Секреты интересных интегралов: с введением в контурное интегрирование

Пол Дж. Нахин

Секреты  
интересных интегралов

Paul J. Nahin

Inside Interesting  
Integrals

(with an introduction to contour integration)

A Collection of Sneaky Tricks, Sly Substitutions,  
and Numerous Other Stupendously Clever, Awesomely Wicked,  
and Devilishly Seductive Maneuvers for Computing Nearly  
200 Perplexing Definite Integrals From Physics, Engineering,  
and Mathematics (Plus 60 Challenge Problems with Complete,  
Detailed Solutions)

Пол Дж. Нахин

Секреты  
интересных интегралов

(с введением в контурное интегрирование)

Коллекция ловких трюков, хитрых подстановок  
и множество других невероятно искусных, удивительно озорных  
и рискованных маневров для вычисления почти 200 дьявольски  
запутанных определенных интегралов из физики, техники  
и математики (плюс 60 сложных задач с полными,  
подробными решениями)

Москва, 2020

УДК 517.37
ББК 22.161
Н12

Нахин П. Дж.
Н12 
Секреты интересных интегралов / пер. с анг. Н. К. Смоленцева. – М.: ДМК 
Пресс, 2020. – 428 с.: ил. 

ISBN 978-5-97060-763-3

В книге приведена целая коллекция из почти 200 запутанных определенных интегралов из физики, техники и математики, а также 60 задач с полными решениями. Если 
вам что­то говорят имена Римана, Бернулли, Эйлера, Френеля, Дирихле, Фурье, Коши, 
Фейнмана — эта книга точно для вас.
Издание доставит истинное удовольствие математикам, физикам, думающим студентам, а также всем читателям, кто еще только планирует стать великим учёным!

УДК 517.37
ББК 22.161

Authorized Russian translation of the English edition of Inside Interesting Integrals ISBN 
9781493912773 © 2015 Springer Science+Business Media New York.
This translation is published and sold by permission of Packt Publishing, which owns or 
controls all rights to publish and sell the same.

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.

ISBN 978­1­4939­1277­3 (анг.) 
© 2015 Springer Science+Business Media New York
ISBN 978­5­97060­763­3 (рус.) 
© Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2020

Бернгард Риман (1826–1866), немецкий математический гений,  
интеграл которого является предметом этой книги  
(AIP Emilio Segrè Visual Archives, T. J. J. See Collection)

Эта книга посвящена всем, кто, прочитав следующую строку из 
шпионского романа времен холодной войны Джона Ле Карра 
1989 года «Русский дом», сразу узнает, что столкнулся с очень 
интересным персонажем:

а также всем, кто понимает, насколько разочаровывает сетование в книге Энтони Зи «Квантовая теория поля в двух словах»:

«Иногда он даже не следил за тем, на что смотрел, 
но он мог наслаждаться весь день хорошей страницей математики», –

«Ах, если бы мы только могли взять интеграл… Но 
мы не можем».

“The integral of z squared dz
From one to the cube root of three
All times the cosine
Of three pi o’er nine
Equals the natural log of the cube root of e”1.

Это три классические интегральные шутки, 
любимые той любопытной группой людей, 
которые, если бы им дали выбор между борьбой 
с хорошей математической задачей или чем­то 
еще, подумали бы, что решение очевидно.

1 «Интеграл от z в квадрате dz
От единицы до корня кубического из трех,
Умноженный на косинус
От три пи­на­девять,
Равен натуральному логарифму корня кубического из e».

Для поддержки теоретических расчетов, выполненных в этой 
книге, предоставляются числовые «подтверждения» с использованием нескольких команд интегрирования, доступных в программных пакетах, разработанных MathWorks, Inc. of Natick, MA. 
В частности, MATLAВ® 8.1 (Release 2013a) и пакет расширения 
Symbolic Math Toolbox 5.10, оба пакета работают на ПК с Windows 7. Эта версия MATLAВ® сейчас несколько устарела, но все 
команды, использованные в этой книге, работают с более новыми версиями и, вероятно, будут работать в последующих версиях 
еще несколько лет. MATLAВ® является зарегистрированным товарным знаком MathWorks, Inc. Компания MathWorks не гарантирует точности текста в этой книге. Использование или обсуждение MATLAВ® и пакета расширения Symbolic Math Toolbox здесь 
не означает одобрения или спонсорства компании MathWorks, 
конкретного педагогического подхода или конкретного использования MATLAВ® и пакета Symbolic Math Toolbox.

