Краткий курс теоретической механики

Г. Н. Яковенко 

Краткий курс
теоретической
м е х а н и к и

Учебное пособие  

6е издание., электронное

Р е к о м е н д о в а н о 

высших учебных заведений 
Учебнометодическим объединением

Российской Федерации
по образованию в области 
прикладных математики и физики 
в качестве учебного пособия 
по теоретической физике 
(теоретической механике)
для студентов высших учебных заведений 
по направлению
«Прикладные математика и физика»

Москва
Лаборатория знаний
2020

УДК 531(075.8)
ББК 22.21
Я47

Рецензенты:
кафедра прикладной математики
Нижегородского государственного университета,
член-корреспондент РАН, д. ф.-м. н. Ю. Н. Павловский
Яковенко Г. Н.
Я47
Краткий курс теоретической механики : учебное пособие /
Г. Н. Яковенко. — 6-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 119 с. — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-699-1
Излагаются первоначальные сведения по теоретической механике, представленные в двух разделах книги: кинематика и динамика.
Помимо традиционных вопросов, обсуждаются теория скользящих
векторов, движение систем переменного состава, кватернионное описание движения твердого тела.
Для студентов, аспирантов и преподавателей университетов, физико-технических и инженерно-физических вузов. Курс также будет
полезен специалистам, желающим углубить свои знания в области
механики.
УДК 531(075.8)
ББК 22.21

Деривативное издание на основе печатного аналога: Краткий
курс теоретической механики : учебное пособие / Г. Н. Яковенко. —
3-е изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. — 116 с. : ил. —
ISBN 978-5-9963-0442-4.

Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту 05-01-00940 и
Совета Программ поддержки ведущих научных школ
по гранту НШ-2094-2003.1

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-699-1
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается конечномерная механическая система, состоящая из конечного числа материальных точек и конечного числа
твёрдых тел. Каждый представитель системы — точка или тело —
совершает движение и испытывает воздействие извне. Соответственно, механика состоит из трёх разделов. Первый — кинематика —
изучает движение вне зависимости от причин его возникновения.
Второй — статика — изучает взаимодействие с внешней средой и характеристики этого взаимодействия. В настоящем курсе раздел статики специально не выделен и вопросы, связанные с ним, подробно
не рассматриваются. Наконец, третий раздел — динамика — изучает связь движения и воздействия извне.
Механическая система движется в трёхмерном евклидовом пространстве — системе отсчёта. Предполагается, что есть возможность различать и именовать точки пространства.
Теоретическая механика строится аксиоматически. Некоторые
утверждения — аксиомы, постулаты, законы, начала — принимаются
за истину. Они будут формулироваться по мере необходимости.
Прочие утверждения следуют из аксиом (правильные) или аксиомам
противоречат (неправильные).
Отметим некоторые особенности курса. В разделе «Кинематика»
достаточно подробно обсуждены криволинейные координаты. В кинематике твёрдого тела обращено внимание на то, что «элементарной частицей» движения тела является чистое вращение. Рассмотрены статико-кинематические аналогии, статический винт, кинематический винт. Изложено кватернионное описание положения твёрдого
тела, введены параметры Родрига—Гамильтона и кинематические
уравнения в них. В разделе «Динамика» изложение основных законов проведено одновременно в инерциальной и неинерциальной
системах отсчёта. Обсуждение движения под действием центральных сил проделано как в потенциальном случае, так и в непотенциальном. В динамике твёрдого тела приведена интерпретация
Пуансо, изучены свободная регулярная прецессия и вынужденная
регулярная прецессия, в том числе в случае Лагранжа.

Введение

Нестандартные обозначения объяснены в тексте.
Предполагается, что

• функции, участвующие в построениях, — достаточно гладкие;
• рассуждения, определения, утверждения — локальны.

Продолжение настоящего «Краткого курса теоретической механики» в «Кратком курсе аналитической динамики» [15]. Автор
благодарит А. Р. Шакурова за помощь в оформлении.

Движенье — счасти-и-е моё,
движе-е-нье...»
«В путь», из цикла «Прекрасная
мельничиха»,
Опус 25, 1823 год

Музыка Франца Шуберта,
стихи Вильгельма Мюллера

КИНЕМАТИКА

ГЛАВА 1

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§ 1. ТРАЕКТОРИЯ, СКОРОСТЬ, УСКОРЕНИЕ

Определение 1.1. Материальная точка — геометрическая точка, которой поставлено в соответствие положительное число m —
масса.

