Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математика для школьников, 2019, № 2

научно-практический журнал
Покупка
Артикул: 742526.0001.99
Математика для школьников : научно-практический журнал. - Москва : Шк. Пресса, 2019. - № 2. - 48 с. - ISSN 2074-4281. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1145965 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
2

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

3 
Кузьмичев А.И., Кузьмичева Т.Н.
Метод решения задач школьного курса математики, опирающийся 
на теорию симметрических многочленов
В статье, адресованной учащимся IX—XI классов, приводятся решения нескольких задач с применением теории симметрических многочленов. Овладение этим приёмом позволяет значительно упростить решения некоторых 
сложных уравнений и неравенств, в том числе иррациональных, развивает 
у учащихся технику алгебраических преобразований. Особое внимание в 
статье уделено применению теоремы, обратной теореме Виета.

8 
Недосекина И.С.
О корнях многочлена, комплексных числах и формулах Виета
Эта статья адресована учащимся старших классов общеобразовательных 
школ. Её конечная цель – рассмотреть некоторую задачу, связанную с 
исследованием многочлена произвольной, достаточно высокой степени.

СОВЕТЫ К УРОКУ

14 Далингер В.А.
Свойства функций – основа методов решения уравнений, неравенств 
и их систем
Далеко не все уравнения и неравенства можно решить известными методами элементарной математики. Многие из них решаются на основе 
использования характеристических свойств функций: ограниченности, 
чётности (нечётности), монотонности, периодичности. В данной статье 
рассматриваются различные методы решения уравнений, неравенств и 
их систем, где применяются эти свойства.

24 Дворянинов С.В.
Применим теорему Фалеса
Решение задачи, ранее опубликованной в журнале «Квант», получено 
традиционными школьными методами.

МАТЕМАТИКА ЭТО ИНТЕРЕСНО

25 Акулич И.Ф.
Гипотеза 4n + 1
В математическом мире широко известна так называемая гипотеза 3n+1, 
выдвинутая ещё в 1932 году немецким математиком Л. Коллатцем. В этой 
же статье читателю предлагается другая гипотеза – пусть не столь масштабная, но зато с похожим названием: «гипотеза 4n + 1». Первоисточником 
её является предложенная для одного из конкурсов несколько лет назад 
задача А.В. Шаповалова, ставшая впоследствии весьма популярной.

Научно-практический журнал для учащихся старшего и среднего возраста

Рукописи, поступившие в редакцию, не рецензируются и не возвращаются.  Редакция не несет ответственности за содержание объявлений и рекламы

Издание охраняется Законом Российской Федерации об авторском праве. Любое воспроизведение опубликованных в журнале материалов
как на бумажном носителе, так и в виде ксерокопирования, сканирования, записи в память ЭВМ, размещение в Интернете запрещается

Адрес редакции и издательства:

корреспонденцию направлять по адресу:
127254 , г. Москва, а/я 62

Телефоны: 8 (495) 619-52-87, 619-83-80
Факс: 619-52-89

E-mail:
matematika@schoolpress.ru

Интернет
http://www.школьнаяпресса.рф

Главный редактор
Е. А. Бунимович

Заместитель главного редактора
С.Д. Троицкая

Редакторы
С.И. Калинин,  
Н.М. Карпушина,  
С.И. Недосекина,  
В.П. Норин,  
С.Н. Федин

Выпускающий редактор
И.А. Моргунова

Корректор
И.И. Саможенкова

Компьютерная вёрстка
М.М. Лускатов

Журнал зарегистрирован Министерством РФ
по делам печати, телерадиовещания
и средств массовых коммуникаций

Свидетельство о регистрации
ПИ № 77–9198 от 14 июня 2001 г.

Формат 84 × 108 /16. Усл. п. л. 3,0.
Изд. № 3306. Заказ

Отпечатано
в АО «ИПК «Чувашия»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 13

© «Школьная Пресса»,
© «Математика для школьников», 2019, № 2

В оформлении обложки использована картина Жоса де Мея «НЛО над фламандской деревней» (репродукция заимствована с сайта 
«Невозможный мир»: http://im-possible.info)

Журнал зарегистрирован в базе данных Российского индекса научного цитирования

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ И ГОЛОВОЛОМКИ

30 Федорова В.И.
Ответы на головоломки
В  журнале «Математика для школьников» № 4/2018 были опубликованы 
несколько замечательных головоломок Г.Э. Дьюдени, ответы на которые 
мы предлагаем нашим читателям.

