Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2019, № 3

ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019 / № 3

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2019 / № 3

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW REGION 
STATE UNIVERSITY

серия

series

Рецензируемый научный журнал. Основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки 
Российской Федерации в «Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные 
результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата 
наук, на соискание ученой степени доктора наук» по следующим 
научным специальностям: 01.04.02 – Теоретическая физика (физико-математические науки); 01.04.07 – Физика конденсированного состояния (физико-математические науки) (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России). 

The peer-reviewed journal was founded in 1998

«Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission of the Ministry 
of Education and Science of the Russian Federation into “the List of leading 
reviewed academic journals and periodicals recommended for publishing 
in corresponding series basic research thesis results for a Ph.D. Candidate 
or Doctorate Degree” on the following scientific specialities: 01.04.02 – 
Theoretical physics (physical-mathematical sciences); 01.04.07 – Physics 
of the condensed state (physical-mathematical sciences) (See: the online 
List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the 
Ministry of Education and Science of the Russian Federation).

Главный редактор серии:

Бугаев А. С. – д. ф.-м. н., академик РАН, Московский 
физико-техничекий институт (Государственный университет)

Заместитель главного редактора:

Жачкин В. А. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет

Ответственный секретарь:

Васильчикова Е. Н. – к. ф.-м. н., доц., Московский 
государственный областной университет

Члены редакционной коллегии:

Беляев В. В. – д. т. н., проф., Московский государственный областной университет; 

Бугримов А. Л. – д. т. н., проф., Российский государственный университет имени А.Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство);

Геворкян Э. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет;

Калашников Е. В. – д. ф.-м. н., Московский государственный областной университет;

Осипов М. А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);

Смирнова И. М. – д. п. н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Чаругин В. М. – д. ф.-м. н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Чигринов В. Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

Рецензируемый научный журнал «Вестник московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» публикует статьи по математическим проблемам 
термодинамики, кинетики и статистической физики; теории 
конденсированного состояния классических и квантовых, 
макроскопических и микроскопических систем; изучению 
различных состояний вещества и физических явлений в них; 
статистической физике и кинетической теории равновесных и 
неравновесных систем; теоретическому и экспериментальному исследованию физических свойств неупорядоченных неорганических систем; изучению экспериментального состояния 
конденсированных веществ и фазовых переходов в них. Журнал адресован ученым, докторантам, аспирантам и всем, интересующимся достижениями физико-математических наук.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-математика» зарегистрирован в 
Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС 77-73344.

Индекс серии «Физика-математика» по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723

Журнал включён в базу данных Российского индекса научного цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую 
версию в Интернете на платформе Научной электронной 
библиотеки (www.elibrary.ru), с августа 2017 г. на платформе 
Научной электронной библиотеки «КиберЛенинка» (https://
cyberleninka.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru).

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Публикация материалов осуществляется в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

Ответственность за содержание статей несут авторы. Мнение 
автора может не совпадать с точкой зрения редколлегии серии. Рукописи не возвращаются.

Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. – 2019. – № 3. – 98 с.

© МГОУ, 2019.
© ИИУ МГОУ, 2019.

Адрес Отдела по изданию научного журнала «Вестник 
Московского государственного областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала 
«Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика»
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Выходит 4 раза в год

Редакционная коллегия 
ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Editor-in-chief :

A. S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, Academican of RAS, Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Deputy editor-in-chief:

V. A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow Region State University

Executive secretary:

E. N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, 
Associate Professor, Moscow Region State University

Members of Editorial Board:

V. V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;

A. L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Kosygin State University of Russia;

E. V. Gevorkyan – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;

E. V. Kalashnikov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Moscow Region State University;

I. M. Smirnova – Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, 
Moscow State Pedagogical University;

M. A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Strathclyde University (Glasgow, UK);

V. M. Charugin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow State Pedagogical University;

V. G. Chigrinov – Hong Kong University of Science and 
Technology (China)

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

The reviewed scientifi c journal “Bulletin of the Moscow Region 
State University. Series: Physics and Mathematics” publishes 
articles on mathematical problems of thermodynamics, kinetics 
and statistical physics; the theory of the condensed state of 
classical and quantum, macroscopic and microscopic systems; 
the study of various states of substance and physical phenomena 
in them; statistical physics and the kinetic theory of equilibrium 
and non-equilibrium systems; theoretical and experimental 
research of physical features of disordered inorganic systems; 
the study of the experimental state of condensed substances and 
phase transitions in them. The journal is addressed to scientists, 
doctoral students, PhD students and everyone interested in the 
achievements of physical and mathematical sciences.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the 
Moscow Region State University is registered in Federal service 
on supervision of legislation observance in sphere of mass 
communications and cultural heritage protection. The registration 
certifi cate ПИ № ФС 77 - 73344.

Index series «Physics and Mathematics» according to the 
union catalog «Press of Russia» 40723

The journal is included into the database of the Russian Science 
Citation Index, has a full text network version on the Internet 
on the platform of Scientifi c Electronic Library (www.elibrary.
ru), and from August 2017 on the platform of the Scientifi c 
Electronic Library “CyberLeninka” (https://cyberleninka.ru), as 
well as at the site of the Moscow Region State University (www.
vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of 
the Moscow Region State University» is obligatory. Scientifi c 
publication of materials is carried out in accordance with the 
license of Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

The authors bear all responsibility for the content of their papers. 
The opinion of the Editorial Board of the series does not necessarily 
coincide with that of the author Manuscripts are not returned.

Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2019. – № 3. – 98 p.

© MRSU, 2019.
© Moscow Region State University Editorial Offi  ce, 2019.

The Editorial Board address:
Moscow Region State University
10А Radio st., offi  ce 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

Founder of journal 
«Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics»
Moscow Region State University

Editorial board

Issued 4 times a year 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 3

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÐÀÇÄÅË I. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

Матвеев О. А., Птицына И. В., Фролов О. В. О ПРОЕКТИВНО 

СИММЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЯХ АФФИННОЙ СВЯЗНОСТИ 

НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

ÐÀÇÄÅË II. ÔÈÇÈÊÀ

Эминов П. А., Соколов В. В. КУЛОНОВСКИЕ ПОПРАВКИ К ВЕРОЯТНОСТИ 

ИОНИЗАЦИИ ДВУМЕРНОГО АТОМА СУПЕРПОЗИЦИЕЙ ПОСТОЯННОГО 

И ПЕРЕМЕННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

Симоненко Г. В. КОМПЬЮТЕРНЫЙ АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ТОНКИХ 

ЖК ЯЧЕЕК С АНТИСИММЕТРИЧНЫМИ УГЛАМИ ПРЕДНАКЛОНА НА 

ОРИЕНТИРУЮЩИХ ПОВЕРХНОСТЯХ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ЭНЕРГИЯХ 

СЦЕПЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ЖК НА ГРАНИЦАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

Гладков С. О. К ВОПРОСУ ПРИЛОЖЕНИЯ ВТОРОЙ КОВАРИАНТНОЙ 

ПРОИЗВОДНОЙ ОТ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ К ЗАДАЧАМ 

ГИДРОДИНАМИКИ И ТЕОРИИ УПРУГОСТИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Саркисов С. Э., Юсим В. А., Рябченков В. В., Калимуллин Р. К., 

Говорун И. В., Сакмаров А. В. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕПЛООБМЕНА В 

ГРАФИТОВОМ ТЕПЛОВОМ УЗЛЕ УСТАНОВКИ ПО ВЫРАЩИВАНИЮ 

МОНОКРИСТАЛЛОВ МЕТОДОМ ГНК  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

Эминов П. А. ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА 

ЭЛЕКТРОНОМ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ. . . . . . . . . . . . . . . .82

Кузнецов М. М., Кулешова Ю. Д., Перов А. А., Смотрова Л. В. 

