Практическое руководство к решению задач по теории электрических цепей

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 
ФЕДЕРАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ФСИН РОССИИ 
 
Кафедра основ радиотехники и электроники 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО  
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ 
ЦЕПЕЙ: ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА  
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ. ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Воронеж 
2019 
 
 

УДК 621.373(075)
ББК 32.88

П69

Рекомендовано методическим советом Воронежского института ФСИН 

России 18 июня 2019 г., протокол № 10

Рецензенты:

профессор кафедры физики и химии ВУНЦ ВВС «ВВА», доктор физико
математических наук, профессор И.М. Голев;

профессор кафедры математики и естественно-научных дисциплин ФКОУ ВО 
Воронежский институт ФСИН России, доктор физико-математических наук, 

доцент Р.В. Кузьменко

Практическое руководство к решению задач по теории элек
трических цепей: основные методы расчета линейных цепей. 
Трехфазные цепи : учебно-методическое пособие для курсантов,  
студентов и слушателей / сост. [Т.И. Касаткина, М.Ю. Чепелев] ; 
ФКОУ ВО Воронежский институт ФСИН России. – Воронеж, 2019. –
241 с.

В пособии представлен краткий теоретический материал по осно
вополагающим разделам курса теории электрических цепей в виде основных определений, соотношений, положений и расчетных формул. Рассмотрены типовые задачи по каждому разделу с подробными решениями 
и пояснениями. В пособии излагаются основные законы и методы расчета 
линейных электрических цепей на примерах цепей с постоянными 
напряжениями и токами. Рассмотрено поведение линейных цепей при 
гармоническом воздействии. Представлены принципы расчетов цепей с 
зависимыми источниками, цепей с обратной связью и трехфазных цепей.
Пособие содержит теоретический и практический материал. 

Пособие предназначено для курсантов, студентов и слушателей об
разовательных организаций.

УДК 621.373(075)
ББК 32.88

Издано в авторской редакции

© ФКОУ ВО Воронежский институт 
ФСИН России, 2019
© Составление. Касаткина Т.И., 
Чепелев М.Ю., 2019

П69

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение                                                                                                                       5 

ГЛАВА 1. Линейные электрические цепи: основные положения, законы  

и методы расчета                                                                                                     9 

1.1.  Элементы линейных электрических цепей                                                      9 

1.2.  Закон Ома                                                                                                            13 

1.3.  Законы Кирхгофа                                                                                                15 

1.4. Методы расчета сложных цепей постоянного тока                                         16 

1.5. Баланс мощностей                                                                                               29 

Методика решения заданий к главе 1                                                                 30 

Задания для самостоятельного решения к главе 1                                           81 

ГЛАВА 2. Линейные цепи при гармоническом воздействии                          96 

2.1. Физические величины, изменяющиеся с течением времени по 

синусоидальному закону                                                                                           96 

2.2. Запись физической величины, изменяющейся с течением времени по  

синусоидальному закону, в комплексной форме                                                    98 

2.3. Активные и пассивные элементы электрической цепи переменного тока 101 

2.4. Закон Ома для электрических цепей при гармоническом воздействии      105 

2.5. Законы Кирхгофа для электрических цепей при гармоническом  

воздействии                                                                                                              106 

2.6. Последовательное и параллельное соединение участков цепи, содержащих 

сопротивления                                                                                                          109 

2.7. Комплексная мощность                                                                                    110 

2.8. Переход между схемами последовательного и параллельного  

соединений                                                                                                               111 

2.9. Определение частотных характеристик и единицы измерения частотного 

диапазона                                                                                                                  112 

2.10. Определение комплексного сопротивления пассивного  

двухполюсника                                                                                                        116 

2.11. Эквивалентные и обратные двухполюсники                                             116 

Методика решения заданий к главе 2                                                               118 

Задания для самостоятельного решения к главе 2                                         167 

ГЛАВА 3. Электрические цепи с зависимыми источниками и  

электрические цепи с обратной связью                                                            191 

3.1. Электрические цепи с зависимыми источниками                                         191 

3.2. Эквивалентные схемы замещения активных элементов                              192 

3.3. Коэффициент усиления                                                                                    194 

3.4. Электрические цепи с обратной связью                                                         195 

Методика решения заданий к главе 3                                                               197 

