Физико-химическая гидродинамика пористых сред. С приложениями к геонаукам и нефтяной инженерии

МИХАИЛ ПАНФИЛОВ

ФИЗИКО- 
ХИМИЧЕСКАЯ  
ГИДРОДИНАМИКА 
ПОРИСТЫХ СРЕД 

С ПРИЛОЖЕНИЯМИ К ГЕОНАУКАМ 
И НЕФТЯНОЙ ИНЖЕНЕРИИ

Перевод с английского автора

Ì.Á. Ïàíôèëîâ
Ôèçèêî-õèìè÷åñêàÿ ãèäðîäèíàìèêà ïîðèñòûõ ñðåä. Ñ ïðèëîæåíèÿìè ê ãåîíàóêàì è íåôòÿíîé èíæåíåðèè. Ïåð. ñ àíãë.: Ó÷åáíîå
ïîñîáèå / Ì.Á. Ïàíôèëîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», 2020. – 464 ñ.

ISBN 978-5-91559-267-3

 êíèãå ïðîàíàëèçèðîâàíû âñå òèïû òå÷åíèé è ïðîöåññîâ ïåðåíîñà, ñöåïëåííûõ ñ õèìè÷åñêèìè, ôèçèêî-õèìè÷åñêèìè è áèîõèìè÷åñêèìè ÿâëåíèÿìè, òàêèìè êàê ðàñòâîðåíèå âåùåñòâ â ðàçíûõ ôàçàõ,
õèìè÷åñêèå ðåàêöèè, õèìè÷åñêàÿ àäñîðáöèÿ, ìîëåêóëÿðíàÿ äèôôóçèÿ, êàïèëëÿðíîñòü, ïîâåðõíîñòíûå ÿâëåíèÿ, äâèæåíèå ìåíèñêîâ è
ïëåíîê, ðåàêöèè, èíèöèèðîâàííûå ìèêðîîðãàíèçìàìè, è äèíàìèêà
áàêòåðèé. Ðÿä íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ ïóáëèêóåòñÿ âïåðâûå.
Ïðîöåññû ðàññìàòðèâàþòñÿ íà ðàçíûõ ìàñøòàáàõ: îò îäèíî÷íîé ïîðû
äî ðåøåòêè ïîðîâûõ êàíàëîâ è äàëåå äî ìàêðîñêîïè÷åñêîãî óðîâíÿ,
íàçûâàåìîãî ìàñøòàáîì Äàðñè. Ïðèìåíÿþòñÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäû àíàëèçà: ìåòîä äèôôóçíîé ïîâåðõíîñòè, ëóáðèêàòîðíîå ïðèáëèæåíèå,
àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç, ìåòîäû ìàðêîâñêèõ ñòîõàñòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ìåòîäû ïåðêîëÿöèè. Íà ìàêðîñêîïè÷åñêîì ìàñøòàáå âñå ýòè
ðàçëè÷íûå ïðîöåññû ðàññìàòðèâàþòñÿ íà îäíîé è òîé æå ìàòåìàòè÷åñêîé îñíîâå, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê êàíîíè÷åñêèì ìîäåëÿì êèíåìàòè÷åñêèõ âîëí.
Êà÷åñòâåííûé ôèçè÷åñêèé àíàëèç îñíîâàí íà ðàçðàáîòêå àíàëèòè÷åñêèõ èëè ïîëóàíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé ôóíäàìåíòàëüíûõ ïðîáëåì,
ñâÿçàííûõ ñ ðàçëè÷íûìè èíæåíåðíûìè ïðèëîæåíèÿìè. Ñðåäè íèõ
îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ïðîöåññàì ïîâûøåíèÿ íåôòåîòäà÷è (çàêà÷êà ñìåøèâàþùèõñÿ ãàçîâ, ïîâåðõíîñòíî-àêòèâíûõ âåùåñòâ, ïîëèìåðîâ, ìèêðîáèîëîãè÷åñêèé EOR), ïîäçåìíîå õðàíåíèå ãàçîâ (H2,
ÑÎ2, CH4) è ïîäçåìíîå âûùåëà÷èâàíèå óðàíà è ðåäêèõ ýëåìåíòîâ.
 êíèãå òàêæå èçëàãàåòñÿ òåðìîäèíàìèêà ôàçîâûõ ðàâíîâåñèé äëÿ
ìíîãîêîìïîíåíòíûõ æèäêîñòåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ îïèñàíèÿ õèìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ðàñòâîðåíèÿ è ôàçîâîãî ïåðåõîäà.
Äëÿ ñòóäåíòîâ, íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, èíæåíåðîâ, ðàáîòàþùèõ â
îáëàñòè ìåõàíèêè æèäêîñòè, ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè, õèìèè, ìèêðîáèîëîãèè, òåðìîäèíàìèêè, íåôòÿíîé èíæåíåðèè è ãåîëîãèè.

© 2019, Ì.Á. Ïàíôèëîâ
© 2020, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-267-3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

Глава 1. Термодинамика простых флюидов . . . . . . . . . . . . . .
23
1.1. Равновесие однофазных флюидов. Уравнение состояния (EOS)
24
1.1.1. Допустимые классы уравнений состояния . . . . . . . . .
24
1.1.2. Уравнение состояния ван дер Ваальса (van der Waals).
26
1.1.3. Уравнение состояния Соаве–Редлиха–Квонга (Soave–
Redlish–Kwong) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.1.4. Уравнение состояния Пенга–Робинсона (Peng–Robinson)
29
1.1.5. Правила смешения для многокомпонентных флюидов .
29
1.2. Двухфазное равновесие простых флюидов . . . . . . . . . . . . .
29
1.2.1. Псевдожидкость/газ и истинная жидкость/газ . . . . . .
30
1.2.2. Условия равновесия в терминах химических потенциалов
31
1.2.3. Явные выражения для химического потенциала . . . . .
32
1.2.4. Условия равновесия в терминах давления и объемов . .
33
1.2.5. Разрешимость уравнения равновесия. Правило Максвелла
(Maxwell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.2.6. Расчет cосуществования газа и жидкости . . . . . . . . .
35
1.2.7. Логарифмическое представление для химических потенциалов. Фугитивность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

