Занимательная манга. Математика и электричество

О Б Р А З О В А Т Е Л Ь Н А Я   М А Н Г А

МАТЕМАТИКА И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Студент Аонума учится в университете на инженера, 
но осваивать премудрости науки ему тяжело. Всё 
меняется в его жизни, когда он знакомится с сотрудницей энергетической компании Татибаной. Она 
объяснит нерадивому студенту, что такое электрические цепи, последовательное и параллельное соединение, переменный и постоянный ток, а потом перейдёт и к более сложным темам: тригонометрическим функциям, комплексным числам и др. Под руководством Татибаны Аонума погружается в мир ПРИКЛАДНОЙ математики, учится решать задачи и понемногу меняет своё отношение к нелюбимому 
предмету.

Манга БУДЕТ ПОЛЕЗНА ВСЕМ ЧИТАТЕЛЯМ, КТО ИНТЕРЕСУЕТСЯ ФИЗИКОЙ, ЭЛЕКТРИЧЕСТВОМ И МАТЕМАТИКОЙ.

Интернет-магазин:
www.dmkpress.com

Оптовая продажа: 
КТК «Галактика» 
books@alians-kniga.ru
www.дмк.рф

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ
МАНГА

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАНГА 

МАТЕМАТИКА И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Танака Кэнъити
Мацусита Маи
Office SAWA, Ltd.

МАТЕМАТИКА И 
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Танака Кэнъити
Мацусита Маи

9 785970 607770

ISBN 978-5-97060-777-0

Çàíèìàòåëüíàÿ ýëåêòðîòåõíèêà
Ìàòåìàòèêà è ýëåêòðè÷åñòâî

Ìàíãà

МАТЕМАТИКА
И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Ìîñêâà
ÄÌÊ Ïðåññ, 2020

О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н А Я  М АН ГА
çàíèìàòåëüíàÿ ýëåêòðîòåõíèêà

Ïåðåâîä 
Å. Ò. Õóçèÿòîâà
Íàó÷íûé ðåäàêòîð
À.Í. Ðàáîäçåé

Êýíúèòè Òàíàêà
Õóäîæíèê Ìàè Ìàöóñèòà

УДК 510, 537
ББК 22.1, 22.3
 
Т18

 
Танака К.
Т18 Занимательная электротехника. Математика и электричество / 
 
Кэнъити Танака (автор), Маи Мацусита (худ.); пер. с яп. Е. Т. Хузиятовой. — 
 
М.: ДМК Пресс, 2019. — 268 с.: ил. — (Серия «Образовательная манга»). — 
 
Доп. тит. л. яп.

 
ISBN 978-5-97060-777-0
Студент Аонума учится в университете на электроинженера, но осваивать 
премудрости науки ему тяжело. Всё меняется в его жизни, когда он знакомится с сотрудницей энергетической компании Татибаной. Она объяснит 
нерадивому студенту, что такое электрические цепи, последовательное и 
параллельное соединение, переменный и постоянный ток, а потом перейдёт 
и к более сложным темам: тригонометрическим функциям, комплексным 
числам и др. Под руководством Татибаны Аонума погружается в мир 
прикладной математики, учится решать задачи и понемногу меняет своё 
отношение к нелюбимому предмету.
Манга адресована студентам технических вузов, а также широкому кругу 
читателей.

УДК 510, 537
ББК 22.1, 22.3

Manga de Wakaru Denki Suugaku (Manga Guide: Mathematics for Electrical Engineering)
By Kenichi Tanaka (Author), 
Illustration by Mai Matsushita (Illustrator),
and Ofce sawa, Ltd. (Producer).
Published by Ohmsha, Ltd.
Russian language edition copyright © 2020 by DMK Press.

Все права защищены. Никакая часть этого издания не может быть воспроизведена 
в любой форме или любыми средствами, электронными или механическими, включая 
фотографирование, ксерокопирование или иные средства копирования или сохранения 
информации, без письменного разрешения издательства.

ISBN 978-4-274-06819-5 (яп.) 
Copyright © 2011 by and Ofce sawa, Ltd.
 
