Высшая математика: этюды по теории и её приложениям
Покупка
Тематика:
Основы высшей математики
Издательство:
ГИОРД
Год издания: 2012
Кол-во страниц: 616
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-98879-149-2
Артикул: 736725.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Материал, сгруппированный по основным разделам математики (дифференциальное исчисление, интегралы, дифференциальные уравнения, ряды и пр.), пополнен некоторыми темами, не входящими в стандартный курс. В книге показано, как на практике работают разделы, изучаемые в курсе высшей математики. Учебное пособие способствует преодолению разрыва между материалом, излагаемым на первых курсах, и приложениями математики, с которыми студенты встречаются на последних стадиях обучения.
Предлагаемое издание предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Техническая физика», а также может быть использовано студентами иных естественно-научных и технических специальностей и преподавателями, ищущими красивые примеры для занятий, темы для студенческой научной работы, материал для математических кружков и т. д.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 16.03.01: Техническая физика
- ВО - Магистратура
- 16.04.01: Техническая физика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
С. В. Фролов А. Ш. Багаутдинова ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Этюды по теории и её приложениям Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки бакалавров и магистров «Техническая физика» Санкт-Петербург ГИОРД 2012
УДК 51 ББК 22.1 Ф91 Фролов С. В. Ф91 Высшая математика : этюды по теории и её приложениям : учеб. пособие / С. В. Фролов, А. Ш. Багаутдинова. — СПб. : ГИОРД, 2012. — 616 с. ISBN 978-5-98879-149-2 Материал, сгруппированный по основным разделам математики (дифференциальное исчисление, интегралы, дифференциальные уравнения, ряды и пр.), пополнен некоторыми темами, не входящими в стандартный курс. В книге показано, как на практике работают разделы, изучаемые в курсе высшей математики. Учебное пособие способствует преодолению разрыва между материалом, излагаемым на первых курсах, и приложениями математики, с которыми студенты встречаются на последних стадиях обучения. Предлагаемое издание предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Техническая физика», а также может быть использовано студентами иных естественно-научных и технических специальностей и преподавателями, ищущими красивые примеры для занятий, темы для студенческой научной работы, материал для математических кружков и т. д. УДК 51 ББК 22.1 ISBN 978-5-98879-149-2 © ООО «Издательство „ГИОРД“», 2012 Рецензенты: кафедра высшей математики ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский политехнический университет» (заслуженный работник высшей школы РФ, канд. техн. наук, профессор Ю. А. Хватов); кафедра криогенной техники СПБГУНиПТ (зав. кафедрой, д-р техн. наук, профессор Е. И. Борзенко)
Оглавление Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Тема 1. Устойчивость разностных схем решения задач математической физики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 Тема 2. Эллиптические координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Тема 3. Оптические свойства кривых второго порядка и устойчивость лазерного луча . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Тема 4. Основы проективной геометрии. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 Тема 5. Дважды линейчатые поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Тема 6. Рациональные параметризации и арифметика алгебраических кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 Тема 7. Группа единиц кольца остатков по целому модулю и асимметричная компьютерная криптография (схемы с открытым ключом) . . . . . . . . .53 Раздел 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Тема 8. Явление радуги. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Тема 9. Реальные газы и уравнение Ван-дер-Ваальса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 Тема 10. Кривая намагничивания ферромагнетиков и явление гистерезиса . . .74 Тема 11. Метод наименьших квадратов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78 Тема 12. Принцип минимума свободной энергии и каноническое распределение Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 Тема 13. Простейшие особенности плоских кривых (крест, изолированная точка, клюв) и их распускания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84 Тема 14. Огибающие семейств кривых и их особенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 Раздел 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ . . . . . . . . . . . .98 Тема 15. Кривизна и кручение пространственной кривой. Базис Френе и формулы Френе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98 Тема 16. Кривизна поверхности. Гауссова кривизна и средняя кривизна. . . . .103 Тема 17. Внутренняя геометрия поверхности. Параллельный перенос и геодезические. Локальная теорема Гаусса-Бонне. Плоскость Пуанкаре и геометрия Лобачевского . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
Оглавление Тема 18. Эйлерова характеристика поверхности и глобальная теорема Гаусса-Бонне. Классификация компактных двумерных поверхностей. Хроматические числа и проблема четырёх красок . . . .116 Тема 19. Непрерывные касательные векторные поля к двумерным поверхностям и теорема Пуанкаре. Теория Морса. Многообразия высших размерностей. Теорема о кобордизме и гипотеза Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 Раздел 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Тема 20. Комплексное дифференцирование, конформные отображения и гармонические функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 Тема 21. Дробно-линейные отображения и задача о тепловых потерях трубопровода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137 Тема 22. Степенные отображения и задача о громоотводе. . . . . . . . . . . . . . . . . .142 Тема 23. Отображение Жуковского и обтекание цилиндра . . . . . . . . . . . . . . . . .144 Тема 24. Особые точки гармонических функций (источник, вихрь, диполь). Вихревые обтекания тел и подъёмная сила крыла. . . . . . . . .150 Тема 25. Комплексная диэлектрическая проницаемость и СВЧ-нагрев пищевых продуктов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 Раздел 5. МНОГОЧЛЕНЫ, КОЛЬЦА, АЛГЕБРЫ, ГРУППЫ, ПОЛЯ . . . . . . . . . . .155 Тема 26. Многочлены: результант, дискриминант, теорема Безу . . . . . . . . . . . .155 Тема 27. Арифметика мнимых квадратичных колец. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161 Тема 28. Кватернионы и вращения трёхмерного пространства. Процедура Кэли-Диксона и октавы. Теоремы Гурвица и Фробениуса. История становления векторного исчисления . . . . . .171 Тема 29. Конечные некоммутативные группы. Группы перестановок и симметрий многоугольников и многогранников. Порождающие элементы, определяющие соотношения и графы групп. Разрешимые и простые группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .180 Тема 30. Римановы поверхности аналитических функций. Формула Римана-Гурвица. Группы Галуа и теорема Абеля. . . . . . . . . .196 Тема 31. Алгебраические расширения полей и построения с помощью циркуля и линейки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202 Раздел 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209 Тема 32. Кинетика простейших химических реакций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209 Тема 33. Движение в центральном поле. Резерфордовское рассеяние . . . . . . .212 Тема 34. Математический маятник и эллиптические интегралы . . . . . . . . . . . .218 Тема 35. Энергия гравитационной дифференциации Земли, мантийная конвекция и дрейф континентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227 Тема 36. Гамма- и бета-функции Эйлера, метод Лапласа и формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238
Оглавление Тема 37. Сферические координаты в n-мерном пространстве. Объём и площадь поверхности n-мерного шара . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 Тема 38. Магнитное поле контура с током, интеграл Гаусса и коэффициент зацепления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248 Раздел 7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ). . . . . . . . . . . . .252 Тема 39. Барометрическая формула в поле центробежной силы и определение молекулярной массы высокомолекулярных соединений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252 Тема 40. Последовательные химические реакции и максимальный выход промежуточного продукта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 Тема 41. Функция распределения продукта по времени пребывания в аппаратах непрерывного действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .254 Тема 42. Отвод тепла при хранении плодоовощной продукции . . . . . . . . . . . . .256 Раздел 8. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ (КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ). . . . . . . . . . .262 Тема 43. Затухающие колебания. Линейный и нелинейный резонанс. Уравнение Дуффинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262 Тема 44. Теория флаттера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .266 Тема 45. Задача Штурма-Лиувилля для радиальной части оператора Лапласа. Функции Бесселя. Приближённое решение прямым вариационным методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270 Тема 46. Нелинейные задачи на собственные значения. Задача Эйлера о потере устойчивости колонны. . . . . . . . . . . . . . . . . . .280 Тема 47. Угловая часть оператора Лапласа в полярных и сферических координатах. Многочлены и функции Лежандра . . . . . . . . . . . . . . . . .284 Тема 48. Уравнения с периодическими коэффициентами. Матрица монодромии и решения Флоке. Параметрический резонанс . . . . . . .291 Тема 49. Квазиклассическое приближение, туннельный эффект и альфа-распад атомных ядер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .299 Раздел 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 Тема 50. Модели конкуренции и модель хищник-жертва . . . . . . . . . . . . . . . . . .304 Тема 51. Модель роста и таяния ледника и глобальный климат . . . . . . . . . . . . .309 Тема 52. Ламповый генератор и уравнения Ван-дер-Поля . . . . . . . . . . . . . . . . .313 Тема 53. Анализ устойчивости предельного цикла. Задача Жуковского о виброразделении смесей . . . . . . . . . . . . . . . . . . .318 Тема 54. Вырождение собственных частот и вековые слагаемые. Задача о рациональной компоновке автомобиля. . . . . . . . . . . . . . . . . .320
Оглавление Тема 55. Устойчивость Лагранжевых движений в ограниченной задаче трёх тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324 Тема 56. Движение в центральном поле: замкнутость траекторий, скрытая симметрия кулоновского потенциала, потенциалы Ленца и задача Максвелла о «рыбьем глазе». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335 Раздел 10. РЯДЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342 Тема 57. Асимптотическое разложение Эйлера-Маклорена. Числа Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342 Тема 58. Распределение простых чисел. Функции Мангольда и Римана и гипотеза Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .348 Тема 59. Явление Гиббса и проблема окантовки при компьютерном сжатии изображений. Вейвлеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .356 Раздел 11. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .360 Тема 60. Кинематика движения сплошной среды. Уравнение неразрывности и метод характеристик. «Блины Зельдовича» и крупномасштабное распределение вещества во Вселенной. . . . . . .360 Тема 61. Задача остывания (нагревания) тела. Метод разделения переменных. Самосопряжённая эллиптическая краевая задача. . . . .366 Тема 62. Квазиодномерная нестационарная теплопроводность, регулярный тепловой режим и вариационный метод . . . . . . . . . . . . . .369 Тема 63. Квазиодномерная стационарная теплопроводность, тепловое сопротивление квазиодномерной стенки. . . . . . . . . . . . . . . .373 Тема 64. Процессы кристаллизации и задача Стефана. Автомодельное решение. Квазистационарное приближение и формула Планка . . . .375 Тема 65. Теплопроводность неоднородных тел. Методы неравновесной термодинамики и принцип Пригожина. Формула Эйкена . . . . . . . . .378 Раздел 12. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .387 Тема 66. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса). Задача Стокса о медленном движении шара. Парадоксы Стокса и Уайтхеда и решение Озеена . . . . . . . . . . . . . . . . .387 Тема 67. Уравнения Прандтля пограничного слоя. Решение Блаузиуса. Метод сшивания асимптотических разложений. Теплоотдача при ламинарном обтекании пластины . . . . . . . . . . . . . . .396 Тема 68. Волны на поверхности воды. Уравнение Кордевега-де-Фриза, солитоны и уединённые волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403 Тема 69. Дислокации в кристаллах, модель Френкеля-Конторовой и уравнение синус-Гордон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411 Тема 70. Теплоотдача при стекании плёнки жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415 Тема 71. Функция распределения продукта по времени пребывания — модель «дрейф + диффузия». Условия Данкверста . . . . . . . . . . . . . . . .419
