Лекции об уравнениях с частными производными

О. А. Олейник

ЛЕКЦИИ ОБ УРАВНЕНИЯХ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

6-е издание, электронное

Москва
Лаборатория знаний
2020

УДК 517
ББК 22.161.1
O53

Печатается
по решению Ученого совета
Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова

Олейник О. А.
O53
Лекции
об
уравнениях
с
частными
производными
/
О. А. Олейник. — 6-е
изд.,
электрон. — М.
:
Лаборатория
знаний,
2020. — 260 с.
:
ил. — (Классический
университетский учебник). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-703-5
В книге излагаются основные факты, относящиеся к уравнению Лапласа, уравнению теплопроводности и волновому уравнению
как простейшим представителям трех основных классов уравнений
с частными производными. Приводятся доказательство теоремы
Ковалевской, смешанная задача для уравнения колебаний неоднородной струны, задача Коши для волнового уравнения и теория
симметрических гиперболических систем. Первая глава содержит
изложение некоторых сведений из анализа и теории обобщенных
функций.
Для студентов университетов и других вузов, изучающих уравнения с частными производными.
УДК 517
ББК 22.161.1

Деривативное издание на основе печатного аналога: Лекции
об
уравнениях
с
частными
производными
/
О. А. Олейник. —
3-е
изд.,
испр. — М.
:
БИНОМ.
Лаборатория
знаний,
2007. —
260 с.
:
ил. — (Классический
университетский
учебник). —
ISBN 978-5-94774-623-5.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-703-5

c○ Лаборатория знаний, 2015
c○ МГУ им. М. В. Ломоносова,
художественное оформление, 2003

2

Уважаемый читатель!

Вы открыли одну из замечательных книг, изданных в серии «Классический университетский учебник», посвященной 250-летию Московского
университета. Серия включает свыше 150 учебников и учебных пособий,
рекомендованных к изданию Учеными советами факультетов, редакционным советом серии и издаваемых к юбилею по решению Ученого совета МГУ.
Московский университет всегда славился своими профессорами и
преподавателями, воспитавшими не одно поколение студентов, впоследствии внесших заметный вклад в развитие нашей страны, составивших
гордость отечественной и мировой науки, культуры и образования.
Высокий уровень образования, которое дает Московский университет, в первую очередь обеспечивается высоким уровнем написанных выдающимися учеными и педагогами учебников и учебных пособий, в которых сочетаются как глубина, так и доступность излагаемого материала.
В этих книгах аккумулируется бесценный опыт методики и методологии
преподавания, который становится достоянием не только Московского
университета, но и других университетов России и всего мира.
Издание серии «Классический университетский учебник» наглядно
демонстрирует тот вклад, который вносит Московский университет в
классическое университетское образование в нашей стране и, несомненно, служит его развитию.
Решение этой благородной задачи было бы невозможным без активной помощи со стороны издательств, принявших участие в издании книг
серии «Классический университетский учебник». Мы расцениваем это
как поддержку ими позиции, которую занимает Московский университет в вопросах науки и образования. Это служит также свидетельством
того, что 250-летний юбилей Московского университета — выдающееся
событие в жизни всей нашей страны, мирового образовательного сообщества.

Ректор Московского университета

академик РАН, профессор
В. А. Садовничий

Оглавление

Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Из предисловия к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Глава 1. Вспомогательные предложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

1.1. Обозначения. Некоторые предложения из анализа . . . . . . . . . . .
11

1.1.1. Неравенство Гёльдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.1.2. Неравенство Фридрихса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

1.1.3. Оценка производной неотрицательной функции. . . . . . . .
16

1.2. Средние функции. Обобщенные производные. . . . . . . . . . . . . . . .
17

1.3. Основные понятия и теоремы теории обобщенных функций . .
24

1.3.1. Пространство обобщенных функций D′(Ω) . . . . . . . . . . . .
24

1.3.2. Прямое произведение обобщенных функций . . . . . . . . . . .
27

1.3.3. Свертка обобщенных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

1.3.4. Пространство обобщенных функций S′(Rn
x). . . . . . . . . . . .
34

1.3.5. Обобщенные решения дифференциальных уравнений . .
41

1.3.6. Пространство Hk(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

Глава 2. Классификация уравнений с частными производными . . .
43

2.1. Некоторые физические задачи, приводящие к уравнениям с
частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43

