Математическое моделирование объектов и систем автоматического управления


Ю. В. Васильков, Н. Н. Василькова



МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ


Учебное пособие

Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2020

УДК681:001.891.573
ББК32.965:22.18
    В19








      Васильков, Ю. В.
В19 Математическое моделирование объектов и систем автоматического управления: учебное пособие / Васильков Ю.В., Василько-ваН.Н. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2020. - 428 с. : ил., табл.
          ISBN 978-5-9729-0386-3


     Показана связь математического моделирования и теории автоматического управления с точки зрения их роли в профессиональной подготовке специалистов по автоматизации технологических процессов и производств. В первой части раскрываются вопросы моделирования аналитическими и экспериментальными методами технологических процессов как объектов управления для последующего использования моделей при проектировании АСУ с необходимыми показателями качества. Во второй части рассмотрены вопросы анализа и синтеза линейных систем автоматического управления по моделям объектов управления с позиций математического моделирования.
     Для бакалавров по направлению 27.03.04 «Управление в технических системах», профиль «Автоматизация управления в технических системах (технологических процессов и производств)». Пособие также может быть полезно при изучении отдельных дисциплин в магистратуре по тому же направлению.

                                          УДК681:001.891.573
                                          ББК32.965:22.18





ISBN 978-5-9729-0386-3

     © Васильков Ю. В., Василькова Н. Н., 2020
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2020
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2020

            ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие...............................................................7

........... Часть 1. Математическое моделирование объектов управления................11

Введение. Моделирование - универсальный инструмент исследований процессов и систем..........................................13
Глава 1. Концепция моделирования как методологии познания................18
1.1. Основные понятия и определения......................................19
1.2. Применение моделирования............................................26
1.3. Классификация математических моделей................................28
1.4. Технология построения моделей.......................................30
1.5. Проверка адекватности модели........................................38
1.6. Инструменты моделирования...........................................42
Задания для самостоятельной работы.......................................44
Контрольные вопросы......................................................45
Глава 2. Аналитические методы построения моделей технологических процессов................................................46
2.1. Балансовые соотношения..............................................47
2.2. Система допущений...................................................48
2.3. Моделирование простейших «типовых» процессов........................53
    2.3.1. Накопление жидкости в аппарате................................54
    2.3.2. Накопление газа в аппарате....................................62
    2.3.3. Теплообмен смешением..........................................65
    2.3.4. Нагрев твёрдого тела..........................................70
    2.3.5. Превращение веществ (химические реакции)......................75
    2.3.6. Транспортировка жидкостей.....................................78
    2.3.7. Кипение жидкостей.............................................80
    2.3.8. Основы теории равновесия в многокомпонентной парожидкостной системе..............................................................85
    2.3.9. Сушка.........................................................88
    2.3.10. Моделирование электропривода.................................94
    2.3.11. Модели динамики потоков.....................................100
    Задания для самостоятельной работы..................................115
    Контрольные вопросы.................................................116
2.4. Моделирование основных технологических процессов...................117
    2.4.1. Моделирование теплообменных процессов в промышленных аппаратах.117
    2.4.2. Моделирование реакционных процессов в промышленных аппаратах.128
    2.4.3 Основы моделирования массообменных процессов..................140
    Задание для самостоятельной работы..................................141
    Контрольные вопросы.................................................142
Глава 3. Экспериментальные методы построения моделей технологическихпроцессов................................................144

3

3.1. Особенности построения моделей статики........................145
3.2. Особенности проведения активных экспериментов.................146
3.3. Построение статических детерминированных моделей..............148
    3.3.1. Обоснование вида модели.................................148
    3.3.2. Метод наименьших квадратов..............................149
    3.3.3. Метод Брандона..........................................151
    3.3.4. Корректность задачи определения параметров модели.......152
    Задания для самостоятельной работы.............................153
    Контрольные вопросы............................................154
3.4. Построение статических стохастических моделей.................155
    3.4.1. Основы регрессионного анализа...........................155
    3.4.2. Этапы построения моделей................................158
    Задания для самостоятельной работы.............................166
    Контрольные вопросы............................................167
3.5. Основыпланированияэкспериментов...............................168
    3.5.1. Полный факторный эксперимент (ПФЭ)......................170
    3.5.2. Дробный факторный эксперимент (ДФЭ).....................174
    3.5.3. Основы планов второго порядка...........................179
    Задания для самостоятельной работы.............................183
    Контрольные вопросы............................................184
3.6. Планирование отсеивающих экспериментов........................185
3.7. Планирование экспериментов в условиях дрейфа..................189
3.8. Активные методы получения моделей динамики....................191
    3.8.1. Получение кривых разгона................................191
    3.8.2. Построение моделей динамики методом последовательного логарифмирования...............................................193
    3.8.3. Построение моделей для объектов с кратными корнями передаточных функций........................................................201
    3.8.4. Построение моделей для объектов с передаточной функцией общего вида.202
    3.8.5. Построение модели в виде дифференциального уравнения второго порядка... 203
    3.8.6. Экспериментальная оценка параметров моделей потоков.....205
    Задания для самостоятельной работы.............................212
    Контрольные вопросы............................................213
3.9. Пассивные методы построения моделей...........................214
    3.9.1. Пассивные методы построения моделей статики.............214
    3.9.2. Пассивные методы построения моделей динамики............216
Заключение к первой части..........................................219
Литература к первой части..........................................221
Приложение А. Ответы на контрольные вопросы........................223
Приложение Б. Наиболее важные статистические таблицы для решения практических задач построения экспериментальных моделей............233