ЭФФЕКТ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ПЕРЕХЛЁСТА В УДАРНОЙ ВОЛНЕ 

С ПРЕДЕЛЬНЫМ СЖАТИЕМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2019 / № 3

5

CONTENTS

SECTION I. MATHEMATICS

O. Matveyev, I. Pticina, O. Frolov. ON PROJECTIVE SYMMETRIC ZERO 

CURVATURE MANIFOLDS WITH AFFINE CONNECTION  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

SECTION II. PHYSICS

P. Eminov, V. Sokolov. COULOMB CORRECTIONS TO THE PROBABILITY 

OF IONIZATION OF A TWO-DIMENSIONAL ATOM BY A SUPERPOSITION 

OF CONSTANT AND ALTERNATING ELECTRIC FIELDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

G. Simonenko. COMPUTER ANALYSIS OF THE CHARACTERISTICS 

OF THIN LC CELLS WITH ANTISYMMETRIC ANGLES OF THE PRINCIPLE 

ON THE ORIENTING SURFACES AT DIFFERENT ENERGY OF CLUTTERS 

MOLECULES OF THE LC ON BORDERS  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

S. Gladkov. TO THE QUESTION OF THE APPLICATION OF THE 

SECOND COVARIANT DERIVATIVE FROM THE VECTOR FUNCTION 

TO THE TASKS OF HYDRODYNAMICS AND ELASTICITY THEORY . . . . . . . . .42

S. Sarkisov, V. Yusim, V. Ryabchenkov, R. Kalimullin, I. Govorun, A. Sakmarov. 

THE STUDY OF HEAT TRANSFER IN A GRAPHITE THERMAL UNIT 

INSTALLATION FOR GROWING SINGLE CRYSTALS BY THE METHOD 

OF GDC  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

P. Eminov. STIMULATED RADIATION AND ABSORPTION OF LIGHT 

BY AN ELECTRON ON A CYLINDRICAL SURFACE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

M. Kuznetsov, Ju. Kuleshova, A. Perov, L. Smotrova. THE EFFECT OF 

HIGH-SPEED OVERSHOOT IN A SHOCK WAVE WITH THE MAXIMUM 

COMPRESSION  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 3

6

ÐÀÇÄÅË I. 
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

УДК 514.76 + 512.54
DOI: 10.18384-2310-7251-2019-3-6-14

Î ÏÐÎÅÊÒÈÂÍÎ ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈßÕ ÀÔÔÈÍÍÎÉ 
ÑÂßÇÍÎÑÒÈ ÍÓËÅÂÎÉ ÊÐÈÂÈÇÍÛ

Матвеев О. А., Птицына И. В., Фролов О. В. 
Московский государственный областной университет
141014, Московская область, г. Мытищи, ул. Веры Волошиной, д. 24, Российская 
Федерация

Аннотация. Обсуждаются геометрические свойства многообразий аффинной связности 
нулевой кривизны, имеющих общие геодезические линии с сохранением аффинного (канонического) параметра с локально симметрическими пространствами. Этот класс пространств характеризуется тождествами, которым удовлетворяет тензорное поле кручения 
и его ковариантные производные. Для этого класса аффинно связных многообразий исследуются геодезические лупы с гомотетиями.
Ключевые слова: многообразия аффинной связности нулевой кривизны, симметрические пространства аффинной связности, геодезическая лупа, параллельные переносы, 
гомотетия

ON PROJECTIVE SYMMETRIC ZERO CURVATURE MANIFOLDS WITH 
AFFINE CONNECTION

O. Matveyev, I. Pticina, O. Frolov 
Moscow Region State University
ul. Very Voloshinoi 24, 141014 Mytishchi, Moscow region, Russian Federation

Abstract. The paper deals with the geometric properties of the zero curvature manifolds with 
affine connection having common geodesic lines with preservation of the affine (canonical) 
parameter with locally symmetric spaces of affine connectivity. This class of spaces is 

© CC BY Матвеев О. А., Птицына И. В., Фролов О. В., 2019.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 3

7

characterized by identities satisfied by the torsion tensor field and its covariant derivatives. 
Geodesic loops with homotheties of this class of affine connected manifolds are investigated.
Keywords: manifolds with affine connection of zero curvature, symmetric spaces with affine 
connection, a geodesic loop, parallel translations, homothety