Оглавление Раздел 13. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .423 Тема 72. Уравнение Шредингера в центрально-симметричном поле. Кулоновский потенциал и вырождение уровней в атоме водорода. Потенциал гармонического осциллятора . . . . . . . . . . . . . . .423 Тема 73. Потенциалы Ленца, модель Томаса-Ферми и строение периодической системы элементов (правило Маделунга). . . . . . . . . .431 Тема 74. Вариационный метод приближённого решения задач квантовой механики. Потенциал ионизации атома гелия и двухэлектронных ионов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437 Тема 75. Прохождение частицы через потенциальный барьер. Коэффициенты прохождения и отражения, туннельный эффект. Безотражательные потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .441 Тема 76. Тепловая конвекция, задача Релея и система Лоренца. . . . . . . . . . . . .445 Раздел 14. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452 Тема 77. Некоторые парадоксы элементарной теории вероятностей . . . . . . . .452 Тема 78. Ветвящиеся процессы и проблема вымирания в теории эволюции. . .462 Тема 79. Процессы случайного блуждания: вероятность возврата, связь с диффузией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .467 Тема 80. Коэффициент корреляции и анализ зависимости источников в историографии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .470 Тема 81. Пространства с мерой. Парадоксы неизмеримости . . . . . . . . . . . . . . .474 Раздел 15. ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .478 Тема 82. Динамические системы с инвариантной мерой. Эргодическая теорема Биркгофа и обоснование статистической механики. Теорема Пуанкаре о возвращении. Перемешивание и термодинамическая необратимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .478 Тема 83. Энтропия Колмогорова-Синая и проблема изоморфизма сдвигов Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .491 Тема 84. Цепные дроби и приближения иррациональных чисел рациональными. Проблема построения календарей. Алгебраические и трансцендентные числа. Уравнение Пееля и единицы действительных квадратических колец . . . . . . . . . . . . . . . .495 Тема 85. Динамические системы, связанные с цепными дробями. Теорема Хинчина-Леви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .510 Тема 86. Отображение отрезка в себя: каскад удвоений, универсальность Фейгенбаума и ренорм-группа. . . . . . . . . . . . . . . . . .513 Тема 87. Странные аттракторы, фракталы и хаусдорфова размерность. . . . . . .518 Тема 88. Сосуществование циклов, теорема Шарковского, топологическая и ляпуновская энтропии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .534
Оглавление Тема 89. Интегрируемые и неинтегрируемые гамильтоновы системы. Малые знаменатели и КАМ-теория. Расщепление сепаратрисс и отображение Чирикова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .550 Раздел 16. ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА . . . . . .563 Тема 90. Понятие количества информации — вероятностный подход. Формулы Хартли и Шеннона. Условная информация . . . . . . . . . . . . .563 Тема 91. Количество информации — алгоритмический подход. Частично и общерекурсивные функции, тезис Чёрча. Перечислимые и разрешимые множества. Теорема Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . .567 Тема 92. Теория Рамсея, функция Аккермана, теорема Париса-Харрингтона и неполнота арифметики . . . . . . . . . . . . . . . . . .572 Тема 93. Кодирование информации. Проблема однозначности декодирования. Неравенство Крафта. Полные коды . . . . . . . . . . . . . .578 Тема 94. Префиксные коды. Код Хаффмана. Арифметическое кодирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .580 Тема 95. Словарные алгоритмы сжатия информации. Коды