Основы стохастического анализа

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего образования 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Д. Б. Рохлин 
 
ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ростов‐на‐Дону –Таганрог 
Издательство Южного федерального университета 
2019 
 

УДК 519.216(075.8) 
ББК 22.171 я 73 
      Р79 
 
Печатается по решению 
кафедры высшей математики и исследования операций 
Института математики, механики и компьютерных наук 
им. И. И. Воровича Южного федерального университета 
(протокол №7 от 12 марта 2019 г.) 
 
 
Рецензенты: 
доктор технический наук, профессор А. Б. Усов;  
доктор физико‐математических наук, профессор И. В. Павлов 
 
 
 
 
 
Р79 
Рохлин, Д. Б. 
Основы стохастического анализа : учебное пособие / Д. Б. Рохлин ; 
Южный Федеральный университет. – Ростов‐на‐Дону ; Таганрог : 
Издательство Южного федерального университета, 2019. – 190 с.  
ISBN 978‐5‐9275‐3132‐5 
 

 
 
 
В данном пособии, которое является кратким введением в стохастиче‐
ский анализ, отражены основы современной теории вероятностей, теории 
мартингалов и марковских процессов, стохастического исчисления, а также 
рассмотрена модель Блэка‐Шоулза. 
Публикуется в авторской редакции. 
 

 
УДК 519.216(075.8)

 
ББК 22.171 я 73
ISBN 978‐5‐9275‐3132‐5 
 
 
© Южный федеральный университет, 2019
© Рохлин Д. Б., 2019

Îãëàâëåíèå

Ââåäåíèå
5

Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé
8

1
Îñíîâû ñîâðåìåííîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
10
Ÿ 1.1 Ìîäåëü âåðîÿòíîñòíîãî ýêñïåðèìåíòà, óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè . . . . . .
10

Ÿ 1.2 Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èíòåãðèðîâàíèå, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè .
15

Ÿ 1.3 Ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

Ÿ 1.4 Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

Ÿ 1.5 Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

Ÿ 1.6 Óïðàæíåíèÿ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

2
Ìàðòèíãàëû è ìàðêîâñêèå ïðîöåññû
50
Ÿ 2.1 Ìàðòèíãàëû ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

Ÿ 2.2 Ìàðòèíãàëû ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Ÿ 2.3 Ìàðêîâñêèå ïðîöåññû: îáùèå îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

Ÿ 2.4 Ôóíäàìåíòàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ñ äèñêðåòíûì
âðåìåíåì
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94

Ÿ 2.5 Áðîóíîâñêîå äâèæåíèå è ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . 102
Ÿ 2.6 Óïðàæíåíèÿ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3
Ñòîõàñòè÷åñêîå èñ÷èñëåíèå
112
Ÿ 3.1 Ïðîöåññû îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè è ñåìèìàðòèíãàëû . . . . . . . . . . . 113
Ÿ 3.2 Êîíñòðóêöèÿ è ñâîéñòâà ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà
. . . . . . . . . . . 118

Ÿ 3.3 Êâàäðàòè÷åñêàÿ âàðèàöèÿ è êâàäðàòè÷åñêàÿ êîâàðèàöèÿ . . . . . . . . . 124
Ÿ 3.4 Ðàñøèðåíèå êëàññà èíòåãðàíäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Ÿ 3.5 Ôîðìóëà Èòî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Ÿ 3.6 Âåðîÿòíîñòíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèé Ïóàññîíà è òåïëîïðîâîäíîñòè
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Ÿ 3.7 Ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ñòîõàñòè÷åñêàÿ ýêñïîíåíòà
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3

Îãëàâëåíèå

Ÿ 3.8 Âåðîÿòíîñòíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ðåøåíèé ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ
ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Ÿ 3.9 Òåîðåìà Ãèðñàíîâà
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Ÿ 3.10 Óïðàæíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4
Ìîäåëü Áëýêà-Øîóëçà
162
Ÿ 4.1 Ñàìîôèíàíñèðóåìûå ïîðòôåëè
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Ÿ 4.2 Àðáèòðàæ è ìàðòèíãàëüíûå ìåðû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Ÿ 4.3 Öåíû åâðîïåéñêèõ îïöèîíîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Ÿ 4.4 Îïòèìàëüíîå èíâåñòèðîâàíèå: ìàðòèíãàëüíûé ïîäõîä
. . . . . . . . . . 175

