Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Механизм творчества решения нестандартных задач

Покупка
Артикул: 620331.03.99
Книга знакомит читателя с идеями и механизмом усовершенствования аппарата творчества, необходимого для решения нестандартных задач. Дает представление о новом подходе к обучению и рассказывает о методике достижения значимых результатов в этом процессе. На достаточно большом объеме олимпиадных задач показаны различные приемы решений, при этом вычленены и обобщены их особенности. Для учащихся средних общеобразовательных учебных заведений, студентов педагогических университетов и учителей математики.
Дрозина, В. В. Механизм творчества решения нестандартных задач : учебное пособие / В. В. Дрозина, В. Л. Дильман. — 4-е изд. — Москва : Лаборатория знаний, 2020. — 258 с. — (Математическое мышление). - ISBN 978-5-00101-718-9. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1093860 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Учебное пособие

Р е к о м е н д о в а н о
Научнометодическим советом по математике
Министерства образования и науки РФ (Челябинское отделение)
в качестве учебного пособия
для учащихся средних общеобразовательных учебных заведений,
студентов педагогических университетов и учителей математики

4е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2020

МЕХАНИЗМ
ТВОРЧЕСТВА
РЕШЕНИЯ
НЕСТАНДАРТНЫХ
ЗАДАЧ

РУКОВОДСТВО ДЛЯ ТЕХ, 
КТО ХОЧЕТ НАУЧИТЬСЯ
РЕШАТЬ НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ

В. В. Дрозина,  В. Л. Дильман

УДК 51(075.8)
ББК 22.1
Д75

С е р и я о с н о в а н а в 2008 г.
Р е ц е н з е н т ы:

профессор каф. матем. анализа ЮУрГУ, д. ф.-м. н.
В. В. Карачик;
профессор каф. матем. анализа ЧГПУ, д. ф.-м. н.
М. М. Кипнис;
зав. каф. матем. анализа ЮУрГУ, профессор
Л. А. Менихес
Дрозина В. В.
Д75
Механизм творчества решения нестандартных задач : учебное
пособие / В. В. Дрозина, В. Л. Дильман. — 4-е изд., электрон. —
М. : Лаборатория знаний, 2020. — 258 с. — (Математическое мышление). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".—
Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-718-9
Книга знакомит читателя с идеями и механизмом усовершенствования
аппарата творчества, необходимого для решения нестандартных задач. Дает
представление о новом подходе к обучению и рассказывает о методике
достижения значимых результатов в этом процессе. На достаточно большом
объеме олимпиадных задач показаны различные приемы решений, при этом
вычленены и обобщены их особенности.
Для учащихся средних общеобразовательных учебных заведений, студентов педагогических университетов и учителей математики.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Механизм творчества решения нестандартных задач : учебное пособие / В. В. Дрозина,
В. Л. Дильман. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 255 с. : ил. —
(Математическое мышление). — ISBN 978-5-94774-733-1.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-718-9
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

О Г Л А В Л Е Н И Е

П р е д и с л о в и е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

В в е д е н и е
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

ГЛАВА 1
ТЕОРИЯ ПЕДАГОГИКИ ТВОРЧЕСТВА
. . . . . . . . .
10

Тенденции научного исследования творчества
. . . . . .
11

Основные определения творчества
. . . . . . . . . . . .
13

Связь творческого процесса и процесса решения нестандартной задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

Компоненты творчества
. . . . . . . . . . . . . . . . .
16

Научные знания (17). Вид творчества (18). Творческое мышление (18). 

Умения творческой работы (20).

Качества творчества
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

Анализ (25). Синтез (27). Предвидение (32).

Анализ олимпиадной задачи . . . . . . . . . . . . . . .
37

ГЛАВА 2
ФОРМИРОВАНИЕ КАЧЕСТВ, НЕОБХОДИМЫХ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
. . . . . .
40

Умение анализировать . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

Структурное видение (41). Последовательность действий при работе с 
задачами (44). Алгоритм разбора задачи (45). Постановка вопросов (45). 
Виды анализа (47).

Оглавление

Умение синтезировать . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

Ассоциирование (объединение) (50). Эрудиция (50). Умение соединять 
компоненты знаний (53). Отдаленность ассоциируемых понятий (56). 
Смысловое расстояние (57).

