Математические методы принятия управленческих решений

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ -  БАКАЛАВРИАТ 

серия основана в 1 ЭЭБ г.

Г.С. ЖУКОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 
ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ 
РЕШЕНИЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано

Министерством образования и науки Российской Федерации 
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по экономическим специальностям

Э л в к т р о н н о 
znanium.com

Москва
ИНФРА-М

2021

УДК 519.71(075.8) 
ББК 22.18я73 
Ж86

Р е ц е н з е н т ы :

Самохин В.Н., доктор физико-математических наук, профессор 
Московского политехнического университета;

Орлик Л.К., кандидат физико-математических наук, профессор 
Российского государственного социального университета

Жукова Г.С.

Ж  86 
Математические методы принятия управленческих решений : учебное пособие /  Г.С. Жукова. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 212 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1084987.

ISBN 978-5-16-016169-3 (print)
ISBN 978-5-16-108513-4 (online)
Цель пособия — помочь студентам овладеть основными понятиями 
и методами исследования, используемыми в теории оптимального управления. Даны основы математического моделирования. Систематизированы 
математические методы принятия управленческих решений в линейных, 
нелинейных и динамических задачах оптимального функционирования 
социально-экономических процессов.

По каждому разделу приведены многочисленные примеры применения 
этих методов к решению прикладных задач. Большое внимание уделено 
сравнению предложенных методов, правильному выбору схемы исследования задачи, разбору примеров и анализу сложных ситуаций, возникающих при изучении указанных разделов теории принятия решений, методов 
оптимального управления.

Рекомендуется преподавателям, студентам и аспирантам вузов, изучающим высшую математику.

УДК 519.71(075.8) 
ББК 22.18я73

ISBN 978-5-16-016169-3 (print) 
ISBN 978-5-16-108513-4 (online)
© Жукова Г.С., 2020

О Г Л А В Л Е Н И Е

В в е д е н и е .

Глава 1

Задача оптимального управления
9

§ 1. 
Постановка задачи......................................  
9

§2. 
Классификация задач................................  
11

§ 3. 
Задача безусловной оптимизации...........  
14

§ 4. 
Задача условной оптимизации.................  
29

§ 5. 
Наибольшее и наименьшее значения
функции....................................................... 
39

§ 6. 
Задачи для самостоятельного решения... 
43

Ответы........................................................... 44

Глава 2

Задача линейной оптимизации 
45

7. 
Постановка задачи.....................................  45

8. 
Приведение условий связи к каноническому виду...................................................  49

9. 
Примеры линейных задач в экономике.. 
58

10. 
Схема выбора оптимальной стратегии.... 72

11. 
Геометрический метод..............................  
81

12. 
Симплекс-метод.......................................... 
92

13. 
Задачи с решениями.................................. 
102

14. 
Задачи для самостоятельного решения... 
110

Ответы.........................................................  
112

3

Глава 3

Задача нелинейной оптимизации
113

§15. Постановка задачи......................................  
113

§ 16. Примеры нелинейных задач в экономике 
 
118

§17. Элементы выпуклого анализа.................... 
125

§ 18. Метод наискорейшего спуска.................... 
129

§ 19. Необходимое условие экстремума...........  
136

§ 20. Графический метод..................................... 
141

§21. Метод множителей Лагранжа.................... 
145

§ 22. Задачи для самостоятельного решения... 
154

Ответы.......................................................... 
157

Глава 4

Задача динамической оптимизации

§23. 
Принцип оптимальности..............  
160

§24. 
Рекуррентное соотношение.......... 
164

§25. 
Примеры задач динамической оптимизации в экономике 
 
174

§ 26. 
Примеры с решениями................. 
185

§27. 
Задачи для самостоятельного решения... 
202

Ответы.............................................. 
210

Б и б л и о г р а ф и ч е с к и й  с п и с о к ................... 
211

4

В В Е Д Е Н И Е

Управление и планирование являются наиболее 
сложными функциями в работе предприятий, фирм, 
служб администраций всех уровней. Задачи совершенствования организационных форм управления современным производством (повышения эффективности 
производства, экономии ресурсов, разработки новых 
методов планирования) требуют использования всех 
достижений науки и техники.

Масштабность анализируемых задач существенно 
усложняет процесс принятия решений, практически 
исключив возможность делать это только на основе 
предыдущего опыта. Теперь для принятия обоснованного решения необходимо прежде всего учитывать новые факторы и обстоятельства, собирать и обработать 
большое количество информации, определяемое иногда 
астрономическими цифрами. Любая ошибка в процессе принятия решения в управлении и планировании 
может обернуться огромными финансовыми потерями 
или даже ликвидацией предприятия.

