки методом переменных параметров упругости ....................215

4

 Инкрементальное уравнение изгиба пластинки из нелинейно-деформируемого материала............217
 Инкрементальная форма метода Ритца-Тимошенко при расчете пластинок......................................221
 Решение инкрементального уравнения изгиба пластинки методом Бубнова-Галеркина........................223
 Решение инкрементального уравнения изгиба пластинки методом Власова-Канторовича .....................225
 Решение инкрементального уравнения изгиба пластинки методом вариационных итераций ...................229
 Расчет нелинейно-упругой пластинки методом Ньютона-Канторовича .231
 Инкрементальные уравнения изгиба пластинки в полных функциях....232
 Расчет нелинейно-упругих оболочек..........................233

 Глава 5. НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫЕ ГИБКИЕ ПОЛОГИЕ ОБОЛОЧКИ....................................239
 Пологие оболочки на прямоугольном плане ...................239
 Влияние граничных условий на устойчивость оболочек.........249
 Симметричные и несимметричные формы потери устойчивости нелинейно деформируемых гибких пологих оболочек............253
 Бифуркационные формы потери устойчивости физически нелинейных гибких пологих оболочек...............257
 Устойчивость цилиндрических панелей под действием сжимающих контурных нагрузок ................263
 Анализ вариантов инкрементальных уравнений теории пологих оболочек....................................267

 Глава 6. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ БАЛОК, ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК.......................................276
 Общие замечания о неоднородных конструкциях................276
 Расчет балок при упрочнении поверхностных слоев ...........280
 Расчет пластинок при упрочнении поверхностных слоев........285
 Расчет гибких неоднородных пологих оболочек шарнирно опертых по контуру из физически нелинейного материала......293
 Исследование неоднородных пологих оболочек жестко защемленных по контуру с двумя видами нелинейности........ 298

 Глава 7. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КОНСТРУКЦИЙ С АГРЕССИВНЫМИ СРЕДАМИ.....................................303
 Вводные замечания..........................................303
 Моделирование процессов взаимодействия конструкций с агрессивной средой...........................308
 Виды взаимодействий материалов и сред......................312
 Модели поверхностного коррозионного разрушения ............317

5

 Модели коррозионного разрушения, учитывающие изменение сплошности материала .....................328
 Инкрементальные физические уравнения, учитывающие изменение сплошности материала .....................333
 Расчет долговечности изгибаемых балок при использовании функции сплошности............................336
 Определение долговечности пластинок при изгибе в агрессивной среде .................................340
 Модели, учитывающие процессы накопления повреждений ............344
 Инкрементальные физические уравнения, учитывающие накопление повреждений..............................353
 Расчет долговечности изгибаемых балок при использовании функции накопления повреждений ...............355
 Теория развивающейся неоднородности.............................360
 Изгиб пластинки в агрессивной среде.............................370
 Описание общего алгоритма расчета ..............................383
 Влияние параметров модели наведенной неоднородности на долговечность пластинок в агрессивных средах.................384
 Долговечность физически нелинейных пологих оболочек ............392
 Долговечность гибких пологих оболочек из нелинейно деформируемого материала...........................402

 Глава 8. РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ НА НЕЛИНЕЙНОМ НЕОДНОРОДНОМ ОСНОВАНИИ..........................................411
 Многофазные грунты как объект исследования......................411
 Применение уравнений механики сплошных сред при моделировании процесса деформирования основания.............415
 Плоская модель линейно деформируемого основания с развивающейся неоднородностью ................................424
 Изгиб балки на упругом неоднородном основании...................436
 Пространственная модель линейно деформируемого основания с развивающейся неоднородностью.......................437
 Техническая теория нелинейного неоднородного основания .........439
 Исследование модели нелинейно деформируемого основания..........448
 Изгиб балки на нелинейно-деформируемом основании................453
 Пространственная модель нелинейно деформируемого основания с развивающейся неоднородностью.......................459
 Изгиб пластинки на неоднородном основании ......................461
 Инкрементальные уравнения деформационной теории пластичности с учетом сжимаемости материала основания....462
 Плоская модель нелинейно деформируемого основания с развивающейся неоднородностью с учетом сжимаемости материала .................................467
 Пространственная модель нелинейно деформируемого основания с развивающейся неоднородностью с учетом сжимаемости материала .468