Глава 2. Термодинамика смесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.1. Химический потенциал идеальной газовой смеси . . . . . . . .
39
2.1.1. Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
2.1.2. Определение идеальной газовой смеси и ее свойства . .
40
2.1.3. Энтропия и энтальпия идеального смешения . . . . . . .
41
2.1.4. Химический потенциал идеальной газовой смеси . . . .
42

Оглавление

2.2. Химический потенциал неидеальных смесей . . . . . . . . . . .
44
2.2.1. Общая модель для химического потенциала смеси . . .
44
2.2.2. Химический потенциал смеси через интенсивные параметры
46
2.3. Уравнения равновесия двухфазной многокомпонентной смеси
47
2.3.1. Общая форма уравнений двухфазного равновесия . . . .
47
2.3.2. Уравнения равновесия в случае уравнений Пенга–Робинсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.3.3. Константы равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.3.4. Расчет фазового состава («flash calculation») . . . . . . .
52
2.3.5. Ожидаемые фазовые диаграммы для бинарных смесей
52
2.4. Равновесие разбавленных смесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.4.1. Идеальный раствор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.4.2. Химический потенциал идеального раствора . . . . . . .
55
2.4.3. Равновесие идеального газа и идеального раствора: закон Рауля (Raoult) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
2.4.4. Равновесие разбавленных растворов: закон Генри (Henry)
56
2.4.5. Константы равновесия для идеальных растворов. . . . .
57
2.4.6. Расчет фазового состава смеси . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Глава 3. Химия смесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.1. Адсорбция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.1.1. Механизм адсорбции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.1.2. Модель адсорбции Лэнгмюра (Langmuir) . . . . . . . . .
61
3.1.3. Типы изотерм адсорбции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.1.4. Многокомпонентная адсорбция . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.2. Химические реакции: математическое описание . . . . . . . . .
65
3.2.1. Элементарная стехиометрическая система . . . . . . . . .
65
3.2.2. Скорость реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.2.3. Баланс частиц для гомогенной реакции . . . . . . . . . .
67
3.2.4. Баланс частиц в гетерогенной реакции . . . . . . . . . . .
68
3.2.5. Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.3. Химическая реакция: кинетика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.3.1. Кинетический закон действующих масс Гульдберга–
Вааге (Guldberg–Waage) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
3.3.2. Кинетика гетерогенных реакций . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.3.3. Константа реакции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
3.4. Другие неконсервативные эффекты с частицами. . . . . . . . .
72
3.4.1. Деградация частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.4.2. Защемление частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.5. Диффузия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.5.1. Закон Фика (Fick) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
3.5.2. Свойства коэффициента диффузии . . . . . . . . . . . . . .
75

Оглавление
5

3.5.3. Расчет коэффициента диффузии в газах и жидкостях .
76
3.5.4. Характерные значения коэффициента диффузии . . . . .
78
3.5.5. Неверное использование параметров диффузии . . . . .
78
3.5.6. Уравнения Стефана–Максвелла (Stefan–Maxwell) для
диффузионных потоков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

Глава 4. Перенос с одиночной реакцией . . . . . . . . . . . . . . . .
81

4.1. Уравнения многокомпонентного однофазного переноса . . . . .
81
4.1.1. Материальный баланс каждого компонента . . . . . . . .
81
4.1.2. Замыкающие соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.1.3. Уравнение переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
4.1.4. Уравнение переноса для разбавленных растворов . . . .
85
4.1.5. Пример уравнения переноса для бинарной смеси . . . .
86
4.1.6. Расщепление течения и переноса . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.2. Элементарные фундаментальные решения задач одномерного
переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.2.1. Конвективный перенос — бегущие волны . . . . . . . . .
87
4.2.2. Перенос с диффузией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
4.2.3. Длина диффузионной зоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
4.2.4. Число Пекле (P´eclet) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.2.5. Перенос с линейной адсорбцией: эффект запаздывания
91
4.2.6. Перенос с нелинейной адсорбцией: диффузионные бегущие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.2.7. Природа диффузионных бегущих волн . . . . . . . . . . .
94
4.2.8. Перенос с простейшей химической реакцией (или с деградацией/защемлением) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.2.9. Макрокинетический эффект: реактивное ускорение переноса
95
4.3. Перенос с реакцией в подземном хранилище CO2 . . . . . . . .
97
4.3.1. Формулировка задачи и решение . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.3.2. Эволюция концентрации CO2
. . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.3.3. Эволюция концентрации твердого реагента . . . . . . . .
99
4.3.4. Эволюция концентрации продуктов реакции . . . . . . .
100
4.3.5. Масса углерода, превращенная в твердое тело . . . . . .
101

Глава 5. Перенос с несколькими реакциями
(приложение к подземному выщелачиванию) . . . . . . . . .
103

Технология подземного выщелачивания (ISL) . . . . . . . . . . .
103
5.1. Грубая модель ISL с одной реакцией . . . . . . . . . . . . . . . .
106
5.1.1. Формулировка проблемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
5.1.2. Аналитическое решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.2. Модель ISL с несколькими реакциями . . . . . . . . . . . . . . .
108
5.2.1. Основные реакции в зоне выщелачивания . . . . . . . . .
108