Умение предвидеть
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Работа с теоретическим материалом (61). Работа с теорией и над теорией (61). Работа с применением теории (63). Экстраполяция специфиче- 
ского стиля деятельности (67). Абстрактная память (68).

ГЛАВА 3
ВЫХОД ИЗ ЗАТРУДНЕНИЙ, ВОЗНИКАЮЩИХ В ХОДЕ
ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
. .
70

Проблемы и их решение при работе над задачей . . . . .
70

Формы организации обучения решению нестандартных задач
73

ГЛАВА 4
ВОЗРАСТНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОБУЧЕНИЯ
РЕШЕНИЮ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
. . . . . . . .
82

Основные положения
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

Программа последовательного обучения решению нестандартных задач по классам
. . . . . . . . . . . . . .
85

Полное тематическое разбиение обучения решению нестандартных задач по классам
. . . . . . . . . . . . . .
85

Пятый класс (85). Шестой класс (86). Седьмой класс (87). Восьмой 
класс (89). Девятый класс (91). Десятый класс (93).

Программа, представленная олимпиадными задачами
. .
95

Пятый класс (95). Шестой класс (96). Седьмой класс (97). Восьмой 

класс (98). Девятый класс (100). Десятый класс (101).

ГЛАВА 5
СИСТЕМАТИЗАЦИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
В СООТВЕТСТВИИ С ПРОГРАММОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ
. . . . . . . . . 102

Пятый класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Шестой класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Оглавление
5

Седьмой класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Восьмой класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Девятый класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Десятый класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

ГЛАВА 6
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ
РЕШЕНИЮ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ
. . . . . . . . 176

Общие положения обучения решению нестандартных задач
по классам
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Основные аспекты обучения решению нестандартных задач 191

О т в е т ы и у к а з а н и я
. . . . . . . . . . . . . . . 238

С п и с о к л и т е р а т у р ы
. . . . . . . . . . . . . . . 249

П Р Е Д И С Л О В И Е

Коренные преобразования в экономике, произошедшие в
последние годы, повлекли за собой изменение в запросе на
кадры. Этот запрос предполагает наличие специалистов не просто с высоким профессиональным образованием, а способных
не стандартно и поновому — творчески — мыслить. Перед российским образованием на первый план вышла проблема творчества, становление которого происходит во всевозможных условиях и видах деятельности, при использовании различного теоретического материала. Наиболее действенно, как показывают
исследования, это становление творчества осуществляется при
применении математической тематики. Именно в ней сконцентрирована абстракция и, следовательно, именно в математике
в наибольшей степени присутствует та грань, которую следует
преодолеть, чтобы возбудить творчество — перейти от абстракции к действительности. Этот переход способствует эффективному процессу развития творчества, которое используется как
при решении нестандартных задач, так и при выборе оптимального варианта решения проблемы. Поэтому ранее известные
рекомендации по подготовке учащихся к решению нестандартных задач требуют дальнейшей разработки с ориентацией на
современные требования к содержанию образования. Не только
потому, что эта серьезнейшая проблема решалась недостаточно эффективно, но и потому, что зачастую акцент ставится
на том, на чем его ставить не следует. Поэтому в книге есть
главы, посвященные вновь разработанным темам, которые не
затрагивались ранее. Эти темы введены с целью более глубокого рассмотрения механизма формирования аспектов аналитикосинтетического мышления, необходимых для решения нестандартных задач. В связи с этим дан новый подход к обучеПредисловие
7

нию и предложена эффективная методика для решения этой
проблемы.
Начиная эту книгу с педагогики творчества, авторы помогают не только понять глубинные теоретические аспекты творчества — что и для чего нужно. Они стремятся научить читателя
продуктивно думать, поновому воспринимать мир, оценивать
эффективность выбранного ответа и не только успешно справляться с нестандартными задачами, но и разрабатывать план
дальнейших действий для неординарного подхода к решению
проблем.
Целесообразно классифицировать обучение решению нестандартных задач по изучаемым разделам математики, и в
каждом из разделов — по основным направлениям, а также
по уровням сложности в соответствии с возрастом учащегося.
Обучение приобретает систему, которая позволяет не только
не упустить задачи в основных направлениях математического
материала, но и соответствует психологическим особенностям
данного возраста и индивидуальности учащегося, что приводит
к более действенным результатам.
Думается, что описанная в книге методика обучения решению нестандартных задач приобрела систему и, следовательно,
будет полезна в деятельности по данной проблеме. Авторы благодарят директора ППИ ЧГПУ Е. А. Гнатышину за оказанную
помощь в работе над книгой, профессоров механикоматематического факультета ЮУрГУ Л. А. Менихеса и В. И. Заляпина
за ценные замечания и советы, данные по поводу написания
этого пособия.

