Математический анализ. Том 2

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ -  БАКАЛАВРИАТ 

серия основана в 1 ЭЭБ г.

Г.С. ЖУКОВА 
М.Ф. РУШАЙЛО

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

УЧЕБНИК 

ТОМ 2

Под редакцией Г.С. Жуковой

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 
профессионального образования в качестве учебника 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по естественно-научным и экономическим направлениям подготовки 
(квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 2 от 03.02.2020)

Э л е к т р о н н о 
znanium.com

Москва
ИНФРА-М

2020

УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73 
Ж86

Издание подготовлено

при финансовой поддержке Федеральной целевой программы 
«Государственная поддержка интеграции высшего образования 
и фундаментальной науки на 1997-2000 годы»

Р е ц е н з е н т ы :

Краснова С.А., доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института проблем управления имени В.А. Трапезникова Российской академии наук;

Самохин В.Н., доктор физико-математических наук, профессор 
Московского политехнического университета

Жукова Г.С.

Ж 86 
Математический анализ : учебник. Том 2 /  Г.С. Жукова, М.Ф. Рушайло ; под ред. Г.С. Жуковой. — Москва : ИНФРА-М, 2020. — 518 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1072172.

ISBN 978-5-16-015967-6 (общ.)
ISBN 978-5-16-015968-3 (print, т. 2)
ISBN 978-5-16-108352-9 (online, т. 2)
Цель учебника — помочь бакалаврам овладеть основными понятиями 
и методами исследования математического анализа. В томе 2 изучаются 
аналитическая геометрия в пространстве; дифференциальное исчисление функции нескольких переменных; локальный, условный, глобальный 
экстремумы функции нескольких переменных; кратные, криволинейные 
и поверхностные интегралы; элементы теории поля; числовые, степенные 
ряды, ряды Тейлора и Маклорена, ряды Фурье; приложения к анализу 
и решению прикладных задач. Большое внимание уделено сравнению 
рассматриваемых методов, правильному выбору схемы исследования задач, анализу сложных ситуаций, возникающих при изучении указанных 
разделов математического анализа.

Для самостоятельной подготовки и контроля качества знаний приведены контрольные вопросы.

Для преподавателей, студентов и аспирантов вузов, изучающих математический анализ.

УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-16-015967-6 (общ.)
ISBN 978-5-16-015968-3 (print, т. 2) 
ISBN 978-5-16-108352-9 (online, т. 2)

© Жукова Г.С., Рушайло М.Ф., 
2000, 2020

В В Е Д Е Н И Е

Математические методы исследования щючно вошли во все 
области че ювеческой деятельности. В настоящее время математика превратилась в повседневный инструмент исследований не 
только таких наук, как механика, физика, химия, астрономия, но и 
экономика, биология, медицина, языкознание. Все это повышает 
интерес к математике со стороны смежных наук, использующих 
различный объем математических знаний, и ставит новые задачи 
в изучении самой математики.

Вторжение математики во все области научной и практической деятельности продолжается с возрастающей интенсивностью Идет прогрессирующий процесс математизации всех наук. 
Этому в значительной мере способствует быстрое развитие вычислительной техники и ее применение в самых различных областях науки и техники.

В настоящее время решение большинства возникающих задач 
выполняется на компьютерах с помощью различных вычислительных алгоритмов с использованием "серьезной"математики.

Для анализа многих задач технического, химического, экономического или биологического характера необхоОимо, прежде всего, 
чтобы эти задачи были переведены на математический язык, после чего они анализируются и решаются.

Совершенно очевидно, что наиболее трудной частью в этой 
цепи является именно "перевод" задачи на математический язык. 
Это объясняется тем, что для правильной математической формулировки даже самой простой проблемы необходимо знание не 
только той науки, из которой возникла задача, но необходимы определенная математическая культура и математические знания.

Требования к математической подготовке современного специалиста постоянно возрастают Кроме хороших знаний по своей 
специальности е му необходимо знать и уметь использовать в сво3

ей практической деятельности возможности вычислительной 
техники, современные математические метоОы, уметь выбирать 
наиболее подходящие к анализу его задачи комбинации различных 
известных методов.

