Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2019, № 2

научный журнал
Покупка
Артикул: 735525.0001.99
Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика : научный журнал. - Москва : Московский государственный областной университет, 2019. - № 2. - 122 с. - ISSN 2310-7251. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1085887 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019 / № 2

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2019 / № 2

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW REGION 
STATE UNIVERSITY

серия

series

Рецензируемый научный журнал. Основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки 
Российской Федерации в «Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные 
результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата 
наук, на соискание ученой степени доктора наук» по следующим 
научным специальностям: 01.04.02 – Теоретическая физика (физико-математические науки); 01.04.07 – Физика конденсированного состояния (физико-математические науки) (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России). 

The peer-reviewed journal was founded in 1998

«Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission of the Ministry 
of Education and Science of the Russian Federation into “the List of leading 
reviewed academic journals and periodicals recommended for publishing 
in corresponding series basic research thesis results for a Ph.D. Candidate 
or Doctorate Degree” on the following scientific specialities: 01.04.02 – 
Theoretical physics (physical-mathematical sciences); 01.04.07 – Physics 
of the condensed state (physical-mathematical sciences) (See: the online 
List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the 
Ministry of Education and Science of the Russian Federation).

Главный редактор серии:

Бугаев А. С. – д. ф.-м. н., академик РАН, Московский 
физико-техничекий институт (Государственный университет)

Заместитель главного редактора:

Жачкин В. А. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет

Ответственный секретарь:

Васильчикова Е. Н. – к. ф.-м. н., доц., Московский 
государственный областной университет

Члены редакционной коллегии:

Беляев В. В. – д. т. н., проф., Московский государственный областной университет; 

Бугримов А. Л. – д. т. н., проф., Российский государственный университет имени А.Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство);

Геворкян Э. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет;

Калашников Е. В. – д. ф.-м. н., Московский государственный областной университет;

Осипов М. А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);

Смирнова И. М. – д. п. н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Чаругин В. М. – д. ф.-м. н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Чигринов В. Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

Рецензируемый научный журнал «Вестник московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» публикует статьи по математическим проблемам 
термодинамики, кинетики и статистической физики; теории 
конденсированного состояния классических и квантовых, 
макроскопических и микроскопических систем; изучению 
различных состояний вещества и физических явлений в них; 
статистической физике и кинетической теории равновесных и 
неравновесных систем; теоретическому и экспериментальному исследованию физических свойств неупорядоченных неорганических систем; изучению экспериментального состояния 
конденсированных веществ и фазовых переходов в них. Журнал адресован ученым, докторантам, аспирантам и всем, интересующимся достижениями физико-математических наук.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-математика» зарегистрирован в 
Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС 77-73344.

Индекс серии «Физика-математика» по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723

Журнал включён в базу данных Российского индекса научного цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую 
версию в Интернете на платформе Научной электронной 
библиотеки (www.elibrary.ru), с августа 2017 г. на платформе 
Научной электронной библиотеки «КиберЛенинка» (https://
cyberleninka.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru).

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Публикация материалов осуществляется в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

Ответственность за содержание статей несут авторы. Мнение 
автора может не совпадать с точкой зрения редколлегии серии. Рукописи не возвращаются.

Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика. – 2019. – № 2. – 122 с.

© МГОУ, 2019.
© ИИУ МГОУ, 2019.

Адрес Отдела по изданию научного журнала «Вестник 
Московского государственного областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала 
«Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика»
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Выходит 4 раза в год

Редакционная коллегия 
ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Editor-in-chief :

A. S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, Academican of RAS, Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Deputy editor-in-chief:

V. A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow Region State University

Executive secretary:

E. N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, 
Associate Professor, Moscow Region State University

Members of Editorial Board:

V. V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;

A. L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Kosygin State University of Russia;

E. V. Gevorkyan – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;

E. V. Kalashnikov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Moscow Region State University;

I. M. Smirnova – Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, 
Moscow State Pedagogical University;

M. A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Strathclyde University (Glasgow, UK);

V. M. Charugin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow State Pedagogical University;

V. G. Chigrinov – Hong Kong University of Science and 
Technology (China)

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

The reviewed scientifi c journal “Bulletin of the Moscow Region 
State University. Series: Physics and Mathematics” publishes 
articles on mathematical problems of thermodynamics, kinetics 
and statistical physics; the theory of the condensed state of 
classical and quantum, macroscopic and microscopic systems; 
the study of various states of substance and physical phenomena 
in them; statistical physics and the kinetic theory of equilibrium 
and non-equilibrium systems; theoretical and experimental 
research of physical features of disordered inorganic systems; 
the study of the experimental state of condensed substances and 
phase transitions in them. The journal is addressed to scientists, 
doctoral students, PhD students and everyone interested in the 
achievements of physical and mathematical sciences.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the 
Moscow Region State University is registered in Federal service 
on supervision of legislation observance in sphere of mass 
communications and cultural heritage protection. The registration 
certifi cate ПИ № ФС 77 - 73344.