В В Е Д Е Н И Е

Настоящее пособие является пошаговым руководством по
обучению решению нестандартных задач, а также по самостоятельному проведению или контролю любой деятельности
на основе стимулирования творческих начал у школьников.
Пособие предназначено в первую очередь преподавателямнаставникам, готовящим учащихся к олимпиадам и различным
конкурсам.
Книга будет полезна как в качестве методического пособия
для педагога, так и в качестве дидактического сборника для
учащегося.
Поскольку ряд терминов часто используется во многих значениях, может быть полезным привести именно те их определения, которых придерживаются авторы данной книги.
1. Задачей называют поставленную цель, которую необходимо достичь (в широком смысле слова).
2. Математической задачей называют вопрос, требующий
решения на основе определенных знаний и умений из предметной области математики, а также развития логических аспектов
абстрактной мыслительной деятельности.
3. Нестандартная задача — это задача, заключающая в себе оригинальное, творческое начало, которое не может быть
выявлено репродуктивными методами решения и требует от
учащихся поисков собственных путей решения.
4. Олимпиадная задача — это нестандартная задача из какойлибо области знаний, требующая от обучаемого творческого
напряжения, поиска идей и «открытий».
В конце пособия помещены ключевые вопросы, ответы на
которые помогают более глубоко осмыслить изложенный маВведение
9

териал и акцентируют внимание на его «тонких» и основных
местах.
В разделах, посвященных методике, даны рекомендации, помогающие в целенаправленной работе. Поскольку большинство
из них универсальны и могут быть применимы в любой деятельности, то следует прочесть их все и запомнить.

1
Любую информацию старайтесь осознать.
Подвергнуть сомнению, переработке с целью ее расширения и углубления. Только при таком подходе вы
сможете развить творчество.

Г Л А В А

1
ТЕОРИЯ ПЕДАГОГИКИ
ТВОРЧЕСТВА

В нашей книге мы попытались помочь усовершенствовать
аппарат творчества, необходимый для решения нестандартных
задач. Этот аппарат состоит из ряда компонентов, приводящих
к состоянию «творчество — озарение».

Так, одной из составляющих аппарата творчества является умение создавать всевозможные связи между своими познаниями. Результатом этого умения является образование
разнообразных идей.

Если у человека не сформировано умение конструировать
всевозможные сочетания собственных знаний, связывать их, то
он мыслит стандартно в одном направлении, согласно либо ситуации на данный момент, либо знаниям, которые превалируют над другими знаниями. Хотя часто его эрудиция позволяет
решить проблему неординарно. Например, на вопрос: «Когда
умножение два на два дает в результате сто?» (ответ: когда действия выполняется в двоичной системе счисления) ему трудно
правильно ответить, поскольку человек мыслит «по инерции»,
используя десятичную систему счисления (хотя порой он знает
и другие системы счисления). Однако если ситуация такова, что
на данный момент был сделан акцент на системах счисления,
то при достаточных знаниях ответ будет незамедлительный и
верный.
Итак, одной из особенностей творческой личности является устойчивое умение (превращенное в привычку) создавать
множество различных взаимосвязей между элементами своего

Тенденции научного исследования творчества
11

познания, в результате чего появляются всевозможные идеи и
расширяется возможность выбора лучшего решения проблемы
(творчество).
Большая подборка неординарных нестандартных задач для
учащихся основной школы сконцентрирована в математике. В
различных математических книгах, посвященных олимпиадным
задачам, дается их обзор с решениями и без них, в ряде случаев
разбирается методика решения. Однако сам мыслительный процесс нахождения решения задачи, как правило, не отражается.
И у читателя возникает вопрос, как «додуматься» до решения
задачи. И не менее важный вопрос, на который необходимо обращать внимание при обучении решению нестандартных задач:
каковы составляющие мыслительного процесса от «прочтения»
задачи до ее решения?
Чтение книг подобного рода и неумение решить большинство задач из них приводит к тому, что читатель теряет не только интерес к проблеме, но и веру в себя в интеллектуальном
плане. Не вызывает сомнения, что в дальнейшем у него появится страх перед решением проблемы, связанной с творчеством,
не говоря уже о решении олимпиадных задач. Как избежать
этого? Ответом на данный вопрос и является эта глава.

