Краткий курс высшей математики

КРАТКИЙ КУРС 
ВЫСШЕЙ 
МАТЕМАТИКИ

Учебник

4-е издание, стереотипное

Под общей редакцией
доктора экономических наук, профессора 
К. В. Балдина

Рекомендовано уполномоченным учреждением 
Министерства образования и науки РФ —
Государственным университетом управления 
в качестве учебника для студентов вузов, 
обучающихся по направлению подготовки «Экономика»

Министерство образования и науки Российской Федерации
ФГАУ «Федеральный институт развития образования» 
Регистрационный номер рецензии 22 от 17.02.2009 г.

Москва
Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
2020

УДК 517 (0. 75.8)
ББК 22.16
К78

Авторы:
К. В. Балдин — доктор экономических наук, профессор — введение, гл. 9, гл. 10;
Ф. К. Балдин — научный сотрудник — гл. 3, п. 1.1, п. 1.3;
В. И. Джеффаль — страший преподаватель — гл. 7, гл. 8;
Е. Л. Макриденко — кандидат экономических наук — гл. 2;
А. В. Рукосуев — старший преподаватель — гл. 5, гл. 6.

Рецензенты:
И. В. Минаев — доктор технических наук, профессор, 
заслуженный деятель науки РФ;
А. И. Данилов — доктор экономических наук, профессор.

Краткий курс высшей математики: Учебник / Под общ. 
ред. д. э. н., проф. К. В. Балдина. — 4-е изд., стер. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2020. — 510 с.

ISBN-978-5-394-03643-9

Настоящий учебник содержит систематизированное изложение 
основ математики и написан на базе лекционных курсов, которые авторы преподавали в ряде вузов столицы. 
Для студентов бакалавриата экономических вузов.

К78

ISBN-978-5-394-03643-9
© Коллектив авторов, 2009
© ООО «ИТК «Дашков и К»°, 2009

Сертификат соответствия № РОСС RU.AB51.HO5316
Подписано в печать 10.09.2019. Формат 60 × 84 1/16. 
Печать офсетная. Бумага газетная. Печ. л. 32. 
Тираж 100 экз. 

Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»
129347, Москва, Ярославское шоссе, д. 142, к. 732
Тел.:  8 (495) 668-12-30, 8 (499) 183-93-23
E-mail: sales@dashkov.ru — отдел продаж;
office@dashkov.ru — офис; http://www.dashkov.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .....................................................................................................................................9

Глава 1. 
Основы дискретной математики ..........................................12

1.1. 
Основы теории множеств ..............................................................12

1.2. 
Основные понятия комбинаторики ......................................26

1.3. 
Основы теории графов .....................................................................29

1.4. 
Некоторые сведения 
из математической логики ...........................................................59
Задачи для самостоятельного решения ...........................66
Вопросы для самопроверки ........................................................67

Глава 2. 
Элементы линейной и векторной алгебры ..................69

2.1. 
Матрицы, определители и их свойства ............................69

2.2. 
Системы линейных 
алгебраических уравнений .........................................................90

2.3. 
Собственные числа, собственные векторы 
матриц и квадратичные формы ..............................................97

2.4. 
Некоторые сведения о векторах ..........................................106
Задачи для самостоятельного решения ........................119
Вопросы для самопроверки .....................................................121

Глава 3. 
Функции и пределы .......................................................................123

3.1. 
Некоторые сведения о функциях .......................................123

3.2. 
Предел последовательности. 
Предел функции. Вычисление пределов .....................136

3.3. 
Комплексные числа ........................................................................150

Задачи для самостоятельного решения ........................152
Вопросы для самопроверки .....................................................154

Глава 4. 
Основы дифференциального исчисления.................155

4.1. 
Производная первого порядка. Дифференциал. 
Производные высших порядков ..........................................155

4.2. 
Некоторые сведения о функциях многих 
переменных. Понятие о частной производной ........166

4.3. 
Некоторые приложения 
дифференциального исчисления ........................................176
4.3.1. Формула Тейлора ............................................................176
4.3.2. Правило Лопиталя ..........................................................179
4.3.3. Асимптоты .............................................................................182
4.3.4. Исследование функций с помощью 
производных первого и второго 
порядков, построение их графиков ..................186
4.3.5. Экстремумы функций двух и многих 
аргументов .............................................................................197
4.3.6. Понятие о методе 
наименьших квадратов ...............................................202
Задачи для самостоятельного решения ........................205
Вопросы для самопроверки .....................................................207