Свойства параллельных переносов и гомотетий рассматривались в различных классах пространств аффинной связности, см. например [1–7]. В настоящей 
работе исследуются пространства постоянной кривизны. Поскольку этот класс 
пространств очень широк, мы накладываем дополнительное условие, требуем, 
чтобы пространство имело общие геодезические линии с сохранением аффинного (канонического) параметра с локально симметрическим пространством 
аффинной связности.
Определение 1. Аффинно связное многообразие (M, ∇) называется локально просимметрическим (проективно симметрическим первого типа), если оно 
имеет общие геодезические линии с сохранением аффинного (канонического) 
параметра с локально симметрическим пространством аффинной связности 
(
,
).
M ∇

Предложение 1. Пусть (M, ∇) – аффинно связное многообразие, T и R – его 
поля кручения и кривизны. Тогда следующие утверждения (а)–(с) эквивалентны:
(а) (M, ∇) является просимметрическим;

(b) аффинно связное многообразие (
,
),
M ∇  где 
1 ( , ),
2
X
X
Y
Y
T X Y
∇
= ∇
−

 
является локально симметрическим;
(c) в (M, ∇) выполняется следующее тождество:

 

1
1
(
)( , ,
)
( ( , ), )
( , ( , ))
2
2
1
1
( , ) ( ,
)
( , ( , )
)
0,
2
2

X R Y Z W
R T X Y
Z W
R Y T X Z W

R Y Z T X W
T X R Y Z W

∇
+
+
+

+
−
=
 
(1)

где

 

1
1
1
( , )
( , )
(
)( , )
(
)( , )
( , ( , ))
2
2
4
1
1
                                         
( , ( , )
( , ( , )),
4
2

X
Y
R X Y Z
R X Y Z
T Y Z
T
X Z
T X T Y Z

T Y T X Z
T Z T X Y

=
−
∇
+
∇
+
−

−
+
 (2)

X, Y, Z, W – дифференцируемые векторные поля на M.
Предложение 2. Аффинно связное многообразие (M, ∇) просимметрично и 
имеет нулевую кривизну тогда и только тогда, когда выполняется следующее соотношение:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 3

8

 

(
, )

4(
)( , )
2(
)( , ( , ))
2(
)( , ( , ))
2(
)( (
,
), )
2(
)( (
,
), )
2 ( ,(
)( , )
2 ( ,(
)( , )
2(
)( , )
2 (
,(
)( , ))
( (
,
), ( , ))
( , ( (
,
), ))
( (
, ), ( , )

W
Z
W
W

Z
Z
W

W
T W Z
Z

T
X Y
T
X T Y Z
T Y T X Z
T T W X Y
T T W X Y
T X
T Y Z
T Y
T
X Z
T
X Y
T W
T
X Y
T T W X T Y Z
T Y T T W X Z
T T W Y T X Z

∇ ∇
−
∇
+
∇
+
+
∇
−
∇
−
∇
+
+
∇
+
∇
−
∇
−
−
+
−
)
( , ( (
, ), )
( , ( , (
, )))
( , ( , (
, )))
               
(
, ( , ( , )))
(
, ( , ( , )))
0.
T X T T W Y
Z
T X T Y T W Z
T Y T X T W Z
T W T X T Y Z
T W T Y T X Z

−
−
−
+
+
+
−
=
 
(3)

Доказательство. Пусть 
1 ( , ),
2
X
X
Y
Y
T X Y
∇
= ∇
−
 тогда тензор кривизны R  в
 

(
,
)
M ∇  выражается следующим образом:

 

(2)
4 ( , )
2(
)( , )
2(
)( , )
( , ( , ))
( , ( , ))
2 ( , ( , ))
2(
)( , )
( , ( , ))
( , ( , ))

X
Y

Z

R X Z Z
T Y Z
T
X Z
T X T Y Z
T Y T X Z
T Z T X Y
T
X Y
T X T Y Z
T Y T X Z

=
− ∇
+
∇
+
+
−
+
=
=
∇
−
+
 
(4)

Теперь, используя (4) и (1), получим (3). ▲
Предложение 3. Пусть (M, ∇) – аффинно связное многообразие Муфанг, т. е.

 
0,  3(
)( , )
( , ( , ))
( , ( , ))
( , ( ,
)).
Z
R
T
X Y
T Z T X Y
T X T Y Z
T Y T Z X
=
∇
=
+
+

Тогда (M, ∇) является просимметрическим с нулевой кривизной.