Задания для самостоятельного решения к главе 3                                         212 

ГЛАВА 4. Трехфазные цепи                                                                                 221 

4.1 Основные соотношения и положения для трехфазных цепей                      221 

4.2. Расчет трехфазных цепей с соединением типа звезда-звезда                      222 

Методика решения заданий к главе 4                                                               223 

Задания для самостоятельного решения к главе 4                                         229 

Заключение                                                                                                               238 

Список использованной литературы                                                                     239 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Потребности непрерывного развития науки и техники ставят перед кур
сантами, студентами и слушателями, занимающимися разработкой и эксплуа
тацией телекоммуникационных и радиотехнических устройств. Технический 

прогресс ставит перед обучающимися задачу постоянного саморазвития и са
мосовершенствования за счет изучения огромного количества технической ин
формации.  

Близкородственные дисциплины «Теория электрических цепей» и «Осно
вы теории цепей» являются основополагающим теоретическим фундаментом, 

использующийся для построения на своей основе материала ряда специальных 

дисциплин и, в свою очередь, сами основанны на итоговых знаниях, навыках и 

умениях, полученных обучающимися по результатам изучения предыдущих 

курсов и дисциплин области связи, телекоммуникационных технологий, элек
тронной и радиотехники. Дисциплины «Теория электрических цепей» и «Осно
вы теории цепей» базируются на знаниях, полученных в таких курсах, как «Фи
зика», «Математический анализ» и «Математика». Данный курс представляет 

собой важное звено в обучении и подготовке высококвалифицированных ин
женеров, для которых чрезвычайно важно идти в ногу со временем, изучая све
дения о современных разработках и изобретениях в области телекоммуникаци
онных систем и радиотехнических устройств связи, а они, в свою очередь, не
возможны без понимания глубинных процессов, протекающих в электрических 

устройствах.  

В дисциплинах «Теория электрических цепей» и «Основы теории цепей», 

находящихся на стыке различных наук, осуществляется интеграция сразу не
скольких областей знаний, разделов физики и навыков применения математи
ческого аппарата.  

В настоящем пособии рассмотрен краткий теоретический материал по ря
ду основополагающих разделов дисциплин «Теория электрических цепей» и 

«Основы теории цепей» в виде основных определений, соотношений, положе

ний и расчетных формул. Рассмотрены основные типовые задачи к каждому 

разделу и даны их подробные решения с пояснениями. В пособии излагаются 

основные законы и представлены методы расчета линейных электрических це
пей на примерах цепей с постоянными напряжениями и токами. Проведено рас
смотрение поведения линейных цепей при гармоническом воздействии. Изло
жены принципы расчетов цепей с зависимыми источниками и цепей с обратной 

связью. 

Учебно-методическое пособие стремится научить подбирать оптималь
ный способ решения электротехнических задач и выстроить обучение на основе 

принципа сравнения и наилучшего выбора.  В каждой главе пособия приведены 

основные расчетные соотношения, рекомендуемые к использованию на практи
ке. В каждой из глав представлено описание физических принципов и проведен 

анализ существующих методик решения задач с указанием рекомендаций по их 

наилучшему применению. Также приведены основные схемы, с пояснениями 

реализующихся в них процессов и описанием их предназначения.  

Потребность написания данного пособия возникла в результате анализа 

существующей современной литературы в данной отрасли. Большинство суще
ствующих курсов, охватывающие дисциплины «Теория электрических цепей» и 

«Основы теории цепей» [1-3, 5-9], предполагают наличие большого количества 

теоретического материала без ориентации на практическое применение обуча
ющимся полученных знаний. Целью настоящего пособия является стремление 

заложить навыки, необходимые обучающимся для понимания тонкостей аспек
тов работы электронных и технических устройств и приборов, во всем много
образии их схемных реализаций и формул для их расчетов.  

Настоящее пособие задумывалось авторами в качестве практического ру
ководства к решению задач, ориентированного на рассмотрение различных ас
пектов и практического применения теоретических знаний и нацелено на обу
чение основам дисциплин обучающихся, с самым различным уровнем знаний. 

Каждый тип заданий рассмотрен с подробными пояснениями и схемами. А за
дания для самостоятельного решения призваны закрепить у обучающегося  по

лученные навыки и умения, а также дать возможность провести самостоятель
ное исследование и развить аналитические способности.  