Index series «Physics and Mathematics» according to the 
union catalog «Press of Russia» 40723

The journal is included into the database of the Russian Science 
Citation Index, has a full text network version on the Internet 
on the platform of Scientifi c Electronic Library (www.elibrary.
ru), and from August 2017 on the platform of the Scientifi c 
Electronic Library “CyberLeninka” (https://cyberleninka.ru), as 
well as at the site of the Moscow Region State University (www.
vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of 
the Moscow Region State University» is obligatory. Scientifi c 
publication of materials is carried out in accordance with the 
license of Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

The authors bear all responsibility for the content of their papers. 
The opinion of the Editorial Board of the series does not necessarily 
coincide with that of the author Manuscripts are not returned.

Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2019. – № 2. – 122 p.

© MRSU, 2019.
© Moscow Region State University Editorial Offi  ce, 2019.

The Editorial Board address:
Moscow Region State University
10А Radio st., offi  ce 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

Founder of journal 
«Bulletin of the Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics»
Moscow Region State University

Editorial board

Issued 4 times a year 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 2

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÐÀÇÄÅË I. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Забелина С. Б., Марченко Т. А., Матвеев О. А., Пинчук И. А. 
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА НА ГЛАДКИХ 
КОНЕЧНОМЕРНЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ. . . . . . . . . . . . . . . . . .6

ÐÀÇÄÅË II. ÔÈÇÈÊÀ
Осипов М. А. ТЕОРИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ 
НЕМАТИЧЕСКИХ НАНОКОМПОЗИТОВ, СОДЕРЖАЩИХ 
СФЕРИЧЕСКИЕ НАНОЧАСТИЦЫ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

Веденяпин B. B., Фимин Н. Н., Чечеткин В. М. К ВОПРОСУ О ВЫВОДЕ 
УРАВНЕНИЯ ВЛАСОВА-МАКСВЕЛЛА-ЭЙНШТЕЙНА И ЕГО СВЯЗЬ 
C КОСМОЛОГИЧЕСКИМ ЛЯМБДА-ЧЛЕНОМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Романов Д. Н. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТОНКОЙ НЕОДНОРОДНОЙ 
МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ ПРОВОЛОКИ В СЛУЧАЕ АНИЗОТРОПНОЙ 
ПОВЕРХНОСТИ ФЕРМИ И ИЗОТРОПНОГО РАССЕЯНИЯ 
ЭЛЕКТРОНОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

Бедрикова Е. А., Серегина Л. С. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ СОБСТВЕННЫХ 
ФУНКЦИЙ ДЛЯ БОЗЕ-ГАЗА В СЛУЧАЕ ПОСТОЯННОЙ ЧАСТОТЫ 
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

Завитаев Э. В., Русаков О. В., Чухлеб Е. П. ЛОКАЛЬНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ 
CУБМИКРОННОГО МЕТАЛЛИЧЕСКОГО СЛОЯ С УЧЁТОМ ПОПРАВКИ 
К ЗАКОНУ ВИДЕМАНА-ФРАНЦА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

Васильева О. Ф., Зинган А. П. ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНОГО 
ТУННЕЛИРОВАНИЯ БОЗЕ-КОНДЕНСИРОВАННЫХ АТОМОВ 
В ДВУХЪЯМНОЙ ЛОВУШКЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

ÐÀÇÄÅË III. ÒÅÎÐÈß È ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÎÁÓ×ÅÍÈß È ÂÎÑÏÈÒÀÍÈß
Исаев B. И. ДЖ. РЭЛЕЙ И ИСТОРИЯ ОТКРЫТИЯ ЗАКОНА ТЕПЛОВОГО 
ИЗЛУЧЕНИЯ РЭЛЕЯ-ДЖИНСА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