2.2. Задача Коши. Характеристики. Классификация уравнений. . .
52

Глава 3. Уравнение Лапласа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

3.1. Гармонические
функции.
Уравнение
Пуассона.
Формулы
Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

3.2. Фундаментальное решение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

3.3. Представление решений с помощью потенциалов . . . . . . . . . . . .
72

3.4. Основные краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

3.5. Теоремы о среднем арифметическом. Принцип максимума . . .
76

3.6. Функция Грина.
Решение задачи Дирихле для шара. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

3.7. Единственность и непрерывная зависимость решений краевых
задач от граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

3.8. Априорные оценки производных. Аналитичность . . . . . . . . . . . .
96

3.9. Теоремы Лиувилля и Фрагмена—Линделёфа . . . . . . . . . . . . . . . .
102

3.10. Изолированные особенности гармонических функций. Поведение в окрестности бесконечности. Задача Дирихле в неограниченной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111

3.11. О последовательностях гармонических функций. Обобщенное
решение уравнения Лапласа. Лемма Вейля. . . . . . . . . . . . . . . . . .
119

3.12. Ньютонов потенциал. Гипоэллиптичность оператора Лапласа
126

3.13. Обобщенные решения задачи Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

3.13.1. След функций из
◦
H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133

3.13.2. Задача Дирихле с однородными граничными условиями
136

3.13.3. Вариационный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139

Оглавление

3.13.4. Задача Дирихле с неоднородными граничными условиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143

Глава 4. Уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147

4.1. Формулы Грина. Фундаментальное решение. . . . . . . . . . . . . . . . .
147

4.2. Представление решений с помощью потенциалов. Бесконечная
дифференцируемость решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

4.3. Постановки краевых задач и задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156

4.4. Принцип максимума в ограниченной и неограниченной областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158

4.5. Априорные оценки решений краевых задач и задачи Коши.
Теоремы единственности. Стабилизация решений. . . . . . . . . . . .
165

4.6. Оценки производных. Аналитичность решений по переменным
x. Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170

4.7. Теорема Лиувилля. Теоремы об устранимой особенности. Компактность семейства решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177

4.8. Решение задачи Коши с помощью преобразования Фурье. Гладкость объемных тепловых потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186

4.9. Обобщенные решения. Гипоэллиптичность оператора теплопроводности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194

Глава 5. Гиперболические уравнения и системы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199

5.1. Волновое уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199

5.1.1. Задача Коши. Энергетическое неравенство . . . . . . . . . . . .
199

5.1.2. Решение задачи Коши в случае n = 3. Формула Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203

5.1.3. Метод спуска. Решение задачи Коши в случае n = 2.
Формула Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206

5.1.4. Формула Даламбера для уравнения струны . . . . . . . . . . .
207

5.1.5. Качественное исследование формул Кирхгофа, Пуассона, Даламбера. Распространение волн в пространствах
разной размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209

5.1.6. Неоднородное уравнение. Принцип Дюамеля . . . . . . . . . .
213

5.2. Смешанная задача для уравнения колебаний струны . . . . . . . .
215

5.3. Задача Коши для гиперболических систем уравнений с частными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229

5.4. Теорема Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229

5.5. Теорема Ковалевской и ее обобщения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233

5.5.1. Доказательство теоремы Ковалевской. . . . . . . . . . . . . . . . .
234

5.5.2. Некоторые обобщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

5.5.3. Пример несуществования аналитического решения. . . . .
238

5.6. Симметризуемые системы. Условие Годунова. . . . . . . . . . . . . . . .
239

5.7. Решение задачи Коши для симметричной системы. . . . . . . . . . .
241

5.7.1. Теорема единственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242

5.7.2. Теоремы вложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246

5.7.3. Априорная оценка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248

5.7.4. Существование решения задачи Коши системы с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249

5.7.5. Принцип Дюамеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254

5.8. Обобщенное решение задачи Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
259