Зива-Лемпела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .585 Тема 96. Блочные методы сжатия информации. Преобразование Барроуза-Уиллера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .589 Тема 97. Фрактальное сжатие изображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .592 Тема 98. Помехоустойчивое кодирование. Линейные коды, генерирующая и проверочная матрицы. Код Хэмминта. Плотно упакованные коды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595 Тема 99. Проблема максимума определителя, матрицы Адамара и эквидистантные коды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .600 Тема 100. Ассоциативная память. Спиновые стёкла и модель Хопфилда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .604
Предисловие Предлагаемая вашему вниманию книга выросла из нашего опыта преподавания математики в Санкт-Петербургском государственном университете низкотемпературных и пищевых технологий. Этот опыт свидетельствует о сложившейся печальной традиции, с которой приходится сталкиваться всем, кто преподаёт математику в техническом вузе. На первом-втором курсах эта наука часто воспринимается студентами как никому не нужная схоластическая абракадабра (все эти производные, интегралы и пр.), которую надо вызубрить, сдать и сразу забыть как страшный сон. А потом, на старших курсах, когда в специальных дисциплинах нужно всё это применять — студенты уже ничего не помнят. Отчасти в этом виноваты и преподаватели, чрезмерно формализуя курс и не показывая никакой его связи с реальными, естественно-научными и техническими задачами. В связи с этим мы в течение ряда лет подбирали такие реальные задачи, которые с одной стороны доступны для уровня студентов первых курсов, но в то же время достаточно математически содержательны и иллюстрируют изучаемый материал. Например, рассказывая об исследовании функций на экстремум, в качестве примера приводился расчёт явления радуги, или, говоря об интегрировании рациональных функций, анализировалась кинетика простейших химических реакций. Помимо иллюстрации связи излагаемого материала с реальностью, студентам лишний раз напоминались некоторые факты из физики, химии и пр., что тоже отнюдь не бесполезно (учитывая печальный уровень подготовки подавляющего большинства студентов в этих фундаментальных дисциплинах). Одни из этих примеров рассказывались на лекциях, другие разбирались на практических занятиях. Постепенно возникло желание собрать их и издать. В этой книге материал изложен в виде 100 отдельных тем, сгруппированных по отдельным стандартным разделам вузовского курса математики (дифференциальное исчисление, интегралы, дифференциальные уравнения, ряды и пр.), плюс несколько частей, посвящённых разделам, не входящим в стандартный курс, но которые, по нашему мнению, в 21 веке уже необходимо изучать. Это и теория динамических систем (то, что называют модным словом синергетика), и особенно теория информации (с выходом на реальные компьютерные технологии). Мы считаем,
Предисловие что современный образованный человек, использующий различные компьютерные пакеты, должен хотя бы в общих чертах представлять себе, на каких алгоритмах они основаны (так один из нас однажды обнаружил, что человек, 20 лет профессионально занимающийся компьютерной графикой, не знает, что такое вейвлет). Отдельные темы в основном друг с другом не связаны, а когда это не так, вначале оговаривается, что именно из предыдущего материала необходимо предварительно повторить. В каждой из тем имеется последовательность задач (от одной до десяти), подводящих к какому-либо нетривиальному результату, либо освещающих определённый раздел. Темы очень разные: есть совсем короткие, есть довольно длинные; есть совсем простенькие, есть достаточно сложные. Поэтому авторы надеются, что каждый найдёт для себя в этой книге что-то одновременно и доступное, и интересное. Среди тем имеются как непосредственно связанные с естественно-научными или техническими задачами (а иногда и гуманитарными), а есть и довольно абстрактные, но кратко освещающие какой-либо специальный раздел математики, не входящий в стандартный курс (как, например, элементы топологии, некоторые красивые разделы алгебры, теории чисел и пр.). При написании этой книги мы пытались подражать таким