Шабанова А. В., Калашников Е. В. АЛГОРИТМ ЗАЩИТЫ ОТ НАРУШЕНИЙ 
ПРАВИЛ ВВОДА ИНФОМАЦИИ С КОРРЕКЦИЕЙ КОНЕЧНОГО 
РЕЗУЛЬТАТА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2019 / № 2

5

CONTENTS

SECTION I. MATHEMATICS
S. Zabelina, T. Marchenko, O. Matveyev, I. Pinchuk. GEOMETRIC 
AND ALGEBRAIC PROPERTIES OF FIRST-ORDER DIFFERENTIAL 
EQUATIONS ON SMOOTH FINITE-DIMENSIONAL REAL 
MANIFOLDS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

SECTION II. PHYSICS
M. Osipov. THEORY OF DIELECTRIC SUSCEPTIBILITY OF NEMATIC 
NANOCOMPOSITES DOPED WITH SPHERICAL NANOPARTICLES  . . . . . . . . .14

V. Vedenyapin, N. Fimin, V. Chechetkin. DERIVATION OF VLASOV–
MAXWELL–EINSTEIN EQUATION AND ITS CONNECTION WITH 
COSMOLOGICAL LAMBDA-TERM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

D. Romanov. ELECTRICAL CONDUCTIVITY OF AN INHOMOGENEOUS 
THIN METAL WIRE IN THE CASE OF AN ANISOTROPIC FERMI SURFACE 
AND ISOTROPIC ELECTRON SCATTERING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

E. Bedrikova, L. Seregina. ORTHOGONALITY OF EIGENFUNCTIONS FOR 
A BOSE GAS IN THE CASE OF A CONSTANT FREQUENCY OF PARTICLE 
COLLISIONS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

E. Zavitaev, O. Rusakov, E. Chukhleb. LOCAL CONDUCTIVITY OF A 
SUBMICRON METAL LAYER WITH ALLOWANCE FOR A CORRECTION 
TO THE WIEDEMANN-FRANZ LAW  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

O. Vasilieva, A. Zingan. DYNAMICS OF NONLINEAR TUNNELING 
OF BOSE-CONDENSED ATOMS IN A DOUBLE-WELL TRAP  . . . . . . . . . . . . . . . .83

SECTION III. THEORY AND METHODS OF TEACHING AND EDUCATION
V. Isaev. J. W. STRUTT (LORD RAYLEIGH) AND HISTORY OF THE 
DISCOVERY OF THE RAYLEIGH–JEANS LAW OF THERMAL 
RADIATION  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

А. Shabanova, E. Kalashnikov. ALGORITHM OF PROTECTION 
AGAINST VIOLATIONS OF THE RULES OF INFORMATION INPUT 
AND CORRECTION OF THE FINAL RESULT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 2

6

ÐÀÇÄÅË I. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

УДК 514.76 + 512.54+517.9
DOI: 10.18384-2310-7251-2019-2-6-13

ÃÅÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ È ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ 
ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÏÅÐÂÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ ÍÀ ÃËÀÄÊÈÕ 
ÊÎÍÅ×ÍÎÌÅÐÍÛÕ ÂÅÙÅÑÒÂÅÍÍÛÕ ÌÍÎÃÎÎÁÐÀÇÈßÕ

Забелина С. Б., Марченко Т. А., Матвеев О. А., Пинчук И. А.
Московский государственный областной университет
141014, Московская область, г. Мытищи, ул. Веры Волошиной, д. 24, Российская 
Федерация
Аннотация. Рассматриваются геометрические и алгебраические свойства дифференциального уравнения первого порядка на гладких конечномерных вещественных многообразиях. Дифференциальному потоку (автономному или неавтономному) на многообразии сопоставляется некоторая аффинная связность без кручения, причём все исходные 
траектории являются некоторыми геодезическими линиями этой аффинной связности. 
Используя дифференциально-алгебраические характеристики аффинной связности, 
проводится исследование некоторых классов уравнений первого порядка на гладких конечномерных вещественных дифференцируемых многообразиях.
Ключевые слова: системы обыкновенных дифференциальных уравнений, гладкие многообразия, аффинные связности, универсальные алгебры, квазигруппы.