В системе отсчёта (см. введение) фиксируется точка O, а положение материальной точки A в каждый момент времени t определяется
радиус-вектором r: начальная точка радиус-вектора r в точке
O, материальная точка A совпадает с конечной точкой r. Задать
движение материальной точки A — задать тем или иным способом
вектор-функцию r(t). Вектор-функция r(t) определяет три кинематические характеристики движущейся точки: траекторию, скорость,
ускорение.

Определение 1.2. Траектория материальной точки — годограф
радиус-вектора r(t).

Введём геометрические характеристики траектории [13, § 22].
Фиксируем на траектории точку B, от которой вычисляется длина
дуги s, и направление положительного отсчёта дуги (рис. 1.1). Таким
образом, каждой точке A траектории ставится в соответствие число
s (положительное или отрицательное) — расстояние по траектории
между точками A и B. Радиус-вектор, проведённый к некоторой
точке траектории, также становится функцией длины дуги s: r(s).
По этой функции вычисляются орты сопровождающего трёхгранника.

s = −1
B

O

s

r
A
τ

C

n

s = 7

Рис. 1.1

§ 1. Траектория, скорость, ускорение
7

Орт касательной
τ = dr

ds.
(1.1)

Подчеркнём, что τ — орт:
(τ, τ) = 1
(1.2)

(здесь и далее используются обозначения: ( , ) — скалярное произведение векторов, [ , ] — векторное). Орт τ располагается на касательной к траектории и направлен в сторону увеличения длины дуги.

Орт нормали.
Вводится вектор кривизны

K = dτ

ds = d2r

ds2 ,
(1.3)

который характеризует скорость поворота орта касательной. Орт
нормали n — орт, задающий направление вектора кривизны:

K = dτ

ds = Kn = 1

ρn,
K = 1

ρ.
(1.4)

Вместо величины K кривизны удобно использовать радиус кривизны ρ — радиус окружности, аппроксимирующей траекторию
в данной точке (рис. 1.1). Центр C этой окружности называется
центром кривизны. Орт n направлен к центру кривизны C. Из
(1.2)–(1.4) следует ортогональность ортов τ и n:

0 = d

ds (τ, τ) = 2(dτ

ds , τ) = 2(K, τ) = 2 1

ρ (n, τ).

Вместо термина «орт нормали» используется также термин «орт
главной нормали».

Орт бинормали
b вводится так, чтобы три вектора {τ, n, b} —
сопровождающий трёхгранник — представляли собой правый ортонормированный базис: b = [τ, n].

Одним из способов задания движения материальной точки —
r(t) — является задание траектории r(s) и движения по ней s(t).

Определение 1.3. Скорость материальной точки определяется
следующим образом
V = dr

dt = ˙r.
(1.5)

Из формул (1.5) и (1.1) следует

V = dr

dt = dr

ds
ds
dt = τ ds

dt = V τ,
(1.6)

Глава 1. Кинематика точки

т.е., во-первых, скорость V направлена по касательной к траектории,
во-вторых, величина скорости V равна производной по времени t от
пройденного пути:
V = ds

dt .
(1.7)

Определение 1.3 скорости открывает возможность вычислять производные по времени от векторов a(t) разной природы.

Теорема 1.1 (А. Резаль, [1, 10]). Пусть A и B начальная и конечная точки вектора a(t) = AB. Справедлива следующая формула

da
dt = ˙a = VB − VA.
(1.8)

□ Введём неподвижную в системе отсчёта точку O и отложим от
неё радиус-векторы rA и rB, проведённые к точкам A и B (рис. 1.2).
Утверждение (1.8) теоремы следует из определения 1.3 и формул

a = rB − rA,
˙a = ˙rB − ˙rA = VB − VA.
■

Определение 1.4. Ускорение материальной точки определяется
следующим образом

W = dV

dt = ˙V = d2r

dt2 = ¨r.
(1.9)

Из формул (1.6) и (1.9) следует

W = dV

dt = d(V τ)

dt
= dV

dt τ + V dτ

dt .

