Арт фрактал

Санкт-Петербург.2018

Автор идеи  
и научный редактор серии 
СЕРГЕЙ ДЕМЕНОК

3-е издание

ББК 71.0
УДК 76.01 + 501
Ф826

ISBN 978-5-906150-41-7

 
 
 
 
Арт-фрактал. Сборник статей. — 3–е изд. —
СПб.: Страта, 2018. — 232 с.,  илл. — (серия 
«Просто»)

 
ISBN 978-5-906150-41-7

В сборник вошли статьи математиков и художников-фракталистов, многие из которых хорошо известны 
в научных и художественных кругах. Проблематика книги связана с философскими и эстетическими смыслами 
фрактального искусства, представляющего собой особый 
художественный феномен конца ХХ — начала ХХI вв. Подборка статьей представляет собой попытку посмотреть 
на цифровое фрактальное искусство с нескольких ракурсов: 
математического, технологического, эстетического и философского. Большинство текстов не носит специально-математического характера и относится, скорее, к сфере digital 
humanities (цифровых гуманитарных наук). Многие статьи 
сборника впервые публикуются на русском языке.
Книга представляет интерес для специалистов в области эстетики, философии искусства, культурологии и искусствоведения, преподавателей и студентов художественных 
специальностей, широкого круга читателей.

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может 
быть воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, 
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.
All rights reserved. No parts of this publication can be reproduced, 
sold or transmited by any means without permission of the publisher.

Ф826

ББК 71.0
УДК 76.01 + 501

©  Деменок С. Л., введение  
и послесловие, 2017
©  Николаева Е. В., перевод на русский 
язык, 2015
©  ООО «Страта», 2018

С 

амоподобие — универсальное свойство природы. Фракталы, как принцип устройства мира, существовали всегда. Любой элемент мироздания подобен другому: рождение вселенной и возникновение отдельной жизни — суть одно. 
Но лишь сорок лет назад математик Бенуа Мандельброт продемонстрировал универсальность этих естественных структур 
и создал геометрию для их описания.
С этого времени посредством теории фракталов стали объяснять эволюцию галактик и деление клетки, географию Земли 
и глобальные перемены климата, развитие общества, существование семьи и движение биржевых цен.
А ведь фрактальное устройство мироздания описано еще 
в древнейшем буддистском тексте как сеть Индры: все в одном, 
одно во всем. Сеть Индры в индуистской мифологии — паутина, 
покрывающая Вселенную, ее горизонтальные нити представляют 
пространство, а вертикальные — время. В каждом пересечении нитей — бриллиантовая бусина, символ индивидуального существования. Если посмотреть на одну из них, вы увидите все остальные. 
Бесчисленные, бесконечные отражения друг друга.
Подобным образом каждая вещь не существует в отдельности, 
она включает в себя другую и является ею.
Ни одно свойство какой-либо части этой сети не является фундаментальным: все свойства одной части вытекают из свойств других частей, их взаимоотношения определяют структуру всей сети. 
Мы живем в сети, структура которой — фрактал.

ВВеДение

Введение

От песчинки до барханов пустыни, от капельки воды до гигантских волн цунами, от тающей снежинки до ледяного безмолвия, 
от единственной едва различимой на рассвете планеты — до завораживающей карты звездного небосклона, от лейтмотива соловья 
майской ночью — до партитуры симфонии, от притяжения мыслей 
и предметов — до пересечения жизненных путей.
Подборка статей сборника — взгляд на фрактальное искусство с нескольких ракурсов. Статьи Б. Мандельброта, М. Барнсли, 
X. Сaйтиса дают некоторое представление о математической стороне научных и художественных практик, основанных на концепции фрактальности. В статьях Р. Абарахама, Л. Коцича и Р. Тэйлора 
перебрасывается «мостик» от теории хаоса и фрактальности 
к фрактальному искусству нецифровой природы (живописи Ф. Купки, Дж. Тернера, С. Дали, Дж. Поллока и других).
Статьи сборника, мы надеемся, дадут возможность понять и почувствовать завораживающий мир фрактального искусства.

Сергей Деменок

Бенуа Мандельброт 

КАКоВА ДлинА ПоБережья БритАнии? 

СтАтиСтичеСКое САМоПоДоБие  

и фрАКтАльнАя рАзМерноСть

Бенуа Мандельброт (Benoît B. Mandelbrot) (1924—2010) — известный франкоамериканский математик, основатель нового раздела математики — фрактальной геометрии. Автор книги «Фрактальная геометрия природы» и других научных работ, в том числе по фрактальному анализу биржевых рынков. Его именем 
названо множество, которое он исследовал.