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ СТРАНИЦА

34 Карпушина Н.М.                                                                         
В защиту белого медведя
Вряд ли найдётся любитель математики, которому не была бы знакома 
хрестоматийная головоломка про медведя, подстреленного охотником 
где-то вблизи полюса. Её история поистине удивительна и не менее занимательна, чем сам сюжет. Об этой истории наш рассказ.

41 Карпушина Н.М.
Параболоид инженера Архимеда
Древняя легенда о жгучих зеркалах Архимеда красива и удивительна, 
поэтому жаркие споры вокруг неё не утихают уже много столетий, а 
эксперименты по её проверке проводятся даже в наши дни. Стоит ли им 
доверять и почему?

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

А.И. Кузьмичев,
Т.Н. Кузьмичева
МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ШКОЛЬНОГО КУРСА 
МАТЕМАТИКИ, ОПИРАЮЩИЙСЯ НА ТЕОРИЮ 
СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ

В статье, адресованной учащимся IX—XI классов, приводятся решения нескольких задач с применением теории симметрических многочленов. Овладение этим приёмом позволяет значительно упростить 
решения некоторых сложных уравнений и неравенств, в том числе 
иррациональных, развивает у учащихся технику алгебраических преобразований. Особое внимание в статье уделено применению теоремы, 
обратной теореме Виета.

В статье авторов [1] были изложены 
некоторые сведения из теории симметрических многочленов и рассмотрено 
их применение при решении различных 
задач школьной математики. Она завершалась формулированием условий задач 
для самостоятельной работы. В настоящей статье мы приводим решения этих 
задач. 
1. Решить уравнение 

2
2
25
25
19.
x
x
x
x







Р е ш е н и е. 
Обозначим 
u 
= 
x, 

2
25
.
v
x


 Исключая x из этих равенств, 

получим систему 









2
2
19,

25.

u
v
u v

u
v

 Так как 

u2 + v2 = (u + v)2 –2uv, то данная система 

преобразуется к виду 

   
   


1
2
2
1
2

19,

2
25,

 если 

положить 1 = u + v, 2 = uv. Последняя 
система 
имеет 
следующие 
решения: 

  

 


1

2

9,

28  
и 

 

 


1

2

7,

12.  
Следовательно, 

 необходимо решить системы 


 





9,
28
u
v
uv

 и 







7,
12.
u
v
uv

По теореме, обратной теореме Виета, u, 
v — корни соответствующих квадратных 
уравнений 

 z2 + 9z + 29 = 0, z2 – 7z + 12 = 0. 

Первое из них действительных корней 
не имеет, а корни второго — z1 = 3, z2 = 4. 

Таким образом, получаем, что 
3,
4
u
v


 


 или 

4,
3.
u
v


 


 Отсюда заключаем: x = 3 и x = 4 — 

искомые корни, поскольку данные значения уравнению удовлетворяют.

2/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

О т в е т: 3, 4.
2. 
Решить 
уравнение 

4
4
2
2
272
6.
x
x




Р е ш е н и е. 
Обозначим 

4
2 ,
u
x


4
2
272
.
v
x


 Тогда, складывая эти два 
равенства, а затем их четвёртые степени 
(исключаем x), получим систему уравнений







4
4
6,

272.

u
v

u
v

Выразим симметрический многочлен 
f(u; v) = u4 + v4 через элементарные симметрические многочлены от двух переменных 1(u; v) = u + v, 2(u; v) = u  v:
u4 + v4 = (u2 + v2)2 – 2  u2  v2 = 
= ((u + v)2 – 2uv)2 – 2(uv)2 =

2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
(
2
)
2
4
4
2
   
           

Полученная выше система перепишет
ся в виде 

 
      


1
4
2
2
1
1
2
2

6,

4
2
272.

Нетрудно убедиться в том, что 

 

 


1

2

6,

8  

и 

 

 


1

2

6,

64 — её решения. Таким образом, 

следует решить системы 




 



6,
8
u
v
u v

 и 




 



6,
64.
u
v
u v

По теореме, обратной теореме Виета, 
u, v — корни квадратного уравнения  
z2 – 6z + 8 = 0 в случае первой системы 
и уравнения z2 – 6z + 64 = 0 в случае 
второй.
Первое квадратное уравнение имеет 
корни z1 = 2, z2 = 4, а второе действительных корней не имеет.

Таким образом, необходимо рассмо
треть системы 


 


2,
4
u
v

 и 


 


4,
2,
u
v

 или 









4
2

4
2
2,

272
4

x

x

 и 









4
2

4
2
4,

272
2.

x

x

 Из них 

находим множество искомых корней рассматриваемого уравнения — {4; 16}.

