Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2019, № 4

ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019 / № 4

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2019 / № 4

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW REGION 
STATE UNIVERSITY

серия

series

Рецензируемый научный журнал. Основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки 
Российской Федерации в «Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные 
результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата 
наук, на соискание ученой степени доктора наук» по следующим 
научным специальностям: 01.04.02 – Теоретическая физика (физико-математические науки); 01.04.07 – Физика конденсированного состояния (физико-математические науки) (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России). 

The peer-reviewed journal was founded in 1998

«Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission of the Ministry 
of Education and Science of the Russian Federation into “the List of leading 
reviewed academic journals and periodicals recommended for publishing 
in corresponding series basic research thesis results for a Ph.D. Candidate 
or Doctorate Degree” on the following scientific specialities: 01.04.02 – 
Theoretical physics (physical-mathematical sciences); 01.04.07 – Physics 
of the condensed state (physical-mathematical sciences) (See: the online 
List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the 
Ministry of Education and Science of the Russian Federation).

Главный редактор серии:

Бугаев А. С. – д. ф.-м. н., академик РАН, Московский 
физико-техничекий институт (Государственный университет)

Заместитель главного редактора:

Жачкин В. А. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет

Ответственный секретарь:

Васильчикова Е. Н. – к. ф.-м. н., доц., Московский 
государственный областной университет

Члены редакционной коллегии:

Беляев В. В. – д. т. н., проф., Московский государственный областной университет; 

Бугримов А. Л. – д. т. н., проф., Российский государственный университет имени А.Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство);

Геворкян Э. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет;

Калашников Е. В. – д. ф.-м. н., Московский государственный областной университет;

Осипов М. А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);

Смирнова И. М. – д. п. н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Чаругин В. М. – д. ф.-м. н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Чигринов В. Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

Рецензируемый научный журнал «Вестник московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» публикует статьи по математическим проблемам 
термодинамики, кинетики и статистической физики; теории 
конденсированного состояния классических и квантовых, 
макроскопических и микроскопических систем; изучению 
различных состояний вещества и физических явлений в них; 
статистической физике и кинетической теории равновесных и 
неравновесных систем; теоретическому и экспериментальному исследованию физических свойств неупорядоченных неорганических систем; изучению экспериментального состояния 
конденсированных веществ и фазовых переходов в них. Журнал адресован ученым, докторантам, аспирантам и всем, интересующимся достижениями физико-математических наук.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-математика» зарегистрирован в 
Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС 77-73344.

Индекс серии «Физика-математика» по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723

Журнал включён в базу данных Российского индекса научного цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую 
версию в Интернете на платформе Научной электронной 
библиотеки (www.elibrary.ru), с августа 2017 г. на платформе 
Научной электронной библиотеки «КиберЛенинка» (https://
cyberleninka.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru).

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Публикация материалов осуществляется в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

Ответственность за содержание статей несут авторы. Мнение 
автора может не совпадать с точкой зрения редколлегии серии. Рукописи не возвращаются.

Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. – 2019. – № 4. – 98 с.

© МГОУ, 2019.
© ИИУ МГОУ, 2019.

Адрес Отдела по изданию научного журнала «Вестник 
Московского государственного областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: info@vestnik-mgou.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала 
«Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика»
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Выходит 4 раза в год

Редакционная коллегия 
ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Editor-in-chief :

A. S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, Academican of RAS, Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Deputy editor-in-chief:

V. A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow Region State University

Executive secretary:

E. N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, 
Associate Professor, Moscow Region State University

Members of Editorial Board:

