Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация

Г. В. Алексеев, И. И. Холявин, М. В. Гончаров

ЧИСЛЕННОЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ

Рекомендовано УМО по образованию в области финансов, учета 
и мировой экономики в качестве учебного пособия для студентов, 
обучающихся по направлению «Экономика» и специальностям 
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит» и «Финансы и кредит»

2-е издание,
исправленное и дополненное

Санкт-Петербург
ГИОРД
2014

УДК 681.3.06
ББК 32.973.26
 
А47

Рецензенты: М. С. Красс, доктор физико-математических наук,
 
профессор Финансового университета при Правительстве
 
Российской Федерации;
 
Л. П. Булат, доктор физико-математических наук,
 
профессор Института холода и биотехнологий НИУ ИТМО;
 
В. А. Левизов, доктор экономических наук, профессор
 
Государственного института экономики, финансов,
 
права и технологий

Алексеев Г. В.
А47 
 
Численное экономико-математическое моделирование и оптимизация : 
учеб. пособие / Г. В. Алексеев, И. И. Холявин, М. В. Гончаров. — 2-е изд., испр. 
и доп. — СПб. : ГИОРД, 2014. — 272 с. : ил.

ISBN 978-5-98879-178-2

В книге изложен системный подход к использованию современного математического инструментария экономистами. Кроме теоретической базы, в нём даны 
основы и примеры использования математического аппарата в современных экономических приложениях, причём каждая тема иллюстрируется экономическими 
примерами. Подробно представлено решение примеров и задач экономического 
содержания с помощью одной из современных систем компьютерной математики — системы MathCAD, которая делает преподавание экономических дисциплин 
более эффективным и позволяет сосредоточить внимание студента на логике методов 
и алгоритмов, освобождая их от необходимости освоения громоздких вычислительных процедур. 
Издание для организации самостоятельной работы и вычислительного практикума студентов комплектуется компакт-диском с MathCAD-программами для решения 
наиболее распространённых задач экономико-математического моделирования. 
Предназначено в качестве учебного пособия для студентов по специальностям 
«Финансы и кредит» и «Бухгалтерский учёт, анализ и аудит», а также может быть 
полезно студентам и аспирантам других экономических специальностей и направлений.

УДК 681.3.06
ББК 32.973.26

 
© Г. В. Алексеев, И. И. Холявин, 2011
ISBN 978-5-98879-178-2 
© ООО «Издательство „ГИОРД“», 2014

Оглавление

Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ БАЗА МОДЕЛИРОВАНИЯ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 1. Векторы. Декартова система координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§ 2. Определители и их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

§ 3. Матрицы и действия над ними  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

§ 4. Система линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

§ 5. Некоторые линейные модели в экономике и их решение
с помощью MathCAD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
 
И ОПТИМИЗАЦИЯ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 6. Задачи математического программирования.
Линейное программирование.  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

§ 7. Элементы нелинейного программирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

§ 8. Задача о назначениях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

§ 9. Транспортная задача по критерию времени  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

§ 10. Решение транспортных моделей с помощью MathCAD . . . . . . . . . . 138

§ 11. Задачи целочисленного программирования  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

§ 12. Основы сетевого планирования и управления (СПУ). . . . . . . . . . . . 157

§ 13. Принятие решений в условиях неопределённости.
Элементы теории игр  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

§ 14. Задача о кратчайшем пути  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

§ 15. Задача коммивояжёра. Метод ветвей и границ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

§ 16. Параметрическое программирование  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

§ 17. Основы динамического программирования  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Список литературы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

ВВЕДЕНИЕ

Одним из основных направлений современного этапа развития общества является трансфер высоких технологий из самых разных областей знаний в образование, а через него — в реальный сектор экономики. 
Экономическое образование не является исключением и, может быть, 
в первую очередь должно готовить креативно мыслящих компетентных 
специалистов.
Обучение навыкам использования современных пакетов специализированных компьютерных программ можно отнести к одному из инновационных подходов в освоении экономической науки. С этой целью 
в образовательных программах в вариативной части часто используются 
курс «Математические методы исследования в экономике» и спецкурсы 
«Основы использования пакета MathCAD в экономических расчётах», 
«Решение оптимизационных задач с помощью MathCAD», «Элементы 
теории игр на основе MathCAD». Включение этих курсов обеспечивает 
повышение уровня профессиональной подготовки будущих специалистов, поскольку это неразрывно связано с обучением навыкам решения 
творческих практических и научных задач.
Математические методы исследования в экономике ориентированы 
на решение задач, которые можно корректно описать с помощью той 
или иной математической модели для получения оптимального решения. 
Понятие «математические методы» тесно связано с понятием «математические модели», так как математические методы можно применять лишь 
для описания отвечающей им математической модели.
В данном пособии представлено решение основных практически значимых задач экономико-математическими методами (линейное и нелинейное программирование, транспортная задача и задача о назначении, сетевые методы и целочисленное программирование) с помощью 
одной из современных систем компьютерной математики — системы 
MathCAD.
MathCAD — это мощный инструмент, позволяющий сосредоточить 
внимание студента на логике методов и алгоритмов, освобождая от необходимости освоения громоздких, незапоминающихся и потому бесполезных вычислительных процедур.
MathCAD является эффективной системой для работы с формулами, 
числами, текстами и графиками, может выполнять вычисления любой 