Содержание

Вступительное слово от издательства ..................................................................... 11
Предисловие .................................................................................................................... 12

Глава 1. Введение ........................................................................................................... 22
1.1. Интеграл Римана .......................................................................................................... 22
1.2. Примеры риманова интегрирования ......................................................................... 26
1.3. Интеграл Лебега ........................................................................................................... 28
1.4. «Интересно» и «секреты» ............................................................................................. 31
1.5. Некоторые примеры трюков ....................................................................................... 33
1.6. Особенности ................................................................................................................. 38
1.7. Интеграл Далцелла ....................................................................................................... 43
1.8. Откуда берутся интегралы  .......................................................................................... 46
1.9. Заключительные слова ................................................................................................ 60
1.10. Задачи для упражнений ............................................................................................. 61

Глава 2. «Легкие» интегралы ....................................................................................... 64
2.1. Шесть «легких» для разминки ..................................................................................... 64
2.2. Новый прием ................................................................................................................ 68
2.3. Два старых трюка, плюс один новый .......................................................................... 75
2.4. Еще один старый прием. Лог­синус Эйлера ............................................................... 84
2.5. Задачи для упражнений ............................................................................................... 90

Глава 3. Любимый трюк Фейнмана ........................................................................... 92
3.1. Формула Лейбница....................................................................................................... 92
3.2. Удивительный интеграл .............................................................................................101
3.3. Интеграл Фруллани .....................................................................................................103
3.4. Обратная сторона трюка Фейнмана ..........................................................................106
3.5. Сочетание двух приемов ............................................................................................115
3.6. Интеграл Улера и символьное интегрирование .......................................................118
3.7. Интеграл вероятности, новый взгляд ........................................................................122
3.8. Интеграл Дини ............................................................................................................125
3.9. Любимый прием Фейнмана решает физическое уравнение ...................................128
3.10. Задачи и упражнения ................................................................................................130

Глава 4. Гамма- и бета-функции ................................................................................134
4.1. Гамма­функция Эйлера ..............................................................................................134
4.2. Интеграл Валлиса и бета­функция ............................................................................136
4.3. Перестановка порядка интегрирования в двойном интеграле ...............................147
4.4. Гамма­функция встречает физику .............................................................................158
4.5. Задачи для решения ....................................................................................................161

Глава 5. Использование степенных рядов для нахождения интегралов .....164
5.1. Число Каталана ............................................................................................................164
5.2. Степенные ряды для логарифмической функции ....................................................168

 Содержание

5.3. Интегралы дзета­функции .........................................................................................176
5.4. Константа Эйлера и связанные с ней интегралы......................................................181
5.5. Задачи и упражнения .................................................................................................195

Глава 6. Семь сложных интегралов  .........................................................................199
6.1. Интеграл Бернулли .....................................................................................................199
6.2. Интеграл Ахмеда .........................................................................................................201
6.3. Интеграл Коксетера  ....................................................................................................205
6.4. Оптический интеграл Харди–Шустера  .....................................................................212
6.5. Тройные интегралы Уотсона/Ван Пейпа ...................................................................217
6.6. Эллиптические интегралы в физической задаче .....................................................223
6.7. Задачи и упражнения ..................................................................................................229

Глава 7. Использование –1 для нахождения интегралов  .............................235
7.1. Формула Эйлера ..........................................................................................................235
7.2. Интегралы Френеля .....................................................................................................236
7.3. ζ(3) и снова интегралы лог­синуса .............................................................................240
7.4. ζ(2), наконец! ................................................................................................................245
7.5. Опять интеграл вероятности ......................................................................................248
7.6. За пределами интеграла Дирихле ..............................................................................250
7.7. Дирихле встречает гамма­функцию ..........................................................................256
7.8. Преобразования Фурье и интегралы энергии  ..........................................................259
7.9. «Странные» интегралы из радиотехники  .................................................................265
7.10. Причинность и интегралы преобразования Гильберта  .........................................275
7.11. Задачи и упражнения ................................................................................................283