Часть 2. Математическое моделирование систем автоматического управления.........................................237

Введение. О роли математического моделирования в задачах теории автоматического управления.........................................239


4

Глава 1. Аналитическое проектирование систем автоматического управления на основе математических моделей: цели, задачи, этапы.....243
Глава 2. Структура системы автоматического управления. Моделирование функциональныхэлементов САУ............................250
2.1. Типовая структурная схема одноконтурной замкнутой САУ...........250
2.2. Моделирование функциональных элементов САУ......................254
    2.2.1. Понятие об эквивалентном объекте управления и его модели...254
    2.2.2. Моделирование датчиков....................................258
    2.2.3. Моделирование исполнительных устройств....................261
         2.2.3.1. Особенности моделирования пневматических исполнительных устройств ... 261
         2.2.3.2. Особенности моделирования электрических исполнительных устройств ....264
    Резюме............................................................268
Глава 3. Постановка задачи синтеза САУ с желаемыми показателями качества как этап моделирования систем автоматического управления....269
Глава 4. Моделирование процессов настройки линейных систем автоматического управления точными и приближенными методами..........278
4.1. Точные методы!. Аналитический метод расширенных частотных характеристик........................................................281
    4.1.1. Логика метода.............................................281
     4.1.2. Вывод уравнений, моделирующих процессы настройки многопараметрических типовых регуляторов.........................287
    4.1.3. Корректировка математической модели процесса настройки САУ
    с ПИД-регулятором.................................................296
     4.1.4. Алгоритм решения математической модели процесса настройки линейной САУ с ПИД-регулятором....................................300
4.2. Приближенные инженерные методы! моделирования процессов настройки линейных САУ...............................................304
    4.2.1. Аналитический формульный метод............................304
    4.2.2. Экспериментальные методы настройки в среде Simulink.......312
         4.2.2.1. Метод незатухающих колебаний.......................312
         4.2.2.2. Метод затухающих колебаний.........................314
    Резюме...........................................................315
Глава 5. Анализ замкнутой системы автоматического управления методами математического моделирования...............................316
    Резюме...........................................................329
Глава 6. Примеры моделирования процессов синтеза и анализа линейных САУ с желаемыми показателями качества.......................330
6.1. Предисловие.....................................................330
6.2. Исходные данные. Цель и задачи исследований.....................331
6.3. Решение поставленных задач......................................335
     6.3.1. Моделирование процесса настройки ПИД-регулятора методом расширенных частотных характеристик..............................336
    6.3.2. Вычислительные эксперименты по модели процесса настройки САУ
    с ПИД-регулятором.................................................343
     6.3.3. Моделирование переходных процессов в замкнутой системе по каналу управления........................................................351