Введение

степени сложности, по своему объёму допустимые на персональном компьютере. Помимо привычных численных расчётов, MathCAD способен 
делать символьные (аналитические) преобразования, что позволяет решить большинство математических задач в виде формул. Возможность 
интеграции MathCAD с такими мощными системами автоматизации 
расчётов, как Mathematica, Statistica, SPSS, Maple, MatLab и другие делает 
его незаменимым инструментом в руках не только студента, но и специалиста, решающего сложные современные задачи экономики.
Представленное учебное пособие может успешно использоваться 
при изучении математики и её экономических приложений в высших 
учебных заведениях, осуществляющих экономическое образование. Благодаря большому числу решенных задач предлагаемое учебное пособие 
может служить справочником для специалистов, работающих в различных областях экономики.
Всё учебное пособие состоит из двух глав и приложения. В главе 1 рассмотрены основы линейной алгебры и аналитической геометрии и некоторые линейные экономические модели. В главе 2 рассмотрены основные 
задачи математического программирования и математических методов 
в экономике. В приложении, выполненном в виде компакт-диска, даны 
листинги некоторых программ в MathCAD-14*.
Каждая глава разбита на параграфы, пункты и подпункты. В пособии используются общепринятые обозначения; наряду с этим начало 
решения примера или доказательства теоремы обозначается значком , 
а конец — значком .

* Размещенные на диске фрагменты программ прошли неоднократную проверку как 
при написании учебного пособия, так и при выполнении контрольных заданий студентами. Если у вас возникнут какие-то вопросы, пишите авторам: gva2003@rambler.ru
(Алексеев Геннадий Валентинович, Холявин Иван Иванович).

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ БАЗА МОДЕЛИРОВАНИЯ

§ 1. Векторы. Декартова система координат

1.1. Понятие вектора

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок AB
с начальной точкой А и конечной точкой В, который можно передвигать 
параллельно самому себе.
Определение 2. Длиной AB
= |а| вектора AB
= а называется неотрицательное число, равное длине отрезка АВ, соединяющего точки А и В. Будем также писать AB
= АВ .
Таким образом, считается, что два направленных отрезка AB
и 
1
1
A B
,
имеющие равные длины ( АВ  = 
1
1
А В ) и одно и то же направление, определяют один и тот же вектор а, и в этом смысле пишут а = AB
= 
1
1
A B
.
Определение 3. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Коллинеарные векторы

А

B
B1

А1

Определение 4. Если точки А и В совпадают, то AB
= AА
= 0 называется нулевым вектором. Его длина равна нулю, а направление для него 
не имеет смысла.
В геометрии рассматривают сложение и вычитание векторов, и умножение их на действительное число. По определению произведение аα = 
= αа вектора а на число α или числа α на вектор а есть вектор, длина 
которого равна |αа| = |α| ⋅ |а|, а направление совпадает с а, если α > 0, 
или противоположно а, если α < 0. При α = 0 длина |αа| равна нулю и вектор αа превращается в нулевой вектор (точку), не имеющий направления.
Определение 5. Вектор е называется единичным, если его длина равна 
1, то есть |е| = 1.

§ 1. Векторы. Декартова система координат

7

Если b = αе и е — единичный вектор, то |b| = |α|, потому что

|b| = |α| ⋅ |е| = |α| ⋅ 1 = |α|.

Векторы а, b, с, …, взятые в конечном числе, складываются по правилу 
замыкания цепочки этих векторов (рис. 1.2). На рис. 1.3 показано как 
вычитаются векторы.