К достижению поставленной цели можно во многих случаях прийти, используя различные пути, требующие разных по величине затрат. Естественно желание из всех возможных вариантов выбрать наиболее 
экономичный, который наилучшим образом соответствует поставленной задаче.

Математические методы в той или иной степени 
применялись в экономических расчетах и исследованиях давно. Любой количественный анализ способствует повышению эффективности принимаемых решений. Именно с этих позиций есть все основания характеризовать современный этап в развитии и практическом использовании математических методов как направление становления экономики как точной науки.

5

Если ранее математический аппарат использовался преимущественно как инструмент уточнения деталей, то в настоящее время ставится задача выбора варианта управления экономическим процессом, при котором будет достигнут наилучший конечный результат.

В экономико-математических исследованиях применяется весьма разнообразный математический аппарат как общий (линейная алгебра, дифференциальные уравнения, математическая логика, теория информаций, теория вероятностей, математическая статистика и т. д.), так и специальный, разработанный 
для экономических задач (линейное и динамическое 
программирование, теория игр, исследование операций и т. д.).

Использование математики в экономике ставит 
ряд новых задач перед экономической наукой, требует 
более полного и точного количественного описания 
экономических процессов, выбора определяющих экономических показателей (параметров порядка), без которых математические модели оказываются неадекватными действительности.

Широкое и плодотворное развитие математических методов исследования экономики за последние 
годы в большей степени связано с созданием современных быстродействующих вычислительных машин и 
персональных компьютеров. С их помощью стало возможным изучение экономических процессов, описывающихся математическими моделями, включающими 
большое число переменных и зависимостей между ними.

Однако без строгих математических формулировок и математического описания анализируемых процессов не представляется возможным принять обоснованное решение задач сферы управления и планирования, несмотря на любые возможностей ЭВМ. Тщательный математический анализ различных факторов

6

и их сопоставление, правильная формулировка цели 
исследования, выделение главных определяющих связей и отбрасывание второстепенных позволяют составить математическую модель процесса, достаточно 
полно отражающую моделируемое явление и наиболее 
простую для математического изучения и экономической интерпретации.

Постановка задачи управления и планирования 
обычно требует определить некоторую систему параметров управления хх,...,хп, ввести целевую функцию 
f(x x,...,xn), характеризующую цель процесса управления, систему ограничений gi(xl,...,xn) < 0 (/ -\,т ), которым они в данном процессе удовлетворяют.

С математической точки зрения в результате таких действий процесс принятия решения сводится к 
анализу экстремальной задачи: найти максимум (или 
минимум) целевой функции при выполнении ограничительных условий на параметры управления.

Раздел математики, занимающийся изучением 
экстремальных (максимальных или минимальных) задач управления, когда из множества возможных вариантов исследуемого процесса необходимо выбрать наилучший вариант (по какому-либо признаку), получил 
название теории оптимального управления. Разработкой вычислительных методов их решения с помощью 
ЭВМ занимается математическое программирование.

Постановка общей задачи оптимального управления, классификация и первичный анализ даны в первой главе книги. Здесь также даны основные сведения 
из курса математического анализа, относящиеся к поиску безусловных и условных экстремумов функции 
нескольких переменных.

Среди задач теории оптимального управления выделяется по своей наиболее простой математической 
формулировке группа задач линейной оптимизации,

7

получивших широкое практическое применение и решение которых математическими методами разработано наиболее полно. Изложению постановки задачи 
линейной оптимизации, математических методов ее 
решения посвящена вторая глава настоящей книги.

В очень многих задачах, возникающих на практике, можно ограничиться рассмотрением линейной модели, однако, к сожалению, не во всех. Задачи, в которых хотя бы одно из ограничительных условий или целевая функция являются нелинейными, относятся к 
классу задач нелинейной оптимизации. Изложению 
постановки задачи нелинейной оптимизации, некоторых математических методов ее решения посвящена 
третья глава настоящей книги.

В четвертой главе книги анализируются динамические задачи оптимального управления.

В книге нумерация параграфов, рисунков, таблиц 
- сквозная. Нумерация формул, теорем, замечаний, 
примеров и задач с решениями в каждой главе самостоятельная.

В каждой главе книги особое внимание уделено 
анализу экономических задач, имеющих соответствующую математическую модель. Последний параграф каждой главы содержит задачи для самостоятельного решения, которые даны с ответами, что позволит читателю проверить свои знания по изложенному материалу и добиться уверенного владения им.

Автор выражает искреннюю признательность и 
благодарность проф. Старикову А.И. и доц. Зироян 
М.А. за помощь в работе над книгой, полезные замечания и пожелания.

Рекомендуется преподавателям, аспирантам и 
студентам вузов, изучающим в курсе математики экономико-математические методы и модели.