О т в е т: 4, 16.

3. Решить уравнение 
2
1
1
1.
8
x
x




Р е ш е н и е. 
Обозначим 
u = x,  

2
8
,
v
x


 тогда уравнение будет сводиться к решению следующей системы 
уравнений относительно u, v:









2
2
8,

1.

u
v
u
v
uv

Отметим, что левая часть её второго 
уравнения не является симметрическим 
многочленом относительно u, v, но является симметрическим выражением.
Так как u2 + v2 = (u + v)2 – 2uv, то записанная система может быть преобразо
вана к виду 

   






2
1
2

1

2

2
8,

1,

 где 1(u; v) = 

= u + v, 2(u; v) = uv. Последняя система 

имеет решения 

1

2

2,

2

  

  


 или 

1

2

4,

4.

 

 


 От
сюда по теореме, обратной теореме Виета, 
заключаем, что u, v — корни квадратных 
уравнений z2 + 2z – 2 = 0 или 
z2 – 4z + 4 = 0.
Первое из данных уравнений имеет 
корни 
1,2
1
3,
z


 а второе — корень 

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

z3 = 2. Значит, для нахождения u, v следует решить системы


  

  


1
3,

1
3;

u

v


  

  


1
3,

1
3;

u

v



 


2,
2.
u
v

Так как v  0, u = x, то вторая система 
решений не имеет, потому 
1
1
3,
x   
 

x2 = 2 — потенциальные корни рассматриваемого уравнения. 
Проверкой убеждаемся, что оба найденных значения являются корнями исходного уравнения. 
О т в е т: 
1
3, 2.
 

4. Решить систему уравнений:

 









3

3
2
1,

8
7.

x
y

x
y

Р е ш е н и е. Обозначим u = 2x, 
3
.
v
y
 
 
Тогда получим равносильную систему  
(с введёнными обозначениями):







3
3
1,

7.

u
v

u
v

Так как 
u3 + v3 = (u + v)  ((u + v)2 – 3uv) = 

3
1
1
2
3
,
    
 
то 
отсюда 
получаем: 

 

 




  
    




1
1
3
2
1
1
2

1,
1,

2,
3
7

 или 




 


1,
2.
u
v
uv

 

Последняя 
система 
имеет 
решения 

 

 


1,
2
u
v

 и 


  


2,
1,
u
v

 следовательно, реше
ния исходной системы есть решения си
стем 

 



3
2
1,

2

x

y
 и 



 

3
2
2,

1.

x

y
 Из них легко 

находим искомые решения 


 


 


1 ,
2
8

x

y

 и 






1,
1.
x
y

О т в е т: 
1 ; 8 , (1;1).
2









5. Решить систему уравнений в рациональных числах:











2
2

3
3
2
2
1,

1.

x
y
xy

x
y
x y

Р е ш е н и е. Выразим левые части 
уравнений системы через величины 
1 = x + y, 2 = xy: x2 + y2 + xy = 

= (x + y)2 – xy 
2
1
2,
   

x3 + y3 + x2  y2 =  
=(x + y)  (x2 – xy + y2) + (xy)2 =
= (x + y)  ((x + y)2 – 3xy) + (xy)2 =

2
2
3
2
1
1
2
2
1
1
1
2
(
3
)
3
,
    
        

тогда исходная система преобразуется 
так: 

   

      


2
1
2
3
2
1
1
2
2

1,

3
1

   

 
       


2
2
1
4
3
2
1
1
1
1

1,

2
2
3
0.

Второе уравнение последней системы 
представляется в виде 

2
1
1
1
1
(
1)(
3)
0,
   
   

 потому её 
рацио нальными решениями будут 

только следующие: 

 

  


1

2

0,

1  и 

 

 


1

2

1,

0.

Значит, для нахождения искомых решений исходной системы требуется ре
шить системы 




 


0,
1
x
y
xy

 и 







1,
0.
x
y
xy

 

Первая имеет решения 




 


1,
1
x
y

 и 
 





1,
1,
x
y

2/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

а вторая — 






0,
1
x
y

 и 






1,
0.
x
y

О т в е т: (1; –1) (–1; 1) (0; 1) (1; 0).
6. Разложить на множители с целыми 
коэффициентами многочлен
f(x; y) = 2x4 + 7x3y + 7x2y2 + 7xy3 + 2y4.
Р е ш е н и е. Представим f(x; y) в виде 
многочлена от элементарных симметрических многочленов 
1(x; y) = x + y, 2(x; y) = xy.
Воспользуемся алгоритмом представления симметрического многочлена посредством элементарных симметрических 
многочленов, описанным в [1].
Находим старший по лексикографическому порядку одночлен: u = 2x4. Комбинация его показателей (4; 0). Теперь 
выписываем все возможные комбинации 
показателей, удовлетворяющих соответствующим условиям: (3; 1), (2; 2).
Таким образом, имеем следующее 
представление с неопределёнными коэффициентами