классическим образцам популярной математической литературы, как «Числа и фигуры» Радемахера и Теплица, «Что такое математика» Куранта и Робинса, «Наглядная геометрия» Гильберта и Кон-Фоссейна и пр. Проблема в том, что перечисленные книги ориентированы скорее на школьников, а вот подобной литературы для студентов прискорбно мало. При этом мы старались по возможности разбавлять формальный текст различными любопытными историческими подробностями, математическим фольклором, забавными цитатами и т. д. Также в книге много иллюстраций (более сотни), так как удачный рисунок зачастую может стоить многих страниц вычислений. При этом, учитывая целевую аудиторию книги, мы не стремились к большой строгости рассуждений — активно используются соображения, рассуждения, как говорится, «на физическом уровне строгости» и пр. (хотя как раз для студентов-математиков может быть хорошим упражнением наведение полной строгости в решениях задач этой книги!) К полноте изложения мы также не стремились — для заинтересовавшихся читателей в конце большинства тем приводится список литературы, из которого можно узнать об этом подробнее. При этом часто указывается адрес в Интернете, откуда можно скачать (бесплатно) электронный вариант книги (разумеется, если он не указан, то это не значит, что книги в сети нет — просто авторам она не попадалась). Некоторые утверждения мы вообще оставляли без до
Предисловие казательств, предлагая читателю самому попробовать их доказать (тут присутствовали и соображения ограниченности объёма книги). В заключение ещё раз повторим, что в этой книге каждый найдёт для себя что-то полезное и интересное: и сильный студент, желающий разобраться в непростой задаче; и не очень сильный, но интересующийся предметом, которому нужна задача попроще; и преподаватель, ищущий красивые примеры для занятий, темы для студенческой научной работы, материал для математических кружков и т. д. Может быть, это прозвучит несколько высокопарно, но одной из сильных побудительных причин написания этой книги было восхищение потрясающей красотой математико-естественно-научной картины мира, и страстное желание поделиться ею с другими. Увы, но в наши не самые лучшие для рационального мышления времена, людей, способных осознать и полюбить эту красоту, становится всё меньше и меньше, и если хотя бы кому-нибудь эта книга поможет эту красоту ощутить — авторы будут считать свою задачу полностью выполненной. Авторы благодарны Бараненко Александру Владимировичу, Борзенко Евгению Ивановичу, Камоцкому Владимиру Ильичу, Куцаковой Валентине Еремеевне, Пеленко Валерию Викторовичу (СПбГУНиПТ) за неоценимую помощь в публикации книги, Егоровой Надежде Юрьевне, Козлову Владимиру Николаевичу, Фотиади Александру Эпаминондовичу, Хватову Юрию Алексеевичу (ФГБОУ ВПО «СПбГПУ») за внимание и поддержку, а также Абрамочкину Евгению Григорьевичу (хозяину сайта ega-math.narod.ru), прочитавшему книгу в рукописи и сделавшему ряд ценных замечаний.
Раздел 1 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ Тема 1. Устойчивость разностных схем решения задач математической физики Для приближённого решения различных уравнений в частных производных (мы будем в основном рассматривать уравнение теплопроводности) широко используются сеточные схемы. Суть их заключается в том, что непрерывные время и координаты заменяются дискретным набором точек («узлов сетки») и неизвестная функция (в нашем случае температура) задаётся только в узлах сетки. Далее в уравнениях и граничных условиях частные производные заменяются конечными разностями. В результате вместо уравнения в частных производных получаем систему алгебраических уравнений, причём если исходное уравнение было линейным (а это часто бывает так), то и алгебраические уравнения будут линейными, и для их решения можно применять методы матричной алгебры. Одной из основных проблем сеточных схем является устойчивость. Для многих разностных схем при уменьшении расстояния между узлами сетки вычисленная функция, вместо того чтобы становиться ближе к истинному решению, начинает неограниченно расти («неустойчивая схема»). Ниже предлагается проанализировать устойчивость трёх простейших сеточных схем для одномерного уравнения теплопроводности. Пусть T(τ, x) — температура, зависящая от времени τ и координаты x. В сеточной схеме время и координата принимают дискретный ряд значений: τ = 0, δ, 2δ,…; x = 0, Δ, 2Δ,… Значение температуры при τ = nδ и x = mΔ будем обозначать T(n, m). Также при фиксированном значении времени n можно составить вектор T(n) = (T(n, 0), T(n, 1),…). Тогда скорость изменения температуры между моментами n и n + 1 в точке m будет равна: ( 1, ) ( , ). T n m T n m + − δ