Глава 5. 
Элементы интегрального исчисления ..........................210

5.1. 
Первообразная и неопределенный интеграл ...........210

5.2. 
Определенный интеграл .............................................................233

5.3. 
Некоторые сведения 
о несобственных интегралах ...................................................242
5.3.1. Несобственный интеграл первого рода .........242
5.3.2. Несобственный интеграл второго рода .........247

5.4. 
Некоторые приложения 
определенного интеграла ...........................................................251
5.4.1. Вычисление площадей плоских фигур .........251

5.4.2. Нахождение длины дуги кривой ........................257
5.4.3. Объем тела вращения ..................................................260

5.5. 
Приближенное вычисление определенных 
интегралов ...............................................................................................263

5.6. 
Понятие о двойном интеграле ................................................269

5.7. 
Некоторые сведения о тройном интеграле .................289
Задачи для самостоятельного решения ........................295
Вопросы для самопроверки .....................................................299

Глава 6. 
Некоторые сведения о дифференциальных 
уравнениях .............................................................................................301

6.1. 
Основные понятия и определения .....................................301

6.2. 
Дифференциальные уравнения 1-го порядка .........302
6.2.1. Общие понятия ...................................................................302
6.2.2. Дифференциальные уравнения первого 
порядка с разделяющимися 
переменными .......................................................................303
6.2.3. Однородные дифференциальные 
уравнения и дифференциальные 
уравнения, сводящиеся к однородным .........307
6.2.4. Линейные дифференциальные 
уравнения первого порядка. 
Уравнение Бернулли ....................................................315
6.2.5. Уравнения в полных дифференциалах. 
Интегрирующий множитель ..................................323
6.2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро ..............................326

6.3. 
Дифференциальные уравнения 2-го порядка .........331
6.3.1. Общие понятия ...................................................................331
6.3.2. Дифференциальные уравнения 
второго порядка, решаемые 
с помощью понижения порядка ..........................334

6.3.3. Линейные однородные 
дифференциальные уравнения 
второго порядка с постоянными 
коэффициентами ..............................................................339
6.3.4. Линейные неоднородные 
дифференциальные уравнения 
второго порядка с постоянными 
коэффициентами ..............................................................342

6.4. 
Понятие о системах обыкновенных 
дифференциальных уравнений ...........................................350
Задачи для самостоятельного решения ........................355
Вопросы для самопроверки .....................................................358

Глава 7. 
Ряды .............................................................................................................360

7.1. 
Числовые ряды ...................................................................................360

7.2. 
Функциональные ряды ................................................................365

7.3. 
Степенные ряды .................................................................................367

7.4. 
Некоторые приложения степенных рядов .................370
7.4.1. Приближенное вычисление 
определенных интегралов ........................................370
7.4.2. Приближенное решение 
дифференциальных уравнений ..........................372

7.5. 
Понятие о рядах Фурье ...............................................................374
Задачи для самостоятельного решения ........................378
Вопросы для самопроверки .....................................................379

Глава 8. 
Краткие сведения из теории вероятностей .............381

8.1. 
Общие понятия и определения .............................................381

8.2. 
Классификация событий ............................................................382

8.3. 
Алгебра событий ................................................................................383

8.4. 
Вероятность события .....................................................................385

8.5. 
Алгебра вероятностей...................................................................390

8.6. 
Случайные величины ....................................................................394

8.7. 
Понятие о нормальном распределении .........................408

8.8. 
Системы случайных величин .................................................411

8.9. 
Понятие о предельных теоремах ........................................425
Задачи для самостоятельного решения ........................428
Вопросы для самопроверки .....................................................429

Глава 9. 
Задачи линейного программирования 
и методы их решения ...................................................................431

9.1. 
Постановка задачи линейного 
программирвоания ...........................................................................431

9.2. 
Графический метод решения задач 
линейного программирования ...............................................433

9.3. 
Симплекс-метод решения задач 
линейного программирования ...............................................440
9.3.1. Стандартная форма задач линейного 
программирования ..........................................................440
9.3.2. Основные понятия симплекс-метода..............442
9.3.3. Алгоритм симплекс-метода ....................................445
9.3.4. Метод искусственных переменных .................448

9.4. 
Двойственная задача 
линейного программирования ...............................................452