 ЛИТЕРАТУРА .....................................................474

                         Светлой памяти Учителя Василия Захаровича Власова посвящается




ПРЕДИСЛОВИЕ


    Строительная механика как наука выделилась из общей механики во второй половине XIX века. Объектами ее изучения были стержневые системы. В последние годы многообразие изученных объектов, рассматриваемых в строительной механике, стало увеличиваться. Сначала это были пластинки и пластинчатые системы, затем тонкостенные оболочки. Все эти задачи рассматривались в линейной постановке, что соответствовало уровню разработки применяемых методов расчета и развитию вычислительных средств того времени.
    Необходимость расчета конструкций на устойчивость и исследование закритических деформаций потребовало рассмотрения перемещений и углов поворота, которые уже нельзя считать малыми величинами, а стремление полнее использовать прочностные возможности конструкционных материалов сопровождающееся увеличением допустимых деформаций потребовало перехода от линейного закона Гука к более общим нелинейным зависимостям напряжений от деформаций. Исследование таких задач зависит от умения инженера применять методы решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных и использования возросших возможностей современных вычислительных средств и их широкого распространения. Это позволяет включить нелинейные задачи в число объектов рассматриваемых строительной механикой.
    Развитие строительной механики, понимаемой в широком смысле слова, в последние годы идет двумя основными путями. С одной стороны наблюдается тенденция к усложнению и уточнению расчетных схем, отказ от некоторых традиционных гипотез, лежащих в основе расчета. При этом уточняются математические модели поведения как конструкций, так и материала, из которого эти конструкции изготовляются, учитываются реальные условия нагружения и взаимодействие материала конструкций с реальной внешней рабочей средой. С другой стороны разрабатываются новые все более совершенные вычислительные методы, ориентированные на применение современной вычислительной техники.
    Обе эти тенденции дополняют друг друга. Использование для расчета конструкций быстро растущих возможностей вычислительной техники позволяет усложнять формулировку расчетных схем и рассматри

7

 вать новые задачи, которые ранее исследовать было затруднительно.
   В ряде случаев под действием нагрузки в тонкостенной конструкции возникают значительные прогибы сравнимые с ее толщиной. При проектировании большепролетных тонкостенных конструкций возникает важная задача определения нагрузки, при которой происходит потеря устойчивости, сопровождаемая появлением прогибов сравнимых с толщиной конструкции. Подобные задачи описываются нелинейными уравнениями и называются геометрически нелинейными.
   При расчете других конструкций в отдельных их зонах могут появляться напряжения превышающие предел упругости, но конструкция при этом продолжает выполнять свое функциональное назначение. Большинство строительных материалов подчиняется закону Гука при относительно малых деформациях, а конструкции эксплуатируются при деформациях в разы превышающие упругие. В этих случаях для определения несущей способности конструкции необходимо решать нелинейные уравнения. Такие задачи называются физически нелинейными. Расчет конструкций за пределом линейной упругости является значительно более сложной задачей, чем расчет в предположении линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Это является одной из причин того, что в практике проектирования используются методы строительной механики, основанные на законе Гука, и проектировщики идут на заведомый перерасход материала. В ряде случаев при расчете необходимо учитывать оба вида нелинейностей.
   По сравнению с линейными задачами, решение нелинейных задач сопряжено с преодолением существенных математических трудностей, усугубленных еще и тем, что некоторые принципы, используемые в линейной механике, не применимы для нелинейных задач. В частности, если материал работает неупруго, то отсутствует потенциал внутренних сил, при решении нелинейных задач нельзя использовать принцип независимости действия сил. В связи с этим представляется перспективным иметь такие методы расчета, которые позволяют решать нелинейные задачи, с помощью линейных уравнений. Это возможно сделать в рамках инкрементального подхода, когда на основе нелинейных уравнений получают линейные инкрементальные уравнения, содержащие в качестве неизвестных приращения (инкременты) искомых функций. При решении линейных инкрементальных уравнений появляется возможность использования хорошо разработанных принципов линейной строительной механики, применять методы решения применимые только для линейных уравнений и учитывать историю нагружения конструкции. Так как инкрементальным уравнениям, как правило, можно придать рекуррентный вид, то это существенно облегчает разработку программных комплексов, предназначенных для решения нелинейных задач.
   В предлагаемой читателю монографии идеология инкрементального подхода систематически применяется при рассмотрении как физически нелинейных задач, так и геометрически нелинейных задач и задач, в