Эти обстоятельства предъявляют к современному специалисту повышенные требования в их математической подготовке: 
знание теории и овладение навыками решения задач по основным 
разделам высшей математики, умение изложить их основы на 
четком алгоритмическом языке, знание преимуществ и недостатков того или иного метода решения.

Настоящий учебник написан на базе лекций и практических занятий по математическому анализу, читаемых во втором семестре студентам первого курса всех факультетов и колледжей 
Российского химико-технологического университета им. Д.И. 
Менделеева.

При его написании авторы руководствовались принципом достаточно краткого, но четкого изложения, доступного вчерашнему вьтускнику средней школы. Большое внимание уделено разбору 
примеров по изучаемым темам, анализу различных методов их решения.

В том 2 книги «Математический анализ» вошли следующие разделы:

• 
дифференциальное исчисление функций нескольких 
переменных',

• 
интегральное исчисление функций нескольких 
переменных,

• 
числовые ряды',

• 
функциональные ряды;

• 
ряды Фурье.

Содержание учебника разбито на параграфы и пункты. Нумерация формул, теорем, свойств, замечаний, примеров, рисунков, 
таблиц в каждом параграфе самостоятельная.

В конце книги приведен перечень теоретических вопросов для 
самоконтроля.

4

Как показал многолетний опыт педагогической работы в вузах, материал, включенный в параграфы учебника, можно изложить и обсудить подробно, в умеренном темпе со студентами во 
время занятий за 20 лекций:

Л е к ц и я
1
Понятие функции нескольких переменных. 
Предел функции в точке.
Частные производные (§1, §2 п.1-2).

Л е к ц и я
2
Дифференцируемость функции нескольких 
переменных. Полный дифференциал (§2 п.3-7).

Л е к ц и я
3
Дифференцирование функций, заданных неявно. 
Производные и дифференциалы высших 
порядков (§2 п. 8-9, §3).

Л е к ц и я
4
Производная по направлению, градиент функции нескольких переменных (§4).

Л е к ц и я
5
Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области (§5).

Л е к ц и я
6
Двойной интеграл (§6 п. 1-5).

Л е к ц и я
7
Замена переменных в двойном интеграле. 
Приложения двойного интеграла. 
Тройной интеграл (§6 п. 6-9, §7).

Л е к ц и я
8
Криволинейные интегралы по координатам. 
Формула Грина (§8 п.1-4).

Л е к ц и я
9
Независимость криволинейного интеграла от 
пути интегрирования. Потенциал векторного 
поля (§8 п.5-8).

Л е к ц и я
10
Поверхностные интегралы Поток вектора 
через поверхность (§9).

Л е к ц и я
11
Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов (§10).

5

Л е к ц и и

12-13

Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости (§11).

Л е к ц и я
14
Знакочередующиеся 
ряды. 
Знакопеременные 
ряды (§12).

Л е к ц и я
15
Степенные ряды (§13).

Л е к ц и я
16
Ряды Тейлора и Маклорена (§14).

Л е к ц и я
17
Примеры разложения функций в ряды Маклорена. Основные разложения (§15).

Л е к ц и я
18
Применение степенных рядов (§16).

Л е к ц и и

19-20

Ряды Фурье (§ 17).

Рекомендуется преподавателям и студентам вузов, изучающим 
высшую математику.

6

Г л а в а  I 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ 
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ _ !  ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

1. ПРОСТРАНСТВО R ". МНОЖЕСТВА В R "

О п р е д е л е н и е  1. Пространством п измерении R" называется множество упорядоченных групп (хг,...,х и) из п дейсгви- 

тельных чисел, п > 1.

С геометрической точки зрения R" отождествляют с множеством точек вида М (х ,,...,х п).Числа Х ,,...,Х П называют координатами точки: число п — размерностью пространства.

В частности, R ] = R  — множество действительных чисел, или 

совокупность точек М ( х ) числовой оси; R 2 -  множество упорядоченных пар чисел (х, у \  где х ,у  е R  , или совокупность точек 

М ( х ,у )  плоскости Оху . R — множество упорядоченных троек 

чисел 
(х, } \ z ), где 
х, у\ z 
R . 
или 
совокупность 
точек 

М  (х, у, z ) пространства ()xyz

7

Напомним, что R" -евклидово пространство. В нем определено расстояние р ( М ,М п ) (или | М М 0 |) между любыми его точками М (х ,,...,х п) и М 0 ( х ° х °), например, по формуле:

|ММ0 |= л/5Г-х1°)2+... + (х„“- ^ 7 
Введем используемую далее терминологию.