5

         6.3.3.I. Переходные процессы по каналу управления при степени колебательности m = 0,221..........................................354
         6.3.3.2. Переходные процессы по каналу управления при заданных значениях степеней колебательности m = 0,366, m = 0,478, m = 0,751.357
     6.3.4. Моделирование запасов устойчивости синтезированных САУ
     с ПИД-регулятором......................................................362
     6.3.5. Моделирование переходных процессов по каналам возмущения в замкнутой САУ с ПИД-регулятором......................................367
         6.3.5.I. Моделирование переходных процессов в замкнутой системе по первому каналу возмущения.......................................367
         6.3.5.2. Моделирование переходных процессов в замкнутой системе по второму каналу возмущения....................................369
         6.3.5.3. Моделирование переходных процессов в замкнутой системе по третьему каналу возмущения...................................371
     6.3.6. Выводы по результатам моделирования процессов синтеза и анализа замкнутых САУ с ПИД-регулятором методом РЧХ.........................372
     6.3.7. Моделирование процесса настройки ПИ-регулятора методом расширенных частотных характеристик............................373
         6.3.7.I. Построение кривых заданных степеней колебательности....373
         6.3.7.2. Моделирование запасов устойчивости........................375
         6.3.7.3. Моделирование переходных процессов в замкнутых системах автоматического управления с ПИ-регулятором........................376
     6.3.8. Выводы по результатам моделирования процессов синтеза и анализа замкнутых САУ с ПИ-регулятором методом РЧХ..........................379
6.4. Моделирование процессов синтеза САУ инженерными методами...............380
     6.4.1. Аналитический формульный метод настройки ПИД- и ПИ-регуляторов 380
         6.4.1.1. Настройка регуляторов.....................................382
         6.4.1.2. Моделирование переходных процессов в замкнутых САУ........383
         6.4.1.3. Анализ результатов........................................388
     6.4.2. Метод Циглера - Никольса (метод незатухающих колебаний).........389
         6.4.2.1. Настройка регуляторов.....................................389
         6.4.2.2. Моделирование переходных процессов в замкнутых САУ........392
         6.4.2.3. Анализ результатов........................................396
     6.4.3. Метод затухающих колебаний......................................397
         6.4.3.1. Настройка регуляторов.....................................397
         6.4.3.2. Моделирование переходных процессов в замкнутых САУ........401
         6.4.3.3. Анализ полученных настроек регуляторов....................404
Резюме......................................................................404
Литература ко второй части..................................................405
Контрольные вопросы ко второй части.........................................407
     Резюме.................................................................418
Приложение В. Список используемых аббревиатур...............................419
Приложение Г. Список используемых обозначений...............................420
Заключение..................................................................423
Вместо эпилога..............................................................426

6

            ПРЕДИСЛОВИЕ



                                         Нашим учителям и ученикам посвящается

     Любые науки с самого начала своего существования всегда использовали два метода познания изучаемых процессов и явлений: теорию и эксперимент. Существовала, да и сейчас существует даже классификация, обусловленная специализацией учёных: например, теоретическая физика и экспериментальная физика; теоретическая механика и прикладная механика ит.п.
     По мнению многих интернет-авторов современности, во второй половине XX века появился и начал бурно развиваться третий вид познания - математическое моделирование. Причём его развитие и применение ускорилось и расширилось во второй половине прошлого века, что связывают с появлением первых ЭВМ, с их быстрой по историческим меркам трансформацией в современные компьютеры благодаря бурному развитию электроники, с появлением информационных сетей и информационных технологий.
     Однако, по мнению авторов, любая наука математическим моделированием занималась всегда. Если подумать, то законы любых наук, выраженные математическим языком специальных символов и действий, это и есть уже математическое моделирование различных природных явлений, процессов, событий, позволяющее человеку лучше понимать суть процессов окружающего мира и даже учиться управлять этими процессами. Возьмём для примера законы всемирного тяготения, трения, всевозможные законы движения (например, прямолинейного или вращательного), законы движения по наклонной плоскости, законы электричества, теплоотдачи, теплопередачи, химических превращений и т.д. и т. п. Все эти законы с некоторых пор служат человечеству, т. к. используются в производстве необходимых человеку вещей, веществ, продуктов, изделий, средств транспорта, связи и др. Неслучайно в математике, физике и других науках многие законы носят имена великих учёных прошлого: Пифагора, Архимеда, Паскаля, Ампера, Ньютона, Фарадея, Максвелла, Эйлера, Лагранжа, Чебышёва, Гаусса, Эйнштейна и др., которые присвоило им благодарное человечество.
     На каждом этапе своего исторического развития законы разных наук моделировали окружающий мир, процессы, происходящие в нём, которые могло наблюдать человечество, настолько широко и глубоко, насколько позволял уровень развития наук в тот период. С течением времени многие