8

которых необходим одновременный учет этих двух видов нелинейностей.
   В первой главе монографии приводятся основные соотношения, с помощью которых учитывается геометрическая или физическая нелинейность, и выводятся нелинейные уравнения, применяемые при расчете балок, пластинок и оболочек.
   Во второй главе обсуждаются различные способы получения инкрементальных уравнений и методы уменьшения погрешностей, возникающих при линеаризации нелинейных уравнений. Получена фундаментальная система линейных инкрементальных уравнений, из которой получены инкрементальные уравнения пригодные для определения напряженно-деформированного состояния нелинейных конструкций типа балок, пластинок и оболочек.
   Третья глава посвящена рассмотрению геометрически нелинейных задач. Основное внимание уделяется выделению главной части решения нелинейных задач. Дело в том, что стремление получить решение выбранной математической модели с возможно большей точностью должно сдерживаться наличием упрощающих гипотез примененных при создании этих моделей. В механике твердого деформируемого тела это гипотезы о сплошности, однородности, изотропности и идеальной упругости материала. В тонкостенных конструкциях дополнительно вводится кинематическая гипотеза Кирхгофа, при расчете за пределом упругости аппроксимируются экспериментальные диаграммы деформирования материала, для получения возможности применить те или иные "привычные" математические методы решения математической модели вводятся в рассмотрение и другие дополнительные гипотезы.
   Так как математическая модель изначально всегда содержит неустранимые погрешности, следовательно, и математическое решение поставленной задачи следует искать с точностью соответствующей суммарной погрешности используемых гипотез и упрощений. Поэтому в инженерной практике чаще всего нам достаточно иметь решение, которое отражает достоверное распределение напряжений и деформаций в опасных точках конструкции с требуемой инженерной точностью. Такое решение названо главной частью решения.
   Предложены различные методики выделения главной части решения. Инкрементальные уравнения, с помощью которых описывается поведение балок, пластинок и оболочек, содержат переменные коэффициенты, которые имеют определенный физический смысл. Анализ переменных коэффициентов иногда позволяет заменить их специально подобранными числами или обнулить некоторые из них. Это один из путей выделения главной части решения. При применении вариационных методов к уравнениям метода последовательных нагружений главную часть решения можно выделить, конструируя аппроксимирующие функции таким образом, чтобы они учитывали характер распределения нагрузки и другие особенности решаемой нелинейной задачи, что по