Оглавление

5.2.2. Уравнения переноса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
5.2.3. Кинетика осаждения гипса . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
5.2.4. Окончательная форма математической модели . . . . . .
113
5.3. Метод расщепления гидродинамики и химии . . . . . . . . . . .
114
5.3.1. Принцип метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
5.3.2. Модельная задача подземного выщелачивания . . . . . .
115
5.3.3. Асимптотическое разложение: члены нулевого порядка
116
5.3.4. Члены первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
5.3.5. Решение в окончательной форме . . . . . . . . . . . . . . .
118
5.3.6. Случай без выпадения гипса . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
5.3.7. Анализ процесса — сравнение с численными результатами
120
5.3.8. Экспериментальные данные: сравнение с теорией . . . .
123
5.3.9. Коэффициент отдачи пласта . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124

Глава 6. Поверхностные и капиллярные явления . . . . . . . . .
128

6.1. Свойства поверхности раздела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
6.1.1. Кривизна поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
6.1.2. Кривизна со знаком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
6.1.3. Поверхностное натяжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
6.1.4. Тангенциальная упругость поверхности раздела . . . . .
133
6.2. Капиллярное давление и кривизна поверхности раздела. . . .
135
6.2.1. Капиллярное давление Лапласа (Laplace) . . . . . . . . .
135
6.2.2. Уравнение Юнга–Лапласа (Young–Laplace) для статичной поверхности раздела. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
6.2.3. Мыльные пленки и минимальные поверхности . . . . . .
138
6.2.4. Катеноид как минимальная поверхность вращения . . .
141
6.2.5. Конфигурации Плато (Plateau) для пересекающихся
мыльных пленок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
6.3. Смачивание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
6.3.1. Взаимодействие флюида с твердой поверхностью: полное и частичное смачивание . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
6.3.2. Необходимое условие Юнга (Young) частичного смачивания
145
6.3.3. Гистерезис краевого угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
6.3.4. Полное смачивание — невозможность существования
мениска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
6.3.5. Форма жидких капель на твердой поверхности . . . . .
148
6.3.6. Поверхностно-активные вещества (ПАВ) — значимость
смачивания для нефтеотдачи . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
6.4. Капиллярные явления в поре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
6.4.1. Капиллярное давление в поре . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
6.4.2. Капиллярное поднятие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
6.4.3. Капиллярное движение — самопроизвольная пропитка
156

Оглавление
7

6.4.4. Мениски в порах переменного сечения: принцип заполнения пор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
6.4.5. Капиллярное защемление: принцип иммобилизации фазы
158
6.4.6. Эффективное капиллярное давление . . . . . . . . . . . . .
160
6.5. Расширенный мениск и расклинивающее давление . . . . . . .
162
6.5.1. Многомасштабная структура мениска . . . . . . . . . . . .
162
6.5.2. Расклинивающее давление в жидких пленках . . . . . .
163
6.5.3. Расширенное уравнение Юнга–Лапласа (Young–Laplace)
165

Глава 7. Движение мениска в одиночной поре . . . . . . . . . . .
167

7.1. Асимптотическая модель мениска вблизи тройной линии . . .
167
7.1.1. Парадокс тройной линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
7.1.2. Модель течения в промежуточной зоне (лубрикаторное
приближение) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
7.1.3. Дифференциальное уравнение Таннера (Tanner) для мениска
170
7.1.4. Форма мениска в промежуточной зоне . . . . . . . . . . .
171
7.1.5. Частный случай малого угла θ: закон Кокса–Войнова
(Cox–Voinov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
7.1.6. Сценарии продвижения мениска . . . . . . . . . . . . . . . .
173
7.2. Движение расширенного мениска . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
7.2.1. Лубрикаторное приближение для расширенного мениска . .
175
7.2.2. Адиабатическая прекурсорная пленка . . . . . . . . . . . .
177
7.2.3. Диффузная пленка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
7.3. Метод диффузной поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
7.3.1. Принципиальная идея метода . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
7.3.2. Капиллярная сила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
7.3.3. Свободная энергия и химический потенциал . . . . . . .
181
7.3.4. Сведение к уравнению Кана–Хильярда (Cahn–Hilliard)
184

Глава 8. Стохастические свойства фазового кластера
в решетках пор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186

8.1. Связность фазового кластера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
8.1.1. Связность как мера мобильности . . . . . . . . . . . . . . .
186
8.1.2. Тройная структура фазового кластера . . . . . . . . . . . .
188
8.1.3. Решеточные модели пористых сред . . . . . . . . . . . . . .
188
8.1.4. Эффективное координационное число . . . . . . . . . . . .
190
8.1.5. Кординационное число и пористость . . . . . . . . . . . . .
191
8.2. Модель марковского ветвящегося процесса для фазового кластера
192
8.2.1. Фазовый кластер как ветвящийся процесс . . . . . . . . .
192
8.2.2. Определение марковского ветвящегося процесса . . . . .
194
8.2.3. Метод производящих функций. . . . . . . . . . . . . . . . .
196
8.2.4. Вероятность создания конечного фазового кластера . .
197

Оглавление

8.2.5. Длина фазового кластера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198
8.2.6. Вероятность бесконечного фазового кластера . . . . . . .
200
8.2.7. Отношение длина–радиус Υ: подгонка к экспериментальным данным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
8.2.8. Кластер подвижной фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
8.2.9. Насыщенность подвижного кластера . . . . . . . . . . . . .
204
8.3. Переход на макроуровень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
8.3.1. Простейший переход на макроуровень . . . . . . . . . . .
205
8.3.2. Ожидаемые макроскопические модели для других фазовых структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
8.3.3. Устранение гипотезы самоподобия фазового кластера .
210
8.4. Стохастическая марковская модель для фазовой проницаемости
212
8.4.1. Геометрическая модель пористой среды . . . . . . . . . . .
212
8.4.2. Вероятности реализаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
8.4.3. Определение эффективной проницаемости . . . . . . . . .
214
8.4.4. Рекуррентрые соотношения для пространственно осредненной проницаемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
8.4.5. Метод производящих функций. . . . . . . . . . . . . . . . .
216
8.4.6. Рекуррентные соотношения для производящей функции
217
8.4.7. Интегральное уравнение Стинчкомба (Stinchcombe) для
функции F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
8.4.8. Случай бинарного распределения проницаемостей. . . .
220
8.4.9. Большие координационные числа . . . . . . . . . . . . . . .
221

