Просто игра

www.bit-book.ru

У книги есть сайт

Автор идеи  
и научный редактор серии 
Сергей Деменок
Санкт-Петербург.2020

Нет ни одной области 
математики, как бы абстрактна 
она ни была, которая когда‑нибудь 
не окажется применимой к явлениям 
действительного мира.
Н. И. Лобачевский

Если люди отказываются верить 
в простоту математики, то это только 
потому, что они не понимают всю 
сложность жизни.
Джон фон Нейман

УДК 930.85, 174.6, 16
ББК 63.3(2) 

ISBN 978‑5‑907127‑70‑8

 
Просто игра.   — СПб.: Страта, 2020. — 186 с., 
илл. — (серия «Просто»)

 
ISBN 978‑5‑907127‑70‑8

Каким образом вести игру, чтобы всякий раз 
побеждать?
Как рассчитать шансы в игре, где делаются 
ставки? Насколько можно рисковать, чтобы 
выиграть? Как укротить случайность?
Служат ли всем известные игры только 
для развлечения, или с их помощью можно мо‑
делировать реальные жизненные ситуации?
Вы узнаете, как изучение игр с помощью 
математических методов, которые изначально 
были способом получения интеллектуального 
удовольствия, выросло в серьезную науку: 
теорию игр.

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может 
быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и ка‑
кими бы то ни было средствами, будь то электронные или механи‑
ческие, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, 
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разре‑
шения владельцев.
All rights reserved. No parts of this publication can be reproduced, 
sold or transmitted by any means without permission of the publisher.

П82

УДК 514:515.1+330
ББК 32

© Романецкий Н. М., 2017, текст
© ООО «Страта», 2020

Нет ни одной области 
математики, как бы абстрактна 
она ни была, которая когда‑нибудь 
не окажется применимой к явлениям 
действительного мира.
Н. И. Лобачевский

Если люди отказываются верить 
в простоту математики, то это только 
потому, что они не понимают всю 
сложность жизни.
Джон фон Нейман

УДК 930.85, 174.6, 16
ББК 63.3(2) 

ISBN 978‑5‑907127‑70‑8

 
Просто игра.   — СПб.: Страта, 2020. — 186 с., 
илл. — (серия «Просто»)

 
ISBN 978‑5‑907127‑70‑8

Каким образом вести игру, чтобы всякий раз 
побеждать?
Как рассчитать шансы в игре, где делаются 
ставки? Насколько можно рисковать, чтобы 
выиграть? Как укротить случайность?
Служат ли всем известные игры только 
для развлечения, или с их помощью можно мо‑
делировать реальные жизненные ситуации?
Вы узнаете, как изучение игр с помощью 
математических методов, которые изначально 
были способом получения интеллектуального 
удовольствия, выросло в серьезную науку: 
теорию игр.

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может 
быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и ка‑
кими бы то ни было средствами, будь то электронные или механи‑
ческие, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, 
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разре‑
шения владельцев.
All rights reserved. No parts of this publication can be reproduced, 
sold or transmitted by any means without permission of the publisher.

П82

УДК 514:515.1+330
ББК 32

© Романецкий Н. М., 2017, текст
© ООО «Страта», 2020

4

Вы убедитесь, как изучение игр с помощью математических методов, изначально представляющееся развлечением или способом получения чисто 
интеллектуального удовольствия, вырастает в одну из важнейших областей 
математики, используемую в реальных ситуациях, превращаясь, в конце 
концов, в серьезную науку, известную 
под названием «теория игр».

В первой главе представляется история предмета, 
чтобы показать историческую связь между математикой 
и играми.
Во второй главе приводятся несколько приме‑
ров конечных логических игр и показывается, как 
проанализировать игру, чтобы определить способ, 

