Численные методы

Москва
Лаборатория знаний
2020

Рекомендовано
Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физико-математических специальностей
высших учебных заведений

Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков

ЧИСЛЕННЫЕ
МЕТОДЫ

9-е издание, электронное

УДК 519.6 (075)
ББК 22.193
Б30

Печатается
по решению Ученого совета
Московского государственного университета
имени М. В. Ломоносова
Бахвалов Н. С.
Б30
Численные
методы
/
Н. С. Бахвалов,
Н. П. Жидков,
Г. М. Кобельков. — 9-е изд., электрон. — М. : Лаборатория
знаний,
2020. — 636 с.
:
ил. — (Классический
университетский учебник). — Систем. требования: Adobe Reader XI ;
экран 10".— Загл. с титул. экрана. — Текст : электронный.
ISBN 978-5-00101-836-0
Классический учебник по численным методам, переработанный
с учетом современных тенденций в вычислительных методах. В данном издании устранены неточности и опечатки, имевшиеся в предыдущих изданиях, упрощены некоторые доказательства.
Для студентов и преподавателей вузов, а также для специалистов, использующих численные методы в своей работе.
УДК 519.6 (075)
ББК 22.193

Деривативное издание на основе печатного аналога: Численные методы / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. —
7-е изд. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. — 636 с. : ил. —
(Классический университетский учебник). — ISBN 978-5-9963-0449-3.

В
соответствии
со
ст. 1299
и
1301
ГК
РФ
при
устранении
ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель
вправе
требовать
от
нарушителя
возмещения
убытков
или выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-836-0

c○ Лаборатория знаний, 2015
c○ МГУ им. М. В. Ломоносова,
художественное оформление, 2003

2

Уважаемый читатель!

Вы открыли одну из замечательных книг, изданных в серии «Классический университетский учебник», посвященной 250-летию Московского
университета. Серия включает свыше 150 учебников и учебных пособий,
рекомендованных к изданию Учеными советами факультетов, редакционным советом серии и издаваемых к юбилею по решению Ученого совета
МГУ.
Московский университет всегда славился своими профессорами и преподавателями, воспитавшими не одно поколение студентов, впоследствии
внесших заметный вклад в развитие нашей страны, составивших гордость
отечественной и мировой науки, культуры и образования.
Высокий уровень образования, которое дает Московский университет,
в первую очередь обеспечивается высоким уровнем написанных выдающимися учеными и педагогами учебников и учебных пособий, в которых сочетаются как глубина, так и доступность излагаемого материала.
В этих книгах аккумулируется бесценный опыт методики и методологии преподавания, который становится достоянием не только Московского
университета, но и других университетов России и всего мира.
Издание серии «Классический университетский учебник» наглядно демонстрирует тот вклад, который вносит Московский университет в классическое университетское образование в нашей стране и, несомненно, служит его развитию.
Решение этой благородной задачи было бы невозможным без активной
помощи со стороны издательств, принявших участие в издании книг серии «Классический университетский учебник». Мы расцениваем это как
поддержку ими позиции, которую занимает Московский университет в
вопросах науки и образования. Это служит также свидетельством того,
что 250-летний юбилей Московского университета — выдающееся событие
в жизни всей нашей страны, мирового образовательного сообщества.

Ректор Московского университета

академик РАН, профессор
В. А. Садовничий

Первый вариант этой книги появился около тридцати лет назад, когда
экономика страны находилась на подъеме и специалисты в области численных методов были весьма уважаемы в обществе.
«Вычислители» старшего поколения, многие из которых, как и Николай Петрович Жидков, уже ушли из жизни, внесли неоценимый вклад в
развитие научного и промышленного потенциала нашей страны, ее обороноспособности. Создание ракетно-ядерного щита над нашей страной, в
котором они приняли активное участие, предотвратило третью мировую
войну.
За прошедшее время произошло изменение интеллектуального уровня
задач, требующих внимания математиков, в частности, специалистов в
области численных методов.
Это вызвано, с одной стороны, падением уровня науки и производства,
а с другой — непрерывно растущей общедоступностью достаточно мощной
вычислительной техники. Задачи, решение которых тридцать лет назад
требовало умения творчески применять теорию численных методов, часто
могут быть решены с помощью современных вычислительных машин без
использования сложных вычислительных методов.
Однако мы сохранили общий теоретический настрой книги, исходя из
следующих соображений.

1. Теория численных методов, однажды возникнув, развивается по своим
внутренним законам так же, как иные фундаментальные разделы математики.

2. Уже первые наметившиеся шаги по восстановлению экономики страны
показали востребованность в специалистах в области теории численных
методов и практики их применения.

3. Как показывает опыт промышленно развитых стран Запада развитие средств коммуникации, глобальная компьютеризация и распространение так называемой массовой культуры сопутствуют катастрофическому
падению уровня математической образованности. В этих условиях становится особенно актуальным создание программного обеспечения решения прикладных задач, допускающего его использование исследователями
невысокой математической квалификации. Разработка такого обеспечения
невозможна без участия специалистов в области численных методов и
без дальнейшего развития теории численных методов.