Глава 9. Макроскопическая теория несмешивающегося
двухфазного течения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223

9.1. Общие уравнения двухфазного несмешивающегося течения .
223
9.1.1. Сохранение массы и импульса . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
9.1.2. Фракционный поток и полная скорость . . . . . . . . . . .
225
9.1.3. Сведение к модели кинематических волн. . . . . . . . . .
226
9.2. Каноническая теория двухфазного вытеснения . . . . . . . . . .
227
9.2.1. Одномерная модель кинематических волн (модель Бакли–
Леверетта (Buckley–Leverett)) . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
9.2.2. Принцип максимума. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
9.2.3. Несуществование непрерывных решений . . . . . . . . . .
229
9.2.4. Условия Гюгонио–Рэнкина (Hugoniot–Rankine) на разрыве
231
9.2.5. Энтропийные условия на разрыве . . . . . . . . . . . . . . .
232
9.2.6. Энтропийное условие в частных случаях . . . . . . . . . .
234
9.2.7. Трассировка диаграммного пути . . . . . . . . . . . . . . . .
235
9.2.8. Поршневые фронты вытеснения . . . . . . . . . . . . . . . .
236
9.3. Нефтеотдача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
9.3.1. Нефтеотдача и средняя насыщенность . . . . . . . . . . .
237

Оглавление
9

9.3.2. Нефтеотдача в момент прорыва . . . . . . . . . . . . . . . .
238
9.3.3. Иной метод вывода формулы для нефтеотдачи . . . . . .
239
9.3.4. Графическое определение прорывной нефтеотдачи . . . .
239
9.3.5. Физическая структура решения. Структура невытесненной нефти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
9.3.6. Эффективность вытеснения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
9.4. Вытеснение в поле силы тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
9.4.1. Модель одномерных кинематических волн с силой тяжести
243
9.4.2. Дополнительное условие на разрывах: непрерывность
по начальным данным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244
9.4.3. Нисходящее вытеснение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
9.4.4. Восходящее вытеснение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
9.5. Устойчивость вытеснения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
9.5.1. Неустойчивость Саффмана–Тейлора (Saffman–Taylor) и
Релея–Тейлора (Rayleigh–Taylor). Языкообразование . .
247
9.5.2. Критерий устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
9.6. Вытеснение несмешивающимися отрочками . . . . . . . . . . . .
251
9.6.1. Формулировка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
9.6.2. Решение задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
9.6.3. Решение в задней части . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
9.6.4. Сращивание двух решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
9.6.5. Три стадии эволюции во времени . . . . . . . . . . . . . . .
254
9.7. Сегрегация и всплытие несмешивающегося газа в жидкости
258
9.7.1. Каноническая одномерная модель . . . . . . . . . . . . . . .
258
9.7.2. Описание процесса всплытия газа . . . . . . . . . . . . . .
259
9.7.3. Первая стадия эволюции: деление передней границы
пузыря . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
9.7.4. Вторая стадия: движение задней границы . . . . . . . . .
262
9.7.5. Третья стадия: монотонное удлинение пузыря . . . . . .
263

Глава 10. Нелинейные волны в смешивающемся двухфазном
течении (Приложение к повышению нефтеотдачи) . . . . .
264

Ожидаемые сценарии смешивающегося вытеснения газ–жидкость
264
10.1. Уравнения двухфазного смешивающегося течения . . . . . . . .
268
10.1.1. Общая система уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268
10.1.2. Формулировка через полную скорость и фракционный
поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
10.1.3. Идеальные растворы. Объемные доли . . . . . . . . . . .
269
10.1.4. Сведение к модели кинематических волн . . . . . . . . .
270
10.1.5. Частный случай бинарной смеси . . . . . . . . . . . . . . .
271
10.2. Характеристика растворимости веществ фазовыми диаграммами
272
10.2.1. Термодинамическая степень свободы и правило фаз Гиббса
272