ТЕНДЕНЦИИ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ТВОРЧЕСТВА

Научить решать нестандартные задачи — это не только интересная, но и достаточно непростая работа, которая предполагает
применение педагогики, методики, психологии, личного творчества и многого другого.
Решение нестандартных задач соотносится с творчеством
личности. Поэтому чем больше учтено существенных элементов, входящих в процесс творчества, тем успешнее будет достигнута цель. Зададимся вопросами: какие основные элементы
входят в аппарат творчества; какова сущность этих элементов; как элементы творчества связаны с решением нестандартных задач? Чтобы ответить на них и на ряд других вопросов, связанных с творчеством и решением нестандартных задач,
уточним, прежде всего, само понятие творчества, охарактеризуем его.

1. Теория педагогики творчества

Творчество — это сложное, многоаспектное понятие, исследование которого ведется в различных направлениях:
— понятие творчества связывается с разделением деятельности на репродуктивно — воспроизводящую и продуктивнотворческую. Ее суть заключается не в получении конечного
продукта, а в нахождении нового пути его получения;
— творчество исследуется как одно из свойств личности. Оно
характеризуется двумя факторами. Первый включает в себя совокупность средств — знаний, умений, навыков, которыми обладает личность. Второй фактор — отношение личности к процессу деятельности, её результату и условиям осуществления, а
также складывающимся связям с другими людьми;
— творчество рассматривается с двух точек зрения: с объективной точки зрения оно определяется конечным продуктом
(научное открытие, изобретение и т. п.); с субъективной — самим процессом (даже если конечный его продукт не обладает
социальной ценностью);
— творчество трактуется и как качества, которыми обладает
творческая личность, а именно как качества, способствующие
переходу от репродуктивно воспроизводящей к продуктивнотворческой самостоятельности;
— творчество рассматривается с различных сторон субъектов, принимающих участие в этом процессе: творчество, которое проявляется преподавателем, и формирование творчества у
учащихся;
— творчество изучается как мышление в его высшей форме.
Существуют и другие направления исследования творчества,
изучение этого понятия весьма многогранно.

Решение
нестандартных
задач
является
творчеством. Следовательно, чтобы научиться решать их,
надо научиться творческой деятельности.

Вопросы и задания для самоконтроля
1. Что
представляет
собой
проблема
«научиться
решать
нестандартные задачи»?
2. Какие существуют направления в исследовании творчества?
3. Что должно учитываться при обучении решению нестандартных задач?

Основные определения творчества
13

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТВОРЧЕСТВА

Проблемой творчества занимаются различные науки: философия (рассматривает вопрос о его сущности), психология (исследует процесс протекания акта творчества), педагогика (опирается и синтезирует точки зрения других наук, дает видение
проблемы со своей точки зрения).
С философской точки зрения творчество как созидательная
деятельность характеризуется неповторимостью (по характеру
осуществления и результату), оригинальностью и общественноисторической (а не только индивидуальной) уникальностью.
Творчество — это деятельность человека, преобразующая природный и социальный миры в соответствии с целями, потребностями человека и человечества на основе объективных законов
деятельности [10].
Творчество в психологии изучается, главным образом, в двух
аспектах: как психологический процесс созидания нового и
как совокупность свойств личности, которые обеспечивают ее
включенность в этот процесс.
Творчество на основе физиологического учения И. П. Павлова и В. М. Бехтерева допускает процессы, проходящие при
пониженном сознании или в сфере неосознаваемого, но лишь
в том случае, если продолжающийся поиск подготовлен соответствующей системой знаний, предшествующей напряженной
умственной работой субъекта. Тогда, по мнению этих ученых,
возможна синтезирующая работа мозга и при отвлечении субъекта от сознательного решения задачи. Этим объясняется факт
ее решения во сне, «вдруг» и т. п. Целенаправленная работа
мозга происходит и во сне, и во время отдыха, когда возникает
ассоциация между явлениями, рассматриваемыми в разных системах понятий. Внезапность таких решений подготовлена всей
умственной деятельностью субъекта, его поисками, сравнениями, анализом и синтезом.
Проблема творчества в психологии, рассматриваемая с точки зрения мыслительного процесса, интеллекта, характеризуется
определенными качествами личности: широтой категоризации,
гибкостью, беглостью и др. Однако следует отметить, что творческая личность определяется не только качествами, присущими интеллектуальной стороне процесса, но также качествами,
относящимися к нравственной стороне личности (настойчивостью, целеустремленностью, трудолюбием и пр.).

