Просто Фрактал

ПРОСТОФРакТал

Санкт-Петербург.2019

УДК 514:515.1+330
ББК 22.15
Д30

ISBN 978-5-907127-10-4 

© Деменок С. Л., текст, 2019 
©  Мария Емельяненкова,  
Максим Ляпунов, рисунки, 2018 
© ООО «Страта», 2019

 
 
Просто фрактал / Сергей Деменок. — СПб.: 
Страта, 2019. — 274 с., илл. — (серия «Просто»)

ISBN 978-5-907127-10-4

Фрактальную геометрию открыл Бенуа Мандельброт в конце 1970­х годов. Фракталы появились на обложках глянцевых журналов и сразу привлекли внимание 
не только ученых и инженеров, но также дизайнеров 
и модельеров. 
Мир не фрактален. Но фрактал блестяще иллюстрирует сложные сетевые структуры, которые не имеют «дна 
элементарности», а также единство формы, алгоритма 
и математического символа.
Книга насыщена материалами о фундаментальных основах фрактальной геометрии и примерами различных 
фракталов.

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может 
быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме 
и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или 
механические, включая фотокопирование и запись на магнитный 
носитель, а также размещение в Интернете, если на то нет письменного 
разрешения владельцев.

All rights reserved. No parts of this publication can be reproduced, 
sold or transmitted by any means without permission of the publisher.

Д30

УДК 514:515.1+330
ББК 22.15

Моей маме — 
мое приношение

«Фрактальная геометрия изменит ваше представ‑
ление о мире. Дальше читать опасно. Вы рискуете 
утратить детское восприятие облаков, пены, га‑
лактик, листьев, цветов, скал, водных брызг и мно‑
гого другого. Никогда вновь ваше впечатление о мире 
не станет прежним».
Майкл Барнсли

Манифест 
фрактальной 
интерпретации 
реальности 

В древней восточной традиции есть символ — сеть 
Индры. В буддийской «Аватамсака-сутре» сказано:

«Мир 
напоминает 
бескрайнюю 
сеть 
Индры, украшенную жемчужинами и кусочками хрусталя, каждая драгоценность отражает все остальные и сама отражается во всех 
остальных».

Ни одно свойство какой-либо части этой сети не является фундаментальным: все свойства одной части вытекают 
из свойств других частей, и общая связанность взаимоотношений определяет структуру всей сети.

Мы живем в сетевом мире, структура которого сама 
по себе есть вещь, точнее, символическая вещь, а не условие рассмотрения или правило описания.

В нашей новой реальности элементы вещества и элементарные взаимодействия стоят в одном ряду с элементарными 
структурами. Элементарные структуры существуют вне вещества и вне явлений. Они имеют символическую природу. 
Благодаря способности различать символы мы можем отличить березу от дуба по форме листа. И это несмотря на то 
что на березе нет двух одинаковых листьев, их нет и на дубе. 
Символическое восприятие позволяет нам отличать оттенки 
порядка и различать нюансы хаоса. Мы замечаем, что окружающая нас реальность одновременно и регламентирована, 
и алеаторна. Алеаторность — хорошее слово. Оно означает 
буквально «бросок кости» — чистый случай. Случайность способна разрушить алгоритм и форму. Но в умелых руках она 
может склеить совершенно разные алгоритмы и привести к построению абсолютно новой, непредсказуемой и невообразимой формы.

Манифест фрактальной интерпретации реальности 

В умелых руках конусы, окружности и квадраты на экране 
монитора гибко и пластично мнутся, ломаются и превращаются в горный ландшафт, листья папоротника, облака или вспышку 
молнии. Вся эта магия происходит по расчету. Алгоритм фрактального построения форм может быть строго детерминированным или вероятностным. Не только параметры расчета могут изменяться с определенной вероятностью, но и формулы 
расчета могут выбираться из набора формул случайным образом.

Параметры и формулы расчета сложных фракталов 
могут изменяться в процессе расчета — по необходимости, встроенной в алгоритм, или по капризу программиста.

И это обстоятельство делает фракталы правдоподобными 
моделями реальности, в которых неиссякаемое разнообразие форм не сводится к примитивному дроблению, а единство 
не отождествляется с неделимостью. Фрактал позволяет наглядно соединить непрерывность и дискретность, алгоритм 
и случайность, форму и формулу, хаос и эволюцию.

Фрактальная модель иллюстрирует то, что фундаментальная ячейка сетевой реальности состоит из элементарной формы, элементарного действия и элементарного символа.

Любой фрактал существует в действии, в процессе построения. Фрактальный алгоритм работает, пока сохраняется «ген 
формообразования», фрактальная размерность. Последняя 
возникает как символ петли обратного влияния. Фактически 
устойчивая петля предполагает повторение операций по кругу 
в постоянно изменяющемся окружении. Фрактал служит примером того, как в разных условиях одна и та же рекурсивная 
операция приводит к появлению новых предопределенных и, 
одновременно, неожиданно фантастических форм. 
Фрактал есть наглядная иллюстрация поведения в сети. 
И он — символ перезагрузки наших представлений о природе 
сетевой реальности.

