Механика. Методы решения задач

В. В. ПОКРОВСКИЙ

МЕХАНИКА

Москва
Лаборатория знаний 
2 0 2 0

методы решения
задач

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

4-е издание, электронное

УДК 531
ББК 22.2я73
П48

Покровский В. В.
П48
Механика. Методы решения задач : учебное пособие /
В. В. Покровский. — 4-е изд., электрон. — М. : Лаборатория знаний, 2020. — 256 с. — Систем. требования: Adobe
Reader XI ; экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст :
электронный.
ISBN 978-5-00101-719-6
Пособие посвящено методам решения задач по курсу общей
физики (раздел «Механика»). Большинство рассматриваемых задач взято из сборника задач И. Е. Иродова «Задачи по общей физике». Каждый раздел предваряется кратким изложением теоретических вопросов, приводятся основные формулы. Описывается
методика решения задач, которая может быть применена в данном
разделе.
Для студентов физических специальностей вузов.
УДК 531
ББК 22.2я73

Деривативное издание на основе печатного аналога: Механика. Методы решения задач : учебное пособие / В. В. Покровский. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. — 253 с. : ил. —
ISBN 978-5-9963-0175-1.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении
ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-719-6
c○ Лаборатория знаний, 2015

2

Введение

Механика — одна из древнейших наук, занимающихся изучением
простейшей формы движения тел в пространстве и во времени.
Поэтому первым понятием механики является движение, под которым понимают изменение положения тела в пространстве. Для того
чтобы охарактеризовать положение тела в пространстве, необходимо
иметь какое-то другое тело, относительно которого мы и будем измерять положение изучаемого тела. Тело или систему тел, неподвижных друг относительно друга, мы будем называть телом отсчета.
Для численных характеристик движения тела относительно тела
отсчета с ним связывают какую-либо систему координат: декартову, сферическую, цилиндрическую и т. д. В процессе движения
положение тела изменяется не только в пространстве, но и во
времени — в любой закон механики явно или завуалированно входят
расстояние и промежутки времени. Поэтому наряду с измерением
расстояния необходимо измерение времени, которое производится
с помощью часов. Тело отсчета, связанная с ним система координат
и синхронизованные между собой часы образуют систему отсчета.
Без системы отсчета описание движения невозможно.
Реальные объекты в природе настолько сложны, что многие их
черты и связи приходится отсекать, иначе их количественное изучение невозможно. Поэтому при рассмотрении движения физических
объектов используются идеализированные понятия:
• материальная точка — это тело, размерами которого в условиях
данной задачи можно пренебречь;
• абсолютно твердое тело — это система материальных точек,
расстояние между которыми не меняется в процессе движения.
Поскольку в природе не существует ни материальных точек, ни
абсолютно твердых тел, а также невозможен абсолютно упругий или
абсолютно неупругий удар и т. п., при описании каких-либо физических систем требуется решить, какие параметры системы мы можем
идеализировать. Пусть, например, металлический шарик подвешен

Введение

на вертикально висящей нити. Тогда, если нас интересует период
колебаний этого маятника, мы можем рассматривать шарик как
материальную точку. Если мы хотим рассчитать период крутильных
колебаний этого шарика вокруг вертикальной оси, то мы должны
рассматривать его как твердое тело с учетом его размеров и массы.
Если же мы хотим вычислить частоту звуковых колебаний, которые
будут совершаться шариком после того, как мы по нему ударили,
то нам необходимо учитывать как размеры шарика, так и упругие
свойства материала, из которого он изготовлен.
Из вышесказанного вытекает, что всякое описание физической
системы охватывает лишь ее часть, а не всю ее целиком.
Механика ставит перед собой две основные задачи:
1. Изучение различных движений и обобщение полученных результатов в виде законов движения — законов, с помощью которых
может быть предсказан характер движения в каждом конкретном случае.
2. Отыскание общих теорем или принципов, присущих любой системе независимо от конкретного рода взаимодействий между
телами системы.

Глава 1

Кинематика

Кинематика — раздел механики, где изучаются способы описания движений независимо от причин, обусловливающих эти движения. Эта глава в основном посвящена кинематике точки.
Для описания движения точки необходимо знать ее положение
в любой момент времени. Это можно сделать разными способами.
Векторный способ. Положение интересующей нас точки задают
радиусом-вектором −→r , проведенным из начала координат O в точку.
При этом проекции rx, ry, rz радиуса-вектора на оси OX; OY ; OZ
совпадают с координатами x; y; z точки:

−→r = rx
−→i + ry
−→j + rz
−→k = x−→i + y−→j + z−→k .