1. Теория педагогики творчества

В педагогике творчество трактуется как высшая форма активности и самостоятельной деятельности человека [69, т. 4,
с. 215]. Характерной чертой творческой деятельности является направленность на созидание нового, будет ли это какойнибудь вещью внешнего мира или известным построением ума
или чувства, живущим или обнаруживающимся только в самом
человеке [37]. Можно выделить: а) творчество как «открытие
для других»; б) творчество как «открытие для себя».
Итак, творчество оценивается по социальной значимости и
оригинальности (новизне). Разделяют творчество с объективной
точки зрения, когда оно определяется конечным продуктом (научное открытие, изобретение) и с субъективной точки зрения,
когда оно определяется самим процессом (даже если конечный
его продукт не обладает социальной ценностью).
Решение олимпиадных задач является творчеством, которое определяется самим процессом (результат решенной задачи
не обладает социальной ценностью). Для осуществления творческого процесса необходимо обладать аппаратом творческой
деятельности. Следовательно, чтобы научиться решать нестандартные задачи, надо, прежде всего, научиться творческой деятельности. Творчество проявляется в любой деятельности (совместной, игровой, учебной, самостоятельной и др.), и это дает
широкий выбор методов и форм обучения.

Каждая научная область исследует творчество со
своей позиции: философия рассматривает вопрос о его
сущности, психология исследует процесс протекания акта творчества, педагогика, опираясь и синтезируя точки зрения других
наук, дает свое специфическое видение проблемы.
Творчество проявляется в любой деятельности, поэтому обучение творческой деятельности возможно в любой из них.

Вопросы и задания для самоконтроля
1. Перечислить основные научные направления, которые посвящены изучению творчества.
2. Раскрыть философскую, психологическую сторону исследования творчества.
3. В чем заключается исследование творчества в педагогике?

Связь творческого процесса и процесса решения нестандартной задачи
15

СВЯЗЬ ТВОРЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
И ПРОЦЕССА РЕШЕНИЯ
НЕСТАНДАРТНОЙ ЗАДАЧИ

Обратимся к вопросу о структуре творческого процесса и
структуре процесса решения задачи.
Многочисленные существующие разработки говорят о том,
что творческая деятельность характеризуется рядом стадий (этапов, фаз, ступеней и т. п.). Этому посвящены исследования
Я. А. Пономарева, М. Г. Гарунова, Л. Б. Ительсона и др.
Я. А. Пономарев [77] выделяет следующие этапы:
1) подготовка;
2) созревание;
3) вдохновение;
4) развитие идеи, ее окончательное оформление и проверка.
М. Г. Гарунов [16] насчитывает пять стадий:
1) ознакомительная;
2) поисковая;
3) оперативнореконструктивная;
4) варьирующая;
5) контрольная.
Следует заметить, что в работах, выделяющих ряд сторон
творческого процесса, наблюдается в основном одна и та же
последовательность. Эта же закономерность просматривается,
если рассмотреть структуру решения задач. В математике ученые
Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий и др. [101] представляют этот
процесс в виде восьми этапов:
1) анализ задачи;
2) схематическая запись задачи;
3) поиск способа ее решения;
4) осуществление решения задачи;
5) проверка решения;
6) исследование задачи;
7) формулирование ответа задачи;
8) анализ решения.
Итак, структура творческого процесса и структура процесса решения задач совпадают по своей сути. Обобщая, можно
выделить следующую последовательность творческой деятельности:
1) постановка вопроса (умение увидеть проблему);