Квантовая физика. Вводный курс

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА 
ВВОДНЫЙ КУРС

Л.Л. ГОЛЬДИН, Г.И. НОВИКОВА

Третье издание

Ë.Ë. Ãîëüäèí, Ã.È. Íîâèêîâà
Êâàíòîâàÿ ôèçèêà. Ââîäíûé êóðñ.: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
Ë.Ë. Ãîëüäèí, Ã.È. Íîâèêîâà – 3-å èçä. – Äîëãîïðóäíûé:
Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2019. – 480 ñ.

ISBN 978-5-91559-268-0

Îäèí èç ëó÷øèõ â ìèðîâîé ëèòåðàòóðå ó÷åáíèêîâ ïî
îáùåé ôèçèêå.
Êíèãà äàåò áàçîâûå çíàíèÿ ïî ìàêñèìàëüíî øèðîêîìó
ñïåêòðó âñåõ ÿâëåíèé, â êîòîðûõ ïðîÿâëÿþòñÿ êâàíòîâûå
ñâîéñòâà ñâåòà è âåùåñòâà.
 îñíîâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ëåæàò çíàìåíèòûå ëåêöèè
Ë.Ë. Ãîëüäèíà äëÿ ñòóäåíòîâ ÌÔÒÈ, íà êîòîðûõ âûðîñëî íå
îäíî ïîêîëåíèå ñîâåòñêèõ è ðîññèéñêèõ ôèçèêîâ.
Èçëîæåíèå âî âñåõ ãëàâàõ îïèðàåòñÿ íà ÿñíîå îïèñàíèå ýêñïåðèìåíòîâ, ñòàâøèõ êëàññèêîé ÕÕ âåêà, â ñî÷åòàíèè ñ äîõîä÷èâûìè è íàèáîëåå ïðèãîäíûìè äëÿ
íà÷àëüíîãî ýòàïà îáó÷åíèÿ ôîðìóëèðîâêàìè îñíîâíûõ
ïîëîæåíèé íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé òåîðèè.
Ãëàâû ïî ýëåìåíòàðíûì ÷àñòèöàì è ÿäåðíîé ôèçèêå ïåðåáðàñûâàþò ìîñòèê è ê êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå; äðóãèå
ãëàâû âåäóò ÷èòàòåëÿ îò àòîìíîé ôèçèêè ê ìîëåêóëàì è
êîíäåíñèðîâàííîìó ñîñòîÿíèþ âåùåñòâà.
Ïðåäñòàâëåíèÿ, ôîðìèðóåìûå ýòèì êîìïàêòíûì ó÷åáíèêîì, ñïîñîáñòâóþò äàëüíåéøåìó óãëóáëåííîìó èçó÷åíèþ ñîâðåìåííîé ôèçèêè è åå ïðèêëàäíûõ àñïåêòîâ.
Äëÿ ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé ôèçè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ è òåõíè÷åñêèõ óíèâåðñèòåòîâ, ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ êëàññîâ è ëèöååâ.
Âòîðîå èçäàíèå ó÷åáíèêà øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â âåäóùèõ ðîññèéñêèõ óíèâåðñèòåòàõ.

© 2015, Ò.Ë. Øåðìàí (íàñëåäíèöà),
Ã.È. Íîâèêîâà
© 2019, ÎÎÎ «Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-268-0

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Предисловие авторов к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава 1. Физические основы квантовой теории . . . . . . . . . . . . .
11

§ 1.
Корпускулярные свойства электромагнитного излучения . . . . .
11
§ 2.
Волновые свойства частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
§ 3.
Свойства волн де Бройля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
§ 4.
Принцип неопределенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

Глава 2. Основы квантовой механики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
§ 5.
Средние значения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
§ 6.
Операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
§ 7.
Собственные состояния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
§ 8.
Уравнение Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54

Глава 3. Частица в потенциальной яме. Квантование энергии.
Туннельный эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
§ 9.
Прямоугольная потенциальная яма. Принцип соответствия . . . .
56
§ 10. Потенциальный барьер. Туннельный эффект . . . . . . . . . . . . .
66
§ 11. Линейный гармонический осциллятор. Колебательные уровни
молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Глава 4. Водородоподобные атомы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