О п р е д е л е н и е  2. 
Множеством в пространстве R n 
называется любая часть этого пространства.

О п р е д е л е н и е  3. Открытым (замкнутым) шаром в R" 

с центром в точке М 0 е  R" радиуса г > 0 называется множество точек М  е  R " , удовлетворяющих условию

\ММ0 \<г (\ММ0 |<г).

О п р е д е л е н и е  4. Окрестностью точки М 0 G R " называется любой открытый шар с центром в этой точке. (Обычно используют обозначение Vr(M 0), где г-радиус шара.)

О п р е д е л е н и е  5. Точка А/ 0 е  D  a  R n называется

внутренней точкой множества D  из R" , если она входит в D  
вместе с некоторой своей окрестностью.

Точка М 0 е D  о  R " называется граничной точкой множества

L) из R " , если в любой ее окрестности есть точки как принадлежащие D . так и не принадлежащие D  .

О п р е д е л е н и е  6. Множество!) С R" называется открытым. если все его точки -  внутренние.

Множество D , полученное из D  присоединением всех его 
граничных точек, называется замкнутым.

8

О п р е д е л е н и е  8. Множество D  С  R " называется односвязным. если любые его две точки можно соединить непрерывной 
кривой, все точки которой принадлежат D.

О п р е д е л е н и е  9. Областью в R " называется любое односвязное открытое 
множество в R " . Замкнутой областью в

R " называется замкнутое множество, полученное из области D  
присоединением всех ее граничных точек.

2. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ 

КООРДИНАТЫ

В пространстве R " положение точки можно охарактеризовать 
различными наборами из п чисел в зависимости от того, какая 
система координат используется. Продемонстрируем сказанное на 

примерах R 2 и R 3.

Введем в R 2 вместо прямоугольных координат X ,у какие- 
нибудь новые координаты и, V по формулам

и = а ( х , у ) ,  v = Ь(х, у )

(или х  = А(и, v), 
у  = В(и, v)).

Если зафиксировать значение V и считать и переменной, то по 
указанным формулам получим некоторое семейство линий на 
плоскости Оху.

Аналогично, если зафиксировать значение и , считая v переменной, получим другое семейство линий на плоскости.

О п р е д е л е н и е  7. Множество D  с_ i? ” называется ограниченным. если его можно заключить внутрь некоторого шара.

9

Линии указанных семейств называются координатными линиями в системе координат (и, v). При этом положение точки

М 0(х0,у 0) определяется парой (w0,v 0), где и 0 = а (х 0, у 0) и 

v0 = Ь(х0, у 0 ), называемой криволинейными координатами точки

м 0.

Линии этих двух семейств могут быть как кривыми линиями, 
так и прямыми линиями.

В точке М 0 координатные оси 
Ои 
и 
О х 
выбирают на 
касательных к соответствующим координатным линиям. Орты этих 
координатных осей обозначают обычно еи , 
ev.

Система координат называется ортогональной криволинейной 

системой координат, если в любой точке плоскости R 2 координатные линии ортогональны, то есть 
ёи _L ev.

Например, 
в 
полярной системе координат 
и — р  

(О < Р <  -ню) — расстояние от полюса О до точки М , v = <р 

(О < ф <  2 л ) — угол между полярной осью и лучом О М . Связь 

между прямоугольными координатами (х, у )  и полярными координатами (р,(р) точки М  задается формулами:

x  = p c o s ( p ,  
y = p s m ( p .

В этом случае любая точка М 0 ( р 0, (р0 ) находится на пересечении двух координатных линий: р  — p f) (то есть окружности с 

центром в точке О радиуса р 0) и ф — ф0 (то есть луча, проходящего через точку М 0 и выходящего из полюса О ). Полярная 
система координат является ортогональной (см. рис. 1).

10