Вычисления с учётом (1.4) и (1.7)

dτ
dt = dτ

ds
ds
dt = n

ρ V

приводят к результату

W = dV

dt τ + V 2

ρ n = Wτ + Wn :
(1.10)

A
O
rA

rB

B

a(t)

Рис. 1.2

§ 2. Декартовы координаты
9

разложению ускорения W по ортам сопровождающего трёхгранника. Компоненты разложения называются: Wτ — касательное или
тангенциальное ускорение, Wn — нормальное ускорение, —
и имеют величины
Wτ = dV

dt ,
Wn = V 2

ρ .
(1.11)

Так как векторы τ и n ортогональны, справедливо равенство

W 2 = W 2
τ + W 2
n.
(1.12)

§ 2. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ

Одна из возможностей именовать точки системы отсчёта (см. введение) — задание правого ортонормированного базиса: в пространстве
фиксируются такие четыре точки O, A1, A2, A3, что для базисных
векторов ik = OAk справедливо равенство

(ik, il) = δkl =
1, k = l,
0, k ̸= l.
(2.1)

«Фамилия, имя, отчество» произвольной точки B — коэффициенты
xk = (r, ik) разложения радиус-вектора r = OB по базису ik : r =
3k=1
xkik (рис. 2.1). Далее числа x1, x2, x3 для краткости называются

декартовыми координатами (вместо «прямоугольные декартовы»).
С применением декартовых координат проиллюстрируем понятия, введённые в § 1.

Пример 2.1. Точка P совершает движение по окружности радиуса
R (рис. 2.2). Положение точки определяет радиус-вектор r = CP =
R(i1 cos ϕ + i2 sin ϕ), где ϕ — угол между векторами r и i1. Длина
дуги OP равна s = Rϕ, откуда следует равенство ϕ = s/R. По

A3

A2

A1

i3

i1

i2

r
B

O

Рис. 2.1

R
R

i2
i2
n
ϕ

i1
i1

P
P
V

Wn

Wτ

τ

C
C

Рис. 2.2

Глава 1. Кинематика точки

формуле (1.1) вычисляется орт касательной

τ = dr

ds = dr

dϕ
dϕ
ds = −i1 sin ϕ + i2 cos ϕ.

По формуле (1.3) вычисляется вектор кривизны

K = dτ

ds = dτ

dϕ
dϕ
ds = − 1

R (i1 cos ϕ + i2 sin ϕ) = − 1

R n,

откуда следуют выражения для радиуса кривизны ρ и орта нормали n:
ρ = R,
n = −(i1 cos ϕ + i2 sin ϕ).

По формуле (1.5) скорость точки равна

V = ˙r = R ˙ϕ(−i1 sin ϕ + i2 cos ϕ) = R ˙ϕτ,

а величина скорости при движении точки по окружности равна V =
R ˙ϕ. По формуле (1.9) ускорение точки равно

W = ˙V = R ¨ϕ(−i1 sin ϕ + i2 cos ϕ) − R ˙ϕ2(i1 cos ϕ + i2 sin ϕ) =

= R ¨ϕτ + R ˙ϕ2n,

а величины касательного и нормального ускорений при движении
точки по окружности равны Wτ = R ¨ϕ, Wn = R ˙ϕ2.

§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ (ОБОБЩЁННЫЕ) КООРДИНАТЫ

Положение материальной точки в системе отсчёта определяется положением радиус-вектора r, начальная точка которого неподвижна,
а конечная точка совпадает с материальной точкой. Положение
точки в трёхмерном пространстве можно задавать тремя числами:
r(q1, q2, q3).

Определение 3.1. Числа q1, q2, q3 называются криволинейными
(обобщёнными) координатами при выполнении двух условий.

1. Три числа q1, q2, q3 находятся в взаимно однозначном соответствии с любым положением точки в системе отсчёта.
2. Фиксируем точку q0
1, q0
2, q0
3 в системе отсчёта. Две координаты
q0
2, q0
3 оставим фиксированными, а одной координате q1 дозволим
изменяться. Конечная точка радиус-вектора r(q1, q0
2, q0
3) прочертит
кривую, которая называется координатной линией, соответствующей координате q1 (рис. 3.1). Вектор H1(q) = ∂r(q)/∂q1 — касательный вектор к координатной линии (здесь и в подобных случаях