9.5. 
Анализ чувствительности задачи 
линейного программирования ...............................................458

9.6. 
Классификация методов решения задач 
целочисленного линейного программирования ......463

9.7. 
Метод отсекающих плоскостей Гомори ........................465
9.7.1. Метод Гомори для полностью 
целочисленных задач ...................................................465
9.7.2. Метод Гомори для частичноцелочисленных задач ...................................................470

9.8. 
Метод ветвей и границ .................................................................473
Задачи для самостоятельного решения ........................476
Вопросы для самопроверки .....................................................477

Глава 10. Специальные задачи 
линейного программирования .............................................478

10.1. Вербальная и математическая постановка 
транспортной задачи линейного 
программирования ...........................................................................478

10.2. Решение транспортной задачи .............................................482

10.3. Практическое решение задачи 
оптимального планирования ...................................................492

10.4. Многопродуктовая транспортная задача ....................499

10.5. Транспортная модель 
с промежуточными пунктами ................................................503
Задачи для самостоятельного решения ........................506
Вопросы для самопроверки .....................................................507

Литература .........................................................................................................................508

ВВЕДЕНИЕ

Математика проникла практически во все сферы человеческой деятельности. Это объясняется, во-первых, тем, что она 
способна создавать модели изучаемых явлений1, а во-вторых — 
используется для обработки цифровых данных (как средство 
расчета. В настоящее время различные численные и аналитические методы используются не только в естественных, но и в 
гуманитарных науках, например в социологии, лингвистике, 
юриспруденции, экономике.
С помощью математических методов можно более глубоко 
анализировать сложные экономические явления и процессы. 
Проблемы экономики стимулирует разработку новых математических теорий. Например, необходимость решения задач 
экономического планирования привела к разработке теории 
линейного программирования в 30-х гг. XX в. Можно сделать 
вывод о том, что глубокое изучение экономических процессов и 
управление этими процессами невозможны без знания современного математического аппарата. Математическая подготовка современного специалиста в области экономики имеет свои 
специфические особенности, связанные со сложностью проведения финансово-экономических операций и принятия рациональных управленческих решений по ним.
Как наука математика имеет определенное математическое мировоззрение, однако для специалистов в области экономики, менеджмента, психологии и юриспруденции она является прежде всего мощным инструментарием при проведении 
необходимых расчетов и исследований, а также фундаментом, 

1 Математической моделью изучаемого явления называется логическая конструкция, которая отражает геометрические формы этого явления и количественные соотношения между его числовыми параметрами.

на котором строится современное здание высшего профессионального образования.
Материал учебника представлен в виде десяти глав и предназначен для студентов 1-го и 2-го курсов экономических специальностей и направлений вузов.
В первой главе “Основы дискретной математики” представлены основы теории множеств, введены элементы комбинаторики, основы теории графов и элементы математической 
логики. Вторая глава “Элементы линейной и векторной алгебры” посвящена матрицам, векторам, определителям и их 
свойствам, а также действиям над ними. Приведены методы 
решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 
В третьей главе “Функции и пределы” даны определение функции, способы ее задания и основные свойства, а также понятия предела, методы его вычисления и понятие о комплексных 
числах. В четвертой главе “Основы дифференциального исчисления” кратко рассмотрены такие фундаментальные понятия, 
как производная, дифференциал, их геометрический смысл, 
дано понятие о функции многих переменных и о частных производных, а также приведены некоторые сведения о приложениях дифференциального исчисления (формула Тейлора, 
правило Лопиталя, исследование функции одного и многих аргументов с помощью производной). В пятой главе “Элементы 
интегрального исчисления” раскрыто содержание интегрального исчисления, приведены определения и свойства неопределенного, определенного, несобственного и кратного интегралов, 
а также способы их вычисления. Рассматриваются некоторые 
приложения интегрального исчисления. Шестая глава “Некоторые сведения о дифференциальных уравнениях” написана на основе материалов, изложенных в предыдущих главах. 
В ней представлены обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядка, а также методы их решения. 
Особое место занимает решение линейных уравнений второго 
порядка с постоянными коэффициентами. Дано также понятие 
о решении систем дифференциальных уравнений. В седьмой 
главе “Ряды” имеются сведения о числовых, функциональных 