Предисловие ко второму изданию

Мы приводим в настоящем издании фрагмент предисловия к первой части настоящего учебника, написанного Ольгой Арсеньевной Олейник в
1976 году и в том же году изданного издательством МГУ. Ольга Арсеньевна планировала написать вторую часть учебника, посвященную
гиперболическим уравнениям в частных производных, а также теории
краевых задач. Однако в силу ряда обстоятельств работа над второй
частью не была завершена. Сотрудники кафедры дифференциальных
уравнений механико-математического факультета МГУ после кончины
Ольги Арсеньевны приняли решение завершить работу над учебником,
опираясь на конспекты лекций, читанных О.А.Олейник в качестве обязательного курса теории уравнений с частными производными на механико-математическом факультете МГУ в течении целого ряда лет. В работе приняли участие А. Ю. Горицкий, Е. В. Радкевич, А. С. Шамаев.
В результате написанный О. А. Олейник учебник дополнился частью,
посвященной доказательству теоремы С. В. Ковалевской, смешанной задаче для уравнения колебаний неоднородной струны, задаче Коши для
волнового уравнения и теории симметрических гиперболических систем.
Следует отметить, что хотя этот материал и не был написан самой Ольгой Арсеньевной, он весьма близок по содержанию к курсам лекций,
которые были ею прочитаны в качестве основных курсов уравнений с
частными производными.
Работу по набору текста настоящего издания в издательской системе TEX проделали А. С. Городецкий, Т. О. Капустина, Г. А. Чечкин;
А. В. Боровских, В. А. Кондратьев и О. С. Розанова прочитали текст и
сделали ряд ценных замечаний.
Коллектив кафедры дифференциальных уравнений уверен, что настоящее издание будет использовано в учебном процессе по специальности «Уравнения с частными производными» студентами университетов и
послужит хорошей памятью об академике Ольге Арсеньевне Олейник —
выдающемся ученом-математике, блестящем преподавателе, внимательном руководителе, энергичном, отзывчивом, добром человеке.

А. С. Шамаев

Из предисловия
к первому изданию

Первая часть книги является расширенным изложением курса лекций,
которые автор читал в последние годы студентам третьего курса механико-математического факультета Московского университета. В курсе излагаются основные классические и современные разделы теории
уравнений с частными производными. Книга содержит также сведения
из функционального анализа, теории обобщенных функций и функциональных пространств.
Рецензенты: проф. Ю. В. Егоров, проф. Н. В. Ефимов, доц. А. С. Калашников.

Курс «Уравнения с частными производными» на механико-математическом факультете МГУ читается в пятом и шестом семестрах параллельно с курсом «Анализ III», в котором излагаются элементы теории
функций и функционального анализа, необходимые для курса «Уравнения с частными производными». С этим связана специфика курса
«Уравнения с частными производными», расширенным изложением которого являются настоящие «Лекции об уравнениях с частными производными». Курс делится на две части.
В первой части излагаются, главным образом, основные факты, относящиеся к уравнению Лапласа, уравнению теплопроводности и волновому уравнению как простейшим представителям трех основных классов уравнений с частными производными. Интеграл Лебега, функциональные пространства и обобщенные функции используются лишь в
отдельных теоремах, которые при первом чтении могут быть опущены читателями. Такими являются, например, лемма Вейля, теоремы о
гипоэллиптичности оператора Лапласа и оператора теплопроводности,
теоремы о фундаментальном решении. Первая глава (вводная) содержит изложение некоторых сведений из анализа и теории обобщенных
функций, которые используются в первой части курса.
Автор выражает благодарность Т. Д. Вентцель, Г. А. Иосифьяну и
А. С. Калашникову, прочитавшим рукопись и сделавшим полезные замечания, а также И. Г. Ниловой за работу по оформлению рукописи.

Глава 1
Вспомогательные предложения

1.1.
Обозначения.
Некоторые предложения из анализа

Введем обозначения, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Большинство из них являются общепринятыми.
Пусть x = (x1, . . . , xn) — точка вещественного n-мерного евклидова
пространства, которое будем обозначать через Rn
x. Для двух точек x =
(x1, . . . , xn) и x0 = (x0
1, . . . , x0
n) этого пространства рассмотрим скалярное
произведение

(x, x0) =

n
j=1
xjx0
j

и расстояние между ними

|x − x0| =

n
j=1
(xj − x0
j)2.