GEOMETRIC AND ALGEBRAIC PROPERTIES OF FIRST-ORDER 
DIFFERENTIAL EQUATIONS ON SMOOTH FINITE-DIMENSIONAL REAL 
MANIFOLDS

S. Zabelina, T. Marchenko, O. Matveyev, I. Pinchuk 
Moscow Region State University
ul. Very Voloshinoi 24, 141014 Mytishchi, Moscow Region, Russian Federation
Abstract. We consider the geometric and algebraic properties of the first-order differential 
equation on smooth finite-dimensional real manifolds. An affine connection without torsion 
is compared with a differential flow (autonomic or non-autonomic) on a manifold, with all the 

© CC BY Забелина С. Б., Марченко Т. А., Матвеев О. А., Пинчук И. А., 2019.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 2

7

original trajectories being some geodesic lines of this affine connection. Using differentialalgebraic characteristics of affine connectivity, we study some classes of first-order equations 
on smooth finite-dimensional real differentiable manifolds.
Keywords: systems of ordinary differential equations, smooth manifolds, affine connections, 
universal algebras, quasi-groups.

С классической точки зрения одной из основных задач теории обыкновенных 
дифференциальных уравнений является классификация решений дифференциальных уравнений по некоторому признаку, то есть введение топологических, 
дифференциальных, алгебраических инвариантов векторного поля, которые 
определяли бы «качественную» картину поведения соответствующего этому 
полю потока.
Нашей задачей является сопоставление дифференциальному потоку некоторой аффинной связности без кручения. Тогда тензорные поля кривизны и его 
ковариантные производные являются тензорными характеристиками исходного потока. Такой подход позволяет в дальнейшем, используя алгебраические 
аспекты теории пространств аффинной связности [1–5] к потоку, присоединить 
алгебраические конструкции, такие как касательные алгебры, геометрические 
лупы, определяемые параллельными переносами, геодезические квазигруппы, 
определяемые гомотетиями. Это позволяет провести классификацию уже по 
дифференциально-алгебраическим признакам.
Пусть M – дифференцируемое многообразие конечной размерности n, 
dimM = n, n – натуральное число, T(M) – касательное расслоение, слой которого в каждой точке носителя обозначим n – n-мерное векторное пространство. 
Касательное расслоение T(M) локально диффеоморфно тривиальному расслоению 
 
  ,
n
U
U
π
×
⎯⎯→
R
 где U – открытое подмножество M, а π – проекция на пер
вый сомножитель. Автономное векторное поле X на M локально задаётся отображением X : U → U × n, где X(x) = (x, f(x)), x ∈ U.
Интегральные кривые автономного векторного поля локально представляются в некоторой системе координат решениями автономной системы дифференциальных уравнений:

 
( ) ,  
1, . 

i
i
i
dx
x
f
x
i
n
dt
=
=
=
(1)

Неавтономное векторное поле Xна M локально задаётся отображением 

:
 
,
n
X U
U
×
→
×
где 
(
)
(
)
(
)
,
,
,
     
;
.
X x t
x g x t
x
U t
=
∈
∈
R

Интегральные кривые неавтономного векторного поля в некоторой локальной системе координат задаются решениями неавтономной системы дифференциальных уравнений:

 
(
)
,
,  
1, .

i
i
i
dx
x
g
x t
i
n
dt
=
=
=
(2)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 2

8

При некоторых естественных предположениях на теоремы существования 
и единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений возможно гладким образом «склеить» эти локальные решения и получить автономный или неавтономный «поток» на M, то есть отображение ϕ : M × → M, 
(x, t) → ϕ(x, t).
Наше исследование носит локальный характер; все вычисления мы проводим 
в одной локальной системе координат.
Дифференцируем по t каждое уравнение системы (2):

 

(
)
(
)
2

2
,
,
.

i
i
i
i
i
j
j
g
x t
g
x t
d
dx
d x
x
dt
dt
dt
x
x
t

∂
∂
⎛
⎞
=
=
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
∂
(3)

(Здесь, согласно правилу Эйнштейна, происходит свертка по «слепому» 

индексу j: 
(
)
(
)

1
 
).
,
,
n
i
i
j
j
j
j
j

g
x t
g
x t
x
x
x
x
=

∂
∂
=
∂
∂
∑
Подставляя соотношения (2) в выражения (3), получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка:

 

(
)
(
)
(
)
,
,
,
; 
1,  .
∂
∂
=
+
=
∂
∂
i
i
i
i
j
g
x t
g
x t
g
x t
i
n
x
t
x
 
(4)

Сделаем невырожденную линейную замену независимой переменной t:

 