§ 12. Энергетические уровни водородоподобных атомов . . . . . . . . . .
74
§ 13. Экспериментальные исследования энергетических уровней атома.
Потенциалы возбуждения и ионизации . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
§ 14. Спектры водородоподобных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
§ 15. Распределение электронной плотности в атоме водорода . . . . .
87

Оглавление

§ 16. Мезоатомы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
§ 17. Ширина уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Глава 5. Угловой момент и магнитные характеристики
электронов, атомов и молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
§ 18. Угловой момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
§ 19. Вращательные уровни молекул. Молекулярные спектры . . . . . .
101
§ 20. Классификация состояний электронов. Главное квантовое число.
Вырождение уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
§ 21. Правила сложения угловых моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
§ 22. Орбитальный магнитный момент электрона . . . . . . . . . . . . . .
114
§ 23. Экспериментальное определение угловых и магнитных моментов
117
§ 24. Спин электрона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
§ 25. Магнитомеханические явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
§ 26. Полные угловой и магнитный моменты электрона . . . . . . . . . .
124
§ 27. Тонкая структура уровней атома водорода и водородоподобных
атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
§ 28. Строение атома по Бору . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130

Глава 6. Структура и спектры сложных атомов . . . . . . . . . . . . .
134
§ 29. Структура электронных уровней в сложных атомах . . . . . . . .
135
§ 30. Типы связи электронов в атомах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
§ 31. Принцип Паули (принцип исключения) . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
§ 32. Периодическая система элементов Д. И. Менделеева . . . . . . . .
143
§ 33. Правила отбора при излучении атомов . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
§ 34. Оптические спектры сложных атомов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
§ 35. Рентгеновское излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
§ 36. Классическая и квантовая физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176

Глава 7. Атомы в магнитных полях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
§ 37. Явление Зеемана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
§ 38. Магнитный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194

Глава 8. Основы квантовой статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
§ 39. Число квантовых состояний. Статистический вес . . . . . . . . . .
202
§ 40. Заполнение уровней. Распределения Бозе–Эйнштейна и Ферми–
Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207

Глава 9. Тепловое излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
§ 41. Равновесное излучение. Закон Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . .
215
§ 42. Формула Планка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
§ 43. Классические формулы для равновесного излучения . . . . . . . .
222
§ 44. Формула Рэлея–Джинса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
§ 45. Давление излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230

Оглавление
5

Глава 10. Физические основы квантовой электроники . . . . . . . .
233

§ 46. Спонтанное и индуцированное излучение . . . . . . . . . . . . . . .
233
§ 47. Квантовые усилители и генераторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
241
§ 48. Методы создания инверсной населенности уровней . . . . . . . . .
243
§ 49. Устройство оптических квантовых генераторов . . . . . . . . . . . .
247
§ 50. Структура лазерного излучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255

Глава 11. Молекулы и кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260

§ 51. Химическая связь. Образование молекул . . . . . . . . . . . . . . . .
260
§ 52. Молекула водорода. Обменное взаимодействие . . . . . . . . . . . .
265
§ 53. Связь атомов в твердых телах (кристаллах) . . . . . . . . . . . . . .
271
§ 54. Симметрия кристаллов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
§ 55. Колебания кристаллических решеток. Звуковые волны. Тепловое
расширение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
§ 56. Фононы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287
§ 57. Теплоемкость кристаллических решеток . . . . . . . . . . . . . . . .
290
§ 58. Решеточная теплопроводность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
296

Глава 12. Электроны в кристаллах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298

§ 59. Связанные колебательные системы. Разрешенные и запрещенные
зоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
§ 60. Проводники и изоляторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
§ 61. Волны Блоха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
§ 62. Динамика электронов в кристалле. Электропроводность кристаллов
313
§ 63. Электроны в металлах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
318