ISBN 978-5-97060-777-0 (рус.) 
© Перевод, оформление, издание, ДМК Пресс, 2019

Данное издание предназначено для того, чтобы в доступной форме комикса – форме манги – дать читателям представление о тех областях математики, которые необходимы изучающим электротехнику и электронику. Его 
цель – углубить познания в математике путем решения задач на составление электрических схем и разъяснения сложных для понимания моментов. 
Таким образом, издание может использоваться в качестве относительно 
несложного пособия по математике как теми, кто осваивает электротехнику 
и электронику, так и широким кругом старшеклассников и других учащихся. 
Изучение электротехники и электроники невозможно без овладения 
математикой. Математическое знание является их интегральной частью, их 
научным фундаментом. 
Для тех, кто совсем незнаком с математикой, университетские курсы, 
посвященные электросхемам и электромагнетизму, или курс «основы электричества» в профессиональном училище, вероятно, окажутся непосильной 
задачей. Именно поэтому в последнее время появилось большое количество 
пособий по математике для электроинженеров. Подобные пособия успешно 
используются в том числе и при подготовке к сдаче квалификационных 
экзаменов. 
Данное издание является одним из таких пособий, однако выделяется из 
этого ряда тем, что, во-первых, объясняет математику и основы электричества в форме манги, а во-вторых, насыщено диалогами, в которых внимательно исследуются вопросы, возникающие при изучении электрических 
цепей, и даются на них ответы. При составлении данной книги мы старались не слишком отклоняться от темы, но сохранить повествование понятным и информативным. Мы считаем, что именно таким образом читателю 
будет легче всего овладеть базовыми знаниями. 
Надеемся, что, дочитав это пособие, читатель сможет перейти к более 
сложным материалам для продвинутого уровня обучения (для университета таковыми будут пособия по электрическим схемам и электромагнетизму, 
для профессионального училища – электрическая теория и электроника), 
что послужит дальнейшему профессиональному росту. 
Благодарим за участие в подготовке данного издания всех сотрудников 
отдела разработки издательской компании «Ом», ответственного художника Мацусита Маи, сотрудников «Офис sawa», а также всех читателей. Надеемся, что наше пособие поможет вам в изучении электрических схем и электроники. 

                                                                 Ноябрь 2011 г. ТАНАКА Кэнъити

ВСТУПЛЕНИЕ

VI
Ñîäåðæàíèå

СОДЕРЖАНИЕ

Пролог
ТЕРПЕТЬ НЕ МОГУ ИЛЛЮМИНАЦИЮ!
– 1 –

Глава 1
ЧТО ТАКОЕ 
МАТЕМАТИКА И ЭЛЕКТРИЧЕСТВО?
– 15 –
 
1.   Основные знания об электричестве 
16
 

Термины, связанные с электричеством . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Характеристики электричества, 
   условные обозначения и единицы измерения . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Электрические цепи: основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Катушка индуктивности и конденсатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Закон Ома. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Последовательное и параллельное соединения . . . . . . . . . . . . . . . . 23
 
2.   Что такое переменный ток?  
24
 

Постоянный ток и переменный ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Посмотрим на колесо обозрения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Колесо обозрения и график синуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Единичная окружность и график синуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Кривая синуса и переменный ток. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Частота переменного тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Максимальное, действующее и мгновенное значения 
   переменного тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Выражаем значение переменного тока формулой 
   с использованием sin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
 
3.   Какие знания по математике нужны для электротехники?  
38
 

Обзор необходимых математических знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Система уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Тригонометрические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Ñîäåðæàíèå
VII

Векторы и фазы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Мнимая единица i – воображаемое число. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Основы комплексных чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Строим комплексный вектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Взаимосвязь комплексных чисел и векторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Классификация чисел. Что такое действительные числа? . . . . . . . . . 54

Глава 2
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ 
С ПОМОЩЬЮ РАВЕНСТВ И НЕРАВЕНСТВ
(Часть 1. Постоянный ток)
– 55 –
 
1.   Что нужно обязательно знать, чтобы решать задачи 
56
 

1-е правило Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Что такое падение напряжения?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2-е правило Кирхгофа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1-е правило Кирхгофа: сумма токов равна нулю! . . . . . . . . . . . . . . . 66
2-е правило Кирхгофа: сумма напряжений равна нулю! . . . . . . . . . 67
Суммарное сопротивление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Задача. Найдем совокупности 
   источников постоянного тока и сопротивлений! . . . . . . . . . . . . . 72
 
2.   Задачи на цепь постоянного тока, 
в которых используется система уравнений 
76
 

Системы уравнений и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Матрица и определитель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Что такое определитель матрицы?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Решение системы из двух уравнений матричным методом . . . . . . . . 81
Решение системы из трех уравнений матричным методом . . . . . . . . 85
Измерительный мост (мост Уитстона) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Задача. Выведем систему уравнений для замкнутого контура . . . . . 90
Условие равновесие в цепи измерительного моста . . . . . . . . . . . . . . 94
 
3.   Задачи с неравенствами 
96
 

Свойства неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

VIII
Ñîäåðæàíèå

Задача. Найдите диапазон, пользуясь неравенствами . . . . . . . . . . . . 98
Неравенство первой степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Глава 3
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ВЕКТОР
– 103 –
 
1.   Основные сведения о переменном токе 
106
 

Переменный ток – это сложно?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Векторы, выражающие сдвиг фаз . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Новый способ выразить значение угла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Радианная мера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Омега – угловая скорость и угловая частота . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
 