2

2
, 
const,  
const, 
0, 
, 
0.
dt
d
t
au
b a
b
a
a
du
du
=
+
=
=
≠
=
=

2
2
2
2
2
2
2
2
; 
.

i
i
i
i
i
i
dx
dx
dt
d x
d
dx
d x
d x
dt
a
a
du
dt
du
du
du
dt
dt
dt
du
⎛
⎞
⎛
⎞
=
⋅
=
=
=
⋅⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

Теперь считаем u независимой переменной. От системы уравнений (4) приходим к следующим соотношениям:

 

(
)
(
)
(
)

2
2

2

2

2

,
,
1
,
0,
 

0;

i
i
i
j
j
g
y au
b
g
y au
b
d y
dt
g
y au
b
du
y
u
a
du

d t
du

⎧
⎡
⎤
∂
+
∂
+
⎛
⎞
−
+
+
⋅
=
⎪
⎢
⎥⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
∂
∂
⎣
⎦
⎨
⎪
=
⎪⎩

 
(5)

где 
( )
(
), 
1, . 
i
i
y u
x au
b
i
n
=
+
=

Положим 
( )
(
)
(
)
(
)

1,
1
,
,
,
,  

i
i
i
j
n
n
j
g
y au
b
g
y au
b
A
y
g
y au
b
y
a
u
+
+
⎡
⎤
∂
+
∂
+
= −
+
+
⎢
⎥
∂
⋅∂
⎣
⎦
( )
0,
i
jk
A
y =
где индексы i, j, k изменяются от 1 до n, 
1
1
1,
1
0; 
0.
n
n
n
n
ij
A
A
+
+
+
+
=
=
Для 

удобства дальнейших записей положим 
( )
(
)
( )
1
1
; 
,
.
n
i
n
i
y
u
t g
y y
y
+
+
=
= θ
 Теперь 
мы можем систему (5) переписать следующим образом:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 2

9

( )

2

2
0,

a
d y
dy dy
A
y
du
du du

β
γ
α
βγ
+
⋅
=
(6)

где 1 ≤ α, β, γ ≤ n + 1.
Система (6) представляет собой уравнения геодезических линий с аффинным 
параметром u на U × R–U ⊂ M, U – некоторое открытое подмногообразие в M,
{
}
 
 
Aα
βγ
– символы Кристоффеля второго рода, то есть коэффициенты некоторой 

аффинной связности ∇ на U × R.

Тензорное поле кручения в (U × R, ∇) тождественно равно нулю (
). 
A
A
α
α
βγ
γβ
=
Компоненты тензорного поля кривизны R вычисляем по формулам:

 

,
, 
m
k
m
k
km
m
k
k
m
A
A
R
A
A
A A
y
y

α
α
β
β
γ
γ
α
α
αγ
γ
β
β
β
∂
∂
=
−
+
−
∂
∂

(7)

где 
,
,
1
, , ,
.
1; km
mk
k m
n
R
R
α
α
β
β
≤ α β
≤
+
= −

2
2

1 ,
1
 
1, 
1
1 .

i
i
k
i
i
i
k
n
j n
j n
n
j
k
k
j
j
n
R
R
a
y
y
y
y
y
y
+
+
+
+
+
∂ θ
∂θ ∂θ
∂ θ
= −
=
θ +
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
(8)

Здесь индексы i, j, k изменяются от 1 до n. Остальные компоненты тензора 
кривизны тождественно равны нулю.
Итак, мы доказали следующую теорему.
Теорема. Пусть на дифференцируемом многообразии M, dimM = n, задан неавтономный поток. Пусть в некотором открытом подмногообразии U ⊂ M введена локальная система координат (x1, x2, ..., xn), в которой интегральные кривые 
потока локально являются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (2).
Сделаем замену координат:

 

( )
( )
(
)

( )
1
, 
 
1,  
,

i
i
i

n
y u
x t
x au
b
i
n
y
u
t
au
b
+
⎧
=
=
+
=
⎪⎨
= =
+
⎪⎩
 
(9)

где t, u – действительные переменные, a, b – действительные числа, a ≠ 0.
Ещё замена 
( )
( )
(
)
( )
1
, 
.
i
n
i
g
y u
y
u
y
+
= θ

Тогда неавтономному потоку на M сопоставляется однопараметрическое семейство аффинных связностей (U × R, ∇(a)), a ∈ R, a ≠ 0 с нулевым кручением, ненулевые коэффициенты этих связностей (символы Кристоффеля второго 
рода) задаются формулой:

 

( )
( )
( )
( )

1,
1
1
1
. 

n
i
i
i
j
n
n
j
n
j

y
y
A
y
y
a
y
y
+
+
+
=

⎡
⎤
∂θ
∂θ
= −
θ
+
⎢
⎥
∂
∂
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
(10)

Ненулевые компоненты тензора кривизны задаются соотношениями (8).

