Лекции по избранным проблемам механики сплошных сред

В.П. КРАЙНОВ

ЛЕКЦИИ ПО ИЗБРАННЫМ 
ПРОБЛЕМАМ МЕХАНИКИ 

СПЛОШНЫХ СРЕД

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

Второе издание

9

Â.Ï. Êðàéíîâ
Ëåêöèè ïî èçáðàííûì ïðîáëåìàì ìåõàíèêè ñïëîøíûõ
ñðåä: Ó÷åáíîå ïîñîáèå / Â.Ï. Êðàéíîâ – 2-å èçä. – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2019. – 120 ñ.

Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîñâÿùåíî àíàëèòè÷åñêèì è ïðèáëèæåííûì ìåòîäàì îïèñàíèÿ ðàçëè÷íûõ ðàçäåëîâ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä. Áîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé è êà÷åñòâåííîé èíòåðïðåòàöèè
òåîðèè.
Îáùèé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû, çíàÿ îòâåò
äëÿ äàííîé ôèçè÷åñêîé çàäà÷è èíòóèòèâíî èëè èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, ðàçâèòü ìàòåìàòè÷åñêèé ìåòîä ïîëó÷åíèÿ äàííîãî îòâåòà, ôîðìóëèðóÿ óðàâíåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà íà îñíîâå áîëåå îáùèõ ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ èëè ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèìè,
óæå ðåøåííûìè, ïðîáëåìàìè. Ðàçâèòûå ìåòîäû ïîçâîëÿþò ïðàâèëüíî
îöåíèòü ïîðÿäêè ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí â ðàçëè÷íûõ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññàõ.
Ðàññìîòðåíû ñîëèòîííûå ðåøåíèÿ ïðè âîëíîâîì äâèæåíèè â ãàçàõ
è æèäêîñòÿõ, äàí ïðîñòîé àíàëèç ñöåíàðèÿ âîçíèêíîâåíèÿ òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ ÷åðåç óäâîåíèå ïåðèîäîâ âèõðåé, ñöåíàðèÿ îáðàçîâàíèÿ
âèõðåé, ÿâëåíèÿ äèíàìè÷åñêîãî õàîñà â ìåõàíè÷åñêèõ è ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ çàäà÷àõ.  Ïðèâåäåíû ñòðóêòóðû ôðîíòà óäàðíûõ âîëí è âîëí
ðàçðåæåíèÿ, ÿâëåíèÿ îïðîêèäûâàíèÿ âîëí, ðàçîáðàíî òå÷åíèå ÷åðåç
ïîðèñòûå ñðåäû. Äàíî ïîëóêîëè÷åñòâåííîå îïèñàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ
ïëîòíîñòè è äàâëåíèÿ âîçäóõà ïðè ñèëüíîì âçðûâå. Àíàëèçèðóåòñÿ
ñàìîîðãàíèçàöèÿ â ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñðåäå. Áîëüøîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ðàñïðîñòðàíåíèþ çâóêà â æèäêîñòè, â äâóõôàçíûõ ñðåäàõ, â
ïîäâîäíîì êàíàëå îêåàíà, à òàêæå ðàññåÿíèþ çâóêà íà ìàëûõ îáúåêòàõ.
Ðåøåíû íåñêîëüêî çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ôàçîâûì ðàâíîâåñèåì æèäêîñòè
è ïàðà.
Äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ, àñïèðàíòîâ, ïðåïîäàâàòåëåé ôèçè÷åñêèõ è èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêèõ ôàêóëüòåòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ
â îáëàñòè ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä.
Ïåðâîå èçäàíèå êíèãè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â âåäóùèõ ðîññèéñêèõ
óíèâåðñèòåòàõ.