7

законы корректировались благодаря новым знаниям. Эксперимент позволял проверить соответствие теоретических законов реальным процессам и явлениям. Не зря давно существует в научной среде хорошо известный рефрен: «Практика - критерий истины».
     Если провести параллели с современным математическим моделированием, то этот «новый» способ познания имеет ту же методологию, что и науки прошлого, т. е. сначала разрабатывается качественная модель, которая формализует процессы и системы, подлежащие пониманию и детальному изучению. Затем переходят к количественной модели, позволяющей получать конкретные количественные оценки моделируемого процесса или явления в разных условиях, оценивать адекватность модели реальному процессу, прогнозировать по ней будущие события в данной системе.
     По мнению авторов, современное математическое моделирование является развитием методологии познания действительности наук прошлого. Оно в XX веке просто совершило качественный скачок в своих возможностях благодаря появлению параллельного виртуального мира, созданного информационными технологиями, а также в потребностях активного применения в жизни и деятельности современного человека. Сначала этот скачок привёл к радикальному изменению характера труда человека, освобождению его от тяжёлой физической работы. Но очень быстро появился запрос и на моделирование интеллектуального труда, чтобы избавить человека от утомительной рутинной работы, сопровождающей многие виды его деятельности. Так появились автоматические системы, облегчающие не только физический, но и умственный труд человека. К концу XX века человек замахнулся на самого себя, пытаясь промоделировать работу мозга и создать искусственный интеллект.
     Потребность в более широком использовании математического моделирования со второй половины прошлого века и в настоящее время вполне объяснима необходимостью решения всё более сложных и разнообразных задач, стоящих перед человеческим обществом. Это в первую очередь задачи, связанные с необходимостью автоматизации производственных процессов, но и не только. Современные огромные потоки информации также требуют предварительного моделирования с целью их структурирования, упорядочивания, системности, т. к. как без этого человек уже не сможет справиться с огромными объёмами данных, чтобы выбрать необходимые.
     Математическое моделирование, особенно в его современном варианте -компьютерном моделировании, значительно ускоряет процессы познания и проектирования всё более сложных производственных объектов и систем, особенно требующих автоматизации в силу не только сложности управления такими объектами и системами, но и из-за создаваемых ими неблагоприятных условий как для человека, так и для окружающей среды.

8

     Задачи, возникающие в современном производстве и окружающем мире, часто настолько сложны и многообразны, что порой превосходят человеческие возможности, требуют упрощения для более-менее полного восприятия человеком в режиме реального времени. Этому и могут помочь математические модели, т. е. своеобразные неполные копии сложных объектов и систем, учитывающие то разумное количество факторов, которое определяет основную их сущность по меньшему количеству меняющихся параметров состояния, уже доступному для человеческого восприятия.
     Математическое моделирование приобретает особое значение, когда проведение реальных экспериментов по многим причинам невозможно: либо дорого, либо опасно, либо ещё не существует необходимой техники для таких экспериментов.
     Математическое моделирование даёт возможность прогнозировать поведение объектов и систем ещё до их создания без серьёзных капитальных затрат. Это особенно важно в современном мире, когда полёт фантазии человека не ограничивается только земными процессами бытия, а пытается замахнуться на объекты макромира (космоса, вселенной) и микромира (атом, наномир), чтобы извлечь из всего этого пользу для жизни и деятельности.
     Математическое моделирование - реальная панацея и при исследовании как быстротекущих процессов, наподобие взрыва, так и чрезвычайно медленных, таких как, например, геологические процессы. И с теми, и с другими человеку приходится иметь дело (химические реакции, разведка и добыча полезных ископаемых и пр.).
     В такой профессиональной деятельности человека, как управление в технических системах, когда стоят задачи автоматизации управления технологическими процессами и производствами (другими словами, в автоматике), значение математического моделирования объектов и систем всегда было очень высоко. Это нашло своё отражение в широком развитии математических методов синтеза и анализа автоматических систем управления сложными техническими объектами в базовой науке «теория автоматического управления» ещё до того, как заявила о себе в полный голос самостоятельная наука «математическое моделирование».
     Данное пособие в качестве парадигмы предлагает сквозную концепцию применения методов математического моделирования не только для изучения объектов управления, которые предстоит автоматизировать. Предлагается подойти и к процессам проектирования автоматических систем управления (т.е. их синтеза и анализа) с позиций методов математического моделирования, которые открывают небывалые возможности для решения задач прогноза качества и достижения желаемых показателей качества таких систем.

9

     Как показывает опыт работы авторов в вузе, молодые люди, воспитанные с раннего возраста в ауре восхищения современными компьютерами и телефонами с точки зрения мгновенной добычи необходимой информации из Интернета практически без каких бы то ни было интеллектуальных усилий, панически боятся математики. Для них не очевидно, что иметь информацию и владеть ею - это не одно и то же. Человек может овладеть информацией и обрести знания только усилиями своего интеллектуального труда, а не наличием крутого телефона в кармане.
     В современном мире, насыщенном компьютерами и информационными технологиями, уже невозможно обходиться без математического моделирования, чему и посвящена данная книга, предназначенная для будущих специалистов по автоматизации.
     Математики не надо бояться, её надо постигать, ибо она, вооружённая возможностями современных вычислительных и моделирующих пакетов, таких, как Mathcad, MATLAB и др., становится интеллектуальным ядром человеческого общества. Ещё Михаил Васильевич Ломоносов говорил: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит». И был совершенно прав. Кто сомневается - попробуйте! Желаем удачи!
Авторы

10

Васильков Ю. В.