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 2

10

Следствие. Пусть на дифференцируемом многообразии M, n = dimM, задан 
автономный поток. Пусть в некотором открытом подмногообразии U ⊂ M введена локальная система координат (x1, x2, ..., xn). Сделаем замену (9).
Тогда автономному потоку сопоставляется семейство аффинных связностей 
на U × R, то есть (M, ∇) с нулевым кручением, ненулевые компоненты связности 
в выбранной системе координат задаются формулами:

 

( )
( )
( )
(
)

1,
1
1

,
, 

n
i
i
i
j
n
n
j
j

h
y
g
y au
b
A
y
h
y
y
u
+
+
=

∂
∂
+
= −
+
∂
∂
∑
(11)

где 
( )
( )
(
)
(
)
(
)
( )
(
).
i
i
i
i
h
y
f
x t
f
x au
b
f
y u
=
=
+
=

Пример. Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

 

1
2
3
1

2
1
3
2

3
1
2
3

,
, 
,

x
x x
x
x x
x
x x

⎧
= γ
⎪
= γ
⎨
⎪
= γ
⎩

(12)

где 
,

i
i
dx
x
dt
=
t – независимая переменная, действительные коэффициенты γ1, γ2, 

γ3, считаем постоянными.
Системы этого типа введены при исследовании движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки в отсутствие внешних сил (уравнения Эйлера) ([6], 
с. 123).
Продифференцируем каждое уравнение системы (12) по t:

 

(
)
(
)
(
)

1
2
3
2
3
1

2
1
3
1
3
2

3
1
2
1
2
3

 
,

 
, 

 
.

x x
x x

x x
x

x

x
x
x

x

x

x

x

⎧
= γ
+
⎪
= γ
+
⎨
⎪
= γ
+
⎩

(13)

В систему (13) подставляем соотношения (12):

 

(
)
(
)
(
)

(
)
( )
(
)

(
)
( )
(
)

2
2
1
1
3
2
1
2
3

2
2
2
2
3
1
2
1
3

2
2
3
3
2
1
3
1
2

 
,

 
, 

 
.

x
x
x

x
x
x

x
x

x

x

x

x

⎧
= γ
γ
+ γ
⎪
⎪⎪
= γ
γ
+ γ
⎨
⎪
⎪
= γ
γ
+ γ
⎪⎩

(14)

Сделаем невырожденную замену независимой переменной t: t = au + b, 

a = const, b = const, a ≠ 0. Положим 
( )
(
), 
1,3, 
i
i
y u
x au
b
i
=
+
=
 y4 = t = au + b. Имеем:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 2

11

 

(
)
(
)
(
)

(
)
( )
(
)

(
)
( )
(
)

2
2
1
4
2
2
1
3
2
1
2
3
2

2
2
2
4
2
2
2
3
1
2
1
3
2

2
2
3
4
2
2
3
2
1
3
1
2
2

2
4

2

0,

 
0,

 
0,

0.

d y
dy
y
y
y
du
du

d y
dy
y
y
y
du
du

d y
dy
y
y
y
du
du

d y
du

⎧
⎛
⎞
⎪
− γ
γ
+ γ
=
⎜
⎟
⎝
⎠
⎪
⎪
⎛
⎞
⎪
− γ
γ
+ γ
=
⎜
⎟
⎪
⎝
⎠
⎨
⎪
⎛
⎞
− γ
γ
+ γ
=
⎪
⎜
⎟
⎝
⎠
⎪
⎪
=
⎪⎩
 
(15)

Ненулевые коэффициенты аффинной связности имеют вид:

 
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
1
1
3
2
1
2
3
44
,
A
y
y
y
y
= −γ
γ
+ γ
( )
(
)
( )
(
)
2
2
2
2
3
1
2
1
3
44
 
,
A
y
y
y
y
= −γ
γ
+ γ
(16)

 
( )
(
)
( )
(
)
2
2
3
3
2
1
3
1
2
44
 
.
A
y
y
y
y
= −γ
γ
+ γ
Заключение
Конструкция, изложенная выше, позволяет построить дифференциально-алгебраические инварианты [7; 8] для систем обыкновенных дифференциальных 
уравнений, с помощью алгебраической теории пространств аффинной связности.