ISBN 978-5-91559-270-3

ISBN 978-5-91559-270-3

© 2014, Â.Ï. Êðàéíîâ
© 2019, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Л е к ц и я 1.
Игра: орел–решка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Л е к ц и я 2.
Оценка просачивания воды через песок . . . . . . . . .
9
Л е к ц и я 3.
Вращательная диффузия молекул в собственном газе
12
Л е к ц и я 4.
Плотность воздуха внутри области взрыва . . . . . . .
14
Л е к ц и я 5.
Давление воздуха внутри области взрыва . . . . . . . .
19
Л е к ц и я 6.
Распространение волны разрежения в воздухе . . . . .
21
Л е к ц и я 7.
Слабая ударная волна в воздухе . . . . . . . . . . . . . . .
31
Л е к ц и я 8.
Распространение мощных уединенных волн
по поверхности воды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Л е к ц и я 9.
Процесс опрокидывания волны на воде . . . . . . . . . .
47
Л е к ц и я 10. Образование стационарных вихрей в воздухе при
движении тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Л е к ц и я 11. Образование вихрей в газах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Л е к ц и я 12. Самоорганизация в гидродинамической среде . . . . .
72
Л е к ц и я 13. Распространение звука в океане по звуковому каналу
82
Л е к ц и я 14. Динамический хаос при распространении звука
в океане . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Л е к ц и я 15. Оценка скорости звука в жидкости . . . . . . . . . . . . .
99
Л е к ц и я 16. Рассеяние звуковой волны в воздухе на теле малого
радиуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
Л е к ц и я 17. Фазовое равновесие жидкости с ее насыщенным
паром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
Л е к ц и я 18. Теплоемкости вблизи критической точки . . . . . . . . .
110
Л е к ц и я 19. Скорость звука в модели Ван-дер-Ваальса . . . . . . . .
113
Л е к ц и я 20. Оценка скорости звука в кипящей воде . . . . . . . . . .
115

ПРЕДИСЛОВИЕ

Это учебное пособие, в основу которой положен курс лекций по гидродинамике, читаемый автором в МФТИ по выбору для студентов 5-го курса различных специальностей, ставит своей целью углубить знания изучающих этот предмет. Оно составлено в форме задач с
решениями. Учебное пособие содержит решения ряда типичных задач
гидродинамики приближенными методами. Необходимость приближенных методов диктуется тем соображением, что численные расчеты, как
правило, связаны с обширными и трудоемкими компьютерными вычислениями. Всегда, прежде чем обращаться к таким вычислениями, целесообразно произвести качественные и приближенные оценки результатов, которые вообще не требуют привлечения компьютеров и не требуют знания сложных специальных функций математической физики.
Приближенные оценки позволяют правильно оценить порядки физических величин, получающиеся при решении задач, а также довольно
часто позволяют упростить сами уравнения, программируемые на компьютерах, путем отбрасывания в них несущественных членов. При этом
сам факт несущественности обнаруживается лишь при использовании
приближенных методов, а заранее не очевиден.
Конечно, в гидродинамике имеется также и большое число задач, в которых приближенный подход неосуществим. В таких случаях целесообразно привлекать сведения экспериментального или наглядного характера.
Для понимания материала данного учебного пособия читателю достаточно знать курс общей физики для студентов высших технических
учебных заведений. Что касается математических сведений, то от читателя требуется умение правильно проводить математические оценки
выражений. Например, если имеется простая функция вида

f(x) =
1

x + x0 ,

Предисловие
5

то производная этой функции оценивается в области x ≪ x0 как f/x0, а
в области x ≫ x0 как f/x. При отсутствии явного математического выражения вида функции производная оценивается, исходя из наглядных
представлений о виде функции. Например, производная df/dx может
быть приближенно аппроксимирована как f/x или x/f в зависимости от
характера физического объекта, которому сопоставляется эта функция.
На первый взгляд, кажется, что основой большинства решений может служить метод размерностей. В действительности, в большинстве
задач имеются безразмерные комбинации из физических параметров,
определяющих требуемый результат, так что главная проблема всегда
заключается в том, чтобы найти, как входят в ответ эти безразмерные
величины. Эта проблема решается путем привлечения соображений физической интуиции, законов сохранения и аналогий с ходом решения
других задач.
В гидродинамике широко распространен метод автомодельных решений. Это позволяет определить динамику изменения всех интересующих величин со временем, оставляя неизвестными только постоянные
множители в решениях. В других аналогичных задачах приближенное
решение может быть не столь детальным как точное. Например, если
сильный точечный взрыв происходит не в воздухе, а в пористой среде
с высокой степенью пористости, то часть энергии взрыва переходит в
теплоту, а часть в кинетическую энергию захваченного взрывом грунта.
При этом из общих соображений удается определить лишь связь между
скоростью фронта и массой вещества, захватываемого ударной волной.
Основная сложность уравнений гидродинамики заключается в нелинейном по скорости члене в уравнении Навье–Стокса. С точки зрения
качественного подхода переход от ламинарного режима течения к турбулентному течению должен был бы происходить при числах Рейнольдса порядка единицы. Однако экспериментально известно, что, например, при течении в трубах критическое число Рейнольдса составляет
несколько тысяч. В линейных дифференциальных уравнениях с коэффициентами порядка единицы и при начальных условиях на безразмерные комбинации участвующих физических величин порядка единицы
решение этих уравнении также всегда порядка единицы. Таким образом, все дело в нелинейности уравнений гидродинамики и большом числе самих уравнений, в которых зачастую надо учитывать и уравнение
теплопроводности и т. п.
Из сказанного следует, что приближенные методы все же требуют
привлечения экспериментальных данных, чтобы в их выводы можно
было поверить. Это связано с весьма сложным характером решений
нелинейных уравнений Навье–Стокса — только из вида самих уравнений не удается угадать основные черты решения, которые сами по себе