Ÿ 4.5 Îïòèìàëüíîå èíâåñòèðîâàíèå: óðàâíåíèå Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà
180

Ÿ 4.6 Óïðàæíåíèÿ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Ëèòåðàòóðà
186

Ââåäåíèå

Öåëüþ íàñòîÿùåãî ïîñîáèÿ ÿâëÿåòñÿ êðàòêîå ââåäåíèå â ñòîõàñòè÷åñêèé àíàëèç. Ðîëü ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà â ñîâðåìåííîé ïðèêëàäíîé
ìàòåìàòèêå äîñòàòî÷íî âåëèêà. Óêàæåì íà òåîðèþ ñòîõàñòè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, ôèíàíñîâóþ ìàòåìàòèêó, òåîðèþ ôèëüòðàöèè,
òåîðèþ ñòîõàñòè÷åñêîé àïïðîêñèìàöèè, ìîäåëèðîâàíèå ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Èìåþòñÿ òàêæå ãëóáîêèå ñâÿçè ìåæäó äèôôóçèîííûìè ïðîöåññàìè è óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ýëëèïòè÷åñêîãî è ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïîâ.

Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî ïðåæäå âñåãî äëÿ ìàãèñòðàíòîâ Þæíîãî ôåäåðàëüíîãî óíèâåðñèòåòà, îáó÷àþùèõñÿ ïî ñïåöèàëüíîñòè 01.04.01 ¾Ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà è ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå¿.
Äàííîå ïîñîáèå ìîæåò áûòü ðåêîìåíäîâàíî òàêæå ñòóäåíòàì ñòàðøèõ
êóðñîâ áàêàëàâðèàòà, àñïèðàíòàì è âñåì æåëàþùèì îçíàêîìèòüñÿ ñî
ñòîõàñòè÷åñêèì àíàëèçîì. Äëÿ åãî èçó÷åíèÿ òðåáóåòñÿ âëàäåíèå îñíîâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ëèíåéíîé àëãåáðû, ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà, òåîðèè ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ìåòîäîâ êîíå÷íîìåðíîé îïòèìèçàöèè. Æåëàòåëüíî çíàêîìñòâî ñ îñíîâíûìè ïîíÿòèÿìè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.

Àâòîð ñòàðàëñÿ ïðèäåðæèâàòüñÿ ñòðîãèõ ôîðìóëèðîâîê ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òàêèå óòâåðæäåíèÿ ñîïðîâîæäàþòñÿ äîêàçàòåëüñòâàìè, ïîìîãàþùèìè ëó÷øå ïîíÿòü îáñóæäàåìûå ïîíÿòèÿ.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ïðèâîäÿòñÿ ëèøü èëëþñòðèðóþùèå ïðèìåðû.
Ðàññìàòðèâàåìûé êðóã âîïðîñîâ äîñòàòî÷íî øèðîê è îáñóæäåíèå âñåõ

5

Ââåäåíèå

äåòàëåé èëè óãëóáëåíèå â îäíó èç ðàññìàòðèâàåìûõ òåîðèé ïðèâåëî áû
ìíîãîêðàòíîìó óâåëè÷åíèþ ðàçìåðà ïîñîáèÿ.