Как обычно, для любых двух множеств A и B будем обозначать:
A ⊂ B — включение множества A в множество B; A ∩ B — пересечение
множеств A и B, т. е. множество их общих элементов; A\B — множество
элементов A, не входящих в множество B. Через ∅ будем обозначать
пустое множество. Запись a ∈ A означает, что элемент a принадлежит
множеству A.
Если множество точек A ⊂ Rn
x, то через A обозначим замыкание
множества A, т. е. множество всех его предельных точек.
Открытое связное множество пространства Rn
x будем называть областью и обозначать через Ω. Область Ω называется ограниченной, если
для всех точек x ∈ Ω выполняется условие |x| < M, где M — некоторая
постоянная. Границу области Ω обозначим через ∂Ω, т. е. ∂Ω = Ω\Ω.
Расстоянием между множествами A и B из пространства Rn
x назовем
inf
x,y |x − y|, где x ∈ A, y ∈ B.

Для обозначения множества A евклидова пространства удобно пользоваться фигурными скобками { ; }, где перед знаком «;» записаны
координаты точки того пространства, которому принадлежит A, а по

Глава 1. Вспомогательные предложения

сле этого знака указаны условия на координаты точки, определяющие
принадлежность ее множеству A. Так, например, {x ; |x−x0| < R} определяет шар радиуса R с центром в точке x0. Такой шар в дальнейшем
будем обозначать через Qx0
R . Далее, Sx0
R
= {x ; |x − x0| = R} — сфера
радиуса R с центром в точке x0.
Через Rm+k
x,y
обозначим (m+k)-мерное пространство {x, y ; x ∈ Rn
x, y ∈
Rk
y}. Пусть A ⊂ Rn
x, B ⊂ Rk
y. Тогда A × B = {x, y ; x ∈ A, y ∈ B}.
В главе 4 мы будем рассматривать евклидово пространство Rn+1
x,t
=
{x, t ; x ∈ Rn
x, t ∈ R1
t}, в котором координата t, «время», выделена особо.
Функция f(x), определенная в точках x множества A, принадлежит
классу Ck(A) (короче, f ∈ Ck(A)), если f(x) имеет во всех внутренних
точках множества A непрерывные производные до порядка k включительно, которые допускают непрерывное продолжение на A, k ⩾ 1. Если f(x) непрерывна во всех точках множества A, то f ∈ C0(A). Через
C∞(A) обозначим класс функций, принадлежащих Cm(A) при любом
m ⩾ 1. Пусть A ∈ Rn+1
x,t
= (x1, . . . , xn, t). Будем говорить, что f(x, t) принадлежит классу Ck,m(A), если f имеет во всех внутренних точках A
непрерывные производные по x до порядка k включительно и непрерывные производные по t до порядка m включительно, которые допускают
непрерывное продолжение на A, k ⩾ 1, m ⩾ 1.
Введем понятие носителя функции f(x), определенной в Ω. Пусть
K — множество точек Ω таких, что f(x) равна нулю в некоторой окрестности каждой из точек K. Тогда множество Ω\K называется носителем функции f(x) и обозначается supp f. Через C∞
0 (Ω) обозначим
класс бесконечно дифференцируемых функций в Ω, имеющих компактный носитель. Такие функции называются еще финитными функциями или пробными функциями. Если Ω — ограниченная область, то всякая функция f(x) из класса C∞
0 (Ω) бесконечно дифференцируема и обращается в нуль во всех точках Ω, принадлежащих некоторой окрестности ее границы ∂Ω. Если Ω = Rn
x, то функция f(x) из класса C∞
0
равна
нулю вне некоторой конечной области и бесконечно дифференцируема
в любой точке x.
Через Lp(Ω), p ⩾ 1, обозначим класс измеримых функций u(x), заданных в Ω и таких, что
Ω

|u(x)|pdx < ∞.

Функции u(x) из Lp(Ω) образуют банахово пространство с нормой

∥u∥Lp(Ω) =
Ω
|u|pdx
1

p
(см. [1]). Измеримая функция u(x), заданная