При движении материальной точки конец вектора −→r
описывает
линию, которая называется траекторией точки. Векторный способ
описания движения точки проиллюстрирован на примере задачи 14.
Теперь введем понятие вектора скорости материальной точки.

Рис. 1

Пусть за промежуток времени Δt точка A переместится
из точки 1 в точку 2 (рис. 1).
Тогда вектор скорости −→v может
быть определен как

−→v = lim
Δt→0
Δ−→r
Δt = d−→r

dt .
(1)

Таким образом, вектор скорости −→v есть первая производная от −→r (t)
и направлен в любой момент времени по касательной к траектории
движения точки A. Модуль вектора скорости

v = |−→v | =

d−→r
dt

.
(2)

Глава 1. Кинематика

Если тело движется с переменной скоростью, то такое движение
характеризуется ускорением, т. е. скоростью изменения скорости

−→a = d−→v

dt .
(3)

Средние векторы скорости и ускорения точки:

⟨−→v ⟩ = Δ−→r

Δt ,
(4)

⟨−→a ⟩ = Δ−→v

Δt .
(5)

Теперь получим выражение для −→v и −→r для любого момента времени.
Из (3) следует, что d−→v = −→a dt, откуда

Δ−→v =

t0

−→a dt = −→a t.

Однако, чтобы найти −→v (t), необходимо знать скорость −→v 0 в начальный момент времени, так как Δ−→v — это приращение скорости, а не
сама скорость −→v (t). Поэтому
−→v = −→v 0 + −→a t.
(6)

Интегрируя (1) и проводя аналогичные рассуждения, легко получить выражение для −→r (t):

−→r = −→r 0 + −→v 0t +
−→a t2

2
.
(7)

Координатный способ. Задается зависимость координат движущейся точки как функций времени. В рамках данного пособия мы
будем рассматривать движение тел только в декартовых координатах, поэтому в любой момент времени t

x = x(t);
y = y(t);
z = z(t).

Зная эти зависимости и используя соотношения (1) и (3), легко
получить

vx = dx

dt ;
vy = dy

dt ;
vz = dz

dt ;

ax = dvx

dt = d2x

dt2 ;
ay = dvy

dt = d2y

dt2 ;
az = dvz

dt = d2z

dt2 ,

Теоретические основы
7

а также
|−→v | =

v2x + v2y + v2z;

|−→a | =

a2x + a2y + a2z.
(8)

Координатный способ, как правило, используется в задачах, где
требуется найти уравнение траектории, модули скорости и ускорения
как функции t, угол между −→a и −→v и т. д. Координатный способ
проиллюстрирован на примерах решения задач 6; 12; 15; 19.
Естественный способ. Когда траектория точки известна заранее,
координата точки определяется длиной дуги l, т. е. расстоянием
от выбранного начала координат до точки (дуговой координатой).
Знак координаты устанавливается произвольно. Движение точки
определено, если известны ее траектория, начало координат, положительное направление отсчета, как правило указываемое стрелкой
на рисунке, и закон движения точки, т. е. зависимость l(t).
Определенные трудности в «естественном» способе вызывает
введение понятия скорости и ускорения. Скорость точки

−→v = vτ−→τ .
(9)

Здесь −→τ — единичный вектор, связанный с движущейся точкой и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания
дуговой координаты. Обратите внимание на то, что −→τ — переменный
вектор, зависящий от величины дуговой координаты l (рис. 2), а

vτ = dl

dt ,
(10)

vτ — величина алгебраическая.

Рис. 2

Глава 1. Кинематика

Продифференцировав (9) по t, находим ускорение точки:

−→a = d−→v

dt = dvτ

dt
−→τ + vτ
d−→τ
dt = dvτ

dt
−→τ + vτ
d−→
τ
dl
dl
dt =

= dvτ

dt
−→τ + −→v 2
τ
d−→τ
dl ,
(11)

где dl/dt = vτ.
Можно показать, что
d−→τ
dl =
−→
n
ρ ,

где −→
n — единичный вектор нормали к траектории, ρ — радиус кривизны.
Тогда (11) приобретает вид

−→a = dvτ

dt
−→τ + dvτ

ρ
−→n .
(12)

Именно по такой формуле вычисляют ускорение, когда задача решается естественным способом. Первое слагаемое в (12) называется
тангенциальным ускорением, а второе — нормальным. Отсюда модуль полного ускорения a равен

a =

a2τ + a2n =

˙v2 +

v2

ρ

2
,
(13)

где ˙v — производная модуля скорости по времени. Естественный
способ проиллюстрирован на примере решения задачи 20.
При решении задач на вращение материальных точек вокруг оси
следует помнить, что в этом случае вместо скорости −→v используется
понятие угловой скорости −→
ω , определяемой как

−→
ω = d−→
ϕ
dt ,
(14)

где dt — время, за которое тело повернется на угол d−→
ϕ . Вместо
ускорения −→a угловое ускорение −→
β
−→
β = d−→
ω
dt .
(15)

Связь между линейной и угловой скоростями устанавливается следующим соотношением:
v = ωρ,
(16)

где ρ — радиус окружности, по которой движется тело.