Оглавление

10.2.2. Тройные фазовые диаграммы . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
10.2.3. Ноды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
10.2.4. Параметризация фазовых диаграмм нодами (параметр α)
278
10.2.5. Насыщенность газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
10.2.6. Фазовые диаграммы при постоянных константах равновесия
280
10.2.7. Фазовые диаграммы для линейной функции распределения: β = −γα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
10.3. Каноническая модель смешивающегося EOR . . . . . . . . . . .
285
10.3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
10.3.2. Фракционный поток химического компонента . . . . . .
287
10.4. Разрывы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
10.4.1. Условия Гюгонио–Рэнкина и энтропийное на разрыве.
Допустимые разрывы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
10.4.2. Механический разрыв (C-разрыв) и его графический образ
291
10.4.3. Химический разрыв (Cα-разрыв) и его графический образ
292
10.4.4. Разрыв с фазовым переходом . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
10.4.5. Почти механический разрыв . . . . . . . . . . . . . . . . . .
295
10.4.6. Три способа изменения фазового состава . . . . . . . . .
296
10.4.7. Диаграммный путь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
296
10.5. Вытеснение нефти сухим газом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
10.5.1. Описание флюидов и начальных данных . . . . . . . . .
298
10.5.2. Алгоритм трассировки диаграммного пути . . . . . . . .
299
10.5.3. Поведение состава жидкости и газа . . . . . . . . . . . .
301
10.5.4. Поведение насыщенности жидкости . . . . . . . . . . . .
302
10.5.5. Физическое поведение процесса . . . . . . . . . . . . . . .
303
10.5.6. Эффективность смешивающегося EOR . . . . . . . . . . .
305
10.6. Вытеснение нефти жирным газом . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
10.6.1. Формулировка задачи и диаграммный путь . . . . . . .
306
10.6.2. Решение задачи. Физическое объяснение . . . . . . . . .
307
10.6.3. Сравнение с вытеснением несмешивающимся газом . .
309
10.6.4. Закачка сверхкритического газа . . . . . . . . . . . . . . .
310
10.6.5. Закачка сверхкритического газа в недонасыщенную однофазную нефть . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
10.7. Обратная закачка газа в газоконденсатных пластах. . . . . . .
313
10.7.1. Техника повышения конденсатоотдачи . . . . . . . . . . .
313
10.7.2. Случай I: рециркуляция сухого газа (математическая
формулировка) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
10.7.3. Решение задачи рециркуляции сухого газа . . . . . . . .
315
10.7.4. Случай II: закачка обогащенного газа . . . . . . . . . . .
317
10.8. Химическое заводнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319
10.8.1. Уравнения сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319
10.8.2. Сведение к модели кинематических волн . . . . . . . . .
320

Оглавление
11

10.8.3. Диаграммы фракционного потока воды F(s, c) . . . . . .
321
10.8.4. Разрывы и условия Гюгонио–Рэнкина . . . . . . . . . . .
321
10.8.5. Решение задачи Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
10.8.6. Влияние адсорбции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324

Глава 11. Встречные волны в смешивающемся двухфазном
течении в поле гравитации (приложение к подземному
хранению CO2 и H2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
Вводные заметки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
11.1. Двухкомпонентное двухфазное течение в поле силы тяжести
327
11.1.1. Формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
327
11.1.2. Решение до момента достижения первого барьера . . .
330
11.1.3. Обратная волна, отраженная от барьера . . . . . . . . . .
330
11.1.4. Вычисление концентраций на разрывах . . . . . . . . . .
333
11.1.5. Скорость всплытия газа и роста пузыря газа под барьером
334
11.1.6. Сравнение с несмешивающимся двухфазным течением
335
11.2. Трехкомпонентное течение в поле силы тяжести . . . . . . . . .
336
11.2.1. Формулировка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
336
11.2.2. Решение задачи Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
338
11.2.3. Распространение обратной волны под барьером . . . . .
340

Глава 12. Течение с переменным числом фаз:
метод отрицательных насыщенностей . . . . . . . . . . . . . .
342
12.1. Метод NegSat для двухфазных флюидов . . . . . . . . . . . . . .
342
12.1.1. Поверхность фазового перехода и неравновесные состояния
343
12.1.2. Сущность метода NegSat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344
12.1.3. Принцип эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
12.1.4. Доказательство принципа эквивалентности. . . . . . . .
348
12.1.5. Плотности и вязкости фиктивных фаз . . . . . . . . . . .
349
12.1.6. Расширенная насыщенность. Определение числа фаз .
349
12.1.7. Принцип эквивалентности для течения в поле силы
тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
351
12.1.8. Принцип эквивалентности для течения с гравитацией
и диффузией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352
12.1.9. Принцип эквивалентности для идеaльного смешения .
354
12.1.10.Физическая и математическая корректность эквивалентного флюида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355
12.2. Гиперболический-параболический переход . . . . . . . . . . . . .
356
12.2.1. Явление гиперболического-параболического перехода
(HP-переход) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356
12.2.2. Вывод модели (12.23) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
12.2.3. Чисто гиперболический случай . . . . . . . . . . . . . . . .
358
12.2.4. Случай гиперболо-параболического перехода. . . . . . .
359

Оглавление

12.2.5. Обобщение условия Гюгонио–Рэнкина для разрыва
HP-перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
361
12.2.6. Регуляризация капиллярным давлением . . . . . . . . . .
362
12.2.7. Сведение к методу VOF или Level-set для несмешивающихся флюидов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365

Глава 13. Биохимическая гидродинамика пористых сред . . . .
366
13.1. Микробиологическая химия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366
13.1.1. Формы существования микроорганизмов . . . . . . . . .
366
13.1.2. Метаболизм бактерий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
368
13.1.3. Движение бактерий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369
13.1.4. Хемотаксис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
370
13.1.5. Динамика популяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
371
13.1.6. Кинетика роста и гибели популяции: эксперименты . .
372
13.1.7. Кинетика роста популяции: математические модели . .
374
13.1.8. Связь между потреблением питательных веществ и ростом популяции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376
13.1.9. Экспериментальные данные о кинетике бактерий . . .
378
13.2. Биохимические волны в микробиологических методах повышения нефтеотдачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
13.2.1. Сущность процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
13.2.2. Метаболический процесс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379
13.2.3. Допущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
380
13.2.4. Уравнения баланса массы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
380
13.2.5. Описание влияния ПАВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
381
13.2.6. Сведение к модели кинематических волн . . . . . . . . .
382
13.2.7. Одномерная задача MEOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
382
13.2.8. Решение и анализ задачи MEOR . . . . . . . . . . . . . .
384
13.3. Нелинейные волны в микробиологической подземной метанации водорода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
384
13.3.1. Подземная метанация и хранение водорода . . . . . . . .
384
13.3.2. Биохимические процессы в подземной метанации . . .
387
13.3.3. Состав закачиваемого газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
389
13.3.4. Математическая модель подземной метанации . . . . .
390
13.3.5. Модель кинематических волн . . . . . . . . . . . . . . . . .
391
13.3.6. Асимптотическая модель биохимического равновесия .
393
13.3.7. Частный случай биохимического равновесия . . . . . . .
394
13.3.8. Решение задачи Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394
13.3.9. Сравнение со случаем без бактерий. Влияние бактерий
396
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397
13.4. Самоорганизация в биохимических динамических системах
(приложение к подземной метанации) . . . . . . . . . . . . . . . .
397
13.4.1. Интегральный материальный баланс в подземном метанаторе
398