Глава 8. Контурное интегрирование ........................................................................287
8.1. Вступление ..................................................................................................................287
8.2. Криволинейные интегралы ........................................................................................287
8.3. Функции комплексной переменной ..........................................................................290
8.4. Уравнения Коши–Римана и аналитические функции .............................................296
8.5. Интегральная теорема Грина .....................................................................................300
8.6. Первая интегральная теорема Коши .........................................................................303
8.7. Вторая интегральная теорема Коши ..........................................................................316
8.8. Особенности и теорема о вычетах .............................................................................330
8.9. Интегралы с многозначными подынтегральными функциями ..............................338
8.10. Задачи и упражнения  ...............................................................................................346

Глава 9. Эпилог  ..............................................................................................................349
9.1. Риман, простые числа и дзета­функция  ...................................................................349
9.2. Вывод функционального уравнения для ζ(s) ............................................................359
9.3. Вопросы для упражнений ...........................................................................................372

Решения задач и упражнений ...................................................................................375

Предметный указатель ................................................................................................426

Вступительное слово 
от издательства

Отзывы и пОжелания

Мы всегда рады отзывам наших читателей. Расскажите нам, что вы думаете об 
этой книге – что понравилось или, может быть, не понравилось. Отзывы важны 
для нас, чтобы выпус кать книги, которые будут для вас максимально полезны.
Вы можете написать отзыв на нашем сайте www.dmkpress.com, зайдя на 
страницу книги и оставив комментарий в разделе «Отзывы и рецензии». Также можно послать письмо главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com; 
при этом укажите название книги в теме письма. 
Если вы являетесь экспертом в какой­либо области и заинтересованы в написании новой книги, заполните форму на нашем сайте по адресу http://dmkpress.com/authors/publish_book/ или напишите в издательство по адресу dmkpress@gmail.com.

СпиСОк ОпечатОк

Хотя мы приняли все возможные меры для того, чтобы обеспечить высокое 
качество наших текстов, ошибки все равно случаются. Если вы найдете ошибку 
в одной из наших книг – возможно, ошибку в основном тексте или программном коде, – мы будем очень благодарны, если вы сообщите нам о ней. Сделав 
это, вы избавите других читателей от недопонимания и поможете нам улучшить последующие издания этой книги. 
Если вы найдете какие­либо ошибки в коде, пожалуйста, сообщите о них 
главному редактору по адресу dmkpress@gmail.com, и мы исправим это в следующих тиражах.

нарушение автОрСких прав

Пиратство в интернете по­прежнему остается насущной проблемой. Издательства «ДМК Пресс» и Springer очень серь езно относятся к вопросам защиты 
авторских прав и лицензирования. Если вы столкнетесь в интернете с незаконной публикацией какой­либо из наших книг, пожалуйста, пришлите нам 
ссылку на интернет­ресурс, чтобы мы могли применить санкции.
Ссылку на подозрительные материалы можно прислать по адресу электронной поч ты dmkpress@gmail.com.
Мы высоко ценим любую помощь по защите наших авторов, благодаря которой мы можем предоставлять вам качественные материалы.

Предисловие

Инженерия – это как танцы; вы не изучаете это 
в затемненном лекционном зале, просматривая 
слайды: вы изучаете это, выходя на танцпол и наступая на пальцы ног.

– Профессор Джек Олфорд (1920–2006), соучредитель инженерной клиники в колледже Харви Мадда, который нанял автора в 1971 году в качестве 
доцента. То же самое можно сказать и о нахождении определенных интегралов

Чтобы по­настоящему оценить эту книгу, посвященную тайному искусству 
вычисления определенных интегралов, необходимо (хотя, возможно, недостаточно) быть человеком, который в жестокой битве один на один за первое 
мес то в спис ке греховных удовольствий находит следующий вопрос более привлекательным, чем чашка горячего кофе с сахарным пончиком:
без фактического вычисления х показать, что