Предисловие

Каждый, наверное, коротал время за игрой в «кре‑
стики‑нолики» или в «морской бой».
Многие передвигали по клетчатой доске шахматные 
фигуры или шашки, не задумываясь о том, что между 
играми и математикой существует связь.
В чем же она заключается? Служат ли известные 
всем игры только для развлечения, или с их помощью 
можно моделировать реальные жизненные ситуации? 
Какая информация необходима для математического 
анализа игры, и что можно узнать в результате? Мож‑
но ли использовать математику для рассмотрения ти‑
пов человеческого поведения и помощи в принятии 
решений?
Вот только часть вопросов, ответить на которые пы‑
тается предлагаемая вашему вниманию книга.
Это книга о математике и играх, которая, в отличие 
от других изданий, посвященных тем же темам, не со‑
стоит лишь из описания различных игр, требующих 
освоения правил и навыков. В ней рассматривается на‑
бор математических концепций, процессов и теорий, 
которые можно развивать на основе анализа опреде‑
ленных игр.
Материал, представленный в этом издании, орга‑
низован таким образом, чтобы показать читателю: как 
серьезная математика, так и развлекательная, как фунда‑
ментальная, так и прикладная могут быть двумя сторо‑
нами одной монеты.

4

Вы убедитесь, как изучение игр с помощью математических методов, изначально представляющееся развлечением или способом получения чисто 
интеллектуального удовольствия, вырастает в одну из важнейших областей 
математики, используемую в реальных ситуациях, превращаясь, в конце 
концов, в серьезную науку, известную 
под названием «теория игр».

В первой главе представляется история предмета, 
чтобы показать историческую связь между математикой 
и играми.
Во второй главе приводятся несколько приме‑
ров конечных логических игр и показывается, как 
проанализировать игру, чтобы определить способ, 

Предисловие

Каждый, наверное, коротал время за игрой в «кре‑
стики‑нолики» или в «морской бой».
Многие передвигали по клетчатой доске шахматные 
фигуры или шашки, не задумываясь о том, что между 
играми и математикой существует связь.
В чем же она заключается? Служат ли известные 
всем игры только для развлечения, или с их помощью 
можно моделировать реальные жизненные ситуации? 
Какая информация необходима для математического 
анализа игры, и что можно узнать в результате? Мож‑
но ли использовать математику для рассмотрения ти‑
пов человеческого поведения и помощи в принятии 
решений?
Вот только часть вопросов, ответить на которые пы‑
тается предлагаемая вашему вниманию книга.
Это книга о математике и играх, которая, в отличие 
от других изданий, посвященных тем же темам, не со‑
стоит лишь из описания различных игр, требующих 
освоения правил и навыков. В ней рассматривается на‑
бор математических концепций, процессов и теорий, 
которые можно развивать на основе анализа опреде‑
ленных игр.
Материал, представленный в этом издании, орга‑
низован таким образом, чтобы показать читателю: как 
серьезная математика, так и развлекательная, как фунда‑
ментальная, так и прикладная могут быть двумя сторо‑
нами одной монеты.

Просто игра

6

Глава I.  
МатеМатика и иГра  
в истории человечества 

• 
Математика серьезная  
и развлекательная, 
фундаментальная 
и прикладная
• 
Математика и игры  
до XVII века
• 
Математические игры  
с XVII века и до наших дней
• 
Настольные игры в россии
• 
рождение теории игр

обеспечивающий возможность выигрыша (выигрыш‑
ную стратегию), а также исследуются математические 
основы подобного анализа.
В третьей главе обсуждаются базовые расчеты шан‑
сов — на основании игр, в которых делаются ставки 
или нужно выбирать варианты и требуется расчет ве‑
роятности событий. Тут используются основы теории 
вероятностей.
Последние две главы представляют собой введение 
в теорию игр, область математики, основанную Джоном 
фон Нейманом в первой половине двадцатого столетия. 
Теория изучает виды человеческого поведения с целью 
сделать попытку оптимизировать принятие решений 
в самых различных областях — экономике, политике, во‑
енных организациях, поведении животных. Теория ис‑
пользует игры в качестве математических моделей, кото‑
рые имитируют или воспроизводят реальные ситуации.
С помощью теории игр анализируются некоторые 
достаточно важные дилеммы. К примеру, насколько 
можно рисковать для выигрыша (игра «Кто первым 
струсит»). Или так называемая «дилемма задержанно‑
го» — утаить или выдать информацию?
В обеих этих классических задачах отражаются ре‑
альные события, то и дело происходящие в нашем мире, 
где систематически возникающая необходимость вы‑
бора между возможностью конфронтации и сотруд‑
ничеством весьма затрудняет принятие грамотных 
решений. Даже если математика и не подсказывает 
определенные решения этих дилемм, она, представ‑
ляя различные возможности в количественной форме, 
демонстрирует риски конфронтации и преимущества 
сотрудничества.