Материал настоящего учебно-методического пособия скомпонован таким 

образом, что каждая последующая глава является логическим продолжением 

предыдущих, и охватывает один из основополагающих разделов дисциплин 

«Теория электрических цепей» и «Основы теории цепей». Пособие состоит из 

четырех глав, содержит краткий теоретический материал, большое количество 

примеров решения заданий, приведенных к каждой из глав с подробными пояс
нениями и рассчитанных для обучения студентов на практике, а также задания, 

приведенные для дальнейшего оттачивания обучающимися практических 

навыков решения наиболее часто встречающихся на практике технических 

проблем, а также самоконтроля уровня усвоения материала.  

Первая глава посвящена рассмотрению линейных электрических цепей. В 

ней представлены основные положения, законы и методы их расчета. Знания и 

навыки, полученные по изучению данной главы, позволят обучающимся 

научиться применять и использовать на практике основные законы теории це
пей, такие как закон Ома, законы Кирхгофа, а также методы расчета электриче
ских цепей: метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод нало
жения, метод эквивалентных преобразований, метод эквивалентного источника. 

Вторая глава знакомит обучающихся с поведением линейных цепей при гармо
ническом воздействии. По результатам изучения настоящей главы обучающие
ся получат знания и навыки работы с комплексными величинами и с физиче
скими величинами, изменяющимися с течением времени по гармоническому 

закону. Научатся исследовать поведение активных и пассивных элементов в 

цепях синусоидального тока, а также применять основные законы и методы 

теории цепей для их расчета. Третья глава посвящена рассмотрению электриче
ских цепей с зависимыми источниками и электрических цепей с обратной свя
зью. В ней читатель найдет объяснения принципов расчета электрических це
пей с зависимыми источниками, научится составлять эквивалентные схемы за
мещения активных элементов, производить расчет коэффициента усиления, а 

также изучит способы расчета электрических цепей с обратной связью. В чет
вертой главе рассмотрены основные положения теории трехфазных электриче
ских цепей и способы и расчетов.  

С целью развития умения применять на практике вопросы теории и для 

способствования лучшему усвоению и закреплению материала, изложенный 

теоретический материал после каждой главы сопровождается примерами реше
ния заданий и заданиями для самостоятельного решения. Они ориентируют 

обучающихся на необходимость проанализировать, обдумать и сравнить, рас
ставляя при этом акценты на вопросах, которые, по мнению авторов, будут 

наиболее часто, с большей долей вероятности, затрагиваться в профессиональ
ной деятельности.  

Учебно-методическое пособие «Практическое руководство к решению 

задач по теории электрических цепей: основные методы расчета линейных це
пей. Трехфазные цепи» предназначается для курсантов, студентов и слушате
лей, обучающихся по специальностям 10.05.02 Информационная безопасность 

телекоммуникационных систем; 11.05.04 Инфокоммуникационные технологии 

и системы специальной связи и направлению подготовки 11.03.02 Инфокомму
никационные технологии и системы связи, которые изучают соответственно 

дисциплины «Теория электрических цепей» и «Основы теории цепей». Однако 

оно без ограничений также может быть использовано обучающимися других 

специальностей и направлений подготовки, изучающих данные дисциплины, а 

также смежные дисциплины. 

 
 

ГЛАВА 1. Линейные электрические цепи: основные положения, законы  

и методы расчета  

 

1.1. Элементы линейных электрических цепей 

 

Резистор представляет собой пассивный линейный элемент, обладаю
щий электрическим сопротивлением R  (рис. 1.1, а). Единица измерения элек
трического сопротивления в системе СИ: 1 Ом. Напряжение 
ab
U  и ток I  элек
трического сопротивления связаны с помощью закона Ома: 

ab
U
R I
=
⋅ .                                                    (1.1) 

Физическая величина, обратная электрическому сопротивлению, называ
ется электрической проводимостью. Единица измерения электрической про
водимости в системе СИ: 1 См (сименс): 

1
G
R
=
.                                                        (1.2) 

Активными линейными элементами электрической цепи являются ис
точники электромагнитной энергии. Активные элементы принято классифици
ровать на независимые источники и управляемые (зависимые) источники 

электромагнитной энергии.  