Оглавление
13

13.4.2. Сведение к динамической системе. . . . . . . . . . . . . .
399
13.4.3. Анализ особых точек. Осциллирующие режимы . . . .
400
13.4.4. Существование предельного цикла — автоколебания .
402
13.4.5. Фазовый портрет автоколебаний . . . . . . . . . . . . . . .
404
13.5. Самоорганизация в системе реакция–диффузия . . . . . . . . .
406
13.5.1. Уравнения подземной метанации с диффузией. . . . . .
406
13.5.2. Типы предельных решений при τ → ∞. Паттерны . . .
408
13.5.3. Явление диффузионной неустойчивости Тюринга (Turing)
409
13.5.4. Устойчивость к однородным возмущениям . . . . . . . .
411
13.5.5. Анализ устойчивости к неоднородным возмущениям
(неустойчивость Тюринга) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
412
13.5.6. Стационарный одномасштабный паттерн при ε = 0 . .
414
13.5.7. Точное аналитическое решение задачи (13.63). Оценка
параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
417
13.5.8. Механизм возникновения стационарного паттерна . . .
418
13.5.9. Двухмасштабный паттерн при ε > 0 . . . . . . . . . . . .
419
13.5.10. Двухмасштабное асмптотическое разложение задачи
(13.70) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
421
13.5.11. Двухмасштабные двумерные паттерны . . . . . . . . . .
424

Приложение 1. Химический потенциал чистых компонентов
из однородности энергии Гиббса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
427

Приложение 2. Химический потенциал кубического уравнения
состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
429

Приложение 3. Химический потенциал смесей из однородности
энергии Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
430

Приложение 4. Вычисление интеграла в (2.25а) . . . . . . . .
435

Приложение 5. Условия Гюгонио–Рэнкина (Hugoniot–Rankine)
436

Приложение 6. Численный код (Matlab) вычисления фазовых
диаграмм чистых флюидов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
439

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга является общей теорией, которая анализирует все типы течений и процессов переноса, сцепленных с химическими, физико-химическими и биохимическими явлениями, такими как растворение веществ в разных фазах, химические реакции, химическая адсорбция, молекулярная диффузия, капиллярность, поверхностные явления, движение менисков и пленок, реакции, инициированные микроорганизмами, и динамика бактерий.
Эти процессы рассматриваются на разных масштабах: от одиночной поры до решетки поровых каналов и далее до макроскопического уровня, называемого масштабом Дарси. На разных масштабах применяются различные методы анализа: метод диффузной
поверхности, лубрикаторное приближение, асимптотический анализ, методы марковских стохастических процессов, методы перколяции. На макроскопическом масштабе все эти различные процессы рассматриваются на одной и той же математической основе,
которая может быть сведена к каноническим моделям кинематических волн. Качественный физический анализ основан на разработке аналитических или полуаналитических решений фундаментальных проблем, связанных с различными инженерными приложениями. Среди них я уделяю особое внимание процессам повышения нефтеотдачи (закачка смешивающихся газов, поверхностноактивных веществ, полимеров, микробиологический EOR), подземное хранение газа (водород, CO2, метан) и подземное выщелачивание урана и редких элементов. В книге также излагается термодинамика фазовых равновесий для многокомпонентных жидкостей,
которая является основным инструментом для описания химических процессов растворения и фазового перехода. Презентация со

Предисловие
15

держит как классические части, так и новые результаты, которые
будут опубликованы впервые в монографии.
Для студентов, научных работников, инженеров, работающих в
области механики жидкости, прикладной математики, химии, микробиологии, термодинамики, нефтяной инженерии, и геологии.
Идея написания такой книги, которая продемонстрировала бы,
как связать термодинамику, химию, биохимию и гидродинамику в
единые математические модели и как осуществлять их качественный математический анализ, возникла в 2006–2007 годах, когда
я читал лекции по этой теме в Институте Пуанкаре в Париже по
приглашению французских математиков Alain Bourgeat, Gregoire
Allaire, Andro Mikelic, Brahim Amaziane, Roland Masson и других.
Они вдохновили меня и убедили, что такая книга может быть полезной. Я им искренне благодарен.
Первое издание этой книги было опубликовано в издательстве
Wiley в 2019 г. на английском языке:
Panfilov M. Physicochemical Fluid Dynamics in Porous Media
(Application in Geosciences and Petroleum Engineering). Wiley-VCH,
2019. ISSN 978-3-527-34235-8.
Wiley любезно предоставило автору этой книги право опубликовать ее на русском языке, за что автор выражает искреннюю благодарность издательству Wiley и прежде всего редактору Мартину
Прейсу (Martin Preuss).
Все права на русскоязычное издание этой книги принадлежат
ООО “Издательский дом «Интеллект»”.