Просто игра

6

Глава I.  
МатеМатика и иГра  
в истории человечества 

• 
Математика серьезная  
и развлекательная, 
фундаментальная 
и прикладная
• 
Математика и игры  
до XVII века
• 
Математические игры  
с XVII века и до наших дней
• 
Настольные игры в россии
• 
рождение теории игр

обеспечивающий возможность выигрыша (выигрыш‑
ную стратегию), а также исследуются математические 
основы подобного анализа.
В третьей главе обсуждаются базовые расчеты шан‑
сов — на основании игр, в которых делаются ставки 
или нужно выбирать варианты и требуется расчет ве‑
роятности событий. Тут используются основы теории 
вероятностей.
Последние две главы представляют собой введение 
в теорию игр, область математики, основанную Джоном 
фон Нейманом в первой половине двадцатого столетия. 
Теория изучает виды человеческого поведения с целью 
сделать попытку оптимизировать принятие решений 
в самых различных областях — экономике, политике, во‑
енных организациях, поведении животных. Теория ис‑
пользует игры в качестве математических моделей, кото‑
рые имитируют или воспроизводят реальные ситуации.
С помощью теории игр анализируются некоторые 
достаточно важные дилеммы. К примеру, насколько 
можно рисковать для выигрыша (игра «Кто первым 
струсит»). Или так называемая «дилемма задержанно‑
го» — утаить или выдать информацию?
В обеих этих классических задачах отражаются ре‑
альные события, то и дело происходящие в нашем мире, 
где систематически возникающая необходимость вы‑
бора между возможностью конфронтации и сотруд‑
ничеством весьма затрудняет принятие грамотных 
решений. Даже если математика и не подсказывает 
определенные решения этих дилемм, она, представ‑
ляя различные возможности в количественной форме, 
демонстрирует риски конфронтации и преимущества 
сотрудничества.

8

Надо жить играя. 
Платон

Для начала вопрос, который кому‑то может пока‑
заться нелепым… Математика — сугубо серьезная 
дама, или ей доступна и развлекательность?
И еще один вопрос…
Фундаментальная математика — единственная ис‑
тинная дисциплина, или прикладная математика ей 
ни в чем не уступает?
Попытаемся пролить побольше света на предмет, 
объясняя причину, почему эти вопросы вообще здесь 
заданы.
Начиная с древних времен, на протяжении веков идут 
споры о том, предназначена ли математика только для до‑
стижения целей в попытке решить собственные пробле‑
мы или у нее есть задачи в других дисциплинах и областях. 
Чтобы понять это, надо оглянуться назад, на историю 
науки. Как показывают источники, дошедшие до на‑
ших времен, математика в Древнем Египте и Вавилоне, 
по сути, являлась прикладной наукой. Однако уже у гре‑
ков кое‑что изменилось. Математика сделалась средством 
для демонстрации абсолютных истин — то есть чистой 
наукой, которая занимается абстрактными категориями 
и элементами (такими, как числа и фигуры), хотя эти аб‑
стракции часто применяются как в обычной жизни, по‑
вседневно, так и в занятиях другими науками.
Вряд ли кто станет спорить, что математика, в са‑
мом широком смысле, предназначена для решения задач 
и проблем, а также для получения ответов на вопросы 
о нашем мире. Однако, поскольку математикой занима‑
ются люди, она непременно зависит от культуры, вну‑
три которой живут и работают те, кто ею занимается, 
и именно эта культура определяет, какие реальные про‑
блемы и задачи необходимо решать на данном этапе.