Тема 1. Устойчивость разностных схем решения задач математической физики Изменение температуры (а следовательно, количества теплоты) в точке m связано с наличием неодинаковых тепловых потоков: из точки m в точку m – 1 и из точки m + 1 в точку m (если они одинаковы, то количество теплоты в точке m не изменится). Согласно закону Фурье тепловой поток пропорционален градиенту (то есть скорости изменения по координате, а не по времени) температуры. Тогда изменение количества теплоты в точке m будет пропорционально градиенту теплопотока, который в свою очередь пропорционален градиенту градиента температуры, который в момент времени n равен: + − − − − + − + − Δ Δ = Δ Δ 2 ( , 1) ( , ) ( , ) ( , 1) ( , 1) 2 ( , ) ( , 1). T n m T n m T n m T n m T n m T n m T n m Возникает вопрос: скорость изменения температуры в точке m между моментами n и n + 1 пропорциональна градиенту градиента температуры… в какой момент? Имеются 3 основные возможности: взять в момент n («явная схема»), в момент n + 1 («неявная схема») или взять среднее арифметическое градиентов в моменты n и n + 1 («схема Кранка-Николсона»). Явная схема: + − + − + − = δ Δ 2 ( 1, ) ( , ) ( , 1) 2 ( , ) ( , 1); T n m T n m T n m T n m T n m a 2 1 1 0 ... 0 2 1 1 1 ... 0 2 2 2 ( 1) ( ); . 1 0 1 ... 0 2 ... ... ... ... ... 1 0 ... 0 1 2 a n n ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − ⎜ ⎟ δ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + = − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ T I U T U Здесь a — так называемый коэффициент температуропроводности материала, м2/с, который зависит от теплоёмкости и теплопроводности материала. Неявная схема: + − + + − + + + − = δ Δ 2 ( 1, ) ( , ) ( 1, 1) 2 ( 1, ) ( 1, 1); T n m T n m T n m T n m T n m a − δ δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + + + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 2 2 2 ( ) ( 1); ( 1) ( ). a a n n n n T I U T T I U T
Раздел 1. Линейная алгебра и геометрия Схема Кранка-Николсона: + − + − + − ⎧ = + ⎨ δ Δ ⎩ 2 ( 1, ) ( , ) ( , 1) 2 ( , ) ( , 1) 2 T n m T n m a T n m T n m T n m + + − + + + − ⎫ + ⎬ Δ ⎭ 2 ( 1, 1) 2 ( 1, ) ( 1, 1) ; T n m T n m T n m − δ δ δ δ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + = − + = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ Δ Δ Δ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 2 2 2 ( 1) ( ); ( 1) ( ). a a a a n n n n I U T I U T T I U I U T Задача 1. Вычислить определитель матрицы n×n: θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ θ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = θ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ θ ⎝ ⎠ 2cos 1 0 0 0 ... 0 1 2cos 1 0 0 ... 0 det 0 1 2cos 1 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 1 2cos n D (1) Решение. Заметим, что D1 = 2cosθ = sin(2θ)/sinθ; D2 = 4cos2θ – 1 = = sin(3θ)/sinθ. Появляется подозрение, что Dn = sin((n + 1)θ)/sin θ. Докажем это по индукции. Пусть это утверждение верно при значениях индекса < n; покажем, что тогда оно будет верно и при n. Разложим определитель Dn по первому столбцу: θ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ θ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = θ − θ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ θ ⎝ ⎠ 2cos 1 0 0 0 ... 0 1 2cos 1 0 0 ... 0 2cos det 0 1 2cos 1 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 1 2cos n D − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ θ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − = θ − θ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ θ ⎝ ⎠ 1 2 1 0 0 0 0 ... 0 1 2cos 1 0 0 ... 0 det 2cos 0 1 2cos 1 0 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0 1 2cos n n D D (2) (здесь мы снова разложили второй из получившихся определителей по первой строке с единственным ненулевым элементом). Подставим в (2) выражения для Dn–1 и Dn–2:
Доступ онлайн
В корзину