1.2. Скалярное произведение векторов

Определение 6. Скалярным произведением двух векторов а и b назовём 
число аb или (а, b), равное произведению длин этих векторов, помноженному на косинус угла ϕ между ними:

 
аb = (а, b) = |а||b|соs(а, b) = |а||b|соsϕ. 
(1.1)

Теорема 1.1. Скалярное произведение обладает свойствами:

 
(а, b) = (b, а), 
(1.2)

 
(а, b + с) = (а, b) + (а, с),  
(1.3)

 
(а,αb) = α(а, b). 
(1.4)

Равенства (1.2)…(1.4) непосредственно вытекают из определения 
скалярного произведения. Пример 1. Если тело под действием силы F передвинулось прямолинейно вдоль вектора s, то работа А, выполненная силой F, как известно из курса физики, равна произведению величины силы |F  | на путь |s| и ещё на косинус угла ω между векторами F и s : А = |F  || s |соs(F, s). Но тогда А = (F, s), 
то есть указанная работа равна скалярному произведению векторов F и s.

1.3. Прямоугольная система координат

Перейдём к аналитическому описанию векторов и точек пространства — при помощи чисел. Введём в пространстве прямоугольную систему 

Рис. 1.2. Сложение векторов
Рис. 1.3. Вычитание векторов

a

b

с
d

a + b + c + d
b

a
a – b

1. Теоретическая база моделирования

8

координат х, у, z, то есть три взаимно перпендикулярно направленные 
прямые, проходящие через некоторую точку О, называемые осями координат х, у, z (рис. 1.4). Предполагается, что для данной системы координат выбран единичный отрезок, при помощи которого измеряются все 
прочие отрезки. Точка О называется началом координат.
Зададим произвольную точку А трёхмерного пространства. Направленный отрезок ОA
называется радиус-вектором точки А. Радиус-вектор 
в свою очередь определяет вектор а (а = ОA
), который можно переносить 
в пространстве параллельно самому себе. Координатами радиус-вектора 
называются координаты точки А; при этом координата х называется абсциссой, координата у — ординатой и координата z — аппликатой точки А.

Рис. 1.4. Прямоугольная система координат

Между точками А пространства и их радиус-векторами ОA
или, что 
всё равно, тройками чисел (х, у, z), являющимися координатами точки А 
или проекциями ОA
на оси, имеется взаимно однозначное соответствие.
Мы будем писать а = (х, у, z) и говорить, что а или (х, у, z) есть вектор, 
равный радиус-вектору точки А, имеющему координаты х, у, z. В этом 
случае проекции а на оси координат часто обозначают символами ax, 
ay, az и пишут а = (ax, ay, az). Из определения вектора как направленного 
отрезка, который можно передвигать в пространстве параллельно самому себе, следует, что два вектора а = (х, у, z) и b = (х′, у′, z′) равны тогда 
и только тогда, если выполняются одновременно равенства: х = х′, у = у′, 
z = z′. По тем же причинам справедливы равенства:

 
(х, у, z) ± (х′, у′, z′) = (х ± х′, у ± у′, z ± z′),  
(1.5)

 
α(х, у, z) = (αх, αу, αz). 
(1.6)

На рис. 1.4 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

z

a
А

y

x

x

О

y

z

§ 1. Векторы. Декартова система координат

9

 
|а| = | ОА
| = 

2
2
2
x
y
z
+
+
. 
 (1.7)

Обозначим через i, j, k единичные (имеющие длину, равную 1) векторы, имеющие соответственно то же направление, что и оси х, у, z. Векторы i, j, k называют ортами осей х, у, z. Произвольный вектор (х, у, z) 
может быть записан в виде

 
(х, у, z) = хi + уj + zk.  
(1.8)

Отметим равенства, имеющие место для скалярных произведений 
ортов осей, т. е.

 
ii = jj = kk = 1, ij = ik = jk = 0. 
(1.9)

Пусть теперь а = (х, у, z) и b = (х1, у1, z1). Тогда аb = (а, b) = хх1 + уу1 + 
+ zz1. В самом деле, на основании (1.7), (1.8), (1.9)

 
аb = (хi + уj + zk)(х1i + у1  j + z1k) = хх1ii + ху1ij + хz1ik +  
 
+ ух1  ji + уу1  jj + уz1jk + zх1ki + zу1kj + zz1kk = хх1 + уу1 + zz1, 
(1.10)

т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений 
соответствующих координат этих векторов. Тогда косинус угла ϕ между 
векторами а и b можно определить следующим образом:

 
cosϕ = (аb)/(|а||b|) = 

1
1
1

2
2
2
2
2
2
1
1
1

xx
yy
zz

x
y
z
x
y
z

+
+

+
+
+
+

. 
(1.11)