Доказательство. Если положить 
1 ( , ),
2
X
X
Y
Y
T X Y
∇
= ∇
−
 то

 

12 ( , )
( , ( , ))
( , ( ,
))
2 ( , ( , )),

6(
)( , )
( , ( , ))
( , ( ,
))
( , ( ,
)).
Z

R X Z Z
T X T Y Z
T Y T Z X
T Z T X Y

T
X Y
T X T Y Z
T Y T Z X
T Y T Z X

= −
−
+

∇
= −
−
−

Ковариантно дифференцируя обе части первого из этих равенств, и, 
применяя второе равенство, убеждаемся, что 
0.
R
∇
=
 ▲

Предложение 4. Пусть (
,
)
M ∇  – локально симметрическое многообразие, и 
T – тензорное поле, такое, что

 
( , )
( ,
),
T X Y
T Y X
= −
 
(5)

 

1
1
( , )
(
)( , )
( , ( , )).
2
4
Z
R X Y Z
T
X Y
T Z T X Y
=
∇
+
 
(6)

Тогда (
,
),
M ∇  где 
1 ( , ),
2
X
XY
Y
T X Y
∇
= ∇
+
 является просимметрическим с 

нулевой кривизной. 
Предложение 5. Любое аналитическое просимметрическое многообразие 
(M, ∇) нулевой кривизны локально определено в достаточно малой окрестности 
точки e ∈ M его касательной алгеброй 
(
),
, , ,
.
e
e
M
T M
 
⎡
⎤
=
∗
⎣
⎦
 Касательная 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 3

9

алгебра Me является тернарной системой Ли с тройной операцией [ , , ], связанной с бинарной операцией * следующим тождеством:

 
[
]
[
]
[
]
[
]
,
,
, ,
, ,
, ,
0,
X
Z W Y
Y
W Z Y
Z
X Y W
W
Y Z X
∗
+
∗
+
∗
+
∗
=
 
(7)

 
, , , 
(
).
e
X Y Z W
T M
∈

Доказательство. Здесь мы изложим только основную идею. Хорошо известно, 
что симметрическое пространство (M, ∇) локально определяется его касательной тернарной системой Ли. С другой стороны, дифференциальные продолжения уравнения (6) заключаются в следующем тождестве:

 
( , ( ,
) )
( , (
, ) )
( , ( , )
)
(
, ( ,
) )
0.
T X R Z W Y
T Y R W Z X
T Z R X Y W
T W R Y X Z
+
+
+
=
 (8) 

Если положить 
( , ),  ,
(
),
e
X Y
T X Y
X Y
T M
∗
= −
∈
 то мы получим тождество (7). 

Определение 2. Аффинно связное многообразие (M, ∇) называется проабелевым (проективно плоским первого типа), если оно имеет общие геодезические 
линии с локально плоским пространством (
,
),
M ∇  с сохранением аффинного 
(канонического) параметра.
Предложение 6. Проабелево многообразие является просимметрическим 
(обратное неверно).
Предложение 7. Пусть (M, ∇) – аффинно связное многообразие, T и R – его 
поля кручения и кривизны. 
Тогда эквивалентны следующие утверждения (а)–(с):
(а) (M, ∇) является проабелевым;

(b) аффинно связное многообразие (
,
),
M ∇  где 
1 ( , ),
2
X
X
Y
Y
T X Y
∇
= ∇
−

 
является локально плоским многообразием;
(c) в (M, ∇) выполняется следующее тождество:

 

1
1
1
( , )
(
)( , )
(
)( , )
( , ( , ))
2
2
4
1
1
                            
( , ( , ))
( , ( , )).
4
2

X
Y
R X Y Z
T Y Z
T
X Z
T X T Y Z

T Y T X Z
T Z T X Y

=
∇
−
∇
−
+

+
−
 
(9)

Следствие 1. Аффинно связное многообразие (M, ∇) является проабелевым с 
нулевой кривизной тогда и только тогда, когда выполняется тождество:

 