и степенных рядах и рядах Фурье. Восьмая глава “Краткие 
свединия из теории вероятностей” посвящена основам исследованиям случайных событий, величин и векторов. Основные 
понятия дают возможность на новом качественном уровне исследовать процессы и явления экономической жизни. В девятой главе “Задачи линейного программирования и методы их 
решения” рассматриваются задачи оптимизации, крайне необходимые в практике экономических расчетов и задачах математического программирования. Десятая глава “Специальные 
задачи линейного программирования” является заключительной, в которой представлены методы решения транспортной 
задачи и специальной многопродуктовой задачи по оптимизации маршрутов перевозок.
Представленный курс математики охватывает большинство разделов, изучаемых студентами экономических специальностей и направлений вузов. При написании книги авторы придерживались современных точек зрения на понятия, о которых 
идет речь, и не отступали от общепринятых взглядов. Авторы 
стремились изложить материал в доступной для студентов 
форме. Однако авторы издания не претендуют на исчерпывающую широту охвата учебного материала из-за ограничений на 
объем книги.

Глава 1. 
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ

1.1. Основы теории множеств

Начала теории множеств заложил в XIX в. немецкий математик Георг Кантор. Понятие множества является неопределенным, внешним по отношению к математике, поэтому точного определения оно не имеет.
Г. Кантору принадлежит высказывание, которое можно считать интуитивным определением математики: “Множество есть 
многое, мыслимое как единое”. Это определение можно сформулировать несколько иначе. Множество — собрание различных 
объектов, которые различимы нашей интуицией. Данное определение множества требует введения трех символов. Первый 
символ должен представлять само множество. В качестве него 
мы будем использовать заглавные буквы латинского алфавита 
А, В, С, … Второй символ — это элемент самого множества. Их 
мы будем обозначать маленькими буквами латинского алфавита, т. е. a, b, c … . А третий символ должен однозначно сопоставить 
элемент самому множеству. В качест ве этого символа применяют знак “∈”, который является первой буквой греческого слова 
εtri (быть). Следовательно, запись а ∈ А, говорит о том, что элемент а принадлежит множеству А, а запись b ∉ В, говорит о том, 
что элемент b не принадлежит множеству В.
Заметим, что множества могут быть любой природы. Так 
можно говорить о множестве всех студентов МГУ, о множестве всех ядерных боеголовок РФ, о множестве всех спиральных 
галактик нашей Вселенной и т. д. Однако дальнейшее развитие 
теории множеств, которое опиралось на его интуитивное определение, привело к ряду противоречий (парадоксов). Извест

ный логический парадокс Рассела мы приводим в этом пункте. 
А о семантическом парадоксе лжеца рассказано в подразд. 1.4.
Заметим, что в логических парадоксах используют только 
понятия теории множеств, а в семантических парадоксах применяются такие понятия, как “характеризовать”, “истинный” 
и др., которые совсем не обязаны применяться в математическом языке. Поэтому логические парадоксы представляют куда 
большую угрозу для математиков, чем семантические.
Парадоксы теории множеств определились уже к началу 
XX в. Они показали, что построения, основанные на интуитивных определениях, не могут рассматриваться в математике как 
основополагающие. Поэтому надо определить множество так, 
чтобы затем при доказательствах теоретических построений 
не прибегать к интуитивным понятиям.
Выход из этой ситуации был найден в построении аксиоматической системы, которая бы опиралась на интуитивное определение множества, но затем не прибегала бы к нему в дальнейших определениях и доказательствах теорем.
К настоящему времени создано несколько аксиоматических систем теории множеств, которые в чем-то исключают, а 
в чем-то и дополняют друг друга. Одной из таких систем является система Цермело (Z-система), которая состоит из семи 
аксиом, причем их нумерация не во всех источниках совпадает. 
Приведем формулировки этих аксиом по книге [5].
Z1. Аксиома объемности.
Если все элементы множества Х принадлежат также множеству Y, а все элементы множества Y принадлежат также 
множеству Х, то данные множества равны.
Z2. Аксиома пары.
Для произвольных х и y существует множество, единственными элементами которого является х и у, т. е. {х; у}.
Z3. Аксиома суммы.
Для произвольных множеств X и Y существует единственное множество Z, элементами которого являются все элементы 
множества X и все элементы множества Y и которое никаких 
других элементов не содержит.