1.1. МатеМатика 
серьезНая и развлекательНая, 
фуНдаМеНтальНая и ПрикладНая

Один из главных героев нашей истории математик 
Джон фон Нейман в своей статье «Роль математики 
в науках и обществе» объяснил, каким образом многие 
великие математические идеи получили развитие без осо‑
бых размышлений об их реальной полезности. И наобо‑
рот, немалое количество теорий, моделей и методов, раз‑
работанных математиками, изначально предназначались 
для решения конкретных задач и проблем в самых раз‑
нообразных секторах науки. Как бы то ни было, многие 
математические идеи получили широчайшее распростра‑
нение и проникли чуть ли не во все сферы человеческой 
деятельности. И хотя математика кажется очень далекой 
от реальности, она встречается во всех областях жизни.
Джон фон Нейман ни в коем случае не был дале‑
ким от реальной жизни ученым, которого не волновало 
практическое применение своих теорий. В конце кон‑
цов, он не случайно стал одним из создателей теории 
игр, области прикладной математики. Он объяснял, что 
многие научные открытия происходили именно после 
того, как исследователи прекращали раздумывать о по‑
лезности и позволяли себе руководствоваться исклю‑
чительно любопытством в поисках интеллектуальной 
изысканности. В конце статьи фон Нейман отмечал, что 
научный прогресс ушел за пределы достижений челове‑
чества, до которых оно могло бы добраться, кабы стро‑
го ограничивалось поисками полезности, и благодаря 
именно этому своеобразному «принципу невмешатель‑
ства» были получены некоторые невероятные результа‑
ты в области математики.
Размышляя о полезности математики, давайте об‑
ратимся к развлекательной составляющей этой научной 
дисциплины.

8

Надо жить играя. 
Платон

Для начала вопрос, который кому‑то может пока‑
заться нелепым… Математика — сугубо серьезная 
дама, или ей доступна и развлекательность?
И еще один вопрос…
Фундаментальная математика — единственная ис‑
тинная дисциплина, или прикладная математика ей 
ни в чем не уступает?
Попытаемся пролить побольше света на предмет, 
объясняя причину, почему эти вопросы вообще здесь 
заданы.
Начиная с древних времен, на протяжении веков идут 
споры о том, предназначена ли математика только для до‑
стижения целей в попытке решить собственные пробле‑
мы или у нее есть задачи в других дисциплинах и областях. 
Чтобы понять это, надо оглянуться назад, на историю 
науки. Как показывают источники, дошедшие до на‑
ших времен, математика в Древнем Египте и Вавилоне, 
по сути, являлась прикладной наукой. Однако уже у гре‑
ков кое‑что изменилось. Математика сделалась средством 
для демонстрации абсолютных истин — то есть чистой 
наукой, которая занимается абстрактными категориями 
и элементами (такими, как числа и фигуры), хотя эти аб‑
стракции часто применяются как в обычной жизни, по‑
вседневно, так и в занятиях другими науками.
Вряд ли кто станет спорить, что математика, в са‑
мом широком смысле, предназначена для решения задач 
и проблем, а также для получения ответов на вопросы 
о нашем мире. Однако, поскольку математикой занима‑
ются люди, она непременно зависит от культуры, вну‑
три которой живут и работают те, кто ею занимается, 
и именно эта культура определяет, какие реальные про‑
блемы и задачи необходимо решать на данном этапе.

1.1. МатеМатика 
серьезНая и развлекательНая, 
фуНдаМеНтальНая и ПрикладНая

Один из главных героев нашей истории математик 
Джон фон Нейман в своей статье «Роль математики 
в науках и обществе» объяснил, каким образом многие 
великие математические идеи получили развитие без осо‑
бых размышлений об их реальной полезности. И наобо‑
рот, немалое количество теорий, моделей и методов, раз‑
работанных математиками, изначально предназначались 
для решения конкретных задач и проблем в самых раз‑
нообразных секторах науки. Как бы то ни было, многие 
математические идеи получили широчайшее распростра‑
нение и проникли чуть ли не во все сферы человеческой 
деятельности. И хотя математика кажется очень далекой 
от реальности, она встречается во всех областях жизни.
Джон фон Нейман ни в коем случае не был дале‑
ким от реальной жизни ученым, которого не волновало 
практическое применение своих теорий. В конце кон‑
цов, он не случайно стал одним из создателей теории 
игр, области прикладной математики. Он объяснял, что 
многие научные открытия происходили именно после 
того, как исследователи прекращали раздумывать о по‑
лезности и позволяли себе руководствоваться исклю‑
чительно любопытством в поисках интеллектуальной 
изысканности. В конце статьи фон Нейман отмечал, что 
научный прогресс ушел за пределы достижений челове‑
чества, до которых оно могло бы добраться, кабы стро‑
го ограничивалось поисками полезности, и благодаря 
именно этому своеобразному «принципу невмешатель‑
ства» были получены некоторые невероятные результа‑
ты в области математики.
Размышляя о полезности математики, давайте об‑
ратимся к развлекательной составляющей этой научной 
дисциплины.