V. V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;

A. L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Kosygin State University of Russia;

E. V. Gevorkyan – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;

E. V. Kalashnikov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Moscow Region State University;

I. M. Smirnova – Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, 
Moscow State Pedagogical University;

M. A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Strathclyde University (Glasgow, UK);

V. M. Charugin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow State Pedagogical University;

V. G. Chigrinov – Hong Kong University of Science and 
Technology (China)

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

The reviewed scientifi c journal “Bulletin of the Moscow Region 
State University. Series: Physics and Mathematics” publishes 
articles on mathematical problems of thermodynamics, kinetics 
and statistical physics; the theory of the condensed state of 
classical and quantum, macroscopic and microscopic systems; 
the study of various states of substance and physical phenomena 
in them; statistical physics and the kinetic theory of equilibrium 
and non-equilibrium systems; theoretical and experimental 
research of physical features of disordered inorganic systems; 
the study of the experimental state of condensed substances and 
phase transitions in them. The journal is addressed to scientists, 
doctoral students, PhD students and everyone interested in the 
achievements of physical and mathematical sciences.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the 
Moscow Region State University is registered in Federal service 
on supervision of legislation observance in sphere of mass 
communications and cultural heritage protection. The registration 
certifi cate ПИ № ФС 77 - 73344.

Index series «Physics and Mathematics» according to the 
union catalog «Press of Russia» 40723

The journal is included into the database of the Russian Science 
Citation Index, has a full text network version on the Internet 
on the platform of Scientifi c Electronic Library (www.elibrary.
ru), and from August 2017 on the platform of the Scientifi c 
Electronic Library “CyberLeninka” (https://cyberleninka.ru), as 
well as at the site of the Moscow Region State University (www.
vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of 
the Moscow Region State University» is obligatory. Scientifi c 
publication of materials is carried out in accordance with the 
license of Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

The authors bear all responsibility for the content of their papers. 
The opinion of the Editorial Board of the series does not necessarily 
coincide with that of the author Manuscripts are not returned.

Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2019. – № 4. – 98 p.

© MRSU, 2019.
© Moscow Region State University Editorial Offi  ce, 2019.

The Editorial Board address:
Moscow Region State University
10А Radio st., offi  ce 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: info@vestnik-mgou.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

Founder of journal 
«Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics»
Moscow Region State University

Editorial board

Issued 4 times a year 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 4

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÐÀÇÄÅË I. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Ищенко О. С., Матвеев О. А. О ЛОКАЛЬНЫХ 3-ТКАНЯХ, 
ПРИСОЕДИНЁННЫХ К ГАМИЛЬТОНОВЫМ СИСТЕМАМ 
НА КОКАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ НАД ГЛАДКИМ 
МНОГООБРАЗИЕМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

ÐÀÇÄÅË II. ÔÈÇÈÊÀ
Соколов В. В. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ 
РАБОТ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Лам Тхи Ньюнг, Юшканов А. А. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО 
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ  В ВЫРОЖДЕННОЙ ПЛАЗМЕ. . . . . . . . . . .22

Ушаков И. В., Симонов Ю. В. УПРАВЛЕНИЕ ФИЗИКОМЕХАНИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ ПОВЕРХНОСТИ ТИТАНОВЫХ 
СПЛАВОВ КОРОТКОИМПУЛЬСНЫМ ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ. . . . . . . .30

Жачкин В. А. КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ 
СПЕКТРОВ ЭПР СО СВЕРХТОНКОЙ СТРУКТУРОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

Геворкян Э. В., Хотькин С. О. К МЕТОДИКЕ ИЗУЧЕНИЯ 
ПОВЕДЕНИЯ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ  В ПЕРЕМЕННЫХ 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЯХ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Курилов А. Д., Соколов В. В., Эминов П. А. ВЯЗКОСТНЫЙ МЕХАНИЗМ 
В ТЕОРИИ АНИЗОТРОПИИ ПОГЛОЩЕНИЯ УЛЬТРАЗВУКА 
МАГНИТНЫМИ ЖИДКОСТЯМИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 4

5

Гладков С. О. К ВОПРОСУ О МАГНИТНЫХ СИЛОВЫХ ЛИНИЯХ 
ЗЕМЛИ В УСЛОВИЯХ  ЕЁ ВРАЩЕНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Бычков В. Л., Бикмухаметова А. Р., Дешко К. И., Михайловская Т. О., 
Черников В. А., Шваров А. П. ИССЛЕДОВАНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЯ 
ПЛАЗМЫ НА СВОЙСТВА ДИСПЕРСНЫХ СРЕД С ОРГАНИЧЕСКИМИ 
ОБЪЕКТАМИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

Зиборов В. С., Ростилов Т. А. СКОРОСТЬ ДЕФОРМАЦИИ 
ПРИ УДАРНОМ СЖАТИИ  В ПОЛИМЕРИЗОВАННОЙ ЭПОКСИДНОЙ 
СМОЛЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2019 / № 4