Z4. Аксиома степени.
Для любого множества А существует множество всех его 
подмножеств 2А.
Z5. Аксиома выделения.
Путь А — произвольное множество, а ∈ А и F(a) — функция со значениями на множестве {0, 1}. В этом случае существует множество С, для которого а ∈ C.
Z6. Аксиома бесконечности.
Существует по крайней мере одно бесконечное множество — натуральный ряд чисел.
Z7. Аксиома выбора.
Для семейства Х непустых непересекающихся множеств 
существует множество Y, имеющее только один общий элемент 
с каждым из множеств Р ∈ X.
Следовательно, предполагается существование некоторой 
функции выбора ϕ, которая определяет получение единственного общего элемента с каждым из множеств семейства Х.
Аксиому Z7 некоторые математики разделяют, а другие не 
признают.
Если все элементы множества Х являются также элементами множества Y, то множество Х есть подмножество множества Y. Это записывается следующим образом Х ⊂ Y или Y ⊃ Х.
Множество всех подмножеств множества Y называется 
степенью этого множества и обозначается 2y или Ρ(Y).
Множество Х и Y являются равными (состоят из одних и 
тех же элементов) Х = Y, если Х ⊂ Y или Y ⊂ Х.
Чтобы подчеркнуть тот факт, что рассматриваемое множество Х может совпадать с множеством Y, записывают Х ⊆ Y.
Вводится понятия пустого множества (∅), которое не содержит ни одного элемента. Например, множество решений 
уравнения х2 + 4 = 0 есть пустое множество.

Способы задания множеств

а) Словесное описание.
Например, множество Х есть множество всех прямых, проходящих через точку А плоскости .

б) Перечисление элементов, входящих в множество.
Например, Х = {-7, 0, 12, 123, 700}. Элементы в приведенном 
списке могут располагаться в любом порядке и должны быть 
различны, т. е. множества Х = {5, 5, 7} и Y = {5, 7} равны между 
собой. Если во множестве есть совпадающие элементы, то его 
называют семейством Z = (5, 9, 9, 12, 12, 23) и заключают в круглые скобки.
в) Описание свойств элементов, входящих в множество.
Х = {x | [(х − 3)(х − 5)] > 0}, т. е. элементами множества Х 
будут только те числа, которые удовлетворяют неравенству 
(х − 3)(х − 5) > 0.
Если обозначить через Q(х) свойства элементов, входящих 
во множество Х, то для задания этого множества в общем случае можно использовать следующую запись Х = {х | Q(х)}, т. е. 
множество Х состоит из тех элементов х, которые удовлетворяют свойству Q(х). Множество, которое содержит все рассматриваемые в некоторой задаче множества, называется универсальным и обозначается U.
Например, в качестве U можно взять множество N (заметим, что в некоторых монографиях оно начинается не с единицы, а с нуля).

Z = {z N | z < 6}, т. е. Z = {1, 2, 3, 4, 5}.

Для сокращения записи в математике используют кванторы всеобщности, существования, существования и единственности:
— квантор всеобщности (перевернутая первая буква английского слова All);
— квантор существования (перевернутая первая буква 
английского слова Exists);
! — квантор существования и единственности.
Например, запись (х Х) Р(х) означает: для всех х из 
множества Х справедливо Р(х); запись (у Y) R(у) — существует у из множества Y такое, что справедливо R(у); запись 
(!z Z) М(z) — существует единственное z из множества Z 
такое, что справедливо M(z).

Операции над множествами

Пусть задано универсальное множество U. Множество 
всех его подмножеств есть 2U. Заданы также множества Х и Y, 
причем Х 2U и У 2U.
Дополнением множества Х называется множество Хэлементов множества U, которые не принадлежат Х:
Х= {х U | х Х}.
Графически операции над множествами (рис. 1.1) можно 
изображать с помощью кругов Эйлера (диаграмм Венна):

Х
U — 
изображается 
прямоугольником;
Х — 
круг;
Х— заштрихованная область 
прямоугольника.

Рис. 1.1

U

XПересечение (X Y) двух множеств Х и Y состоит из элементов, принадлежащих обоим этим множествам (рис. 1.2).
Объединение (Х Y) двух множеств Х и Y состоит из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств Х 
и У (рис. 1.3).

X Y={x | x X и x Y}

Х Y

U

X
У

Рис. 1.2

X Y={x | x X или x Y}

Х Y

U

X
У

Рис. 1.3
Разность (Х\Y) двух множеств Х и Y состоит из элементов, 
принадлежащих X, но не принадлежащих Y (рис. 1.4).