1
(
)( , ) (
)( , )
( , ( , ))
2
1
      
( , ( , ))
( , ( , ))
0.
2

X
Y
T Y Z
T
X Z
T X T Y Z

T Y T X Z
T Z T X Y

∇
− ∇
−
+

+
−
=
 
(10)

Замечание. Используя тождества Бианки, убеждаемся, что тождество (10) эквивалентно следующему: 

 
2(
)( , )
( , ( , ))
( , ( ,
)).
ZY
X Y
T X T Y Z
T Y T Z X
∇
=
+
 
(11)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 3

10

Предложение 8. Пусть (
,
)
M ∇  – локально плоское многообразие (т. е. 

0, 
0).
T
R
=
=
 Пусть T – тензорное поле на M, такое, что T(X, Y) = –T(Y, X), и

 
2(
)( , )
( ( , ), ).
ZT
X Y
T T X Y
Z
∇
=
 
(12)

Тогда (M, ∇), где 
1 ( , ),
2
X
X
Y
Y
T X Y
∇
= ∇
−
 является проабелевым нулевой 

кривизны. 
Следующая схема иллюстрирует взаимное расположение подклассов просимметрических пространств (см. рис. 1).

Рис. 1. Расположение подклассов просимметрических пространств.

Определение 3. Геодезическая лупа с гомотетиями 
{ }
,
,
,
e
e
e
t
M S
t
e
∈
=


 
называется симметрической, если локально выполняются следующие тождества 
(когда одновременно правые и левые части имеют смысл):

 
(
)
e
e
e
e
e
e
t x
u x
t u
x
S
S
S +
=

 
(13)

 
 
e
e
x
y
e
e
e
e
x
y
x
S S x
S
S
S
S
=


 
(14)

 
(
)
(
)
(
)
1
1
1
e

e
e
x
x
e
e
S
S −
−
=
−


 
(15)

 
(
)
(
)
 
 
  
,
,
,
e
e
e
e
l
x y
t
t
l
x y
=


 
(16)

где 
(
) (
)
1
,
.
ex
e
e
e
e
x
y
S y
l
x y
S
S
S
−
=



Замечание. Тождество (14) в теории квазигрупп и луп называется левым тождеством Бола.( см.,например, [2; 8]).
Предложение 9. Пространство аффинной связности является симметрическим, если и только если все его локальные геодезические лупы с гомотетиями 
симметрические.
Определение 4. Геодезическая лупа с гомотетиями 
{ }
,
,
,
e
e
e
t
M L
t
e
∈
=


 

называется просимметрической, если 
,
,
,
e
e
e
M S t
e
=

 – симметрическая, где

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 3

11

 

(
)
(
)
(
)
(
)

1

1
 
1
1
 
 
 
2
2
2
.
1
1
1
1

e
e
e

e
e
e
x
x
e
e
e
x
x
S
L
L

−

⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠

⎛
⎞
⎜
⎟
= −
−
=
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠




 
(17)

Предложение 10. Дифференцируемая просимметрическая локальная геодезическая лупа с гомотетиями 
{ }
,
,
,
e
e
e
t
M L
t
e
∈
=


 является просимметриче
ской, если и только если выполняются следующие тождества:

 
(
)
(
)
 
1
1
,
y
w
x
x
t z
t
z
−
=
−
 
(18)

где 
(
)1 x
w
y
= −

(
) (
)
(
) (
)
1
1
1
1
, 
x
a
b
y z
−
−
= −
−
 
(19)

где 
,
.
x
y
a
t y b
t x
=
=

Замечание. Тождество (19) эквивалентно следующему соотнощению:

 
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
 
1
1
1
x
x
t
y
t y
y
x
+
−
−
= −
−


 
(20)

Очевидно, что просимметрическая геодезическая лупа с гомотетиями является симметрической, обратное неверно.
Предложение 11. Дифференцируемая просимметрическая локальная геодезическая лупа с гомотетиями 
{ }
,
,
,
e
e
e
t
M L
t
e
∈
=


 является просимметри
ческой, если и только если она может быть включена в качестве геодезической 
лупы в просимметрическое аффинно связное многообразие.
Предложение 12. Дифференцируемая просимметрическая локальная геодезическая лупа с гомотетиями 
{ }
,
,
,
e
e
e
t
M L
t
e
∈
=