6

CONTENTS

SECTION I. MATHEMATICS

О. Ishchenko, О. Matveyev. LOCAL THREE-WEBS ADDED 

TO HAMILTON SYSTEMS ON A CОTANGENT BUNDLE ABOVE 

A SMOOTH MANIFOLD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

SECTION II. PHYSICS

V. Sokolov. ISOTHERMAL PRINCIPLE OF VIRTUAL WORK. . . . . . . . . . . . . . . . . .17

Lam Th i Nhung, A. Yushkanov. LINEARIZATION OF THE KINETIC 

EQUATION FOR ELECTRONS IN A DEGENERATE PLASMA  . . . . . . . . . . . . . . . .22

I. Ushakov, Yu. Simonov. CONTROL OF PHYSICAL AND MECHANICAL 

PROPERTIES OF THE TITANIUM ALLOY SURFACE BY SHORT LASER 

PULSES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

V. Zhachkin. COMPUTER MODELING OF ANISOTROPIC ESR 

SPECTRA WITH A HYPERFINE STRUCTURE  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43

E. Gevorkyan, S. Khotkin. A METHOD FOR INVESTIGATING 

THE BEHAVIOR OF LIQUID CRYSTALS IN VARIABLE 

ELECTROMAGNETIC FIELDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

A. Kurilov, V. Sokolov, P. Eminov. VISCOUS MECHANISM 

IN THE THEORY OF ULTRASOUND ATTENUATION ANISOTROPY BY 

MAGNETIC FLUIDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2019 / № 4

7

S. Gladkov. MAGNETIC FORCE LINES OF THE EARTH UNDER 
THE CONDITIONS OF ITS ROTATION  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

V. Bychkov, A. Bikmukhametova, K. Deshko, T. Mikhailovskaya, 
V. Chernikov, A. Shvarov. INVESTIGATION OF THE INFLUENCE 
OF PLASMA ON THE PROPERTIES OF DISPERSED MEDIA WITH 
ORGANIC OBJECTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

V. Ziborov, T. Rostilov. DEFORMATION RATE UNDER SHOCK 
COMPRESSION IN POLYMERIZED EPOXY RESIN  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 4

8

© CC BY Ищенко О. С., Матвеев О. А., 2019.

ÐÀÇÄÅË I. 
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

УДК 519.47
DOI: 10.18384/2310-7251-2019-4-8-16

Î ËÎÊÀËÜÍÛÕ 3-ÒÊÀÍßÕ, ÏÐÈÑÎÅÄÈͨÍÍÛÕ Ê ÃÀÌÈËÜÒÎÍÎÂÛÌ 
ÑÈÑÒÅÌÀÌ ÍÀ ÊÎÊÀÑÀÒÅËÜÍÎÌ ÐÀÑÑËÎÅÍÈÈ ÍÀÄ ÃËÀÄÊÈÌ 
ÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈÅÌ

Ищенко О. С., Матвеев О. А.
Московский государственный областной университет
141014, Московская область, г. Мытищи, ул. Веры Волошиной, д. 24, Российская 
Федерация

Аннотация. Гамильтоновой системе дифференциальных уравнений, заданной на кокасательном расслоении T*(M) гладкого многообразия M размерности n, соответствующей 
функции Гамильтона H и имеющей n первых интегралов ставится в соответствие однопараметрическое семейство три-тканей, определенных (локально) на кокасательном расслоении T*(M). Дифференциально-алгебраические свойства построенного семейства 
три-тканей отражают свойства исходной гамильтоновой системы.
Ключевые слова: три-ткань, кокасательное расслоение дифференцируемого многообразия, гамильтонова система дифференциальных уравнений

LOCAL THREE-WEBS ADDED TO HAMILTON SYSTEMS 
ON A CÎTANGENT BUNDLE ABOVE A SMOOTH MANIFOLD

О. Ishchenko, О. Matveyev 
Moscow Region State University
ul. Very Voloshinoi 24, 141014 Mytishchi, Moscow Region, Russian Federation