М. Панфилов

ВВЕДЕНИЕ

Структура гетерогенного флюида

Физико-химическая гидродинамика (ФХГ) изучает движение гетерогенных флюидов, которые состоят из нескольких химических веществ, химически реагирующих друг с другом. Все составляющие флюида могут быть разделены на два класса: фазы и
химические компоненты. Фазы разделены поверхностями раздела, тогда как химические компоненты перемешаны на молекулярном масштабе и не создают никаких поверхностей раздела между
ними1. Любая система, анализируемая в этой книге, является по
меньшей мере двухфазной и содержит одну или две жидкости и
твердое вещество в форме пористой среды.
Другими словами, «фазы» образуют макроскопическую структуру жидкости, а компоненты определяют ее микроскопическую
структуру.
Различают три класса гетерогенных флюидов:
— несмешивающиеся: флюид содержит поверхности раздела, которые непроницаемы для химических компонентов, присутствующих в фазах; такая система является многофазной;
— полностью смешивающиеся (растворы): это однофазные системы; никаких поверхностей раздела между компонентами флюида не существует;
— частично смешивающиеся: флюид содержит поверхности раздела (и фазы), но они проницаемы для химических компонентов.

1Поверхность раздела может быть определена как поверхность разрыва
физического или химического свойства жидкости.

Введение
17

Каждый компонент многокомпонентной смеси занимает общий
объем. Каждая фаза многофазной системы занимает только часть
объема. Следовательно, фазы могут быть идентифицированы по их
удельным объемам или объемным долям. Объемная доля, занимаемая всем флюидом, называется пористостью. Объемная доля
фазы по отношению к общему объему флюида называется насыщенностью. Для химических компонентов объемные фракции не
имеют смысла (все они равны 1), поэтому они идентифицируются
с помощью мольных или массовых долей. Они определяются следующим образом для любой компоненты k:

Ci ≡ Ni

N

моль

моль

,
Ci
mas ≡ Mi

M

кг

кг

,
(1)

где Mk и Nk — масса и число молей компонента k в элементарном
объеме флюида, тогда как M и N — полная масса и полное число
молей флюида в том же объеме (более строго, они должны быть
определены через производные).
Мольные или массовые доли называются также фракционными
концентрациями или просто безразмерными концентрациями.
Связь между мольной и массовой долей такова

ρmasCk
mas = ρmkCk,
(2)

где ρ — мольная плотность (моль · м−3), ρmas — массовая плотность
(кг · м−3), mk — молярная масса компонента k (кг · моль−1).
Мольная доля Ck(x, t) имеет также физический смысл вероятности нахождения соответствующего компонента в данной точке
пространства x и в данный момент времени t. Поэтому они играют
доминирующую роль в математической теории процессов переноса.

Химические взаимодействия

Химическое взаимодействие — это любой процесс, вызванный межатомными или межмолекулярными силами, который
не изменяет атомные ядра. Можно выделить два основных класса
таких взаимодействий.
1. Химические взаимодействия между химическими компонентами. Они приводят к различным перестановкам компонентов в
пространстве, их смешению, или преобразованию в другие компоненты, но не к появлению или исчезновению фаз. Виды таких
взаимодействий следующие:
— растворение компонентов через поверхности раздела;

Введение

— адсорбция компонента на поверхности стенок пор пористой
среды;
— молекулярная диффузия;
— химические реакции между компонентами флюида и пористой средой;
— биохимические реакции — вызываются микроорганизмами,
которые также могут присутствовать в системе.
2. Химические взаимодействия между фазами. Они приводят к
появлению или исчезновению фаз и поверхностей раздела между
ними:
— поверхностные явления, которые касаются индивидуального
поведения поверхности раздела флюид–флюид или флюид — твердое тело. Они вызваны молекулярными взаимодействиями через
поверхность раздела;
— капиллярные явления, которые касаются совместного поведения поверхностей раздела флюид–флюид и флюид — твердое тело. Они вызваны молекулярными взаимодействиями со стенками
пористой среды;
— фазовые переходы, что связано с появлением или исчезновением поверхностей раздела и, как следствие, появлением или исчезновением фаз.
Все эти явления, происходящие совместно с течением флюида,
являются предметом изучения физико-химической гидродинамики
(ФХГ).
По сравнению с классической динамикой жидкости, изучающей
поля скорости и давления, ФХГ должна также изучать поведение
насыщенностей и мольных/массовых долей, т. е. индивидуальное
движение фаз и химических компонентов. Если попытаться представить движение химического компонента, то можно ожидать, что
основным типом его движения является перенос всей жидкостью
вдоль линий тока (так называемая адвекция). Это достаточно отличается от поведения давления, которое больше похоже на диффузию, направленную во все стороны. Вот почему ФХГ в основном занимается методами, разработанными для гиперболических
дифференциальных уравнений первого порядка, которые являются
классической моделью адвекции. Однако этот простой адвективный перенос может быть нарушен химическими взаимодействиями,
что может значительно изменить характер переноса и его математическую модель. В этом задача этой книги — изучить влияние
различных взаимодействий между фазами флюида и его химическими компонентами на его движение.