 ãëàâå 1 ïðèâîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
Äîêàçàòåëüñòâà íå ïðèâîäÿòñÿ, âìåñòî ýòîãî âñå ââîäèìûå ïîíÿòèÿ, îáúåêòû è óòâåðæäåíèÿ èëëþñòðèðóþòñÿ ïðèìåðàìè. Îäíèì èç ãëàâíûõ
èòîãîâ èçó÷åíèÿ ýòîé ãëàâû äîëæíî ñòàòü ñâîáîäíîå âëàäåíèå òåõíèêîé
âû÷èñëåíèÿ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.  ãëàâå 2 ðàññìàòðèâàþòñÿ îáùèå ñâîéñòâà ìàðòèíãàëîâ è ïðèåìû ðàáîòû ñ íèìè, à òàêæå,
âåñüìà êðàòêî, ìàðêîâñêèå ïðîöåññû. Îñíîâíûì èëëþñòðàòèâíûì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à î ðàçîðåíèè. Òåîðèÿ ìàðòèíãàëîâ èãðàåò âàæíóþ
ðîëü â ãëàâå 3, ïîñâÿùåííîé ñòîõàñòè÷åñêîìó èñ÷èñëåíèþ è çàíèìàþùåé
öåíòðàëüíîå ìåñòî.  íåé îïèñàíû, â ÷àñòíîñòè, êîíñòðóêöèÿ ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà è ôîðìóëà Èòî. Êðàòêî ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå âåðîÿòíîñòíîå ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèé ëèíåéíûõ ýëëèïòè÷åñêèõ è ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ñòîõàñòè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, òåîðåìà
Ãèðñàíîâà, òåîðåìà î ïðåäñòàâëåíèè ìàðòèíãàëîâ. Ýòîò ìàòåðèàë íåîáõîäèì äëÿ ïîíèìàíèÿ ðåçóëüòàòîâ ãëàâû 4, ïîñâÿùåííîé áàçîâîé ìîäåëè
ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè. Çäåñü, â ðàìêàõ ìîäåëè Áëýêà-Øîóëçà, ðàññìàòðèâàþòñÿ òðàäèöèîííûå âîïðîñû: óñëîâèå áåçàðáèòðàæíîñòè ðûíêà, âû÷èñëåíèå öåí ïëàòåæíûõ îáÿçàòåëüñòâ, îïòèìàëüíîå èíâåñòèðîâàíèå.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå íàðÿäó ñ ìàðòèíãàëüíûì ïîäõîäîì èñïîëüçóþòñÿ òðàäèöèîííûé ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ïðèâîäÿùèé
ê óðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà.

Êàæäîé èç çàòðîíóòûõ â ãëàâàõ 1 4 òåîðèé ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà. Íåêîòîðûå èçâåñòíûå ó÷åáíèêè, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàþòñÿ
àíàëîãè÷íûå âîïðîñû, óêàçàíû â òàáëèöå 1. Îíè íåñêîëüêî óñëîâíî ðàçäåëåíû íà íà÷àëüíûé è ïðîäâèíóòûé óðîâåíü. Âûáîð ýòèõ ó÷åáíèêîâ
ñâÿçàí ñ ëè÷íûìè âêóñàìè àâòîðà. Èìååòñÿ ìíîæåñòâî äðóãèõ èñòî÷íèêîâ, ïåðå÷èñëèòü êîòîðûå íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Èçëîæåíèå
â äàííîì ïîñîáèè áëèæå ê ïðîäâèíóòîìó óðîâíþ, òàê êàê åãî öåëåâîé
àóäèòîðèåé ÿâëÿþòñÿ ïðåæäå âñåãî ñòóäåíòû ìàãèñòðàòóðû.

Àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü äîöåíòó êàôåäðû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè Å. Â. Øèðÿåâîé çà ïðåäîñòàâëåííûé

Ââåäåíèå
7

Íà÷àëüíûé óðîâåíü
Ïðîäâèíóòûé óðîâåíü

Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé
[4, 6, 18, 20]
[1, 11, 17, 37]
Òåîðèÿ ìàðòèíãàëîâ
[14, 15, 41]
[2, 16, 32]
Òåîðèÿ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ
[7, 14, 24, 35]
[2, 16, 30, 33, 40]
Ñòîõàñòè÷åñêîå èñ÷èñëåíèå
[8, 15, 19, 29, 39]
[16, 26, 31, 32, 36]
Ôèíàíñîâàÿ ìàòåìàòèêà
[3, 19, 21, 39]
[12, 26, 32]

Òàáëèöà 1

LATEX-ìàêåò.
Äàííîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî
íàó÷íîãî ôîíäà (ïðîåêò  17-19-01038).

Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé

N, Z, Q, R  ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ, öåëûõ, ðàöèîíàëüíûõ è âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâåííî;
Rn = n
i=1 R;
⟨a, b⟩ = a1b1 + · · · + anbn  ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå;
∥a∥2 = ⟨a, a⟩;
Z+ = {z ∈ Z : z ≥ 0}, R+ = [0, ∞), Rn
+ = n
i=1 R+;
a ∧ b = min{a, b}, a ∨ b = max{a, b};
a+ = max{a, 0}, a− = max{−a, 0};
Ck
n =
n!