 может быть включена в 

качестве геодезической лупы в просимметрическое аффинно связное многообразие  (M, ∇) нулевой кривизны, если и только если удовлетворяется тождество 
правой моноальтернативности:

 
(
)
(
)
1
 
,
ex
e
e
e
e
x
e
e
L y
e
L
t y
L
t
y
l
x y t y
t y
=
+
⇔
=
 
(21)

Замечание. Тождества (21) имеют следующие следствия:

 
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
−
−
−
−
=
=
1
1
1
1
.     
\
\
.
e
e
x
y
e L
y
L
x
x y
y x
 
(22)

Действительно, 
(
)
(
)
1
1 1
.
ex
e
e
e
x
x
L z
e
L
z
L
z
L e
x
−
=
−
=
=
 Если мы положим 

(
)
−
=
1 ,
e
x
z
L
y  то 
=
,
e
x
L z
y  и мы приходим к соотношениям (22).

Предложение 13. Дифференцируемая правомоноальтернативная локальная 

геодезическая лупа с гомотетиями 
{ }
,
,
,
e
e
e
t
M L
t
e
∈
=


 является просимме
трической, если и только если удовлетворяются тождества:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 3

12

 
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
=
−
−
⎣
⎦
⎣
⎣
⎦









\
1
[
1
 \  (
 \  ] .
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
x
x a
t z
x
x
a t
x
a
x
x a
z
x
 (23)

 

(
)
(
)
(
)
(
) (
)

(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)

 \

1
1
 \  
1
) . 

e
e
e
e e
e
e
e

e
e e
e
e
e
e
e
e
e

x a
x
z
x t a
x a

x t
a
x t a
z
x t
a

⎡
⎤ =
⎣
⎦
⎡
⎤
⎡
⎤
=
+
−
+
⎣
⎦
⎣
⎦













 
(24)

Определение 5. Дифференцируемая правомоноальтернативная локальная 
лупа с гомотетиями 
{ }
,
,
,
e
e
e
t
M L
t
e
∈
=


 называется проабелевой, если  

{ }
,
,
,
e
e
e
t
M S
t
e
∈
=


 (см. (17)) является векторным пространством над 

полем действительных чисел.
Предложение 14. Дифференцируемая локальная геодезическая лупа с гомотетиями 
{ }
,
,
,
e
e
e
t
M L
t
e
∈
=


 является проабелевой, если и только если вы
полняются тождества:

 
x
x
y
t y
x
t
u
u
t
=


 
(25)

 

1
1
;
x
z
z
x

y
y
v
v
v
v
v
v
⎛ ⎞
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠




 
(26)

 
≠

, ,   ,  
0, , ,   .  
t u v
v
x y z M

Предложение 15. Дифференцируемая локальная геодезическая лупа с гомотетиями 
{ }
,
,
,
e
e
e
t
M L
t
e
∈
=


 является проабелевой, если и только если вы
полняются тождества:

 

(
)
(
)

(
)
(
)

1
1

1
1

1

1

e
e
e
e
x
e
x
z
e
z

e

e
e
e
e
z
e
z
x
e
x

e

L
v
L
L
v
L
v

L
v
L
L
v
L
v

−
−

−
−

⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠

⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠














 
(27)

 
(
)
(
)
,
,
;
e
e
e
e
m
z t
u
u
m
z t
=


 
(28)

 
(
)
(
)
,
,
,
e
e
e
e
l
x y u
u
l
x y
=


 
(29)

где 
(
) (
)
1
,
.
e
e
e
e
e
z
t z
m
z t
L
t
L
−
=



Предложение 15. Дифференцируемая локальная лупа с гомотетиями 

{ }
,
,
,
e
e
e
t
M L
t
e
∈
=


 может быть включена в качестве геодезической лупы 

с гомотетиями в проективно плоское первого типа (проабелево) пространство 
аффинной связности нулевой кривизны, если и только если выполняются тождества (21), (27)–(29).
Статья поступила в редакцию 16.04.2019 г.