В то же время создание такого обеспечения не решает всех проблем,
связанных с падением математической образованности общества. Прежде

Предисловие к третьему изданию

чем прикладные задачи попадут к специалистам в области численных
методов и их применения, должны быть построены математические модели рассматриваемых проблем. Для их создания, грамотного осознания
результатов расчетов и дальнейшего использования требуется участие в
сотни раз большего числа специалистов из других разделов математики
и особенно других областей экономики и знания — экономистов, физиков,
химиков, механиков, биологов, металлургов, технологов, . . . , обладающих
(помимо минимальных познаний в области вычислительных технологий)
достаточно высокой математической культурой. Поэтому достойное развитие экономики и науки невозможно без широкого распространения этой
культуры.

Попытаемся определить место теории численных методов в системе других областей знаний и рассказать о проблемах, возникающих в связи с ее
применением, прежде чем переходить к непосредственному ее изложению.
Математика как наука возникла в связи с необходимостью решения
практических задач: измерений на местности, навигации и т. д. Вследствие этого математика была численной математикой, ее целью являлось
получение решения в виде числа.
Численное решение прикладных задач всегда интересовало математиков. Крупнейшие представители прошлого сочетали в своих исследованиях изучение явлений природы, получение их математического описания,
как иногда говорят, математической модели явления, и его исследование. Анализ усложненных моделей потребовал создания специальных, как
правило, численных или асимптотических методов решения задач. Названия некоторых из таких методов — методы Ньютона, Эйлера, Лобачевского, Гаусса, Чебышева, Эрмита, Крылова — свидетельствуют о том, что их
разработкой занимались крупнейшие ученые своего времени.
Настоящее время характерно резким расширением приложений математики, во многом связанным с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ (электронно-вычислительных машин или, как часто говорят, компьютеров) с программным управлением менее чем за пятьдесят лет скорость выполнения арифметических
операций возросла от 0,1 операции в секунду при ручном счете до 1012

операций на современных серийных ЭВМ, т. е. примерно в 1013 раз.
Рост возможностей в связи с созданием вычислительной техники носит качественный характер и иногда сравнивается с промышленной революцией, вызванной изобретением паровой машины. Уместно вспомнить,
что в итоге промышленной революции и последующего на протяжении
двух веков развития науки и техники скорость передвижения возросла
от скорости пешехода 6 км/ч до скорости космонавта 30 000 км/ч, т. е.
в 5 000 раз.
Распространенное мнение о всемогуществе современных ЭВМ часто порождает впечатление, что математики избавились почти от всех хлопот,
связанных с численным решением задач, и разработка новых методов
для их решения уже не столь существенна. В действительности дело обстоит иначе, поскольку потребности эволюции, как правило, ставят перед наукой задачи, находящиеся на грани ее возможностей. Расширение
возможностей приложения математики обусловило математизацию химии,

Введение

экономики, биологии, геологии, географии, психологии, экологии, метеорологии, медицины, конкретных разделов техники и др. Суть математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений
и в разработке методов их исследования.
В физике или механике, например, построение математических моделей для описания различных явлений и изучение этих моделей с целью
объяснения старых или предсказания новых эффектов являются традиционными.
Однако в целом работа в этом направлении зачастую продвигалась относительно медленно, поскольку обычно не удавалось получить решение
возникающих математических задач и приходилось ограничиваться рассмотрением простейших моделей. Применение ЭВМ и расширение математического образования резко увеличило возможности построения и исследования математических моделей. Все чаще результаты расчетов позволяют обнаруживать и предсказывать ранее никогда не наблюдавшиеся
явления; это дает основание говорить о математическом эксперименте. В
некоторых исследованиях доверие к результатам численных расчетов так
велико, что при расхождении между результатами расчетов и экспериментов в первую очередь ищут погрешность в результатах экспериментов.
Современные успехи в решении таких, например, проблем, как атомные и космические, вряд ли были бы возможны без применения ЭВМ
и численных методов.
Требование численного решения новых задач привело к появлению
большого количества новых методов. Наряду с этим последние полвека происходило интенсивное теоретическое переосмысливание и старых
методов, а также систематизация всех методов. Эти теоретические исследования оказывают большую помощь при решении конкретных задач и
играют существенную роль в наблюдаемом сейчас широком распространении сферы приложений ЭВМ и математики вообще.
Как уже отмечалось, с помощью современных ЭВМ удалось успешно
решить ряд важных научно-технических задач. У непосвященного человека может возникнуть превратное впечатление, что успехи в применении
ЭВМ обусловлены только повышением их быстродействия. Реально дело
обстоит иначе и сложнее.
Правильнее будет сказать, что достижения в области использования
ЭВМ обусловлены сочетанием ряда существенных факторов, без пропорционального развития которых они были бы много скромнее:
1) увеличение быстродействия
ЭВМ, расширение памяти, совершенствование структуры ЭВМ, неуклонное снижение стоимости арифметической операции и единицы памяти;
2) разработка программных средств общения с ЭВМ, включающая создание операционных систем, языков программирования, библиотек и пакетов стандартных программ, снижение требований (в случае персональных ЭВМ) к математической и программистской культуре;