ЧАСТЬ 1


МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

     Первая часть учебного пособия посвящена вопросам построения моделей технологических процессов как объектов в автоматических системах управления.
     В первой главе представлены особенности и этапы математического моделирования. Во второй рассматриваются подходы к составлению моделей «элементарных» процессов, являющихся частью большинства производств. На их основе разрабатываются модели распространённых технологических процессов, которые, в свою очередь, могут использоваться при синтезе систем автоматического управления. В третьей главе приводятся методы экспериментального построения моделей статики и динамики объектов управления, включая методы планирования экспериментов.
     Исследование свойств моделей (вычислительные методы их решения) и применение моделей в системах принятия решений, проектирования технологий и оборудования не являются предметом рассмотрения, что связано с изучением студентами этих вопросов в других специализированных дисциплинах.

12

ВВЕДЕНИЕ.
МОДЕЛИРОВАНИЕ -УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ИНСТРУМЕНТ
ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ

                              Всякое уравнение длиной более двух дюймов, скорее всего, неверно!
Дж. Эндрюс, Р. Мак-Лоун [14]

    Моделирование как методология познания завоевывает все новые и новые позиции в различных областях деятельности человека. Оно становится главенствующим направлением в проектировании и исследовании новых систем, в том числе систем управления, анализе свойств существующих систем, выборе и обосновании оптимальных условий их функционирования и т. п.
    Моделирование включает в себя процессы построения, анализа и применения моделей для решения практических задач [9, 14, 19]. Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает интересующий нас объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об этом объекте-оригинале. Необходимость использования моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует времени и средств.
    В процессе изучения свойств объекта при моделировании модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение модельных экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее поведении. Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели.
    Основная задача моделирования состоит в качественном и количественном исследовании различного рода процессов и систем, прогнозировании их поведения в различных условиях с целью управления ими или поиска наилучших условий функционирования.
    В силу многозначности понятия «модель» в науке и технике не существует единой классификации видов моделирования. Классификацию можно проводить по характеру моделей, по характеру моделируемых объектов, по сферам приложения моделирования (в технике, физических науках,

13

кибернетике ит.д.). Сейчас трудно указать область человеческой деятельности, где не применялось бы моделирование.
     Более того, перед реализацией каждого технического или организационного проекта должно проводиться его моделирование, что делает процесс реализации любого проекта предсказуемым, управляемым, а значит, и снижает общие затраты на его осуществление.
     Одним из наиболее универсальных видов моделирования является математическое. Математическое моделирование широко проникло в различные области знаний и их приложения: технические, экономические, социальные, биологические и многие другие, на первый взгляд, даже очень далёкие от математики. Специалистам же в области управления в технических системах, создающим сложные автоматические и автоматизированные системы управления, обязательно необходимо владеть современными концепциями и методами математического моделирования, иметь представление об инструментарии, применяемом при моделировании, что значительно облегчит задачи проектирования таких систем.
     В данном курсе рассматриваются в основном математические модели, хотя для понимания их места в общем подходе к моделированию приводятся основные особенности и других видов моделей. Это обусловлено следующими основными причинами:
     1.      Математические модели в связи с развитием прикладной математики и средств вычислительной техники обеспечивают достаточно глубокое и детальное описание огромного количества явлений и процессов, происходящих вокруг нас, в том числе и в технике и технологиях, с получением количественных результатов в приемлемое время (даже при оперативном управлении различными процессами).
     2.      Роль математизации знаний настолько велика, что математические инструменты исследования реальных объектов являются критерием фундаментальности научных исследований.
     В силу многозначности понятия «модель» в науке и технике трудно создать единую классификацию видов моделирования. Классификацию нередко проводят по характеру моделируемых объектов, по сферам приложения моделирования (в технике, физических науках, кибернетике и т. д.), по характеру моделей. Например, в литературе можно найти следующие виды моделирования: информационное, компьютерное, математическое, цифровое, логическое, статистическое, структурное, экономико-математическое, эволюционное моделирование и т.д. и т. п. Представляется, что все перечисленные виды моделирования не имеют принципиальных различий с точки зрения техники и методологии моделирования - построения модели, исследования модели и её применения. Во всех случаях модели могут отличаться объектом, который может накладывать какие-то специфические особенности на область применения модели, но с точки зрения собственно

14