Предисловие

не являются сложными. В процессе приближенного решения задач часто предварительно используется предполагаемый вид ответа, который
далее подтверждается задним числом.
Отбор материала для этого пособия, разумеется, включает лишь
малую часть задач гидродинамики в целях иллюстрации типичных подходов к решениям. Ряд других задач рассматривается в книге автора:
Крайнов В. П. Качественные методы в физической кинетике и гидрогазодинамике. М.: Высшая Школа, 1989. 224 с, где акцент делается не на
приближенных, а просто на качественных подходах.

Л Е К Ц И Я
1

ИГРА: ОРЕЛ–РЕШКА

Эта вводная задача нацелена не на методы динамики, а на
развитие интеллекта у студента, способствующего пониманию следующих задач. В этой азартной игре на деньги много раз бросается монета
и каждый раз выпадает орел или решка. Вам предложил поиграть в нее
жулик. Вы договариваетесь с жуликом все время ставить, например,
на орла, т. е. каждый раз получаете один рубль, если выпадает орел, и
отдаете один рубль, если выпадает решка. Жулик тогда, разумеется,
подбирает из своих запасов такую монету, которая из-за небольшой
неровности (например, малозаметной выпуклости), чуть-чуть чаще падает на решку, чем на орла. Вероятности выпадения орла и решки
обозначим соответственно

p1 = 1 − a

2
;
p2 = 1 + a

2
;
0 < a ≪ 1.

Мой средний выигрыш за N ≫ 1 бросаний монеты равен N(p1 −p2) = −aN
(отрицательное значение соответствует проигрышу). Среднеквадратичное отклонение от этого среднего значения при гауссовом распределении вероятности (это предел биноминального распределения при
большом числе бросаний и большом среднем значении выпадения орла
или решки) вычисляется элементарно и равно (при a ≪ 1)
√

N. Итак,
выигрыш заключен в диапазоне, учитывающем флуктуации

[−aN +
√

N, −aN −
√

N].

Обе зависимости показаны на рис. 1 для примера a = 0,1.
Верхняя кривая имеет максимум при N = 1/(4a2) = 25 ≫ 1 и обращается в нуль при N = 1/a2 = 100 ≫ 1. Ваша стратегия на выигрыш,
несмотря на ухищрения жулика, должна выглядеть так: Вы играете,
например, до момента N = 16. С равной вероятностью Вы попадаете на

Лекция 1. Игра: орел–решка

верхнюю или нижнюю кривые, или между ними, т. е. проигрываете в
среднем −aN = −1,6 рубль. Но есть шанс, что при этом из-за флуктуации подряд выпадет орел N 1/2 = 4 раза (полоса выигрышей). После
этого Вы сразу прекращаете игру, имея выигрыш −aN+
√

N = 2,4 рубля.
Наиболее разумно прекращать игру на максимуме верхней кривой на
рисунке, т. е. при N = 25. Тогда максимальный выигрыш при выпадении
подряд N 1/2 = 5 орлов составит −aN +
√

N = 2,5 рубля.

Рис. 1

Если такой полосы нескольких выигрышей подряд не происходит в
эти моменты времени, то надо подождать, пока эта полоса не наступит.
При этом согласно рис. 1 суммарный выигрыш будет меньше, чем максимальный, но все же будет. Однако нельзя ждать более N = 100 бросаний монеты. Тогда согласно рис. 1 безусловно игра будет проигранной.
Поэтому при N = 100, если полоса выигрышей из-за флуктуации не наступила, то надо остановить игру — при этом Вы ничего не выиграете,
но хотя бы ничего не проиграете. Для того, чтобы определить величину a при такой стратегии Ваших действий, надо следить за начальной
стадией игры, рассчитывая свой средний проигрыш за N бросаний (до
полосы выигрышей), равный −aN, откуда Вы и находите величину a.