2.  Использование векторов для переменного тока 
116
 

Какова причина возникновения сдвига фаз?. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Свойства катушки индуктивности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Свойства конденсатора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Свойства резистора (сопротивления) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Элементы цепи переменного тока: подытожим изученное . . . . . . . 124
Что такое импеданс? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Использование векторов с учетом сдвига фаз . . . . . . . . . . . . . . . . 126
То, без чего не будет бытовых электроприборов. . . . . . . . . . . . . . . 130
Коэффициент мощности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Механизм возникновения реактивной мощности . . . . . . . . . . . . . . 137
Формулы соотношения сторон треугольника 
   и тригонометрических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Глава 4
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
– 143–
 
1.   Свойства комплексных чисел 
146
 

Мнимые числа – наши друзья! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Умножение мнимого числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Взаимоотношение между мнимой единицей и сдвигом фаз. . . . . . 150

Ñîäåðæàíèå
IX

Дополнение, касающееся формул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Как возникла мнимая единица? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
 
2.   Важные формулы, которые можно выразить 
через комплексные числа 
156
 

Формула Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Выразим формулы переменного тока через комплексные числа . . 160
Разные способы векторного представления комплексных чисел . . . 162
Дополнительно о векторном представлении . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Способы вычислений с комплексными числами . . . . . . . . . . . . . . . 169
 

3. Задачи с комплексными числами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
 

Задача. Посмотрим, за что нам нужно благодарить 
   комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Преобразуем интегродифференциальные уравнения. . . . . . . . . . . . 175
Мы незаметно овладели дифференциалами и интегралами . . . . . . 178
 

4. Трехфазная цепь переменного тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
 

Обратите внимание на линии электропередач . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Однофазный и трехфазный переменный ток . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Схемы трехфазных цепей переменного тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Задача. Докажем, что сила тока будет равна нулю! . . . . . . . . . . . . 186
Почему воробьев не бьет током? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Глава 5
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ 
С ПОМОЩЬЮ РАВЕНСТВ И НЕРАВЕНСТВ
(Часть 2. Переменный ток)
– 195 –
 

1. Решение квадратных уравнений и неравенств . . . . . . . . . . . . . . . 198
 

Квадратные уравнения и неравенства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Формула для решения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Разложение многочлена на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Решение системы неравенств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

X
Ñîäåðæàíèå

Решение квадратного неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
 

2. Задачи по электротехнической математике, касающиеся радио. . 206
 

Что такое настройка?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Резонансная частота. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Задача. Найдем резонансную частоту! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Усиление и транзистор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Эквивалентная схема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Задача. Найдем диапазон емкости 
   для конденсатора переменной емкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
 

3. Электротехнические задачи на коэффициент мощности . . . . . . . 224
 

Два способа увеличить коэффициент мощности. . . . . . . . . . . . . . . 224
Контроль реактивной мощности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Инверторное управление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Задача. Найдем диапазон частот! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Тепловой насос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Эпилог
– 242 –

Предметный указатель. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Ïðîëîã. Òåðïåòü íå ìîãó èëëþìèíàöèþ!

Какие уж 
тут 
прогулки!

Даже в комнате 
того и гляди от 
холода околеешь. 

Даже не могу 
себя заставить 
перевернуть 
страницу 
в календаре.

Сколько дней 
уже нет 
электричества?

З-з-з...
Д-д-д...

Бр-р-р 

…температура 
опустилась 
до рекордно низких 
значений.
Рекомендуется 
воздержаться 
от прогулок на 
свежем воздухе...

С наступлением 
холодного фронта...

Зима, где-то в Токио 

ЧЕРТ!

ЭТО ЧТО - 
СЕГОДНЯ...

…СОЧЕЛЬНИК?!

Значит, надо было 
просто батарейки 
заменить.

И чего ты теперь 
распелось, как ни 
в чем не бывало? 

Постой-ка...

А правда, сколько 
дней назад 
отключили свет? 

Эй! Радио! 
Почему 
ты вдруг 
замолчало? 

Батарейки сели? 
Сейчас поменяю!
Ты ведь мой 
единственный 
собеседник!

Ого! 

Тра-ла-ла, 
тра-ла-ла...

молчание

Стой!
А-а-а-а-а!

Вжух!

Ãì-ãì...

Ïðîëîã. Òåðïåòü íå ìîãó èëëþìèíàöèþ!

ну и ладно.
Всё равно 
у меня 
никого нет: 
ни друзей, 
ни девушки. 

Скоро будет год, 
как я приехал 
в столицу учиться 
в университете.

По учебе отстал, 
подтянуть меня было 
некому, да еще с работы 
в прошлом месяце уволили.

И вот теперь я сижу 
в холодной комнате, 
без света, закутавшись 
в одеяло. какой отстой.

Черт!
Пусть у всех парочек 
на свидании шнурки 
порвутся! 

…дрожит…

Ох-х-х

Апчхи!

тоска

Трам-пам-пам...
Ла-ла-ла...

…
треск
…

Холодно! Может, 
от того, что я давно 
не ел нормально.

...................

А вдруг я тут 
от холода умру!

И что делать, 
если меня никто 
не найдет.

Конец мне, похоже. 
Ничто мне 
не поможет.