Математика для школьников, 2019, № 3

3

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

3 
Гукасян И.Ж. и др.
Геометрическое представление комплексных чисел
Статью написали магистранты математического факультета МПГУ — будущие 
учителя математики. Она является продолжением публикации «Знакомство 
с комплексными числами» (Математика для школьников, 1/2019) и адресована учащимся VIII–XI классов общеобразовательных школ.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ

16 Ажгалиев У. 
Казахстан, г. Астана
Восемь способов решения одной геометрической задачи
Решение задач разными способами способствует интенсивному развитию 
логического мышления учащихся, его глубины и гибкости, развитию их 
исследовательских способностей, пробуждает творческую фантазию и 
интерес к изучению математики.

КЛУБ ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ

21 Дружинин Б.Л. 
Успеть за час
Предлагаем читателям задачи, неизменно вызывающие неподдельный 
интерес у учащихся. Может показаться удивительным, но эти задачи решают с одинаковым успехом школьники всех классов с I по XI. Это объясняется тем, что задачи в какой-то степени неожиданные и не требуют 
долгих и сложных вычислений. Больше всего они подходят для учеников 
IV—VI классов.

29 Севрюков П.Ф.
О яблоках и не только о них
В статье рассмотрены несколько известных задач и показано, что их 
условия являются в некотором смысле некорректными.

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

32 Карпушина Н.М. 
Арифметика расчётов
Перечитывать любимые книги под математическим углом зрения в компании известных писателей и не менее известных героев их произведений 
не только полезно, но и увлекательно. Предлагаем вам несколько арифметических задач на денежные расчёты «от классиков».

Научно-практический журнал для учащихся старшего и среднего возраста

Рукописи, поступившие в редакцию, не рецензируются и не возвращаются.  Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы

Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается

Адрес редакции и издательства:

корреспонденцию направлять по адресу:
127254 , г. Москва, а/я 62

Телефоны: 8 (495) 619-52-87, 619-83-80
Факс: 619-52-89

E-mail:
matematika@schoolpress.ru

Интернет
http://www.школьнаяпресса.рф

Главный редактор
Е. А. Бунимович

Заместитель главного редактора
С.Д. Троицкая

Редакторы
С.И. Калинин,  
Н.М. Карпушина,  
С.И. Недосекина,  
В.П. Норин,  
С.Н. Федин

Выпускающий редактор
И.А. Моргунова

Корректор
И.И. Саможенкова

Компьютерная вёрстка
М.М. Лускатов

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций

Свидетельство о регистрации
ПИ № 77–9198 от 14 июня 2001 г.

Формат 84 × 108 /16. Усл. п. л. 3,0.
Изд. № 3347. Заказ

Отпечатано
в АО «ИПК «Чувашия»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© «Школьная Пресса»,
© «Математика для школьников», 2019, № 3

В оформлении обложки использована картина Жоса де Мея «НЛО над фламандской деревней» (репродукция заимствована с сайта 
«Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования

МАТЕМАТИКА — ЭТО ИНТЕРЕСНО

39 Акулич И.Ф.
Цепная дробь не подведёт
О том, как задача, решаемая мгновенно, чуть ли не в уме, попала в задачник журнала «Квант».

ХРОНИКИ

44 Саввина О.А. 
«Всех добродетелей собранию» (К 350-летнему юбилею со дня 
рождения Леонтия Филипповича Магницкого)

Сегодня трудно представить, что когда-то в России всё юношество училось 
по единому учебнику. А так было в XVIII веке, когда появилась первая 
русская учебная книга по математике «Арифметика». В этом году исполняется 350 лет со дня рождения автора этой книги – Леонтия Филипповича 
Магницкого (1669–1739). В статье раскрываются черты характера этого 
необыкновенно талантливого человека, большого труженика и патриота 
России. 

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

И.Ж. Гукасян и др.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

(МАГИСТРАНТЫ МПГУ — ШКОЛЬНИКАМ)

Статья адресована учащимся VIII–XI классов общеобразовательных 
школ. Она написана магистрантами МПГУ – будущими учителями 
математики и является продолжением публикации [1].