Л Е К Ц И Я
2

ОЦЕНКА ПРОСАЧИВАНИЯ ВОДЫ
ЧЕРЕЗ ПЕСОК

Медленное течение воды через поры в песке под действием
градиента давления — это вязкое течение Пуазейля, имеющее место
при малых числах Рейнольдса. Мы моделируем поры полыми трубочками. Пусть l — длина трубочки, r — ее характерный поперечный
размер, а δp — малая разность давлений на концах трубочки. Скорость медленного течения пропорциональна градиенту давления δp/l:
это первый член разложения скорости в ряд Тейлора в уравнениях
Навье–Стокса. Подчеркнем, что скорость течения определяется именно
градиентом давления, а не разностью давлений на концах трубочки.
Коэффициент пропорциональности в этой зависимости (уже не содержащий l) можно оценить из соображений размерности — он содержит
плотность воды ρ, r и кинематическую вязкость воды ν. Последняя
величина имеет размерность см2/с — она оценивается как произведение
скорости молекулы воды на длину ее свободного пробега (вязкость
среды определяется передачей импульса от одной молекулы к другой
при столкновении друг с другом). Получаем

u ∝ δp

l
r2

ρν

»
г

см2 · с2
см2

(г/см3) · (см2/с) = см

с

–
.
(2.1)

Объемный расход жидкости через одну трубочку оценивается как

q ∝ ur2 ∝ δp

l
r4

ρν .
(2.2)

Если трубочка имеет цилиндрическую форму радиуса r, то численный
коэффициент в этой зависимости равен π/8 (формула Пуазейля). Мы
видим, что коэффициент имеет порядок единицы. Этот факт является
достаточно общим утверждением: решение дифференциального уравнения (в данном случае, уравнения Навье–Стокса) с коэффициентами

Лекция 2. Оценка просачивания воды через песок

порядка единицы, как правило, также имеет порядок единицы. Эти соотношения справедливы при малом значении безразмерного числа Рейнольдса

Re = ur

ν < 1.

Тогда можно пренебречь нелинейным слагаемым в уравнении Навье–
Стокса.
Рассмотрим параллепипед из песка длиной l и поперечным сечением S. Скорость течения воды через этот параллепипед запишем в
виде, аналогичным (2.1)
u = δp

l
k
ρν .

Величина k называется коэффициентом проницаемости. Он имеет
размерность площади. Нам требуется оценить его величину. Объемный
расход воды через весь параллепипед равен (закон Дарси)

Q = δp

l
kS
ρν .
(2.3)

Это верно, если считать, что вода течет через множество трубочек,
причем течения через различные трубочки не зависят друг от друга
(лучше сказать, в лабиринте пустот в песке они редко пересекаются).
Радиус трубочки r оценим ниже.
В такой модели пористость ε (отношение объема пустот к суммарному объему песчинок и пустот) можно представить в виде

ε = V′

V = S′l

Sl ∝ n′r2l

V .
(2.4)

Здесь S′ ∝ n′r2 — суммарная площадь трубочек, через которые просачивается вода. Величина n′ — это число трубочек. Числовые множители
во всех оценках опускаем.
Число песчинок оценивается как

n ∝ V − V′

a3
= (1 − ε)V

a3
.
(2.5)

Площадь поверхности всех песчинок, которые омывает вода, равна a2n.
Главная идея модели состоит в том, что, с другой стороны, эта площадь
равна площади поверхности всех пустотелых трубочек, которые омывает вода, т. е.
a2n ∝ n′rl!
(2.6)

Подставляя (2.4) и (2.5) в (2.6), находим

(1 − ε)V

a
∝ εV

r .

Лекция 2. Оценка просачивания воды через песок
11

Отсюда получаем оценку для радиуса каждой трубочки

r ∝
ε

1 − εa.
(2.7)

Конечно, при малой проницаемости (ε ≪ 1) радиус трубочки мал по
сравнению с размером песчинки, в соответствии с качественным представлением о просачивании. Далее, из-за изгибов трубочки при обтекании песчинки длина трубочки больше длины параллепипеда l. Для
шарообразной песчинки радиуса a эта длина увеличивается в π/2 раз.
Однако при качественном подходе мы пренебрегаем всеми такими
факторами.
Объемный расход q воды через одну трубочку дается соотношением (2.2). Расход воды через все трубочки равен

Q = qn′ ∝ δp

l
r4

ρν n′.

Сравнивая эту формулу с определением (2.3), находим коэффициент
проницаемости (учитывая (2.4))

k ∝ n′r4

S
∝ S′r2

S
= εr2.

Подставляя радиус трубочки (2.7) в это соотношение, получим

k ∝
ε3

(1 − ε)2 a2.
(2.8)

Она справедлива при малом значении числа Рейнольдса

Re =
ε

(1 − ε)
ua
ν < 1.

При обычном условии ε ≪ 1 выражение (2.8) приобретает совсем простой вид
k ∝ ε3a2.
(2.9)

Видно, что коэффициент проницаемости очень сильно зависит от пористости среды.
Если учесть все численные множители, опущенные выше, а также
увеличение длины трубочки из-за ее изгиба при обтекании песчинок,
о котором упоминалось выше, то получим формулу Козени–Кармана

k =
ε3

45(1 − ε)2 a2.

Она хорошо согласуется с экспериментальными данными.