если 
 из этого следует, что 

Хорошо, я знаю, что многие (но, я надеюсь, не вы) подумают, столкнувшись 
с таким вопросом: какое земное значение может иметь такая задача? Ну, насколько я знаю, никакое, но ее очарование (или нет) для вас обеспечивает 
(я думаю) превосходное психологическое понимание того, стоит ли вам тратить время и/или хорошие деньги на эту книгу. Если вы смущены, озадачены 
или равнодушны (а может быть, все вместе), то я советую вам отложить эту 
книгу и вместо этого поискать хороший детективный роман, последнюю биографию Линкольна (кажется, каждый год появляется новая – что еще могло 
остаться невысказанным?) или, возможно, вегетарианскую кулинарную книгу.
Но если ваша ручка уже вынута и на вашем столе накапливаются нацарапанные страницы расчетов, то, черт возьми, вы – просто тот человек, для которого 
я написал эту книгу. (Если после доблестных усилий вы все еще в тупике, но тем 
не менее просто ощущаете необходимость посмотреть, как это сделать, или 
если ваша ручка просто исписалась – решение задачи представлено в конце 
книги.)
Точнее говоря, я написал для трех разных категорий читателей: (1) студентов, изучающих физику/инженерию/математику; (2) профессоров, которые 
ищут интересный материал для лекций, и (3) неакадемических профессионалов, которым нужно «хорошее техническое чтение».
Есть две возможные проблемы, связанные с вычислением определенных 
интегралов, которые мы должны рассмотреть сразу. Во­первых, действительПредисловие  13

но ли математики делают подобные вещи? Разве простые вычисления – не 
грязное дело (которое лучше всего делать вне поля зрения, в тени переулков, 
чтобы не нанести непоправимого ущерба юным умам впечатлительных юношей) покрытых жиром инженеров с дырявыми рукавами их рубашек или придурковатых физиков в потрепанных штанах и с меловой пылью на носу? Разве 
не в глубоком, чистом океане аналитических доказательств и теорем мы находим настоящих математиков, плавающих, как могучие лоснящиеся тюлени? 
Как инженер я сам нахожу это отношение немного элитарным, и поэтому мне 
приятно отметить удовольствие от вычислений, которым наслаждались многие великие математики, от Ньютона до наших дней.
Позвольте мне привести два примера. Во­первых, репутация величайшего 
английского математика первой половины XX века Г. Х. Харди (1877–1947) частично опирается на его феноменальное умение находить определенные интегралы. (Имя Харди часто упоминается в этой книге.) И во­вторых, герой этой 
книги (Риман) сегодня известен (помимо своего интеграла) формулировкой 
величайшей нерешенной проблемы математики, о которой я расскажу вам гораздо больше в конце книги. Но после его смерти, когда его личные заметки по 
этой самой проблеме были изучены, было обнаружено, что во всех глубоких теоретических материалах заложено вычисление 2 до 38 знаков после запятой!
Мне кажется просто безумием жалоба, которую я иногда слышу, на то, что 
нет конца определенным интегралам. (Но ведь это должно быть поводом для 
радости!) Вы можете играть с интегралами, с верхним и нижним пределами 
бесчисленным множеством способов1, но идет ворчание – какой смысл вычислять определенные интегралы, поскольку вы не можете решить их все? Я надеюсь, что изложения этой проблемы на словах достаточно, чтобы прояснить 
ее смехотворный характер. Мы никогда не сможем найти все возможные определенные интегралы, так зачем беспокоиться? Ну, а что дальше – вы не можете 
сложить все возможные пары действительных чисел, так зачем беспокоиться 
о том, чтобы научиться складывать? Как я уже сказал, это безумие!
Что делает вычисление конкретных интегралов в этой книге ценным, так 
это не конкретные ответы, которые мы получим, а скорее уловки (извините, 
методы), которые будем использовать для получения этих ответов; методы, 
которые вы можете использовать при вычислении интегралов, с которыми вы 
столкнетесь в будущем в своей работе. Многие из интегралов, которые я покажу вам, действительно имеют важное применение в математической физике 
и технике, но другие включены только потому, что на первый взгляд они выглядят настолько чертовски крутыми, что испытываешь настоящий удар, когда 
видишь, как они просто рушатся, когда на них нападают с правильным трюком.
Из всего вышесказанного вы, вероятно, поняли, что я написал эту книгу 
в легкой манере (что означает «это не строгий учебник по математике»). Я не 

1  В следующей главе вы увидите, что при соответствующем изменении переменной 
мы можем преобразовать любой интеграл в интеграл от 0 до ¥, или от 1 до ¥, или от 
0 до 1. Так что все не так плохо, как я это представлял.