Abstract. A one-parameter family of three-webs is put in accordance with the Hamilton system of 
differential equations on a cotangent bundle T* (M) above aт n dimensional differentiable manifold 
M, corresponding a Hamiltonian H, having n first integrals. The differentially algebraic properties of 
the constructed family of three-webs reflect the properties of the initial Hamilton system. 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 4

9

Keywords: three-web, cotangent bundle of a differentiable manifold, Hamilton system of 
differential equations
Теория три- и многомерных тканей, пограничная территория между дифференциальной геометрией и алгеброй, имеет давнюю историю. Хорошо известны 
её тесные связи с геометрической теорией пространств аффинной связности и алгебраической теорией квазигрупп и луп. В настоящий временной период развитие этой перспективной области математики связано, прежде всего, с такими выдающимися исследователями, как М. А. Акивис, А. М. Шелехов, В. В. Гольдберг 
(см., например, [1; 2; 7; 9]). Научная школа профессора А. М. Шелехова (Тверь, 
Москва) привнесла существенный вклад и в теорию неассоциативных универсальных алгебр, и в теорию тканей.
Идея приложений теории тканей к исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений не нова. Известно, например, совместное рассмотрение 
свойств интегральных кривых дифференциального уравнения Риккати и тритканей специального вида [9]. C другой стороны, предпринят подход применения методов теории гладких локальных квазигрупп и алгебраической теории 
аффинной связности [6] к исследованию Лагранжевых механических систем 
[4; 5]. В замечательной книге [8] систематически рассматривается алгебраическая и геометрическая составляющие в теории интегрируемых гамильтоновых 
дифференциальных уравнений, на первое место ставится теория групп и алгебр 
Ли, однако значение квазигрупп и луп явно не выявляется.
В настоящей работе гамильтоновой системе, заданной на кокасательном расслоении T*(M) гладкого многообразия M размерности n, имеющей n первых 
интегралов ϕ1, ..., ϕn, ставится в соответствие однопараметрическое семейство 
три-тканей Wτ(H; ϕ1, ..., ϕn), τ ∈ \{0}, определённых (локально) на касательном 
расслоении T*(M). Дифференциально-алгебраические свойства построенного 
семейства три-тканей Wτ(H; ϕ1, ..., ϕn) отражают, как нам представляется, некоторые свойства исходной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений.
Пусть M – гладкое многообразие размерности n, T*(M) – его касательное расслоение, ω2 – естественная симплектическая структура на T*(M). В локальных 
координатах (qi, pi)ω2 задаётся формулой:

 
=
ω =
∧
∑
2

1
.

n
i
i
i
dp
dq  
(1)

Приведём некоторые стандартные определения гамильтонова формализма, 
см., например, [3; 8].
Определение 1. Пусть f – некоторая гладкая функция на T*(M). 
Кососимметрическим градиентом sgradf функции f называется гладкое векторное поле на T*(M), однозначно определяемое соотношением:

 
(
)
( )
2
, 
,
v sgradf
v f
ω
=

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 4

10

где v пробегает множество всех гладких векторных полей на T*(M), а v(t) – значение дифференциального оператора (векторного поля) на функции f.
В локальных координатах (qi, pi) векторное поле sgradf имеет вид:

 
1
1
 
,
,
, 
,
, 
 .
n
n

f
f
f
f
sgrad f
p
p
q
q
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
=
…
−
… −
⎜
⎟
∂
∂
∂
∂
⎝
⎠

 
(2)

Определение 2. Гладкое векторное поле v на T*(M) называется гамильтоновым, если оно имеет вид v = sgradH, где H – некоторая гладкая функция на T*(M), 
называемая гамильтонианом.
В локальных координатах (qi, pi) интегральные траектории γ(t) = (qi(t), pi(t)) 
гамильтонова векторного поля v удовлетворяют следующей системе уравнений:

 

 
.
,
     
1,
,

i

i

i
i

dq
H
dt
p
i
n
dp
H
dt
q

⎧
∂
=
⎪
∂
⎪
=
⎨
∂
⎪
= −
⎪
∂
⎩

 
(3)

Определение 3. Пусть 
ˆ
, 
q q  – некоторые точки многообразия M, τ – некото
рое действительное число. Известно [3] (гл. 9 §46 В), что найдутся такая окрестность U ⊂ M и такое достаточно малое положительное действительное число ε, 
что при 
,
q
U
∈
ˆ
,
q
U
∈
 |τ| < ε существует единственная интегральная траектория 
γ(t) = (qi(t), pi(t)) гамильтонова поля, такая что:

 

( )
( )

 

 
0
     
.
 