9

зволит выделить главную часть решения в виде первого приближения вариационного метода.
   В четвертой главе монографии на основе теории малых упруго-пластических деформаций А.А. Ильюшина рассмотрены задачи изгиба балок, пластинок и оболочек, выполненных из нелинейно-упругого материала. Уделялось внимание поиску методик выделения главной части решения на основе вариационных методов, метода упругих решений, метода Биргера, метода Ньютона-Канторовича и метода сеток.
   В строительстве и в других областях техники для изготовления пологих оболочек часто применяют материалы с повышенной деформатив-ностью, что требует при их расчете одновременного учета физической и геометрической нелинейности. В пятой главе монографии исследуется влияние одновременного учета геометрической и физической нелинейностей на напряженно-деформированное состояние нагруженных пологих оболочек. Рассмотрены оболочки с различными кривизнами и относительными толщинами на квадратном плане опертые по контуру на диафрагмы гибкие из своей плоскости. Анализируется вклад изгиб-ных напряжений в напряженно-деформированное состояние оболочек.
   В механике деформируемого твердого тела одной из классических гипотез является предположение об однородности свойств материалов. В соответствии с этой гипотезой все механические характеристики материала конструкций постоянны и не изменяются вдоль пространственных координат. Однако при расчете многих конструкций приходится принимать во внимание наличие макронеоднородности. Это и наличие выраженной слоистости материала, и результат воздействия на конструкцию во время ее эксплуатации различных природных или технологических факторов. Многие конструкции приобретают неоднородность свойств во время их эксплуатации, под воздействием внешней рабочей среды. В этих и других подобных случаях необходимо отказываться от гипотезы однородности и принимать во внимание, что механические характеристики материала конструкции существенно изменяются по ее объему вдоль пространственных координат.
   В шестой главе исследовано влияние упрочненного поверхностного слоя на распределение напряжений по толщине балок, пластинок и оболочек. Сформулированы выводы о возможности регулирования весовых характеристик балок и пластинок путем создания в них технологических неоднородностей для направленного регулирования несущей способности конструкций. В общем случае диаграммы деформирования высокопористого материала и в естественном состоянии и в упрочненном состоянии - нелинейные. Полагаем, что по глубине материала его свойства изменяются по нелинейному закону, который определяется применяемой технологией изготовления. Таким образом, в расчетную модель изгиба пластинки или оболочки вводится технологическая неоднородность свойств материала, и механические характеристики материала становятся непрерывными функциями пространственных ко

10

ординат. При расчете неоднородных оболочек кроме расчета на прочность необходима проверка на устойчивость. При решении данной проблемы, мы, чаще всего, попадаем в такую область изменения деформаций, где необходимо учитывать физическую нелинейность материала, а при решении задач устойчивости необходимо еще учитывать большие перемещения и углы поворота (геометрическая нелинейность).
   Многие конструкции подвергаются совместному воздействию различных эксплуатационных факторов: механических нагрузок, высоких или низких температур, агрессивных рабочих сред и тому подобное. При воздействии агрессивных сред кратковременные и длительные механические характеристики материала с течением времени изменяются, что вызывает изменение напряженно-деформированного состояния конструкции. Возникает проблема построения теории, описывающей различные виды неоднородностей на основе фундаментальных представлений механики деформируемого твердого тела. С этой целью в седьмой главе разрабатывается теория развивающейся наведенной неоднородности, на основе которой строятся частные нелинейные модели тонкостенных пространственных конструкций типа балок, пластинок и оболочек.
   Восьмая глава монографии посвящена вопросам моделирования расчета конструкций на нелинейно деформируемом основании с развивающейся неоднородностью свойств. Введение дополнительных гипотез позволило на основе вариационного метода В.З. Власова построить плоскую и пространственную инкрементальные технические модели нелинейно-деформируемого основания.
   Чтобы сделать монографию доступной возможно более широкому кругу читателей, автор стремился проводить все выводы наиболее просто, используя в основном те разделы математики, которые читаются в вузах студентам технических специальностей, избегая, по возможности, использования тензорного исчисления и соответствующей ему символики.
   В процессе чтения книги читатель познакомится с многообразием методов, применяемых для решения линейных задач, которые позволяют исследовать нелинейные проблемы однотипным методом. Представленное в монографии достаточно большое число примеров расчета балок, пластинок и оболочек в нелинейной постановке и анализ полученных результатов позволят читателю глубже понять физическую сторону рассматриваемой нелинейной проблемы.
   Автор более полувека занимается исследованием нелинейных задач строительной механики и созданием методик их расчета. За это время им были вовлечено в сферу научных интересов большое количество учеников, 64 из которых защитили кандидатские диссертации, а 11 стали докторами наук и имеют своих учеников.
   Автор выражает благодарность своим единомышленникам докторам наук профессорам Н.Ф. Синевой, В.К. Иноземцеву и И.Г. Овчинникову,



11

которые внимательно прочли рукопись и сделали весьма полезные замечания, учтенные в окончательном варианте рукописи. Огромная признательность рецензентам монографии академику РААСН, доктору технических наук проф. В.И. Травушу, доктору технических наук проф. А.А. Трещеву и доктору технических наук проф. В.В. Карпову за большой труд по рецензированию монографии и ценные советы. Отдельная бла



годарность моему ученику и сотруднику кандидату технических наук, доценту И.В. Кривошеину, который взял на себя тяжелый и ответственный труд по выполнению вычислительной работы, связанной с многочисленными примерами расчета, приведенными в книге. И, наконец, большое спасибо моей супруге С.В. Петровой, создавшей все необходимые условия для работы над книгой, которая без ее внимания и заботы вряд ли была бы завершена.