В первом разделе рассмотрен способ 
изображения комплексных чисел. Выполняя задания, можно узнать, какой 
геометрический смысл имеют модуль 
комплексного числа и результаты выполнения первых двух арифметических 
действий над комплексными числами. 
Во втором разделе обсуждаются некоторые свойства геометрических фигур, 
описанные на языке комплексных чисел. В третьем разделе — упражнения 
для закрепления умения изображать 
различные множества комплексных чисел на комплексной плоскости. В четвёртом разделе — знакомство с линейной 
функцией комплексного переменного. 
Наконец, в пятом разделе вы найдёте 
неожиданное применение комплексных 
чисел — ребусы.

Крупнова А.И., Мухин Е.А.,
Савочко Т.Б., Шишкова А.С.,
Гончарова Ю.В., Обулахова М.Н.
Комплексная плоскость. Модуль 
комплексного числа
Натуральные и целые числа можно 
изобразить точками на числовой прямой. 
Между ними на этой прямой есть место 

для рациональных чисел, между рациональными — для иррациональных. Рациональные и иррациональные числа вместе 
образуют множество действительных чисел. Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой и 
наоборот: каждой точке числовой прямой 
соответствует некоторое действительное 
число. Где же можно расположить комплексные числа? Оказывается, на особой 
плоскости, которую называют комплексной. Её структура представлена на рисунке 1, где На рисунке 1 изображены четыре комплексных числа z1, z2, z3 и z4:
Re z1 = 2, Im z1 = 3,
Re z2 = 3, Im z2 = 2,
Re z3 = –3, Im z3 = 2,

Im z

Re z

Рис. 1

3/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Re z4 = 2, Im z4 = –3,
Задание 1. Отметьте на комплексной 
плоскости точки с комплексными координатами:
A(5 + 3i), B(–8 – 2i), C(2 – 4i), D(–3 + 5i).
Р е ш е н и е.
Поскольку действительные числа можно изобразить в виде точек на числовой 
прямой, то их легко сравнивать: больше 
то число, которое расположено правее: 
5 > 3, 100 > 90, …. Комплексные же числа упорядочить невозможно. Поэтому мы 
не можем сказать, что больше: 2 + 3i или 
3 + 2i, 8 + 2i или 1 + 100i. Но у комплексных чисел существует характеристика, по 
которой их можно сравнивать — модуль.
Модулем комплексного числа z = a + bi 
называется действительное число:

 

2
2
| |
.
z
a
b



Нетрудно догадаться, что модуль комплексного числа — это длина отрезка, 
который соединяет изображение этого 
числа на комплексной плоскости с точкой 
начала координат.
Задание 2. Вычислите модули чисел, 
которые вы отметили на комплексной 
плоскости в Задании 1. Можно ли из от
резков OA, OB, OC, OD составить равнобедренный треугольник; прямоугольный 
треугольник?
Р е ш е н и е.

2
2
|
| |5
3 |
5
3
34,
OA
i






2
2
|
| | 8
2 |
( 8)
( 2)
68,
OB
i
  


 


2
2
|
| |2
4 |
2
( 4)
20,
OC
i



 


2
2
|
| | 3
5 |
( 3)
5
34.
OD
i
  





Так как |OA|2 + |OD|2 = |OB|2, то 
из отрезков можно составить равнобедренный прямоугольный треугольник с 
катетами, равными отрезкам OA и OD, и 
гипотенузой, равной отрезку OB.
О т в е т: да; да.
Задание 3. Изобразите на комплексной плоскости окружность с радиусом 
r = 2 и центром в точке O. Отметьте точки
 
z1 = 1 + i, z2 = –3 + 2i, z3 = 2i.  
Какие из них находятся внутри окружности; на окружности; вне окружности? 
Сравните их модули и радиус окружности.
Каков геометрический смысл формулы 
|z| = 2? Можно ли, не выполняя построения, определить, лежит ли на окружности точка 
4
2
2 ?
z
i
 