(n−k)!k!, 0! = 1;
lim infn→∞ an = limn→∞ infk≥n ak  íèæíèé ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè;
AT  òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà;
det(A)  îïðåäåëèòåëü êâàäðàòíîé ìàòðèöû;
Ω  ìíîæåñòâî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ;
F, H  σ-àëãåáðû;
P, Q  âåðîÿòíîñòíûå ìåðû;
Eξ, Dξ  ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ;
Ac = Ω\A  äîïîëíåíèå ìíîæåñòâà A;

IA(ω) =

1,
ω ∈ A,

0,
ω ̸∈ A
 èíäèêàòîð ìíîæåñòâà A;

W  áðîóíîâñêîå äâèæåíèå;
V  ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ïðîöåññîâ îãðàíè÷åííîé âàðèàöèè;
M  ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ìàðòèíãàëîâ;
Mloc  ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ;
M 2  ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûõ ìàðòèíãà
8

Ââåäåíèå
9

ëîâ;
[X], [X, Y ]  êâàäðàòè÷åñêàÿ âàðèàöèÿ è êâàäðàòè÷åñêàÿ êîâàðèàöèÿ;
L  ìíîæåñòâî ïðîöåññîâ, òðàåêòîðèè êîòîðûõ íåïðåðûâíû ñëåâà è èìåþò êîíå÷íûå ïðåäåëû ñïðàâà;
C  ìíîæåñòâî ïðîöåññîâ ñ íåïðåðûâíûìè òðàåêòîðèÿìè;
H ◦ X  ñòîõàñòè÷åñêèé èíòåãðàë H ïî X;
E (X)  ñòîõàñòè÷åñêàÿ ýêñïîíåíòà ñåìèìàðòèíãàëà X.

Ãëàâà 1

Îñíîâû ñîâðåìåííîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé

Öåëü äàííîé ãëàâû ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàïîìíèòü êëþ÷åâûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé: âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî, íåçàâèñèìîñòü,
óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, åå ðàñïðåäåëåíèå è ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè, êîíñòðóêöèÿ è ñâîéñòâà èíòåãðàëà (ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ), âèäû ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå
ôóíêöèè, óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è åãî ñâîéñòâà, óñëîâíîå
ðàñïðåäåëåíèå. Äîêàçàòåëüñòâà íå ïðèâîäÿòñÿ, âìåñòî ýòîãî âñå ââîäèìûå ïîíÿòèÿ, îáúåêòû è óòâåðæäåíèÿ èëëþñòðèðóþòñÿ ïðèìåðàìè. Ïðè
óñëîâèè àêòèâíîé ðàáîòû ñ îïðåäåëåíèÿìè, ïðèìåðàì è óïðàæíåíèÿìè
äàííûé òåêñò ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ïåðâîíà÷àëüíîãî çíàêîìñòâà
ñ ïðåäìåòîì. Äëÿ áîëåå ãëóáîêî èçó÷åíèÿ òåîðèè ðåêîìåíäóþòñÿ ó÷åáíèêè [11, 18, 41]. Ïåðâûé èç íèõ íîñèò ýëåìåíòàðíûé õàðàêòåð. Áîëüøîå
÷èñëî çàäà÷ (ñ ðåøåíèÿìè) ìîæíî íàéòè â [6, 13, 14, 22]. Ðÿä ïðèìåðîâ
è óïðàæíåíèé çàèìñòâîâàí èç óêàçàííûõ èñòî÷íèêîâ.

Ÿ 1.1
Ìîäåëü âåðîÿòíîñòíîãî ýêñïåðèìåíòà, óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè

 îñíîâå ëþáûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ó÷èòûâàþùèõ ñëó÷àéíûå
ôàêòîðû, ëåæèò ìîäåëü âåðîÿòíîñòíîãî ýêñïåðèìåíòà. Ñîãëàñíî ñèñòåìå
àêñèîì Êîëìîãîðîâà îïèñàíèå òàêîé ìîäåëè âêëþ÷àåò òðè îáúåêòà:

• ìíîæåñòâî Ω âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà (ìíîæåñòâî ýëåìåí
10

Ãëàâà 1. Îñíîâû ñîâðåìåííîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
11

òàðíûõ èñõîäîâ),

• ñåìåéñòâî F ïîäìíîæåñòâ Ω  ñåìåéñòâî ñîáûòèé, êîòîðûå ìîãóò
íàáëþäàòüñÿ â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà,

• âåðîÿòíîñòü P âñåõ ñîáûòèé èç F.

Áîëåå òî÷íî, ñåìåéñòâî F äîëæíî áûòü σ-àëãåáðîé, ò.å.

• ∅ ∈ F;

• èç óñëîâèÿ Ai ∈ F, i ∈ Z+ âûòåêàåò, ÷òî ∪∞
i=1Ai ∈ F;

• èç óñëîâèÿ A ∈ F âûòåêàåò, ÷òî Ac := Ω\A ∈ F.