                                         В.В. ПЕТРОВ, академик РААСН.


12

            Глава 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТЕЛ




       Основные соотношения нелинейной механики твердого деформируемого тела

       В этой главе приводятся основные уравнения механики твердого деформируемого тела и необходимые соотношения, используемые в последующих главах монографии.
       Основной задачей механики твердого деформируемого тела является построение математических моделей процессов деформирования конструкций. Эта задача решается путем математического построения обоснованных определяющих уравнений, связывающих между собой напряжения, перемещения и деформации точек тела при внешних воздействиях. В то же время определяющие соотношения между напряжениями и деформациями могут быть правильно математически сформулированы лишь на основе обобщения результатов экспериментальных исследований. Требования к направленности экспериментальных исследований формулируются в процессе построения математической модели. Такой подход носит название феноменологического подхода.
       Основной гипотезой механики деформируемого тела является так называемая гипотеза о сплошности строения тела. По этой гипотезе сплошное тело, то есть тело непрерывное до деформации остается непрерывным и после деформации; непрерывным остается любой объем тела, в том числе и микрообъем. Поэтому деформации и перемещения точек тела являются непрерывными функциями координат.
       Таким образом, в классической механике деформируемого твердого тела не учитывается дискретное атомистическое строение вещества и движение отдельных молекул. В механике сплошной среды деформации определяются с помощью феноменологических понятий, подтверждаемых макроопытом. Можно считать, что все величины, характеризующие напряжения и деформации являются статистическими средними величинами в конгломерате зерен металлов и в других технических конструкционных

13

   материалов. Взаимоотношения между механикой сплошной среды и физической теорией строения вещества это взаимоотношения между макро- и микрофизикой.
        Другими гипотезами механики сплошной среды является наделение материала тела свойствами естественно ненапряженного состояния, шаровой изотропии, совершенной однородности. Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии предполагает, что начальные напряжения в теле, характер и величина которых зависит от истории его возникновения, полагаются равными нулю. В соответствии с этим определяемые напряжения являются приростом напряжений в рассматриваемых точках по отноше
   нию к неизвестным начальным напряжениями в этих же точках.
        Шаровая изотропия материала проявляется в том, что его физико
   механические свойства одинаковы по всем направлениям, проведенным из каждой произвольной точки: любую плоскость, проходящую через эту

   точку, можно рассматривать как плоскость симметрии. Полагая, что этим свойством обладают все микрообъемы материала, приходим к понятию однородного изотропного тела.

        Механика сплошной среды не рассматривает микропроцессы, в реальных телах. Она описывает процессы деформирования с макроскопиче

   ской точки зрения, не вдаваясь в физическую суть происходящих явлений, и опирается на феноменологическую сторону процессов.
        Напряженное и деформированное состояние в точке тела полностью определено, если в ней известны тензоры напряжений и деформаций. Тен
   зор напряжений Та имеет вид квадратной матрицы

T

                                  ("
Кх т \ⁱx

■ ) ъ \

К °y т

(1.1)

   В силу закона взаимности (парности касательных напряжений), впервые доказанным Коши, для определения напряженного состояния достаточно знать только шесть компонент тензора напряжений, так как

■ = т , т = т , т = т xy     yx, yz zy, zx xz

(1.2)

       Деформированное состояние в окрестности произвольной точки тела определяется тензором деформаций Т£ , который также имеет вид квадратной матрицы

    £x   1     1    )
         2 7xy 2 Yxz 
T = 1          1 .   
    Ю|    £y   2 Yyz 
    1    1           
    1 еч 2 ^zy     £z
    __>          >   

(1.3)

14