Im z

Re z

Рис. 2

Im z

Re z

Рис. 3

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

Р е ш е н и е.
Имеем: 
1
|
|
2
,
z
r


 следовательно, z1 
лежит внутри окружности; так как 

2
|
|
13
,
z
r


 то z2 лежит вне окружности; и так как |z3| = 2 = r, то z3 лежит 
на окружности.
|z| = 2 — уравнение окружности с 
центром в точке O и радиусом r = 2. Точка z4 принадлежит окружности, так как 
|z4| = 2.
Комплексная плоскость делится осями 
координат на четыре четверти (квадранта). Их номера указаны на рисунке 4.
Задание 4. Известно, что комплексное число z находится в четверти N, где 
N = I, II, III, IV. В какой четверти окажется число: сопряжённое к z ? противоположное к z?
Р е ш е н и е. Пусть z = a + bi, где a и b 
— действительные числа. Тогда 
,
z
a
bi


 
следовательно, точки z и z  симметричны 
относительно оси Re z:

z
I
II
III
IV

z
IV
III
II
I

Для тех, кто хочет знать больше
Положение z  можно описать формулой 
(N + (–1)N)(mod 4), где mod 4 — это остаток от 
деления на 4, а значение 0 соответствует четвёртой четверти. (Проверьте!)
Так как –z = –a – bi, то точки z и –z 
симметричны относительно начала координат O:

z
I
II
III
IV

z
III
IV
I
II

Для тех, кто хочет знать больше.
Положение 
числа 
–z 
на 
комплексной плоскости можно записать формулой 
(N + 2)(mod 4), где mod 4 — это остаток от 
деления на 4, а значение 0 соответствует чет
вёртой четверти. (Проверьте!)

Задание 5. Отметьте на комплексной 
плоскости числа z1 = 3 + i, z2 = 2 + 3i. 
Вычислите их сумму и отметьте её на 
комплексной плоскости.
Р е ш е н и е.
 z1 + z2 = 3 + i + 2 + 3i = 5 + 4i. 
На рисунке 5 видно, что сложение двух 
комплексных чисел можно интерпретировать как сложение векторов по правилу 
параллелограмма.
Вычитание можно свести к сложению с 
противоположным комплексным числом: 
z1 – z2 = z1 + (–z2).
Задание 6. Вычислите (8 – 5i) – (6 + 2i). 
Запишите разность комплексных чисел в 
виде алгебраической суммы. Изобразите 
компоненты и результат действия на плоскости.
Р е ш е н и е. (8 – 5i) – (6 + 2i) = 

Рис. 4

Im z

Re z

Рис. 5

3/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

= (8 – 6) + (–5 – 2)i = 2 – 7i. На плоскости отмечаем z1 = 8 – 5i, z2= 6 + 2i, –z2= 
= –6 – 2i (рис. 6).
Таким образом, мы рассмотрели способ изображения комплексных чисел в 
прямоугольной системе координат и на 
практике узнали, какой геометрический 
смысл имеют модуль комплексного числа и арифметические действия над комплексными числами. Теперь настало время выяснить, какую пользу могут принести эти знания для изучения свойств 
геометрических фигур.

Гукасян И.Ж., Романова В.О.,  
Гостроус Е.В., Василюк Е.Т.,  
Филиппова К.А., Терехов Д.В., 
Шабалина Н.А.
Геометрические фигуры на комплексной плоскости
На комплексной плоскости удобно вычислять расстояние между точками — 
это модуль разности соответствующих 
комплексных чисел. Этим фактом можно 
пользоваться при определении вида геометрических фигур.
Задание 7. Определите вид четырёхугольника ABCD, заданного точками на 
комплексной плоскости:

A(–3 + 4i), B(7 + 9i), C(5 – 2i), D(–5 – 7i).
Р е ш е н и е. Найдём квадраты длин 
всех сторон данного четырёхугольника:
zB – zA = (7 + 9i) – (–3 + 4i) =
= 10 + 5i; |AB|2 = 125;
zC – zB = (5 – 2i) – (7 + 9i) = 
= –2 – 11i; |BC|2 = 125;
zD – zC = (–5 – 7i) – (5 – 2i) = 
= –10 – 5i; |CD|2 = 125;
zD – zA = (–5 – 7i) – (–3 + 4i) = 
 = –2 – 11i; |AD|2 = 125.
Так как квадраты длин сторон четырёхугольника равны, то равны и длины 
его сторон. Следовательно, это ромб. 
Проверим, не является ли ромб квадратом. Для этого найдём квадраты его 
диагоналей:
zC – zA = (5 – 2i) – (–3 + 4i) = 
= 8 – 6i; |AC|2 = 100;
zD – zB = (–5 – 7i) – (7 + 9i) = 
= –12 – 16i; |BD|2 = 400.
Следовательно, эта фигура не является квадратом. 
О т в е т: ABCD — ромб.
Задание 8. Определите (по углам) вид 
треугольника, заданного точками на комплексной плоскости:
а) A(2 – 2i), B(7 + 3i), C(–3 + 3i);
б) A(5 + 2i), B(–2 + 2i), C(–5 – i);
в) A(2 + 2i), B(5 + 2i), C(4 + 8i).
Р е ш е н и е. Чтобы определить, есть ли 
у треугольника прямой или тупой угол, 
воспользуемся следствием из теоремы косинусов.
В треугольнике со сторонами a, b, c и 
углом , противолежащим стороне a, вы
полняется равенство: 

2
2
2
cos
,
2
b
c
a
bc


 
 

следовательно:

если b2 + c2 – a2 = 0, то угол  — прямой;
если b2 + c2 – a2 > 0, то угол  — 

Im z

Re z

Рис. 6

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

острый;
если b2 + c2 – a2 < 0, то угол  — тупой.
Сделаем необходимые вычисления и 
сведём их в таблицу (см. табл. 1).
Вычтем из суммы квадратов двух меньших сторон квадрат большей стороны и 
определим вид самого большого угла в 
треугольнике:
а) |AB|2 + |AC|2 – |BC|2 = 0  BAC 
— прямой;
б) |AB|2 + |BC|2 – |AC|2 < 0  ABC 
— тупой;
в) |AB|2 + |BC|2 – |AC|2 > 0  ABC 
— острый.
О т в е т: а) прямоугольный;
б) тупоугольный; в) остроугольный.
Комплексные числа позволяют свести многие теоремы геометрии к вычислительным задачам. Но для этого надо 
уметь выражать на языке комплексных 
чисел основные геометрические понятия. 
Например, окружность на комплексной 
плоскости можно определить как множество точек z, удалённых от некоторой 
заданной точки w на расстояние r, то 
есть Mокр. = {z: |z – w| = r}, а прямую — 
как множество точек z, равноудалённых 
от двух данных точек w1 и w2, то есть 
Mпр. = {z: |z – w1| = |z – w2|}.
Можно поступить иначе: записать 
обычные 
алгебраические 
уравнения 
окружности и прямой в комплексной 
форме. Для этого нам понадобятся три 
формулы:

Re
,
2
z
z
a
z



Im
;
2
z
z
b
z
i




2
2
2
| |
.
a
b
z
zz




Задание 9. Окружность на комплексной плоскости задана уравнением: 
a2 + b2 + 2a – 4b = 5, 
где a и b — действительные числа, 
a = Re z, b = Im z. Запишите комплексное 
уравнение этой окружности.
Р е ш е н и е. Подставим в данное уравнение формулы, которые мы только что 
повторили:
a2 + b2 + 2a – 4b = 5;

2
4
5;
2
2
z
z
z
z
zz
i








(
)
2
(
)
5;
zz
z
z
i
z
z







(1
2 )
(1
2 )
5,
zz
i z
i z





 или иначе: 