Б 

ереговые линии представляют собой пример в высшей степени сложных кривых, таких, что каждый из их участков 
может — в статистическом смысле — быть рассмотрен как 
образ целого в уменьшенном масштабе. Это свойство будем называть «статистическим самоподобием». Говорить о длине таких фигур обычно бессмысленно. Так, «левый берег реки Вислы, 
измеренный с повышенной точностью, дал бы длины в десятки, 
сотни и даже тысячи раз больше длины, снятой со школьной карты» 1. В более общем виде географические линии можно рассматривать как суперпозиции элементов широкого диапазона размеров; чем более мелкие элементы принимаются во внимание, тем 
более возрастает измеренная общая длина, и обычно нет ясного 
разделения между областью приложения географии и деталями, 
с которыми географии нет необходимости иметь дело.
Таким образом, нужны величины иные, чем длина, чтобы 
выявлять различия между разными степенями сложности у географических кривых. Когда кривая самоподобна, она характеризуется степенью подобия, D, которая обладает многими 
свойствами размерности, хотя обычно это дробная величина, 
больше 1 — размерности, приписываемой кривым. В свете 
этого мы заново рассмотрим некоторые наблюдения Ричардсона2. Я предполагаю интерпретировать их, приняв, например, что размерность западного побережья Великобритании 
D = 1,25. Это показывает, что еще недавно эзотерическое понятие «случайной фигуры фрактальной размерности» имеет 
простое и конкретное применение и большую практическую 
значимость.

1  
См.: H. Steinhaus, Colloquium Math. 3, 1 (1954), где приводятся более ранние 
источники.
2  
L. F. Richardson in: General Systems Year-book 6, 139 (1961).

7

Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность

Бенуа Мандельброт

Методы самоподобия являются действенным инструментом в изучении феномена случайности, включая геостатистику, 
а также экономику 3 и физику 4. Фактически многие шумы имеют размерности D между 0 и 1, так что ученому следует рассматривать размерность как непрерывную величину, изменяющуюся в диапазоне от 0 до бесконечности.
Возвращаясь к заявлению, сделанному в первом параграфе, 
давайте сделаем обзор методов, используемых при попытках 
измерить длину побережья. Поскольку географу не интересны 
мелкие детали, он может выбрать положительный масштабный параметр G в качестве нижнего предела для длины географически значимых элементов. Тогда, чтобы оценить длину 

3  
Mandelbrot B., Business J.  36, 394 (1963), или в: The Randomn Character of 
Stock Market Prices, P. H. Cootner, Ed. (M. I. T. Press, Cambridge, Mass, 1964), p. 297.
4  
Mandelbrot B., IEEE Inst. Elect. Electron. Eng. Trans. Commun. Technol. 13, 71 
(1965) и IEEE Inst. Elect. Electron. Eng. Trans. Inform. Theory 13 (1967). Очень похожие рассуждения относятся к турбулентности, где типичные размеры «топографических элементов» (т. е. водоворотов) имеют очень широкий разброс, на что 
было впервые указано самим Ричардсоном в 1920-х гг. 

Рис. 1. Данные Ричарсона по измерениям географических кривых методом многоугольников, которые имеют равные стороны и вершины, 
расположенные на кривой. Для круга общая длина стремится к некоторому пределу по мере того, как длина сторон приближается к нулю. 
Во всех других случаях она возрастает по мере того, как сторона становится короче, при этом уклон графика с логарифмическим масштабом на обеих осях по абсолютной величине равен D — 1  1

1  
Richardson L. F.  Op. cit.

1.0
1.5
Log10 (Length of Side in Kilometers)

Log10 (Total Length in Kilometers)

CIRCLE

SOUTH AFRICAN COAST

WEST COAST OF BRITAIN

LAND-FRONTIER OF PORTUGAL

GERMAN LAND-FRONTIER, 1900

AUSRALIAN COAST

2.0
2.5
3.0
3.5

3.0

4.0

3.5

Какова длина побережья Британии? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность

берега между двумя точками A и B, он может провести по суше 
кратчайшую кривую, соединяющую A и B, оставаясь при этом 
в пределах расстояния G от моря. Или он может нарисовать 
кратчайшую линию, составленную из прямых отрезков длины, 
не больше, чем G, чьи вершины являются точками береговой 
линии, которая включает A и B. Есть много других возможных 
способов определения. На практике, конечно, нужно ограничиваться приближением к кратчайшим траекториям. Предположим, что измерения сделаны циркулем по карте таким 
образом, чтобы сосчитать количество равных шагов длины G 
незамкнутого многоугольника, чьи углы лежат на кривой. Если 
G достаточно мало, не имеет значения, начинаются измерения 
из точки A или B. Так будет получена оценка длины, которую 
назовем L (G).
К сожалению, географы не могут договориться насчет величины G, в то время как L (G) сильно зависит от G. Следовательно, необходимо знать L (G) для нескольких значений G. Еще 
лучше было бы иметь аналитическую формулу, связывающую L 
(G) с G. Такая формула, всецело эмпирического характера, была 
предложена Льюисом Ф. Ричардсоном, но, к сожалению, она не 
привлекла к себе внимания. Формула такова: L (G)=M G 1-D, 
где M — положительная константа и D — константа не меньше 
единицы. Эта D, «характеристика границы, предположительно имеет некоторую положительную корреляцию с непосредственным визуальным восприятием изломанности границы. 
Для одного предельного случая D = 1,00 для границы, которая 
выглядит как прямая на карте. Для другого предельного случая 
было выбрано западное побережье Британии, потому что оно, 
похоже, одно из самых изрезанных в мире; найденное значение D = 1,25. Три другие границы, которые, судя по их виду 
на карте, были близки к средним в мире по изрезанности, дали 
D = 1,15 для сухопутной границы Германии в 1899 году; D = 
1,14 для сухопутной границы между Испанией и Португалией 
и D = 1,13 для австралийского побережья. Берег, выглядящий 
одним из самых ровных в атласе, был выбран на юге Африки, 
и для него D = 1,02»  5.
Эмпирические находки Ричардсона находятся в сильном 
контрасте с обычным поведением гладких кривых, которые 
наделены хорошо определяемой длиной и которых называют 
«спрямляемыми». Теперь снова процитируем Штейнхауса: 

5  
Richardson L. F. Op. cit.

Бенуа Мандельброт

«Утверждение, что стоило бы назвать большинство дуг, встречающихся в природе, неспрямляемыми, практически полностью отвечает реальности. Это утверждение противоположно 
мнению о том, что неспрямляемые дуги являются изобретением 
математиков и что природные дуги спрямляемы: но верно как 
раз обратное» 6.
Я интерпретирую соотношение Ричардсона как противоположное мнению о том, что кривые, размерность которых больше единицы, являются изобретением математиков. Для этого 
необходимо проанализировать элементарные характеристики 
концепта размерности и показать, как это приводит к рассмотрению дробных размерностей.
Для начала — прямая линия имеет размерность, равную единице. Следовательно, для любого положительного целого числа 
N отрезок (0 ≤ х < X) может быть точно разбит на N неперекрывающихся отрезков в форме [(n-1)X/N ≤ x < nX/N], где n изменяется от 1 до N. Каждая из этих частей редуцируема из целого с отношением подобия r (N) = 1/N. Аналогично, плоскость имеет 
размерность, равную двум. Следовательно, для каждого квадрата 
простого числа N прямоугольник (0 ≤ х < X; 0 ≤ y < Y) можно 
разбить на N неперекрывающихся прямоугольников в форме [(k1) X/√N ≤ x < kX/√N; (h-1) Y/√N ≤ y < hY/√N], где k и h изменяются от 1 до √N. Каждая из этих частей редуцируема из целого 
с отношением подобия r (√N) = 1/√ N. В более общем виде, если 
N 1/D является положительным целым числом, то D-размерный 
прямоугольный параллелепипед может быть разбит на N параллелепипедов, выводимых из целого с отношением подобия r (N) 
= 1/N 1-D. Таким образом, размерность D характеризуется отношением D = — log N/log r (N).
Это последнее свойство величины D означает, что оно может быть также определено для более общих фигур, которые могут быть точно разбиты на N частей, таких что каждая из частей 
выводима из целого с отношением подобия r (N) или с подобием вращения и даже симметрии. Если такие фигуры существуют, 
о них можно сказать, что они имеют своей размерностью D = — 
log N/log r (N)7. Чтобы показать, что такие фигуры существуют, 

6  
Steinhaus H. Op. cit.
7 
Понятие «размерность» является неясным и очень сложным, и далеко не 
исчерпывается простыми рассуждениями того рода, что были использованы 
в этой статье. Разные определения часто приносят разные результаты, эта область изобилует парадоксами. Тем не менее, размерность Хаусдорфа-Безиковича при вычислении для стохастических самоподобных фигур дает уже то же 
значение, что и размерность подобия.