Глава 13. Полупроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323

§ 64. Чистые и примесные полупроводники . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
§ 65. Электроны и дырки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326
§ 66. Концентрация электронов и дырок. Энергия Ферми. . . . . . . . .
329
§ 67. Электропроводность полупроводников . . . . . . . . . . . . . . . . . .
332
§ 68. n–p-переход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
§ 69. Прохождение тока через n–p-переход . . . . . . . . . . . . . . . . . .
338
§ 70. Транзисторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
§ 71. Квазичастицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342

Глава 14. Атомное ядро, его характеристики и свойства. . . . . . .
344

§ 72. Основные характеристики атомного ядра . . . . . . . . . . . . . . . .
345
§ 73. Энергия связи ядер. Свойства ядерных сил . . . . . . . . . . . . . .
352
§ 74. Модели атомного ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
357
§ 75. Спонтанные превращения атомных ядер . . . . . . . . . . . . . . . .
365

Оглавление

Глава 15. Ядерные реакции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
381

§ 76. Основные характеристики ядерных реакций . . . . . . . . . . . . . .
382
§ 77. Теория составного ядра. Ядерные реакции с участием нейтронов
387
§ 78. Взаимодействие с ядрами γ-лучей. Фотоядерные реакции. Эффект
Мёссбауэра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397
§ 79. Цепная реакция деления. Проблемы ядерной энергетики . . . . .
400

Глава 16. Элементарные частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413

§ 80. Нуклоны и лептоны. Терминология. Слабое взаимодействие . . .
414
§ 81. Сильное взаимодействие. Кварки. Цвет и аромат кварков. Фундаментальные частицы первого поколения . . . . . . . . . . . . . . . . .
418
§ 82. Некоторые результаты теории относительности . . . . . . . . . . . .
423
§ 83. Старшие поколения фундаментальных частиц. . . . . . . . . . . . .
428
§ 84. Диаграммы Фейнмана. Виртуальные частицы. Поляризация вакуума. Асимптотическя свобода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433
§ 85. Переносчики взаимодействий. Ядерные силы. Таблицы фундаментальных частиц и переносчиков взаимодействий. . . . . . . . . . . .
436
§ 86. Симметрии в физике. Нарушение основных типов симметрии при
слабом взаимодействии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
441
§ 87. Элементарные частицы и космос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
446
§ 88. Ускорители заряженных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
453

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
465

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
468

I.
Среднее значение проекции импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . .
468
II.
Радиальная часть оператора Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . .
470
III. Уравнения движения связанных маятников . . . . . . . . . . . . . .
471
IV. Основные физические константы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473
V.
Названия, символы и атомные массы химических элементов . .
474

Список обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
475

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

У Вас в руках второе издание книги. Первое вышло тринадцать лет назад и ныне недоступно, а между тем книга Л. Л. Гольдина
и Г. И. Новиковой из тех, которые хочется иметь под рукой и хочется посоветовать студентам, начинающим изучать квантовую физику.
Книга родилась из лекций, которые Лев Лазаревич читал, преподавая
в МФТИ с 1948 по 1993 год. Удивительная атмосфера полного погружения в предмет возникала на этих лекциях! Прекрасно понимая,
сколь важен эксперимент при изучении физики, Л. Л. Гольдин прилагал огромные усилия по развитию лабораторного практикума по общей физике на Физтехе. При жизни он был бессменным редактором
«Лабника» — описания лабораторных работ. Он создал по-настоящему
«инновационный» формат руководства к лабораторным работам, которое начиналось с подробного описания оценок погрешностей измерений
и в котором студенту предоставляется значительная самостоятельность
при выполнении измерений и оценке полученных результатов. Студенты шутили: «Измеряем не величины, а их погрешности». Принципы
обучения, заложенные Л. Л. Гольдиным — одним из ведущих профессоров — и по сей день составляют основу работы со студентами на кафедре общей физики. Легенды приписывают Л. Л. Гольдину множество
афористических высказываний, лично от него я слышал: «Физике надо
учить не спеша». К нему как-то легко было обращаться за советом.
Глубокий и яркий след оставила деятельность Льва Лазаревича на
кафедре общей физики. Во многом благодаря ему, человеку, не терпящему халтуры и полузнаний, кафедра физики МФТИ стала тем, чем
она является в настоящее время. Л. Л. Гольдин был эталоном преподавателя, который культивируется на Физтехе: яркая сильная личность,
блестящий педагог и одновременно — активный и успешный ученый.
Лев Лазаревич был энциклопедически образованный физик и неустанный труженик. Он проводил исследования, редактировал научные журналы, писал книги, организовывал научные конференции. Работа его
отмечена Госпремиями, орденами и медалями.
Рекомендую Вам новое издание замечательной книги, в которой
строгость изложения и обширность материала сочетаются с лаконичностью и простотой изложения.

