Введение в алгебру. Задачи и решения

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования

«Сибирский федеральный университет»

Т.Ю. Войтенко
Е.Н. Яковлева

ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ
Задачи и решения

Учебное пособие

Рекомендовано УМО РАЕ по классическому университетскому 

и техническому образованию в качестве учебного пособия 

для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям подготовки: 

44.03.05, 44.03.01 — «Педагогическое образование»
(Профили подготовки: «Математика и физика», 
«Информатика», «Информатика и экономика»)

Москва
Издательство «ФЛИНТА» 

2017

2-е издание, стереотипное

УДК 512.5(075.8)
ББК  22.144я73
         В65

В65       Введение в алгебру. Задачи и решения [Электронный ресурс] : учеб.
   пособие / Т.Ю. Войтенко, Е.Н. Яковлева. — 2-е изд., стер. — М. :
       ФЛИНТА, 2017. —  148 с.

ISBN 978-5-9765-2986-1 
Учебное пособие по курсу высшей алгебры, изучаемому в первом 
семестре, охватывает материал следующих разделов: множества и отношения, бинарные алгебраические операции, группы, кольца, поля и 
комплексные числа. Пособие может быть использовано для первичного 
ознакомления с изучаемым материалом, для подготовки к практическим 
занятиям, для закрепления полученных знаний, умений и навыков.

Для студентов различных форм обучения по направлению «Педа
гогическое образование».

УДК 512.5(075.8)
ББК 22.144я73

© Войтенко Т.Ю., Яковлева Е.Н., 2017
ISBN 978-5-9765-2986-1 

© Издательство «ФЛИНТА», 2017

Войтенко Т.Ю. 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

2.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

3.
. . . . . . . .
24

4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

6.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

7.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

, , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

, , , . : , , , , .

. . ,
. .

, -.

, , .

, . . . .
1.
. . , (, , ..), . : , .

: A, B, C, . . .

, , , , ().

a ∈ A , a A, a A. a A, a /∈ A. ∈ .

, ,  ∅.

: (), .

, Z , 2Z , .. , 2, 2Z = {z ∈ Z | z = 2x x ∈ Z}.

, B A, B A; B ⊆ A. , A B. ⊆ . B A.

1. A B , ; A = B (A B , A ̸= B). , A = B ⇔ A ⊆ B B ⊆ A.

:
1) A ⊂ B: B, A;
2) A ⊆ B: B, A.

A ⊂ B, A ̸= B A ̸= ∅, A B.

, A B , :
⋄ A ∪ B = {x | x ∈ A x ∈ B};

⋄ A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B};

⋄ A \ B = {x | x ∈ A x /∈ B}.

B ⊆ A, A \ B B A.

-U, U 1. 7

. U \ A A A.

. . 1 , A, B.

&%

'$

&%

'$

&%

'$

&%

'$

&%

'$

&%

'$
p p p p p
p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p p p p p p p p p p p p
p p p p p
p p p p p

B
A

A ∪ B

pp p p
p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p p p
p p p pp pp

B
A

A ∩ B

p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p p p p
p p p p p

B
A

A \ B

. 1

1. , , .

. , ∅1 ∅2, ∅1 ̸= ∅2. A A ∩ ∅ = ∅. , ∅1 ∩ ∅2 = ∅2 = ∅1.
□

2. , {∅} ̸= ∅.

. {∅} ∅, ∅ . □

3. A, B C,
A ∩ B ̸= ∅, A ∩ C = ∅, (A ∩ B) \ C = ∅?

1. . A∩B ̸= ∅, , x ∈ A ∩ B. x ∈ A A ∩ C = ∅, , x /∈ C.
, , x ∈ (A ∩ B) \ C (A ∩ B) \ C ̸= ∅, .
, A, B C . □

4. , A, B, C
, ..

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

. : 1) A ∪ (B ∩ C) ⊆
⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 2) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C).

1) x ∈ A ∪ (B ∩ C). x ∈ A x ∈ B ∩ C.
x ∈ A, x ∈ A ∪ B x ∈ A ∪ C. ,
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). x ∈ B ∩ C, x ∈ B x ∈ C, , x ∈ A ∪ B x ∈ A ∪ C, ,
x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

, x, x ∈ A ∪
∪(B ∩ C) , x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), .. A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

2) x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). x ∈ A ∪ B
x ∈ A ∪ C. , x ∈ A x ∈ B x ∈ A x ∈ C. , x ∈ A x ∈ B ∩ C, , ,
x ∈ A ∪ (B ∩ C).

, , x, x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), x ∈ A ∪ (B ∩ C), .. (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C).

1) 2), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪
∪B) ∩ (A ∪ C). □

5. , A, B

A ∪ B = A ∩ B.

1. 9

. x ∈ A ∪ B. x /∈ A ∪ B, , x /∈ A x /∈ B. , x ∈ A
x ∈ B, , , x ∈ A ∩ B, .. A ∪ B ⊆ A ∩ B.