(1
2 )
(1
2 )
5.
zz
i z
i z






О т в е т: 
(1
2 )
(1
2 )
5.
zz
i z
i z






Задание 10. Прямая на комплексной 
плоскости 
задана 
уравнением: 
2a – 4b = 5, где a и b — действительные 
числа, a = Re z, b = Im z. Запишите комплексное уравнение этой прямой.
Р е ш е н и е. Подставим в уравнение 
полученные выше выражения для a и b:

2
4
5;
2
2
z
z
z
z
i







(
)
2
(
)
5;
z
z
i
z
z






(1
2 )
(1
2 )
5,
i z
i z




 или иначе: 

Т а б л и ц а  1

zB – zA
zC – zB
zC – zA
|AB|2
|BC|2
|AC|2

а)
5 + 5i
–10
–5 + 5i
50
100
50

б)
–7
–3 – 3i
–10 – 3i
49
18
109

в)
3
–1 + 6i
2 + 6i
9
37
40

3/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

(1
2 )
(1
2 )
5.
i z
i z





О т в е т: (1
2 )
(1
2 )
5.
i z
i z





Вы, наверное, уже заметили, что комплексные уравнения прямой и окружности похожи одно на другое. И дело здесь 
даже не в конкретных коэффициентах — 
уравнение прямой действительно является частным случаем уравнения окружности. Это неслучайно, но для того, чтобы 
оценить красоту теории комплексных чисел, надо её очень серьёзно изучить (приходите к нам учиться!).
А сейчас мы решим задачки попроще. 
На комплексной плоскости очень удобно 
находить середину отрезка — её координата является средним арифметическим 
координат концов отрезка. 
Задание 11. Найдите комплексную 
координату точки K1 — середины стороны 
MN треугольника KMN, если K(–2 + 4i), 
M(2 – i), N(6 + i).
Р е ш е н и е. Середина K1 стороны MN 
имеет комплексную координату

 

(2
)
(6
)
4.
2
i
i





О т в е т: 4 + 0i.
Задание 12. Даны комплексные числа: z = 3 + 4i, v = 2 + i и w = 7 + 4i. 
Найдите комплексные координаты точки, 
дополняющей треугольник с вершинами 
в точках z, v и w до параллелограмма, в 
котором точки z и w являются концами 
диагонали.
Р е ш е н и е. Из курса геометрии мы 
знаем, что точка пересечения диагоналей 
параллелограмма является их общей серединой. Середина u отрезка между точками 
z и w имеет комплексную координату
 
(3
4 )
(7
4 )
5
4 .
2
i
i
i






  

Точка u является серединой отрезка 
между точками v и точкой t(a + bi), которую мы ищем. Поэтому мы можем записать уравнение:

 

(2
)
(
)
5
4 .
2
i
a
bi
i






Так как комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то 
2
5
2
a


 и 1
4,
2
b


 откуда a = 8, b = 7, 

то есть искомая точка t(8 + 7i).

О т в е т: 8 + 7i.
А теперь попробуем разделить отрезок 
не пополам, а в каком-нибудь другом отношении. Для этого нам потребуется описать множество всех точек этого отрезка 
или даже прямой, проходящей через концы этого отрезка.
Задание 13. Даны комплексные числа: z =–2 + 4i и u = 4. Найдите комплексные координаты точек прямой, проходящей через точки z и u.
Р е ш е н и е. Рассмотрим числа z и u как 
точки на комплексной плоскости. По правилу параллелограмма u = z + (u – z).
Каждую точку t прямой, проходящей 
через точки z и u, можно представить в 

Im z

Re z

Рис. 7

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

виде суммы: t = z +  (u – z), где   R 
(рис. 7).
В этом случае эту прямую (z, u) можно 
мысленно считать числовой прямой с началом в точке z, где различным значениям  соответствуют различные точки этой 
прямой: при  = 0 мы получаем точку z, 
при  = 1 — точку u, а, например, при 