,
,
ˆ
1
,

i
i

i
i
q
q
i
n
q
q

⎧
=
⎪
=
⎨
τ =
⎪⎩

 
(4)

Следовательно, при 
∈
,  ˆ
,
q q
U  |τ| < ε корректно определена функция (
)
ˆ
, ,
S q q τ  
следующим равенством:

 

(
)

1
, , 
,
ˆ

n
def
i
i
i
S q q
p dq
Hdt

=
γ

⎛
⎞
τ =
−
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∫
 
(5)

где H – гамильтониан, и интеграл берётся вдоль отрезка интегральной кривой 
γ(t) = (qi(t), pi(t)), 0 ≤ t ≤ τ, удовлетворяющей условиям (4). Функция (
)
ˆ
, ,
S q q τ  
называется функцией действия гамильтонова поля v.
Введём обозначения:

 

( )
( )

,
.
ˆ
0
1,
, 

i
i

i
i

p
p
i
n
p
p
=
=
=
τ
 
(6)

Лемма. Для функции действия (
)
ˆ
, , 
S q q τ  гамильтонова поля v с гамильтониа
ном H(q, p) справедливы соотношения:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 4

11

 

(
)
1
ˆ
ˆ
.
, ,
,
,
ˆ
i
i
S q q
p
i
n
q
∂
τ =
=
∂
 
(7)

 

(
)
 
, ,  
,  
1
 
ˆ
, .
i
i
S q q
p
i
n
q
∂
τ = −
=
∂
 
(8)

 
(
)
∂
τ = −
∂τ
, , 
.
ˆ
S q q
H  
(9)

Соотношения (7), (9) доказаны в [3] (гл. 9 §46), где рассматривается дифференциал функции действия при фиксированной начальной точке .q  Равенства 
(8) доказываются аналогичным образом, если фиксировать не начальную точку 

,
q  а конечную точку ˆ.q

Следствие. Функция действия (
)
ˆ
, ,  
S q q τ  гамильтонова поля v с гамильтониа
ном H(q, p) удовлетворяет уравнениям Гамильтона-Якоби:

 

(
)
(
)
, , 
, 
, , 
0.
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
S
S
q q
H q
q q
q
⎛
⎞
∂
∂
τ +
τ
=
⎜
⎟
∂τ
∂
⎝
⎠

 
(10)

 

(
)
(
)
, , 
, 
, , 
0. 
ˆ
ˆ
S
S
q q
H q
q q
q
⎛
⎞
∂
∂
τ +
−
τ
=
⎜
⎟
∂τ
∂
⎝
⎠

 
(11)

Введём следующие обозначения, пусть:

 

(
)

(
)

, ,  , 
1,
,
.
 , ,

i
i

i
i

q
q p t
i
n
p
q p t

⎧
= μ
⎪
=
⎨
= ν
⎪⎩

 
(12)

является решением системы (3) при начальных условиях:

 

( )
( )
0
,
.
0
1,
,

i
i

i
i

q
q
i
n
p
p

⎧
=
⎪
=
⎨
=
⎪⎩

 
(13)

Ясно, что

 
(
)
, , ,
1, , 
ˆi
i
q
q p
i
n
= μ
τ
=
 
(14)

 
(
)
, , ,
1, . 
ˆi
i
p
q p
i
n
= ν
τ
=
 
(15)

Подставляя равенства (14) в соотношение (8), получаем тождества:

 

(
)
(
)
 
, 
, , , 
,
.
 