Зав. кафедрой общей физики МФТИ
А. В. Максимычев

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Предлагаемая книга основана на лекциях, которые читались студентам Московского Физико-технического института (МФТИ)
и Инженерной академии в курсах общей физики (после оптики). Первые главы следуют «Введению в квантовую физику», изданному издательством «Наука» в 1988 г., затем идут новые главы, посвященные
ядерной физике и физике элементарных частиц.
При изложении главное внимание уделяется основным представлениям квантовой физики и физической сущности явлений. Математический аппарат излагается лишь постольку, поскольку это необходимо
для ясного понимания материала.
При написании книги мы уделяли главное внимание краткости и
ясности изложения и старались отбросить все второстепенное. Мы считаем, что только такая книга, которая концентрирует внимание студента на понимании основных представлений и наиболее существенных явлений, оставляет у него время для размышлений и для решения задач.
Отобранный материал излагается достаточно подробно, с расчетами,
сопоставлениями и выводами.
Авторы искренне признательны профессору Э. И. Рашба, разрешившему нам воспользоваться конспектами его лекций по физике твердого
тела и просмотревшему соответствующие главы рукописи, академику
Л. Б. Окуню, просмотревшему первый вариант книги в рукописи и сделавшему ряд важных замечаний, и профессору М. Волошину, который
указал нам на ряд погрешностей в изложении. Академик Л. Б. Окунь
разрешил нам широко использовать материал и примеры, содержащиеся
в его книгах.

ВВЕДЕНИЕ

С начала XX века стали накапливаться опытные данные,
объяснить которые классическая физика оказалась неспособной. Они
охватывали широкий круг физических проблем: уменьшение теплоемкости тел при низких температурах, структуру оптических спектров
газообразных веществ, распределение интенсивности в спектрах твердых тел, фотоэффект, изменение частоты рентгеновского излучения при
рассеянии, дифракцию медленных электронов и т. д. Становилось все
более ясно, что для объяснения этих и многих других явлений необходим пересмотр основных представлений физики.
Первые шаги в этом направлении сделали М. Планк и А. Эйнштейн.
Затем последовала серия замечательных работ, полностью изменивших
наши представления о мире. Новое понимание пришло в науку с работами Эйнштейна (теория относительности, представление о квантах
света) и глубокими идеями Н. Бора и его школы (квантовая механика). Развитие новой физики с тех пор интенсивно продолжается и привело к появлению теории атома, теории твердых тел, теории ядра, а
затем и элементарных частиц. Создание новой физики связано с именами ряда замечательных ученых, среди которых, кроме упомянутых выше, в первую очередь должны быть названы В. Гейзенберг, Э. Шредингер, В. Паули, П. Дирак, Э. Фэрми, Ш. Глэшоу, К. Руббиа, А. Салам,
Л. Ландау.
В наше время квантовая физика совершает революцию не только
в научных представлениях, но и в технике. Мы пользуемся электричеством, которое вырабатывается на атомных электростанциях. Нас окружают телевизоры и др. приборы на полупроводниках, работа которых
основана на квантовой теории твердых тел. В наш быт прочно вошли
компьютеры с интегральными схемами. Квантовые источники излучения — лазеры — широко используются в медицине и в технике. Основанные на квантовых эффектах сверхпроводящие магниты производят