2
3
 
 — точку t такую, что отношение 

длины отрезка с концами в точках z и t 
к длине отрезка с концами в точках z и 

u равно 2 .
3

 Следовательно, t делит отре
зок с вершинами в точках z и u в отношении 2 : 1, считая от точки z.
Таким образом, мы нашли условие, 
при котором точка t лежит на прямой, 
проходящей через точки z и u. Подставим 
координаты данных точек:
t = (–2 + 4i) + (4 – (–2 + 4i));  
t = (6 – 2) + (4 – 4)i.
Обратите внимание: мы получили ещё 
один способ задания прямой на комплексной плоскости.
О т в е т: t = (6 – 2) + (4 – 4)i,
где   R.
Задание 14. Найдите комплексную координату центра тяжести треугольника с 
вершинами в точках z = –2 + 4i, v = 2 – i, 
w = 6 + i.
Р е ш е н и е. Середина u отрезка с вершинами в точках v и w имеет комплексную координату

 

(2
)
(6
)
4.
2
2
v
w
i
i
u








Из курса геометрии мы знаем, что 
центр тяжести треугольника делит его 
медианы в отношении 2 : 1, считая от 
вершины. В предыдущем задании мы 
описали множество всех точек прямой, 

проходящей через точки z = –2 + 4i и 
u = 4:
t = (6 – 2) + (4 – 4)i.
Нам осталось подставить значение 

2 :
3
 

2
2
4
6
2
4
4
.
3
3
3
t
i
i




















О т в е т: 4 .
3 i

Постойте, мы нашли число, но не обратили внимание на формулу. Исправим 
нашу оплошность:

2
,
3
2
3
v
w
z
v
w
t
z
z













  

то есть геометрический центр тяжести 
треугольника (или центр тяжести ре-
ального треугольника, выполненного из 
однородного материала) равен среднему 
арифметическому комплексных координат его вершин.

Колосовцева М.О., Козлова Е.Г.,
Бабкина А.В., Борисова Д.В.
Геометрические места точек на 
комплексной плоскости
Напомним, что уравнение |z – z0| = R, 
где R — положительное действительное 
число, описывает множество точек, расстояние от которых до точки z0 равно R. 
Геометрическое место точек плоскости, 
удалённых от данной точки на данное 
расстояние, — это окружность. Поэтому 
мы делаем вывод, что на комплексной 
плоскости окружность Ω можно задать 
уравнением |z – z0| = R (иногда её удобно обозначать так: (z0, R)), а круг — неравенством |z – z0|  R, где z0 — центр, 
R — радиус окружности или, соответственно, круга.
Эти нехитрые соображения иногда по

3/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

могают ответить на некоторые  довольно 
сложные вопросы. А сейчас они должны 
помочь нам выполнить следующее задание. 
Задание 15. Сколько решений имеют 
системы уравнений:

а) |
3
4 | 1,
| | 5;
z
i
z








 б) |
3| 2,
| | 5;
z
z







  

в) |
3
2 | 1,
| | 5;
z
i
z








 г) |
6 | 1,
| | 5;
z
i
z







Р е ш е н и е. Изобразим все уравнения 
на комплексной плоскости. Всего получится пять разных окружностей (рис. 8):
0 = (0, 5), 1 = (1, 1), 2 = (2, 2), 
3 = (3, 1), 4 = (4, 1), где
0 = 0, 1 = 3 + 4i, 2 = –3, 3 = 3 – 2i, 
4 = –6i.
Для каждого пункта вычислим расстояние между центрами окружностей и 
сравним его с суммой (разностью) радиусов:
а) |1 – 0| = 5, r0 – r1 < 5 < r0 + r1 — 
окружности пересекаются в двух точках; 
следовательно, система уравнений имеет 
два решения; 

б) |2 – 0| = 3, 3 = r0 – r2 — внутреннее касание окружностей; следовательно, 
система уравнений имеет одно решение;