Ôóíêöèÿ P : F → [0, 1] äîëæíà áûòü âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé, ò.å. óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì

• P(∅) = 0, P(Ω) = 1;

• äëÿ ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâ
Ai ∈ F, i = 1, . . . , ∞ âåðíî ðàâåíñòâî

P

∞
i=1
Ai

=

∞
i=1
P(Ai)

 ñâîéñòâî ñ÷åòíîé àääèòèâíîñòè (σ-àääèòèâíîñòè).

Ïàðà (Ω, F) íàçûâàåòñÿ èçìåðèìûì ïðîñòðàíñòâîì. Òðîéêà (Ω, F, P)
íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíûì ïðîñòðàíñòâîì.

Ïðèìåð 1.1. Ðàññìîòðèì ýêñïåðèìåíò, ñîñòîÿùèé â n-êðàòíîì ïîäáðàñûâàíèè (íåñèììåòðè÷íîé) ìîíåòû. Ïóñòü p è q âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ
îðëà è ðåøêè ïðè îäíîì ïîäáðàñûâàíèè, p + q = 1, p, q > 0.  êà÷åñòâå
ìíîæåñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ âîçüìåì ìíîæåñòâî n-ýëåìåíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé:

Ω = {ω = (a1, . . . , an) : ai = H èëè ai = T}.

Çäåñü H è T  íà÷àëüíûå áóêâû àíãëèéñêèõ ñëîâ Head è Tail. Ïóñòü
F  ñåìåéñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ Ω. Âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé {ω} ââåäåì
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
P(ω) = pν(ω)qn−ν(ω),

Ÿ 1.1. Ìîäåëü âåðîÿòíîñòíîãî ýêñïåðèìåíòà, óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè

ãäå ν(ω)  êîëè÷åñòâî H â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ω = (a1, . . . , an).
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ω∈Ω P(ω) = 1. Íà ëþáûå ñîáûòèÿ èç F
âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P ïðîäîëæàåòñÿ îäíîçíà÷íî ïî ñâîéñòâó àääèòèâíîñòè.

Ñîáûòèÿ A, B ∈ F íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

 ïðèìåðå 1.1 âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà ïîñòðîåíà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
ñäåëàòü ðåçóëüòàòû ðàçëè÷íûõ ïîäáðàñûâàíèé íåçàâèñèìûìè. Áîëåå ÿñíûì ýòî ñòàíîâèòñÿ èç ñëåäóþùåé îáùåé êîíñòðóêöèè. Ïóñòü èìååòñÿ n
âåðîÿòíîñòíûõ ïðîñòðàíñòâ (Ωi, Fi, Pi). Èõ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî

(Ω1 × · · · × Ωn, F1 ⊗ · · · ⊗ Fn, P1 ⊗ · · · ⊗ Pn).
(1.1.1)

Çäåñü F1 ⊗ · · · ⊗ Fn  σ-àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ äåêàðòîâûìè ïðîèçâåäåíèÿìè A1 × · · · × An, Ai ∈ Fi, à âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P = P1 ⊗ · · · ⊗ Pn
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè

P(A1 × · · · × An) =

n
i=1
P(Ai).

Ïóñòü
Hi = {(ω1, . . . , ωn) ∈ Ω1 × · · · × Ωn : ωi ∈ Ai}
(1.1.2)

 ïðÿìîì ïðîèçâåäåíèè ñîáûòèÿ Hi, Hj, i ̸= j íåçàâèñèìû (óïð. 1.3).
Íåòðóäíî ïðîâåðèòü (óïð. 1.4), ÷òî óêàçàííîå â ïðèìåðå 1.1 âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ïðîèçâåäåíèåì ïðîñòðàíñòâ
(Ωi, Fi, Pi),

Ωi = {H, T},
Fi = σ({H}, {T}),
Pi(H) = p,
Pi(T) = q.
(1.1.3)

Ñîáûòèÿ, îïèñûâàþùèå ðåçóëüòàòû ðàçëè÷íûõ ïîäáðàñûâàíèé, èìåþò
âèä (1.1.2). Ñëåäîâàòåëüíî óêàçàííûå ñîáûòèÿ íåçàâèñèìû.
Ïóñòü A, B ∈ F, P(B) > 0. Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ A ïðè
óñëîâèè B íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå

P(A|B) := P(A ∩ B)

P(B)
.