4 0
0
3 1
1
2 2
2
1
2
1
2
1
2
2
f
A
B



 
  
 
  
 
  

4
2
2
1
1
2
2
2
.
A
B
F
  
    
  

Ищем неопределённые коэффициенты 
A, B:

x
y
1
2
f
F

1
–1
0
–1
–3
B

1
1
2
1
25
2A + 12

Итак, по значениям x = 1, y = –1 находим 
B = –3, 
и 
тогда 

4
2
2
1
1
2
2
2
3
.
F
A
  
     

По значениям x = 1, y = 1 получаем, 
что 32 + 4A – 3 = 25, A = –1, 

4
2
2
1
1
2
2
2
3
.
F       

Значит,



4
2
3
1
1
2
3
;
2
3
f x y        


  
    



  
   
     


4
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2

2(
)
(
)

2(
) (
)
(
)

   

    


   

  


2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2

(
) (2
2
)

(
) (2
3
)

= ((x + y)2 + xy)(2(x + y)2 – 3xy) = 
= (x2 + y2 + 3xy)  (2x2 + xy + 2y2) 
и потому имеем разложение
2x4 + 7x3y + 7x2y2 + 7xy3 + 2y4 = 
= (x2 + 3xy + y2)  (2x2 + xy + 2y2).
О т в е т: 2x4 + 7x3y + 7x2y2 + 7xy3 + 2y4 =
= (x2 + 3xy + y2)  (2x2 + xy + 2y2).
7. Разложить на множители с целыми 
коэффициентами многочлен
f(x; y) = x4 + x3y + 2x2y2 + xy3 + y4.
Р е ш е н и е. Поступаем аналогично с 
предыдущим примером.
Находим старший по лексикографическому порядку одночлен: u = x4. Комбинация его показателей (4; 0). Теперь 
выписываем все возможные комбинации 
показателей, удовлетворяющих соответствующим условиям: (3; 1), (2; 2). 
Таким образом,

4 0
0
3 1
1
2 2
2
1
2
1
2
1
2
f
A
B



 
  
 
  
 
  

4
2
2
1
1
2
2
.
A
B
F
  
    
  

Найдём неопределённые коэффициенты A, B:

x
y
1
2
f
F

1
–1
0
–1
2
B

1
1
2
1
6
16 + 4А + 2

Если x = 1, y = –1, то получаем B = 2 

и 
4
2
2
1
1
2
2
2
.
F
A
  
     

Если x = 1, y = 1 то 16 + 4A + 2 = 6, 
A = –3, 
4
2
2
1
1
2
2
3
2
.
F       

Отсюда имеем:

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

       

     
     


   
   


4
2
2
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2

( ; )
3
2

(
)
2
(
)

(
) (
2
)

f x y

= ((x + y)2 – xy)  ((x + y)2 – 2xy) = 
= (x2 + y2 + xy)  (x2 + y2)
и окончательно получаем разложение

x4 + x3y + 2x2y2 + xy3 + y4 = 
= (x2 + y2)  (x2 + xy + y2).

О т в е т: f(x, y) = (x2 + y2)  (x2 + xy + y2).
8. Разложить на множители с целыми 
коэффициентами многочлен
f(x, y) = 2x4 + 7x3y + 9x2y2 + 7xy3 + 2y4.
Р е ш е н и е. Будем рассуждать по схеме решения двух предыдущих примеров.
Выпишем старший по лексикографическому порядку одночлен: u = 2x4, для 
него имеем следующую комбинацию его 
показателей (4; 0). Теперь выписываем 
все другие возможные комбинации показателей, удовлетворяющих нужным условиям: (3; 1), (2; 2). 
Таким образом, получаем представление с неопределёнными коэффициентами

4 0
0
3 1
1
2 2
2
1
2
1
2
1
2
2
f
A
B



 
  
 
  
 
  

4
2
2
1
1
2
2
2
.
A
B
F
  
    
  

Найдём неопределённые коэффициенты 
,
A B , прибегая к таблице:

x
y
1
2
f
F

1
–1
0
–1
–1
B

1
1
2
1
27
32 + 4A 
– 1

Из первой строки видим, что B = –1 и 
тогда 
4
2
2
1
1
2
2
2
.
F
A
  
     
 Из второй 
строки находим A = –1, следовательно, 

4
2
2
1
1
2
2
2
.
F       
 Таким образом, имеем



4
2
2
1
2
1
1
2
2
(
,
)
;
2
F
f x y
 

       

    
   


     
   
   


4
2
4
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2

(
)
(
)

(
)
(
) (
)

2
2
1
2
1
2
(
)(2
)
   
  


= ((x + y)2 – xy)  (2(x + y)2 + xy) = 
= (x2 + xy + y2)  (2x2 + 5xy + 2y2).