Введение
19

Структура книги

В первых двух главах я излагаю базовые сведения
из термодинамики жидкостей, с целью представить математические методы расчета химических систем, находящихся в равновесии. Используя эти инструменты, можно моделировать растворение
химических компонентов в фазах (жидкость–газ или жидкость–
жидкость), а также фазовые переходы между жидкостью и газом.
Эти модели представляют собой нелинейную алгебраическую систему уравнений, решаемую различными итерационными методами. В прил. 6 представлен численный код, который я сделал сам в
Matlab. Он способен вычислять фазовые диаграммы и выполнять
расчеты состава фаз для двухфазных многокомпонентных систем.
Он содержит банк данных для многих индивидуальных химических веществ.
Третья глава является «химической», т. е. излагает кинетические процессы в смесях, которые уже не находятся в равновесии.
Рассмотрены модели реакции и кинетики адсорбции, кинетика различных процессов удержания или деградации частиц, а также закон диффузии в многокомпонентных системах.
Глава 4 — первая в этой книге, в которой химия сочетается с
процессами переноса. Здесь пока анализируется только однофазный перенос. Несмотря на относительную простоту этих систем,
они приводят к различным качественным эффектам, вызванным
химической и гидродинамической интерференцией. К ним относятся эффект запаздывания, вызванный адсорбцией, макрокинетический эффект ускорения переноса из-за химической реакции и нелинейный эффект диффузионных бегущих волн. В качестве первого примера применения этих моделей рассматриваются процессы
в подземном хранилище CO2 в водоносных горизонтах, с учетом
химической активности CO2 в воде с горными породами. Этот пример показывает основные качественные эффекты, которые можно
наблюдать в таких системах, и дает оценку характерного времени конверсии CO2 в кальцит, а также динамику распространения
фронта CO2 и продуктов реакции.
Глава 5 посвящена химическому переносу, который включает
в себя несколько химических реакций. Все эти реакции являются
гетерогенными, т. е. они происходят между жидкой фазой и твердыми породами. Изложение основано на примере метода подземного выщелачивания урановых руд. Основная математическая трудность связана с нелинейностью, вызванной кинетикой реакций. Для
анализа таких систем я предлагаю асимптотический метод, кото

Введение

рый позволяет разделить перенос и химию. Метод дает возможность получить аналитические решения сложных сцепленных задач. Они могут использоваться для проверки численных решений
более сложных многомерных задач.
Глава 6 является начальной, в которой анализируются двухфазные флюиды в пористой среде. Рассмотрены межфазные и капиллярные эффекты. Объясняются основные эффекты капиллярного
защемления, капиллярного впитывания, капиллярного подъема и
других. Они приводят к двум фундаментальным принципам: принципу заполнения пор и принципу подвижности фаз. Также приводится расширенная модель мениска, которая включает в себя прекурсорную пленку перед ним, она называется моделью расширенного мениска. Эта модель включает в себя расклинивающее давление в пленке, которое модифицирует уравнение Юнга–Лапласа
(Young–Laplace) для капиллярного давления.
Движение двух жидкостей непосредственно вблизи твердой поверхности исследуется в гл. 7. В центре этого анализа находится
известная проблема тройной линии. Излагается теория, основанная
на лубрикаторном приближении, которое дает аналитические формулы для толщины мениска вблизи тройной линии. Лубрикаторное
приближение для уравнений Стокса (Stokes) в сочетании с уравнением Юнга–Лапласа приводит к нескольким асимптотическим моделям распространения прекурсорной пленки, анализировавшихся
де Женном (de Gennes).
Глава 8 делает переход от масштаба пор к макроскопическому
масштабу. Она посвящена анализу структуры фазового кластера в
поровых решетках. Принцип фазовой мобильности позволяет заменить проблему течения фазы геометрической проблемой связности
фазы. Таким образом, динамические свойства фазы существенно
определяются геометрией ее кластера. Такой кластер в сети пор
имеет форму дерева со многими ветвями. Проблема связности такого дерева является фундаментальной проблемой теории перколяции. Используя вероятностную модель ветвящегося стохастического процесса, можно получить некоторые макроскопические параметры течения, такие как порог перколяции. Проницаемость такого
кластера также рассчитывается с использованием стохастической
марковской модели ветвящихся процессов. Представлен фундаментальный результат Стинчкомба (Stinchcombe), который выводится методом производящих функций. Он представляет собой интегральное уравнение, связывающее распределение радиусов пор и
относительную проницаемость фазы.

Введение
21

Макроскопические уравнения двухфазного несмешивающегося
течения обсуждаются в гл. 9. Дается каноническая теория БаклиЛеверетта с рядом применений к заводнению нефтяных пластов и
к всплытию газа в подземном газохранилище.
Глава 10 посвящена смешивающемуся двухфазному течению.
Состав жидкости теперь переменный из-за варьирующегося растворения химических веществ в двух фазах. Как следствие, динамика жидкости оказывается строго связана с термодинамикой,
которая определяет законы растворения. Общие уравнения сохранения могут быть сведены к модели кинематических волн и проанализированы с применением методов, разработанных для гиперболических систем. Представлен графический метод, основанный
на двух диаграммах, со многими приложениями к смешивающимся
и химическим методам повышения нефтеотдачи.
Глава 11 является продолжением этой теории для течений с гравитацией. Основное отличие такого течения состоит в появлении
встречных волн, отраженных от барьеров или границы области,
что приводит к сложным явлениям, таким как столкновение двух
встречных ударных волн. Все эти эффекты могут быть проанализированы с использованием того же графического метода, что и
в гл. 10. Несколько примеров приведены для газа, поднимающегося через воду в подземном хранилище CO2 или H2. Сравнение
с несмешиваемым случаем показывает, что эффекты растворения
компонентов в газе и воде оказывают значительное влияние на динамику флюидов.
В гл. 12 анализируется случай переменного числа фаз. Такая ситуация возникает, когда сухой газ контактирует с нелетучей нефтью
в подземном пласте. Это приводит к возникновению системы, которая состоит из трех зон: однофазного газа вблизи точки закачки,
однофазной жидкости вблизи точки извлечения флюида и двухфазного континуума между ними. Эти зоны разделены двумя мобильными поверхностями фазового перехода. Я излагаю метод отрицательных насыщенностей, как специфический метод, который
позволяет прямое численное моделирование системы. Математически метод приводит к задаче Римана для дифференциального
уравнения, меняющего свой тип в зависимости от значений решения: в некоторых зонах оно гиперболическое, а в других — параболическое. Такое явление гиперболо-параболического перехода
изучается аналитически и численно.
В гл. 13 представлены основы биохимической гидродинамики.
Это наука о переносе с химическими реакциями, инициируемыми микроорганизмами. Различные метаболические процессы в по