Рекомендации по решению задач
9

Задачи кинематики подразделяются на два класса.
Прямая задача — когда по заданному закону движения требуется
определить скорость и ускорение тела. Например, задачи 11, 12,
13 и т. д.
Обратная задача — когда по заданному ускорению материальной
точки −→a , ее начальной скорости −→v 0 и положению −→r 0 в начальный
момент времени t = t0 требуется определить −→v и −→r в любой момент
времени t. К обратным задачам относятся задачи 10; 14; 15 и т. д.

Рекомендации по решению задач

1. Внимательно ознакомьтесь с условиями задачи. Иногда после
решения у студента остаются «лишние» данные. В этом случае
можно гарантировать, что задача решена неверно. Лишних данных
в условии задачи попросту не бывает. Наоборот, зачастую недостающие данные требуется получить из соответствующих таблиц или
справочников.

2. Решайте задачу в общем виде, после чего проверьте размерность. Неверная размерность — свидетельство неверного решения,
хотя правильная размерность не является гарантией верного решения.

3. Соотносите полученный ответ со здравым смыслом. Например, если вы рассчитываете расстояние, которое пролетает диск,
брошенный спортсменом с какой-то начальной скоростью v0 под
углом α к поверхности Земли, и полученный результат составит
около 1000 метров, то ответ явно неверен, даже если спортсмен —
многократный чемпион мира и Олимпийских игр. Рассчитанная
скорость движения какого-либо материального тела не может быть
равна или превышать скорость света и т. п.

Рис. 3

4. В задачах типа задачи 7 студенты часто путают перемещение Δ−→r
и путь тела S, а иногда
считают, что речь идет об одной и той же величине.
Поясним эти понятия на простом примере. Пусть
тело подброшено вертикально вверх с начальной скоростью v0 и находится в полете время t. За это время
оно пройдет расстояние S1 до наивысшей точки
подъема и опустится вниз на расстояние S2 (рис. 3).
Тогда величиной перемещения является величина
Δr = S1 −S2. В общем виде Δ−→r = −→r (t+Δt)−−→r (t).

Глава 1. Кинематика

Путь же тела складывается из пути максимального подъема S1
и свободного падения S2, т. е. S = S1 + S2.

5. Сравнительно большой класс задач в кинематике составляют
задачи о переправе, когда известны какие-либо данные из набора:
ширина и скорость течения реки, скорость передвижения пловца
(лодки) относительно воды, а требуется найти либо минимальную
скорость пловца (лодки) относительно воды, чтобы из точки A
попасть в точку B, находящуюся на другом берегу, либо угол
движения по направлению к течению, при котором пловца (лодку)
снесет на минимальное расстояние.

Рис. 4

Рассмотрим
сначала
движение
лодки по реке с общих позиций. Для
этого
введем
следующие
обозначения: −→v — скорость лодки относительно
воды, −→u — скорость течения реки. Тогда
скорость лодки относительно берега
−→
V = −→v + −→u .

Как видно из рис. 4, лодка попадает
из точки A в точку B, только если направление вектора −→
V совпадет с направлением прямой AB, но это возможно
при различных значениях вектора −→v . Например, при значениях
векторов −→v = −→v 1 или −→v = −→v 2. Однако из рисунка видно, что минимальное значение скорости −→v будет при условии, что треугольник
CDE будет прямоугольным. Треугольники AFB и CDE подобны,
поэтому можно записать

vmin

u
=
l
√

l2 + S2
или
vmin =
lu
√

l2 + S2 .

Интересна физическая интерпретация этого результата. Чтобы
попасть из точки A в точку B, нам необходимо направить лодку
перпендикулярно AB и обеспечить ее скорость движения относительно воды −→v min. В результате за время движения лодку снесет на
расстояние S, и она боком приблизится к намеченной цели.
Мы рассмотрели вопрос, с какой минимальной скоростью должна
плыть лодка, чтобы из точки A на одном берегу попасть в точку B
на другом. Теперь рассмотрим, на какое расстояние S снесет лодку
при известном |−→v |. Здесь возможны два случая: v > u и v < u.