1,
i
i
S q
q p
p
i
n
q
∂
μ
τ τ ≡ −
=
∂
 
(16)

Дифференцируя тождества (16) по 
,
kp
 имеем:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 4

12

 

2

 
 
 
. 
ˆ

i

i k
i
i
k

S
q
q
p
∂
∂μ = −δ
∂
∂
∂
 
(17)

Следовательно,

 

(
)

2

 
 
det
,ˆ , 
0,
ˆ
i
i
S
q q
q
q
⎡
⎤
∂
τ
≠
⎢
⎥
∂
∂
⎣
⎦

 
(18)

 

(
)
det
, , 
0. 

i

k
q p
p
⎡
⎤
∂μ
τ
≠
⎢
⎥
∂
⎣
⎦

 
(19)

Так как функция действия (
)
ˆ
, , 
S q q τ  удовлетворяет условию (18), то по теоре
ме о неявной функции равенства (7) разрешимы относительно переменных 
 ,
i
q

, :
1
i
n
=

(
)
 
, , ,     
1, .
ˆ
ˆ
i
i
q
q p
i
n
= λ
τ
=
 
(20)

Приступим к построению локальной 3-ткани на кокасательном расслоении 
T*(M). Определения и первоначальные конструкции теории тканей приведены, 
например, в [9].
Определение 4. Определим 
, 
q
M
τ  как совместную поверхность уровня функ
ций λi(q, p, τ) при фиксированном t = τ, то есть:

 
(
)
(
)
(
)
{
}
*
 
, 
,
:
, , 
, 
1,
.

˜
i
i
q
M
q p
T
M
q p
q
i
n
τ =
∈
λ
τ =
=
 
(21)

Предложение 1. Существует такое положительное число ε, что при |τ| < ε 
поверхность 
, 
q
M
τ  является гладким n-мерным подмногообразием в T*(M).

Доказательство. Так как согласно определению функций λi, μi:

 
(
)
(
)
, , 
, , ,
1
ˆ
,
ˆ
ˆ
ˆ
i
i
q p
q p
i
n
μ
−τ = λ
τ
=
 
(22)

то λi(q, p, 0) ≡ qi, и, следовательно, 

 

(
)

 
0

, ,
. 

i
i
j
j

q p

q
τ=

∂λ
τ
≡ δ
∂
 
(23)

Из (23) следует, что существует такое положительное число ε, что при |τ| < ε 
функции λi(q, p, τ) функционально независимы (при фиксированном τ) на T*(M), 
то есть градиенты grad λi, 
, ,
1
i
n
=
 линейно независимы на T*(M). Следовательно, 
в силу теоремы о неявных функциях, поверхность 
τ
, 
q
M
 является гладким 
n-мерным подмногообразием в T*(M).
Предложение 2. Пусть G – одномерная группа диффеоморфизмов кокасательного расслоения T*(M), представленная сдвигами вдоль интегральных траекторий гамильтонова поля v, то есть если gτ ∈ G, то:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 4

13

 
(
)
(
)
(
)
(
)
 , 
, , ,
, ,  .
i
i
i
i
g
q
p
q p
q p
τ =
= μ
τ
ν
τ

Тогда справедливо равенство:

 
(
)
(
)
*
, 
. 
q
q
M
g
T
M
τ
τ
=
 
(24)

Доказательство. Пусть (
)
(
)
 
*
, 
,
i
i
q
q
p
T
M
∈
 и пусть 
(
) (
)
 
 
,
ˆ
ˆ
,
, 
i
i
i
i
g
q
p
q
p
τ
=
 тогда 

(
) (
)
 
 
, 
, 
,
ˆ
ˆ i
i
i
i
g
q
p
q
p
−τ
=
 то есть:

 
(
)
 
 
ˆ
,
, 
1
ˆ
, .
i
i
i
q
p
q
i
n
μ
− τ =
=
 
(25)

Следовательно, в силу равенства (22) 
(
)
 ,
, , 
ˆ
ˆ
i
i
q p
q
λ
τ =
, ,
1
i
n
=
 то есть 

(
)
, 
ˆ
ˆ
.
, 
q
q p
M
τ
∈
 Таким образом, доказано, что 
(
)
(
)
*
, ,
q
q
g
T
M
M
τ
τ
⊂
 но так как gτ – 

диффеоморфизм, а размерности 
(
)
*
q
T
M  и 
, 
q
M
τ  в силу предложения 1 совпада
ют, то 
(
)
(
)
*
, 
.
q
q
M
g
T
M
τ
τ
=