 

1.1.1. Независимые источники электромагнитной энергии 

 

Независимые источники подразделяются на идеальные источники и ре
альные источники. 

Идеальный источник электродвижущей силы (ЭДС) обладает напря
жением 
ab
U , не зависящим от тока I  и ЭДС E  (рис. 1.1, б): 

ab
U
Е
=
.                                                      (1.3) 

На рис. 1.1, б стрелками указываются положительные направления тока I  

и напряжения 
ab
U .  

Идеальный источник ЭДС не обладает внутренним сопротивлением. 

R
I

а

b

E
Uab

а

b

E

Uab

а

b

R
I

 
                            а                                      б                                      в  

J
Uab

а

b

J
Uab

а

b

1
G
R
=

 
                                 г                                                        д  

Рис. 1.1. Схемы элементов линейных электрических цепей: 

а – резистора; б – идеального источника ЭДС; в – реального источника ЭДС;  

г – идеального источника тока; д – реального источника тока 

 

Реальный источник ЭДС обладает внутренним сопротивлением. Его эк
вивалентная схема представлена в виде последовательной схемы, включающей 

внутреннее сопротивление R и ЭДС E (рис. 1.1, в стрелками указываются поло
жительные направления ЭДС E и напряжения 
ab
U ). 

Идеальный источник тока (рис. 1.1, г) характеризуется током J , не за
висящим от напряжения 
ab
U . Внутреннее сопротивление идеального источника 

тока бесконечно велика, а внутренняя проводимость, соответственно, равна ну
лю. На рис. 1.1, г стрелками указываются положительные направления тока J  и 

напряжения 
ab
U .  

Реальный источник тока обладает внутренней проводимостью 
1
G
R
=
. 

Его эквивалентная схема (рис. 1.1, д) может быть представлена в виде парал
лельной схемы, включающей проводимость G  и источник тока J , ток которого 

равен току при коротком замыкании источника тока. 

Для перехода к эквивалентной схеме источника тока от схемы источника 

ЭДС могут быть использованы следующие формулы: 

,
E
J
R
=
,
J
E
G
=
1 .
R
G
=
                                 (1.4) 

 

1.1.2.  Управляемые источники электромагнитной энергии 

 

Выделяют четыре вида управляемых (зависимых) источников, электри
ческие схемы к которым будут рассмотрены в главе 3:  

1. Источник 
напряжения, 
управляемый 
напряжением 
(ИНУН) 

(рис. 3.1, а); 

2. Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ) (рис. 3.1, б);  

3. Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) (рис. 3.1, в); 

4. Источник тока, управляемый током (ИТУТ) (рис. 3.1, г). 

К управляемым источникам также относится операционный усилитель 

(ОУ), представляющий собой интегральный усилитель широкого назначения, 

имеющий две пары входных зажимов и одну пару выходных зажимов. Схема 

операционного усилителя с двумя входами представлена на рис. 1.2, а. Соглас
но ГОСТ отрицательный зажим усилителя на схемах обозначается пустой 

окружностью. На рис. 1.2, б представлена эквивалентная схема замещения ОУ с 

двумя входами, где обозначениями 
1
U′ и 
1
U′′ соответствуют неинверсному и ин
версному входами.  

 

+

1
U′′

1
U′
+
+

2
U

+

1
U′′

1
U′
+
+
(
)
2
1
1
U
U
U
µ
′
′′
=
−

 
                              а                                                                     б 

Рис. 1.2. Операционный усилитель с двумя входами:  а – электрическая 

схема, б - эквивалентная схема замещения 

 

Схема операционного усилителя, обладающего одним инверсным входом, 

представлена на рис. 1.3, а. На рис. 1.3, б представлена эквивалентная схема за
мещения операционного усилителя с одним инверсным входом. 

 

+

1
U
+

2
U


+

1
U

+

2
1
U
U
µ
= −
⋅

 
                               а                                                                      б 

Рис. 1.3. Операционный усилитель с одним инверсным входом:   

а – электрическая схема; б - эквивалентная схема замещения 

 

На рис. 1.4, а представлена схема операционного усилителя, являющегося 

источником напряжения, управляемым напряжением и обладающим  конечным 

значением коэффициента усиления 
k
± , а на рис. 1.4, б представлена его экви
валентная схема замещения.