8

Глава 1 

ЗАДАЧА

ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

8 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Классическая задача оптимального управления 
(или задача оптимизации) формулируется следующим 
образом: найти значения хх°,х2°,...,хп° переменных 
хх,х2,...,хп, характеризующих состояние некоторого 
объекта управления, при которых целевая функция 
q{xx,x2,....xn) достигает максимума

Чтт=Ч{хх\ х 2\...,хп°)= max q{xx,x2,...,xn) 
(А)

хх,..„хп

(или минимума qmin =q(xx°,х2°,...,хп°) = min q(xx,x2,...,xn))

среди всех решений хх,х2,...,хп, удовлетворяющих ограничительным условиям:

gi(xi>—>x„) — 0 (i = l,m). 
(В)

В задаче (А)-(В) функции

q(xx,x2,....xn) и gi(xx,x2,....xn),i = l,m

заданы.

З а м е ч а н и е  1. В случаях, когда переменные хх,х2,...,хп по смыслу задачи удовлетворяют условиям неотрицательности

хх>0 
(/' = 1, и), 
(С)

9

будем отдельно выделять эти ограничения на переменные из системы (В).

Ограничительные условия (В) называют также 
системой ограничений или условиями связи задачи.

Целевую функцию q(xl,x2,...,xn) называют также 
критерием качества задачи.

О п р е д е л е н и я :

1. Решением (или стратегией, планом, управлением) системы (В) называется любой набор переменных х{,х2,...,хп, удовлетворяющий этой системе.

2. Решение 
х1,х2,...,хп системы (В), удовлетворяющее также условиям (С), если они заданы, называется допустимым решением [допустимым планом, стратегией или управлением) задачи.

3. Совокупность всех допустимых решений называется областью (или множеством) допустимых 
решений задачи.

4. Допустимое решение, для которого целевая 
функция достигает максимума (или минимума), называется оптимальным решением (или оптимальным планом) задачи.

З а м е ч а н и я :

2. 
В задаче (A)-(C) речь идет по существу об отыскании глобального наибольшего (или глобального 
наименьшего) значения целевой функции, а не о ее 
локальном максимуме (локальном минимуме). Однако для сокращения будем употреблять последние 
термины.

10

3. Далее, говоря о задаче (А)-(С), будем для определенности считать, что требуется максимизировать 
целевую функции. Если же в изучаемой задаче необходимо 
минимизировать 
некоторую 
функцию 
/О,,...,х„), то, обозначив

q(xl,...,xn) = -  /(x,,...,x„),

придем к задаче максимизации функции q(x{,...,xn) .

4. В условиях связи (В) без ограничения общности мы приняли, что все неравенства имеют один 
знак (<). В противном случае неравенства противоположного знака следует привести к указанному виду путем умножения обеих частей неравенства на -1.

5. В условиях неотрицательности (С) без ограничения общности мы приняли, что все переменные 
имеют один знак (>0). В противном случае следует 
ввести вместо каждой переменной х, не подчиненной этому условию, две неотрицательные переменные х' и х" по формуле:
/ 
п
X — X — X .

Тогда, естественно, количество переменных возрастает, но модель задачи приобретет вид (A)-(C).

6. Далее вместо записи (А) будем использовать 
следующую:

q(xl,x2,...,xn) —> шах 
(или q(x],x2,...,xn) —> min) 

при выполнении условий (В)-(C).

§ 2 . КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ

Методы решения задачи оптимального управления существенно зависят от вида функций

и

q(xx,x2,...,xn) 
и gXxx,x2,...,xn),i = \,n.

Именно вид этих функций определяет классификацию задач оптимального управления.

Если все функции q(xl,x2,...,xn) и

i = 1, п, являются линейными относительно переменных х^,х2,...,хп, то задачу (А)-(С) будем называть линейной задачей оптимального управления (или задачей 
линейной оптимизаций].

Если хотя бы одна из функций q(xl,x2,...,xn) или 

gi(x],x2,...,xn),i = 1,п, является нелинейной относительно переменных х1,х2,...,хп, то задачу (А)-(С) будем называть нелинейной задачей оптимального управления 
(или задачей нелинейной оптимизации).

Среди разнообразных задач управления значительное место занимают задачи, в которых управляемый объект (система) находится в состоянии непрерывного движения (изменения) под воздействием 
внешних и внутренних факторов. Задачи оптимального управления такими объектами относятся к 
классу динамических задач управления.

Динамические задачи управления могут быть детерминированными и стохастическими в зависимости от уровня неопределенности знания состояний 
объекта управления и внешней среды.

Поиск оптимального управления в динамических 
задачах во многих случаях существенно облегчается, 
если процесс управления удается разбить (естественным или искусственным путем) на отдельные шаги или 
этапы.

Если переменные хх,х2,...,хп принимают только

конечное число значений, то задачу (А)-(С) будем называть задачей дискретной оптимизации.

12