в) 
3
0
|
|
13
3,6,
 


0
3
13
r
r


 — 
окружность 3  лежит внутри окружности 
0; следовательно, система уравнений не 
имеет решений;

г) |4 – 0| = 6, 6 = r0 + r4 — внешнее 
касание окружностей; следовательно, система уравнений имеет одно решение.
О т в е т:  
а) два решения; б) одно решение;
в) нет решений; г) одно решение.
Задание 16. Сколько решений имеют 
системы уравнений и неравенств:

а) 

|
6 | 4,
|
3
9 | 1;
z
i
z
i









Im z

Re z

Рис. 8

Im z

Re z

Рис. 9

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

б) 

|
3
9 | 1,

7
1;
2

z
i

z
i











в) |
| 3,
|
6 | 2;
z
i
z
i








г) 

7
1,
2

|
6 | 4?

z
i

z
i











О т в е т: а) два решения; б) нет решений;
в) одно решение; г) нет решений (рис. 9).
Задание 17. Изобразите на комплексной плоскости множество решений неравенств: 

а) 
1
|
|
;
2
z
i



б) 
1
|
|
;
2
z
i



в) 
1
|
3 |
;
2
z
i



г) 
13
1
1
;
2
4
z
i




д) 
13
1
1
.
2
4
z
i




О т в е т: см. рисунок 10.
Задание 18. Изобразите на комплексной плоскости фигуру, ограниченную линиями: 
а) |z + 1| = |z – 1|, |z – 5i| = |z – 7i| 

и 
1
23
1
1
;
2
2
z
i
z
i






б) |z – 1 – 7i| = |z + 1 – 7i|,  
|z – 1 – 9i| = |z + 1 – 9i|,
|z – 6i| = |z + 4 – 8i| и  

|z – 6i| = |z – 4 – 8i|.
Ответ: см. рисунок 11.
Задание 19. Изобразите на одной и 
той же комплексной плоскости графики 
всех уравнений из задания 17, неравенств 
из задания 18 и фигур из задания 19. На 
что похожа картинка?
Ответ: см. рисунок 12.
А теперь последнее задание для тех, 
кто хорошо поработал. Почему? Оно со
Im z

Re z

Рис. 10

Im z

Re z

Рис. 11

3/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

всем несложное, решите и узнаете.
Задание 20. Изобразите на комплексной плоскости ответы к заданию 11 из 
статьи [1]. Соедините последовательно 
все точки. На что похож получившийся 
многоугольник?
О т в е т: на отметку «5».
Вы хорошо поработали!

Токарев А.И., Костомарова М.А.
Путешествия по комплексной  
плоскости
Очень важные для науки и полезные 
для практики приложения имеют функции комплексного переменного. Мы покажем вам самую простую — линейную 
функцию z  az + b.
Задание 21. Все комплексные числа z, 
удовлетворяющие неравенству |z – 2i|  3, 
отправились в путешествие. В пути с ними 
происходили разные приключения, и поэтому к концу путешествия они сильно изменились и приобрели вид (i – 1)z – 3 + 2i. 
Какое место на комплексной плоскости за
няли эти числа к концу путешествия?
Р е ш е н и е. Множество точек, удовлетворяющих неравенству |z – 2i|  3, представлено на рисунке 13. Это круг радиуса 
3 с центром в точке 2i.
Перепишем неравенство, используя 
формулу 
2
| |
:
z
zz

(
2 )(
2 )
9.
z
i z
i



 
(*)

Выразим из равенства 
w = (i – 1)z – 3 + 2i 
переменную z:

3
2 ,
1
w
i
z
i





 откуда 

3
2
5
2
2
.
1
1
w
i
w
z
i
i
i
i










Подставим найденное выражение в левую часть неравенства (*):

(
2 )(
2 )
z
i z
i



5
5
1
1
w
w
i
i





 
  

= (
5)(
5) ,
2
w
w



откуда получим:

(
5)(
5)
9;
2
w
w



(
5)(
5)
18;
w
w




Рис. 12

Im z

Re z

2i

i

Рис. 13