• 
Черт в сапогах
• 
назвать — значит узнать
• 
фрактал — это форма,  
процесс и символ 
• 
фрактал — это форма
• 
фрактал — это ритм
• 
фрактал — это символ
• 
от фрагмента — к фракталу
• 
фрактал: мифы  
и мистификации
• 
Для простоты — усложняй!
• 
Дьявольский полимер
• 
Дьявольская лестница
• 
капризы случая
• 
просто сингулярность 
• 
просто единица

Глава I. 
путешествие к истокаМ

Черт в сапоГах

О 

днажды я заснул, после того как перечитал своей трехлетней 
дочери замечательную детскую книжку «Tom Fox and the 
Apple Pie». И во сне ко мне явился лис. Сначала проступил его 
большой любопытный нос, потом недоверчивая ухмылка, потом — 
голова и торс. Материализовавшаяся часть лиса тут же облокотилась на невесть откуда возникшую шахматную доску и принялась 
трясти стаканчиком уличного наперсточника — на доску высыпалась пригоршня цифр. Лис задумчиво расставлял их по клеткам, 
выстраивая некий порядок: 1, 2, 3, 5, 8, 13… На последней цифре 
он лукаво подмигнул и явился в полный рост. Лис был в сапогах. Все 
так же ниоткуда возникли венское кресло, фолиант в кожаном переплете, чернильница и гусиное перо. 
В кресле лис в сапогах устроился вальяжно. С показным 
удовольствием он открыл фолиант, на титульном листе которого я мог без труда прочитать название: «Слухи и сплетни, 
ходившие в Лиме в изящном 1826 году» перуанского писателя 
Ное Кальсадильяса *. Только теперь я обратил внимание на круглое выпуклое зеркало, висевшее на стене комнаты. В зеркале XV века лис отражался причудливо. Он располнел и был 
более похож на кота, нежели чем на лиса. При этом вместо 
фолианта в кожаном переплете в руках у кота в сапогах был тоненький хромированный планшет, вместо чернильницы — толстая таблетка памяти, а вместо гусиного пера — сканер­карандаш. Сидел зазеркальный кот в кожаном вращающемся кресле, 
положив ногу на ногу и демонстрируя сапоги a la Camouflage **. 

* 
Увы, единственное упоминание об этой книге и ее авторе содержится в ро‑
мане лауреата Нобелевской премии по литературе 1982 г. Габриэля Гарсиа 
Маркеса «Генерал в своем лабиринте» (1989). 
** 
A la Camouflage — здесь, известный бренд резиновых сапог (фр. 
camouflage — «маскировка» — под камуфляж, т. е. пятнистой маскиро‑
вочной окраски).

Глава I. Путешествие к истокам

Перед ним простиралась столешница из матового стекла, на которой по какой­то причине встретились английский зонтик 
и швейная машинка «Зингер». Зазеркальный кабинет своей 
стерильной белизной напоминал анатомический театр или белое пространство матрицы из одноименного культового фильма. Каждым жестом кошачье отражение лиса точно повторяло 
свой прообраз. Настолько, что не оставалось сомнений: они читают и правят один и тот же текст. Причем после каждой правки 
вокруг происходили едва различимые и точно согласованные 
изменения. Например, когда в комнате исказился узор на персидском ковре, то синхронно с ним изменился узор матрицы 
на обоях в зазеркальном кабинете. На морде у лиса появлялись 
морщинки, на голенищах сапог — новые складки. Пластика перемен исключала разрывы реальности. Все вокруг трансформировалось настолько согласованно, что во сне чувство реальности не ослабевало, но только усиливалось. 
Реальный лис в сапогах и отраженный кот в сапогах заговорщически подмигнули друг другу, и первый пропел тему 
«Тонального канона» Баха. Не успел лис завершить, как 
зазеркальный кот подхватил ее, взяв на несколько тонов выше. 
И едва он довел тему до конца, как ее же подхватил лис, взяв 
еще несколькими тонами выше. Так продолжалось до тех пор, 
пока от «Музыкального приношения» Баха не осталось 
ни единого звука, доступного слуху. Реальный лис при этом 
перелистывал свой фолиант — от конца к началу — и, дойдя до титульного листа, озадаченно почесал гусиным пером 
за ухом. На титульном листе теперь можно было прочесть новое название — «Слухи и сплетни о высшем замысле в памятном 2011 году» английского ученого Хопкайнда. Лис и кот 
принялись редактировать новейший текст без какого­либо перерыва. Однако один из них промурлыкал нечто вроде: «nomen 
est numen», — а второй в той же тональности: «почти постав». 
Обе фразы могли быть наполнены разными смыслами и потому 
оставались бессмысленными. 
Тем временем происходящее во сне становилось все 
«страньше и страньше». В процессе едва уловимых искажений 
реальная комната стала клинически белой, тогда как зазеркальная обрела декор в стиле модерн начала прошлого века. Да и кот 
с лисом будто менялись местами. Их захватила странная петля