При а = b угол ϕ между векторами равен нулю, cosϕ = 1 и

аа = а2 = |а|2 = х2 + у2 + z2,

т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.
Если рассматриваются векторы на плоскости, то в формулах (1.5)… 
(1.11) необходимо положить z = 0. В частности, расстояние d между двумя 
точками плоскости А1(х1, у1) и А2(х2, у2) можно рассматривать как длину 
вектора 
1
2
A A
= (х2 – х1, у2 – у1). Тогда

 
d = 

2

1
2
A A
= 
2
2
2
1
2
1
(
)
(
)
x
x
y
y
−
+
−
.  
(1.12)

Пример 2. Даны координаты трёх точек А (–1, 1), В (–1, 6), С (3, 4) на 
плоскости. 
Найдём: а) вектор с = AB
+ AC
; б) длины векторов AB
, AC
и угол 
между ними.

1. Теоретическая база моделирования

10

а) Найдём вначале векторы AB
и AC
. По определению AB
= (хВ – 
– хА, уВ – уА) = (0, 5), AC

= (хС – хА, уС – уА) = (4, 3), с = AB
+ AC
= (4, 8).

б) По формуле (1.12) найдём длины d1 = 

2
AB
= 

2
2
0
5
+
 = 5, d2 =

=

2
AC
= 

2
2
4
3
+
 = 5. По формуле (1.10) определим скалярное произ
ведение AB
AC
= 0 ⋅ 4 + 5 ⋅ 3 = 15. 

Тогда по формуле (1.11) cosϕ = 15
5 5
⋅  = 0,6, откуда ϕ = arcсos 0,6 ≈ 53°. Двумерные (плоские) или трёхмерные (пространственные) векторы 
и операции над ними, рассмотренные выше, можно обобщить на случай 
любого числа измерений п:
Определение 7. п-мерным вектором называется упорядоченная сово
купность п чисел, записываемых в виде х = 

1

2
...

п

х
х

х

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

, где хi — i-я компонента 

(координата) вектора х.
Аналогично обобщаются остальные определения этого параграфа. 
При этом линейные операции сложения векторов и умножения вектора на число удовлетворяют следующим свойствам, рассматриваемым 
как аксиомы:
Свойство 1. Коммутативное свойство суммы: х + у = у + х.
Свойство 2. Ассоциативное свойство суммы: (х + у) + z = х + (у + z).
Свойство 3. Ассоциативное относительно числового множителя свойство:

α(βх) = (αβ) х.

Свойство 4. Дистрибутивное относительно суммы векторов свойство:

α(х + у) = αх + αу.

Свойство 5. Дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство: 

(α + β) х = αх + βх.

Свойство 6. Существует нулевой вектор 0 = (0, 0, …, 0) такой, что х + 0 =
= х для любого вектора х.
Свойство 7. Для любого вектора х существует противоположный вектор (–х) такой, что х + (–х) = 0.

§ 2. Определители и их свойства

11

Свойство 8. Для любого вектора х выполняется равенство 1 · х = х.
Определение 8. Множество векторов с действительными компонентами, 
в котором определены вышеназванные линейные операции, удовлетворяющие приведённым свойствам, называется векторным пространством.
Если под х, у, z рассматривать объекты любой природы, то соответствующее множество объектов называется линейным пространством. 
Будем обозначать его Rn.

Упражнения

Даны координаты трёх точек А, В, С в пространстве. 
Найти: а) координаты вектора с = AB
+ AC

; б) угол между векторами 

AB
и AC

.

1.1. А(–1,1,6), В(–1,6,1), С(0,4,–1)
1.2. А(1,7,3), В(6,9,1), С(8,5,8)

1.3. А(1,9,9), В(5,8,3), С(6,4,8)
1.4. А(4,9,3), В(7,6,1), С(3,6,7)

1.5. А(5,7,8), В(–3,7,1), С(6,9,2)
1.6. А(4,6,3), В(4,1,5), С(3,9,8)

§ 2. Определители и их свойства

2.1. Определители второго порядка

Определение 1. Пусть заданы числа а11, а12, а21, а22. Они определяют 
число а11а22 – а12а21, которое называется определителем (детерминантом) 
второго порядка и записывается следующим образом:

 

11
12

21
22

а
а
а
а
 = а11а22 – а12а21.  
(2.1)

Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя. В определителе (2.1) различают первую строку а11, а12 и вторую строку а21, а22, 
первый столбец а11, а21 и второй столбец а12, а22.
Легко проверяются следующие свойства определителя.
Свойство 1. Величина определителя не меняется, если у него заменить 
строки соответствующими столбцами: 

11
12

21
22

а
а
а
а
 = 

11
21

12
22

а
а
а
а
.