Следствие. Совместная поверхность 
, 
q
M
τ  не зависит от выбора локальных 
координат (qi, pi).
Суммируя полученные выше результаты, приходим в следующей теореме. 
Теорема. Пусть на кокасательном расслоении T*(M) определено гамильтоново векторное поле v и заданы n первых интегралов ϕ1, ..., ϕn гамильтонова поля 
v(n = dimM), подчиняющихся условию:

 

(
)
, 
0, 
i

i
det
q p
p
⎡
⎤
∂ϕ
≠
⎢
⎥
∂
⎣
⎦

 
(26)

где (qi, pi) – локальные координаты на T*(M). 
Пусть Na – совместная поверхность уровня функций ϕi, то есть:

 
(
)
(
)
(
)
{
}
*
,
:
, 
, 
1,
.

def

a
i
i
N
q p
T
M
q p
a
i
n
=
∈
ϕ
=
=
 
(27)

Тогда существует такое положительное число ε, что при 0 < |τ| < ε на кокасательном расслоении T*(M) определена (локально) три-ткань, слоями которой 
являются 
(
)
*
,
q
T
M
, ,
q
M
τ  Na.

Построенную таким образом 3-ткань, присоединённую к гамильтонову векторному полю v посредством первых интегралов ϕ1, ..., ϕn, будем обозначать  
Wτ(H, ϕ1, ..., ϕn), где H = H(p, q) – функция Гамильтона.
Пример. На кокасательном расслоении T*(M) гладкого многообразия M размерности n рассмотрим функцию Гамильтона H = K(p). Уравнения Гамильтона в 
локальной системе координат имеют вид:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 4

14

 

( )
( ),

0.

i

i

dK p
dq
K
p
dt
dp
dp
dt

⎧
=
=

=

′
⎪⎪⎨
⎪
⎪⎩

 
(28)

Имеем n первых интегралов 
1
1,
,  
,   
.
const,   
1,
n
n
i
p
a
p
a
a
i
n
=
…
=
=
=

Решение системы (28) в соответствии с (4) имеет вид:

 
( )
( )
(
)
( )
(
)
 

1
 
; 
0
,
,  
 
.
ˆ
;

i
i
i
i
i
i
i
i
n
q
q
t
p
a
q t
q
tK
a
a
q t
q
−
=
=
+
=
+
′
…
τ

Функция действия имеет вид:

 
(
)
(
)

2
 
, ,
,
ˆ
ˆ
2

i
i
q
q
S q q
−
τ =
τ

 
 
ˆ ,    
.
ˆ
 
ˆ
ˆ

i
i
i
i
i
i
i
q
q
S
p
q
q
a
q
−
∂
=
=
=
−
τ
∂
τ

Слоями 3-ткани Wτ(K, p1, ..., pn) являются 
(
)
*
;
q
T
M
(
)
(
)
{
=
∈
*
,
;
a
N
q p
T
M

}
=
=
;
,  
1,
i
i
p
a i
n
(
)
(
)
{
}
1
,
1
1
 
, , 
 ;
, ,
.
n
q
n
n
M
q
a
q
a
a
a
T M
τ =
+
τ …
+
τ
…
⊂

Предложение 3. Ткань Wτ(K, p1, ..., pn) – параллелезуема.
Следствие. Пусть размерность многообразия M равна 1, в локальных координатах гамильтониан имеет вид:

 
(
)
( )
2
1
,
. 
2
H q p
p
U q
=
+
 
(29)

3-ткань Wτ(H, H) является параллелизуемой тогда и только тогда, когда 
U(q) = const.
Замечание. Первое слагаемое в равенстве (29) в теоретической механике интерпретируют как кинетическую энергию, а второе как потенциальную.

Статья поступила в редакцию 23.05.2019 г.

ЛИТЕРАТУРА
1. Акивис М. А., Шелехов А. М. Метод Картана-Лаптева в теории многомерных тритканей // Фундаментальная и прикладная математика. 2010. Т. 16. № 1. С. 13–38. 
2. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Дифференциальная геометрия тканей типа Лагранжа // 
Известия высших учебных заведений. Математика. 2007. № 12. С. 19–32.
3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. 
432 с.