Нужное разложение получено.
О т в е т: f(x, y) = 
= (x2 + xy + y2)  (2x2 + 5xy + 2y2).

Литература
1. Кузьмичев А.И., Кузьмичева Т.Н. Применение симметрических многочленов в 
школьном курсе математики // Математика в 
школе. — 2019. — № 1 — С. 18–25.

ЗАДАЧА

Некто имел ореховое дерево. Собрав свой 
урожай, он позвал трёх сыновей и сказал им: «Вот 
сто пятьдесят орехов, и вам надо их продать. Но 
все вы должны продавать их по одной цене». И 
он дал одному 15, другому 50, третьему 85 оре
хов, но добавил: «Я хочу, чтобы каждый из вас получил за орехи одинаково». Это казалось почти 
невозможным, но сыновья были смышлённые малые и справились с головоломкой. Как?
Ответ см. на стр. 23.

Продажа орехов

2/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

И.С. Недосекина
О КОРНЯХ МНОГОЧЛЕНА, КОМПЛЕКСНЫХ 
ЧИСЛАХ И ФОРМУЛАХ ВИЕТА

Эта статья адресована учащимся старших классов общеобразовательных школ. Её конечная цель — рассмотреть некоторую задачу, 
связанную с исследованием многочлена произвольной, достаточно 
высокой, степени. Но прежде, чем приступить к исследованию, нам 
потребуется запастись необходимым теоретическим материалом и 
решить несколько более простых задач.

Формулы Виета для квадратного 
уравнения
Вспомните, как вы впервые познакомились с квадратным уравнением
 
ax2 + bx + c = 0, a  0
и загадочным понятием «дискриминант» 
(от латинского слова discriminans — «отделяющий, разделяющий»). Вы узнали, 
что знак дискриминанта D = b2 – 4ac 
говорит о наличии или отсутствии действительных корней квадратного уравнения. И если случалось, что D < 0, писали: 
«Уравнение не имеет решений».
Но на этом изучение квадратных уравнений не заканчивается. Необходимость 
научиться решать квадратные уравнения 
с отрицательным дискриминантом привела к введению новых чисел более общей 
природы, частным случаем которых являются действительные числа. Такие числа 
назвали комплексными. В алгебраической форме их записывают
 
z = a + ib, 
(1)
где a, b — действительные числа, а символом i обозначен 
1.

 Числа a и b называются соответственно действительной 
и мнимой частями комплексного числа z. 
Если b = 0, то z = a — действительное 
число; если a = 0, то z = ib — чисто мнимое число. 

С теорией комплексных чисел можно 
познакомиться, например, в [2], [3], [4]. 
Здесь мы напомним лишь те их свойства, 
которые нам потребуются для дальнейшего изложения материала. 
Как складывать и умножать комплексные числа, записанные в алгебраической 
форме (1)? По обычным правилам сложения и умножения многочленов, имея в 
виду, что i2 = –1. Например, 
 
z1 = 2 + 3i, z2 = –5 + 2i. Тогда
z1 + z2 = (2 + 3i) + (–5 + 2i) = –3 + 5i,
z1  z2 = (2 + 3i)  (–5 + 2i) = 
= –10 – 15i + 4i + 6i2 = –16 – 11i.
А как разделить z1 на z2? Обратим внимание, что результатом деления должно 
быть комплексное число z3, такое что 
z3  z2 = z1. Итак

 

1

2

2
3
(2
3 ) ( 5
2 )
5
2
( 5
2 ) ( 5
2 )
z
i
i
i
z
i
i
i


  



 
 
  

2
2
(2
3 ) ( 5
2 )
4
19
4
19 .
25
4
29
29
( 5)
(2 )

i
i
i
i
i


  
 


 





Убедитесь, что мы получили правильный результат!
Наряду с числом z = a + ib часто приходится иметь дело с числом 
.
z
a
ib