Введение

ся тысячами. Мы уже не говорим об экспериментальной физике, где
значительная часть методов стала возможной только после развития
новой техники. Наконец, квантовая физика изменила наши представления о ходе развития Вселенной...
Объем знаний, накопленных наукой после появления квантовой физики, во много раз превышает все, что было известно ранее. Все эти
знания не могут быть изложены ни в какой отдельно взятой книге. Важнейшим элементом образования является чтение научной литературы.
Мы старались сделать возможным такое чтение, приобщая читателя к
основным идеям, языку и терминологии, которые используются в статьях и книгах. Связанная с квантовыми представлениями перестройка
науки, техники и быта еще только начинается. Новому поколению —
читателям этой книги — предстоит продолжить эту работу.

Г Л А В А
1

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

§ 1.
КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Фотоэффект. Фо т о эффе к т о м называется вырывание
электронов из вещества под действием электромагнитного излучения.

Рис. 1. Схема установки для
исследования фотоэффекта

На рис. 1 изображена схема экспериментальной установки, предназначенной
для наблюдения фотоэффекта под действием света. Между двумя металлическими пластинами A и B, находящимися в
колбе, из которой откачан воздух, создана
разность потенциалов V. Так как пластины находятся в вакууме, то ток в цепи не
идет. Если же осветить внутреннюю поверхность одной из пластин, то в цепи появляется ток, который может быть зафиксирован гальванометром G. Появление тока связано с тем, что световые лучи вырывают с поверхности пластины электроны
и, таким образом, в пространстве между
пластинами появляются носители заряда.
Разумеется, на освещаемую пластину следует подавать отрицательный потенциал.
С помощью установки, изображенной на рис. 1, можно исследовать
зависимость тока от интенсивности и от частоты света, падающего на
пластину.
Наиболее простой является зависимость тока i в цепи от интенсивности света I при одной и той же частоте ω (рис. 2). Число электронов,

Глава 1. Физические основы квантовой теории

вырываемых светом с поверхности пластины, прямо пропорционально
интенсивности света. Такой характер графика вполне согласуется с
представлениями классической физики о взаимодействии электромаг
Рис. 2. Зависимость тока от
интенсивности света

нитных волн с электронами.
Однако при исследованиях обнаружились и явления, резко противоречащие
представлениям
классической
физики.
Осветим пластину B монохроматическим
светом с частотой ω и интенсивностью I1
и исследуем зависимость силы тока от
разности потенциалов между электродами. Оказывается, что ток течет при всех
отрицательных значениях V = VB − VA и
при положительных значениях V, вплоть
до некоторого V0, а при V > V0 прекращается. Эта зависимость тока от разности потенциалов изображена
на рис. 3. Разность потенциалов V0, при которой электрический ток
прекращается, называется з а п и р а ю щ и м п о т е н ц и а л о м. Запирающий потенциал связан с максимальной кинетической энергией электронов, выбиваемых светом из пластины B, очевидным соотношением
eV0 = T, где e — заряд электрона, а T — максимальная кинетическая
энергия электронов.
На рис. 3 изображена также кривая фототока при некоторой другой
интенсивности света (I2 > I1), но при той же частоте. Как и следовало ожидать, ток в этом случае оказывается большим, чем в первом
случае. Неожиданным оказывается тот факт, что запирающий потенциал V0 при этом не изменяется. Таким образом, опыт показывает, что
м а к с и м а л ь н а я к и н е т и ч е с к а я э н е р г и я ф о т о э л е к т р о н о в н е з а в и с и т о т и н т е н с и в н о с т и с в е т а. Этот результат резко противоречит представлениям классической физики. Согласно классической теории, интенсивность световой волны пропорциональна квадрату амплитуды электрического вектора, воздействующего
на электроны в металле. Чем больше интенсивность света, тем большую энергию должны получать вырываемые из металла электроны.
Результаты опытов показывают, что запирающий потенциал V0
(а следовательно, и энергия фотоэлектронов) з а в и с и т н е о т и н т е н с и в н о с т и , а о т ч а с т о т ы с в е т а. Эта зависимость изображена на рис. 4 и имеет вид прямой, не проходящей через начало
координат. Наименьшая частота света ω0, при которой возникает фотоэффект, называется к р а с н о й г р а н и ц е й фотоэффекта и зависит
от вещества, из которого сделана облучаемая пластина.