. x ∈ A ∩ B. x ∈ A x ∈ B, , x /∈ A x /∈ B. , x /∈ A∪B, , , x ∈ A ∪ B. ,
A ∩ B ⊆ A ∪ B.

, . □

1.1. :
) {x ∈ N | x < 6};
) {x ∈ Z | |x| ≤ 2};
) {x ∈ R | x2 − 3x + 2 = 0};
) {(x, y) | x ∈ Z, y ∈ Z, x2 + y2 = 1};
) 0 30, .

1.2. :
) ;
) , 3;
) 246, 2;
) , 1;
) {1, 6, 11, 16, 21, 26}.
1.3. :
) {2, 4, 5} {2, 4, 2, 5};
) {1, 2, 5} {{1}, {2}, {5}};

1. ) {1, 3} {{1, 3}};

)
{
x ∈ Z | x ... 4 x ... 6
}
{
x ∈ Z | x ... 24
}
;

)

{
x ∈ R
1

x−2 < 1
}
{x ∈ R | x > 3};
) {x ∈ R | 6 ≤ x ≤ 5} ∅?
1.4. :
) {x2 | x ∈ Q} ⊆ {x4 | x ∈ Q};
) {4k + 1 | k ∈ Z} ⊆ {2k + 1 | k ∈ Z};
) {x ∈ R | x2 + x + 2 = 0} ⊆ ∅;
) {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0} ⊆ {(x, y) ∈ R2 | xy > 0}?
1.5. {{1, 2}, {3}, 1}.
1.6. ∈ ⊆ , :
) 1 N;
) {1, 2} N;
) {1, 2} {1, 2, {1}, {2}};
) {1, 2} {1, 2, {1, 2}};
) ∅ R;
) ∅ {∅}.
1.7. , A ⊆ B, B ⊆ C C ⊆ A, A = B = C.

1.8. A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A, B:
) A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5}, U = {0, 1, . . . , 9};
) A = {x | x 2}, B = {x | x 3},
U = N.

1.9. A, B C, :
) A ⊆ B B ⊆ C;
) A ⊆ A ∩ B;
) A ∪ B ⊆ A;
) A = A \ B.

1. 11

1.10. , A∪B = A , B ⊆ A.

1.11. , A∩B = B A, B = ∅.

1.12. , A B A ∩ B ⊆ A ∪ B.

1.13. , :
) A ∪ B = A ∪ C, B = C;
) A ∩ B = A ∩ C, B = C;
) A ∪ B = A ∪ C A ∩ B = A ∩ C, B = C?
1.14. -:
) A ∪ A = A ();
) A ∩ A = A ();
) A ∪ B = B ∪ A ();
) A ∩ B = B ∩ A ();
) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C ();
) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C ();
) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ();
) A ∩ B = A ∪ B;
) A ∪ A = U;
) A ∩ A = ∅;
) A ∪ ∅ = A;
) A ∩ ∅ = ∅.
1.15. :
) A ∪ (A ∩ B) = A;
) A ∩ (A ∪ B) = A;

1. ) A \ B = A ∩ B;
) A ∪ (B \ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);
) (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A;
) A ∩ B = A ∩ (A ∪ B);
) (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) = A;
) (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A \ B) ∪ (B \ A);
) (A \ B) ∪ (A \ B) = (A ∪ B) \ (A ∩ B);
) (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B);
) (A \ B) ∪ (A \ B) = (B ∪ A) ∩ (A ∪ B);
) A \ (A \ B) = A ∩ B;
) B ∪ (A \ B) = A ∪ B;
) B ∩ (A \ B) = ∅;
) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C);
) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C);
) A \ B = A ∪ B;
) (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C);
) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C.
1.16. X, :
) A \ X = A A ∪ X = U;
) A \ X = ∅ A ∪ X = A.
1.17. , :
) A ∪ B ⊆ C ⇔ A ⊆ C B ⊆ C;
) (A \ B) ∪ B = A ⇔ B ⊆ A;
) (A ∪ B) \ B = A ⇔ A ∩ B = ∅;
) A ∪ B = A \ B ⇔ B = ∅;
) A ⊆ B ⊆ C ⇔ A ∪ B = B ∩ C.
1.18. A B A ˙−B = (A \ B) ∪ (B \ A). :
) A ˙−B = B ˙−A;
) A ˙−(B ˙−C) = (A ˙−B) ˙−C;
) A ∩ (B ˙−C) = (A ∩ B) ˙−(A ∩ C);

1. 13

) A ˙−(A ˙−B) = B;
) A ˙−∅ = A;
) A ˙−A = ∅.
1.19. :
) A \ B ∩ (A ∪ B);
) ((A ∩ B) ∪ (B ∩ C)) ∩ ((A ∩ B) ∪ B);
) A \ B ∩ (A ∪ B);
) (A ∩ B ∩ C ∩ D) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)) ∪ (C ∪ D).