 
Его называют комплексно сопряжённым 
числу z. Найдём произведение этих чисел:

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

2
2
2
2
(
) (
)
(
)
.
z z
a
ib
a
ib
a
ib
a
b










Кстати, при делении двух комплексных чисел мы умножали числитель и 
знаменатель дроби на число, сопряжённое знаменателю!
Теперь мы сможем находить решения 
квадратного уравнения и с отрицательным дискриминантом, используя обычные формулы для его корней. Например
x2 – 4x + 13 = 0 

 
1,2
2
4
13
2
( 1) 9
2
3 .
x
i










Отметим, что корни уравнения — 
комплексно сопряжённые числа 2 + 3i и 
2 – 3i.
Вспомним также известные формулы 
Виета, устанавливающие связь между 
действительными корнями х1 и х2 приведённого квадратного уравнения
 
x2 + px + q = 0
и его коэффициентами p и q (здесь и далее p и q — действительные числа):
x1 + x2 = –p, x1x2 = q.
Покажем, что эти формулы справедливы и в случае, когда D = p2 – 4q < 0.
Преобразуем квадратный трёхчлен, 
выделив полный квадрат по х:

2
2
2

2
2

( )
2
4

.
2
4

p
p
P x
x
px
q
x
q

p
D
x
i

































Используя формулу для разности квадратов, получим:

( )
,
2
2
2
2
p
D
p
D
P x
x
i
x
i

 










 


 


 


откуда следует, что корнями многочлена 
Р(х) являются комплексно сопряжённые 
числа

2

1
4
,
2
2
q
p
p
x
i

 


2

2
4
2
2
q
p
p
x
i

 


и других корней этот многочлен не имеет. 
Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости формул Виета.
В качестве примера применения формул Виета найдем коэффициенты многочлена P(x) = x2 + px + q, если известен 
его корень x1 = 1 + 3i. Так как корни 
квадратного трёхчлена с отрицательным 
дискриминантом — пара комплексно 
сопряжённых чисел, то второй корень 
x2 = 1 – 3i. Тогда p = –(x1 + x2) = 2, 
q = x1  x2 = (1 + 3i)( 1 – 3i) = 
= 1 + 9 = 10.
Кубическое уравнение
Рассмотрим многочлен третьей степени со старшим коэффициентом 1
P(x) = x3 + a1x2 + а2х + 
+ a3, ai  R (i = 1, 2, 3). (2)
Пробуем разложить его на множители. Сначала убедимся, что этот многочлен имеет хотя бы один вещественный 
корень.
Отметим, что функция Р(х) определена 
и непрерывна на всей числовой прямой. 
Так как старший коэффициент многочлена Р(х) положителен, то 

 

lim
( )
,
x
P x

 
lim
( )
,
x
P x
  
  

то есть Р(х) принимает как положительные, так и отрицательные значения. Это 
значит, что в некоторой точке x1  R он 
обращается в ноль (по теореме о промежуточном значении непрерывной функции). Теперь мы можем представить наш 
многочлен в виде
P(x) = (x – x1)(x2 + px + q).
Пусть x2, x3 — корни квадратного трёхчлена в полученном разложении. (Как 
мы знаем, это могут быть либо действи
2/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

тельные числа, либо пара комплексно сопряжённых чисел.) Тогда 
x3 + a1x2 + a2x + a3 = 
= (x – x1)(x – x2)(x – x3) =
= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 +  
+ (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3.
Два многочлена тождественно равны 
тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях х. 
Отсюда получим формулы, связывающие 
корни многочлена P(x) с его коэффициентами:
 
x1 + x2 + x3 = –a1, 
(3)
 
x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, 
(4)
 
x1x2x3 = –a3. 
(5)
Формулы (3)–(4), по аналогии с формулами для корней квадратного трёхчлена, 
называют формулами Виета.
Верно и обратное утверждение: если 
выполняются равенства
 x1 + x2 + x3 = –a1, x1x2 + x1x3 + x2x3 = 
 
= a2, x1x2x3 = –a3,
то числа x1, x2, x3  являются корнями 
многочлена (2).
А теперь решим несколько задач, в которых используются формулы Виета.
Задача 1. Найти сумму кубов корней 
уравнения
 
x3 + x2 – 7x – 13 = 0.
Р е ш е н и е. Мы знаем, что всякое кубическое уравнение имеет ровно 3 корня 
(с учётом их кратности). Обозначим их x1, 
x2, x3. Мы не ставим себе задачу отыскания корней уравнения, но сумму их кубов 
попытаемся найти. Подставив последовательно x1, x2, x3 в рассматриваемое уравнение, запишем следующие равенства:

 

3
2
1
1
1
3
2
2
2
2
3
2
3
3
3

7
13
0,

7
13
0

7
13
0.

x
x
x

x
x
x

x
x
x
















Сложив эти равенства, получим:

3
3
3
1
2
3
2
2
2
1
2
3
1
2
3
(
)
7(
)
39.

x
x
x

x
x
x
x
x
x





 







Численное значение выражения, стоящего в правой части последнего равенства, найдём, используя формулы (3) и 
(4). В нашем случае
x1 + x2 + x3 = –1, x1x2 + x1x3 + x2x3 = –7.
Заметим, что 
(x1 + x2 + x3)2 =

 

2
2
2
1
2
3
1
2
1 3
2
3
2(
).
x
x
x
x x
x x
x x







Тогда

 

2
2
2
1
2
3
x
x
x




= (x1 + x2 + x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 
= (–1)2 – 2  (–7) = 15.
Итак, сумма кубов корней уравнения

 

3
3
3
1
2
3
15
7 ( 1)
39
17.
x
x
x


 

 



Задача 2. Найти все решения системы 
уравнений

 

1,
3,
5.

x
y
z
xy
xz
yz
xyz



 










Р е ш е н и е. Обратим внимание, что 
числа x, y, z, удовлетворяющие рассматриваемой системе, являются корнями 
некоторого кубического уравнения
 
t3 + a1t2 + a2t + a3 = 0.
То есть, согласно формулам Виета  
(3)–(5),
a1 = –(x + y + z) = 1,  
a2 = xy + xz + yz = 3,  
a3 = –xyz = –5.
В результате решение системы сводится к решению уравнения
 
t3 + t2 + 3t – 5 = 0.
Попробуем поискать корень этого уравнения среди делителей его свободного 

АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИКИ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

члена. В данном случае нам повезло: при 
t = 1 многочлен в левой части уравнения 
обращается в 0. Поделив этот многочлен 
на разность t – 1, получим t2 + 2t + 5. 
Теперь мы можем преобразовать уравнение к виду
 
(t – 1)(t2 + 2t + 5) = 0.
Далее разберёмся с квадратным трёхчленом t2 + 2t + 5. Его дискриминант 
D = 4 – 20 = –16 < 0. Это значит, что 
квадратный трёхчлен не имеет действительных корней и t1 = 1 — единственный 
действительный корень рассматриваемого 
кубического уравнения. Следовательно, в 
области действительных чисел исходная 
система решений не имеет.
Перейдём в комплексную область. Решим квадратное уравнение
 
t2 + 2t + 5 = 0 

 
2, 3
1
4
1
4
1
2 .
t
i
i

  

  
  

Итак, в области комплексных чисел 
 
x = 1, y = –1 + 2i, z = –1 – 2i.
Это одно из решений системы, в левой 
части которой находятся симметрические 
многочлены от переменных х, y, z. Нетрудно подсчитать, что всего решений 
будет 6. Пожалуйста, выпишите их самостоятельно. 
Задача 3. Найти все решения системы 
уравнений [5]

 

2
2
2

5
5
5

3,

3,

3.

x
y
z

x
y
z

x
y
z
















Р е ш е н и е. Предположим, что числа 
x, y, z — корни некоторого кубического 
уравнения
 
t3 + a1t2 + a2t + a3 = 0.
Найдём условия, которым должны удовлетворять коэффициенты этого уравнения. Согласно формулам (3)–(5), имеем

 
a1 = –(x + y + z), 
 
a2 = xy + xz + yz, 
 
a3 = –xyz.
По условию задачи x + y + z = 3. Возведя в квадрат обе части этого выражения, 
получим
 x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz) = 9.
По условию  x2 + y2 + z2 = 3, следовательно

9
3
3.
2
xy
xz
yz






Итак, исследуемое кубическое уравнение приобретает вид 
 
t3 – 3t2 + 3t + a3 = 0,
где коэффициент а3 пока не определён. 
Поскольку x, y, z — корни этого уравнения, имеем следующие равенства:
 
x3 – 3x2 + 3x + a3 = 0,
 
y3 – 3y2 + 3y + a3 = 0,
 
z3 – 3z2 + 3z + a3 = 0.
Сложив их почленно, получим: 
(x3 + y3 + z3) – 3(x2 + y2 + z2) + 
+ 3(x + y + z) + 3a3 = 0.
С учётом того, что x2 + y2 + z2 = 3,  
x + y + z = 3, получим выражение для 
суммы кубов чисел x, y, z:
 