§ 1. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения
13

Рис. 3. Зависимость тока от разности
потенциалов между электродами

Рис. 4. Зависимость задерживающего потенциала от частоты света

Зависимость, изображенная на рис. 4, противоречит обычным классическим представлениям не менее резко, чем обсуждавшееся выше отсутствие связи между кинетической энергией фотоэлектронов и интенсивностью света. Если считать электроны в металле свободными, то их
кинетическая энергия (при данной интенсивности света) с увеличением
частоты должна была бы не расти, а падать. В самом деле, уравнение
движения свободного электрона под действием электрического поля
световой волны E cos ωt записывается в виде

m¨x = eE cos ωt.

Интегрируя это уравнение, найдем

mv = eE

ω sin ωt,

T = mv2

2
=
1
2m(mv)2 =
1
2m

eE

ω

2
sin2 ωt.

Таким образом, по классической физике кинетическая энергия свободных электронов с увеличением частоты света должна не возрастать,
а падать. Не является ли этот результат указанием на то, что ответственные за фотоэффект электроны на самом деле не являются свободными? Покажем, что взаимодействие световой волны со связанными в
атомах электронами также не может объяснить хода кривой на рис. 4.
При воздействии гармонически меняющегося со временем электрического поля с упругосвязанными электронами должна наблюдаться резонансная зависимость амплитуды колебаний от частоты света. Следует
поэтому ожидать, что зависимость запирающего потенциала от частоты
также будет иметь резонансный характер, как это изображено на рис. 5.
Таким образом, наблюдающаяся на опыте зависимость V0 от ω (рис. 4)

Глава 1. Физические основы квантовой теории

не имеет ничего общего с предсказаниями классической физики как
для свободных, так и для связанных электронов.
Объяснение фотоэлектрического эффекта было найдено Альбертом
Эйнштейном (1905 г.). Эйнштейн предложил рассматривать свет, взаи
Рис. 5. Зависимость задерживающего потенциала от частоты света (классическая модель упругосвязанных электронов)

модействующий с электронами при
фотоэффекте, не как волну, а как поток корпускул, или квантов. Энергия
каждого кванта определяется
соотношением

E = ℏω.
(1.1)

Здесь ω — круговая частота света, ℏ — постоянная Планка (ℏ =
= 1,05 · 10−27 эрг · с). (Постоянная ℏ
была впервые введена Планком в
1900 г. для объяснения спектров испускания нагретых тел.)
При освещении электрода светом
происходит взаимодействие квантов
света с электронами вещества; квант поглощается, и его энергия передается электрону, с которым произошло взаимодействие. Максимальная энергия электрона определяется формулой

T = ℏω − A,
(1.2)

где A — работа выхода электронов из освещаемого электрода в вакуум.
Уравнение (1.2) носит название у р а в н е н и я Э й н ш т е й н а для
фотоэффекта и представляет собой просто закон сохранения энергии
при фотоэлектрическом поглощении света.
Вернемся к кривым, изображенным на рис. 2–4, и попробуем объяснить их исходя из представлений Эйнштейна и формулы (1.2). Зависимость, представленная на рис. 2, является вполне естественной не только с волновой, но и с квантовой точки зрения. В самом деле, увеличение
интенсивности светового пучка означает увеличение числа квантов,
числа их взаимодействий с электронами и, следовательно, фототока.
Не менее естественным образом объясняются кривые рис. 3. Фототок i прекращается при таких значениях потенциала V0, при которых
eV0 = T, где T — кинетическая энергия фотоэлектронов. Используя
уравнение (1.2), получаем

eV0 = ℏω0 − A.
(1.3)

Из полученного равенства видно, что для данного вещества и заданной
частоты света ω запирающий потенциал не зависит от интенсивности