x3 + y3 + z3 = –3a3.
Далее найдём сумму четвёртых степеней чисел x, y, z. Сложив равенства
 
x4 – 3x3 + 3x2 + a3x= 0,
 
y4 – 3y3 + 3y2 + a3y = 0,
 
z4 – 3z3 + 3z2 + a3z = 0,
получим 
(x4 + y4 + z4) – 3(x3 + y3 + z3) + 3(x2 + 
+ y2 + z2) + a3(x + y + z) = 0,
или
(x4 + y4 + z4) – 3(–3a3) + 3  3 + a3  3 = 
= 0  x4 + y4 + z4 = –12а3 – 9.
Аналогично подсчитаем сумму пятых 
степеней чисел x, y, z:
 
x5 + y5 + z5 = –30а3 – 27.
По условию эта сумма равна 3. Следо
2/2019
МАТЕМАТИКА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ

 Любое распространение материалов журнала, в т.ч. архивных номеров, возможно только с письменного согласия редакции.

вательно, a3 = –1. В результате мы установили, что числа x, y, z являются корнями уравнения 
 t3 – 3t2 + 3t – 1 = 0  (t – 1)3 = 0,
а это значит, что решениями исходной 
системы являются числа
 
x = y = z = 1.
Формулы Виета для многочлена 
произвольной степени
Пусть комплексные числа x1, x2, … , xn 
(среди которых могут быть и одинаковые) 
являются корнями многочлена 
 P(x) = xn + a1xn–1 + a2xn–2 + … + an,
 
ai  R (i = 1, 2, …, n).
Тогда этот многочлен может быть разложен на множители:
xn + a1xn–1 + a2xn–2 + … + an = 
= (x – x1)(x – x2) … (x – xn).
Левая и правая части последнего равенства — это два представления одного 
и того же многочлена Р(х). Приравнивая 
коэффициенты при соответствующих степенях х в этих представлениях, получим 
следующие формулы, которые также называют формулами Виета:
x1 + x2 + … + xn = –a1,
x1x2 + x1x3 + … + x1xn + x2x3 + … + 
+ x2xn + … + xn–1xn = a2,
………………………………………………..

1
2

1
2 ...
...
( 1)
,
k

k

k
i
i
i
k
i
i
i
x x
x
a




 


,

…………………………………………………
 
x1x2 … xn = (–1)nan. 
Обратим внимание, что в левой части 
k-й формулы Виета стоит сумма всевозможных произведений k корней многочлена Р(х).
А теперь мы можем приступить к решению задачи, заявленной в начале статьи. 
Задача 4. Доказать, что при любых 
действительных 
коэффициентах  

а3, а4, …, а2019  не все корни уравнения
a2019x2019 + a2018x2018 + … + a3x3 + 5x2 + 
+ 3x + 1 = 0
являются действительными числами.
Р е ш е н и е. Рассмотрим многочлен с 
действительными коэффициентами 
P(x) = a2019x2019 + a2018x2018 + … + a3x3 +  
 
+ 5x2 + 3x + 1. 
(5)

Пусть х1, х2, … , х2019 — корни этого 
многочлена. Заметим, что среди них нет 
числа 0, так как Р(0) = 1  0. Это позволяет нам сделать необходимые для 
дальнейшего исследования преобразования:
P(x) = x2019(a2019 + a2018x–1 + … +
+ a3x–2016 + 5x–2017 + 3x–2018 + x–2019).
Положим в последнем выражении 

1
у
х 
 и рассмотрим многочлен 

 Q(y) = y2019 + 3y2018 + 5y2017 + … + 
 
+ a2018y + a2019. 
(6)
Очевидно, корнями многочлена (6) яв
ляются числа 

1 (
1, 2,... , 2019).
i
i
y
i
х



Запишем формулы Виета для корней 
многочлена (6):
 
y1 + y2 + … + y2019 = –3, 
(7)
 y1y2 + y1y3 + … + y1y2019 + y2y3 + … +
 
+ y2y2019 + … + y2018y2019 = 5. 
(8)
Найдём сумму квадратов корней многочлена (6). Заметим, что 

2
2
2
2
1
2
2019
1
2
2019
(
...
)
...
y
y
y
y
y
y









+ 2(y1y2 + y1y3 + … + y1y2019 + y2y3 + … +
+ y2y2019 + … + y2018y2019).
Тогда, с учётом формул (7), (8), получим

2
2
2
2
1
2
2019
...
( 3)
2 5
1
0.
y
y
y



 


  

Поскольку сумма квадратов действи