Статья поступила в редакцию 22.02.2019 г.

ЛИТЕРАТУРА
1. Matveyev O. A. On quasigroup theory of manifolds with trajectories // Webs and quasigroups. Tver: Tver State University, 2000. P. 129–139.
2. Матвеев О. А. Квазигрупповые свойства многообразий с траекториями // Вестник 
Московского педагогического университета. Математика-физика. 1998. № 3–4. С. 10–
15.
3. Паншина А. В., Матвеев О. А. О локально симметрических и абелевых механических 
системах // Актуальные проблемы математики и методики ее преподавания: 
межвузовский сборник научных трудов. Пенза: ПГПУ, 2001. С. 62–68.
4. Паншина А. В., Матвеев О. А., Матвеева Н. В. О квазигрупповой теории абелевых и 
симметрических механических систем // Фундаментальные физико-математические 
проблемы и моделирование технико-технологических систем: сборник научных 
трудов. Выпуск 9. М.: СТАНКИН, 2005. С. 22–25.
5. Паншина А. В., 
Матвеев О. А. 
Геометрические 
и 
алгебраические 
свойства 
систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Московского 
государственного областного университета. Серия: Физика-математика. 2011. № 3. 
С. 31–40.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 2

12

6. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. 
432 с.
7. Матвеев О. А., Нестеренко Е. Л. Алгебраическая теория пространств, близких к 
симметрическим: монография. Germany: Lap Lambert Academic Publishing, 2012. 125 с.
8. Матвеев О. А., Нестеренко Е. Л. Универсальные алгебры в теории пространств 
аффинной связности, близких к симметрическим: монография. М.: МГОУ, 2012. 132 с.

REFERENCES
1. Matveyev O. A. On quasi-group theory of manifolds with trajectories. In: Webs and quasigroups. Tver, Tver State University Publ., 2000. pp. 129–139.
2. Matveev O. A. [Quasi-group properties of manifolds with trajectories]. In: Vestnik 
Moskovskogo pedagogicheskogo universiteta. Matematika-fi zika [Bulletin of Moscow 
Pedagogical University. Mathematics-physics], 1998, no. 3–4, pp. 10–15. 
3. Panshina A. V., Matveev O. A. [On locally symmetric and abelian mechanical systems]. 
In: Aktual’nye problemy matematiki i metodiki ee prepodavaniya: mezhvuzovskii sbornik 
nauchnykh trudov [Actual problems of mathematics and methods of teaching: Interuniversity 
collection of scientifi c papers]. Penza, Penza State Pedagogical University Publ., 2001. 
pp. 62–68.
4. Panshina A. V., Matveev O. A., Matveeva N. V. [On the quasi-group theory of abelian and 
symmetric mechanical systems]. In: Fundamental’nye fi ziko-matematicheskie problemy 
i modelirovanie tekhniko-tekhnologicheskikh sistem: sbornik nauchnykh trudov. Vypusk 9 
[Fundamental physical and mathematical problems and modeling of technological systems: 
Collection of scientifi c works. Issue 9]. Moscow, STANKIN Publ., 2005. pp. 22–25. 
5. Panshina A. V., Matveev O. A. [Th e geometric and algebraic properties of the systems of 
ordinary diff erential equations]. In: Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo oblastnogo 
universiteta. Seriya: Fizika-matematika [Bulletin of Moscow Region State University. Series: 
Physics and Mathematics], 2011, no. 3, pp. 31–40. 
6. Arnold V. I. Mathematical methods of classical mechanics. New York, Springer, 2010. 520 p. 
7. Matveev O. A., 
Nesterenko E. L. 
Algebraicheskaya 
teoriya 
prostranstv, 
blizkikh 
k 
simmetricheskim [Algebraic theory of spaces close to symmetric: Monograph]. Germany, 
Lap Lambert Academic Publishing Publ., 2012. 125 p. 
8. Matveev O. A., Nesterenko E. L. Universal’nye algebry v teorii prostranstv affi  nnoi svyaznosti, 
blizkikh k simmetricheskim [Universal algebra in the theory of spaces with affi  ne connection 
close to symmetric: Monograph]. Moscow, Moscow Region State University Publ., 2012. 
132 p.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Забелина Светлана Борисовна – кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей 
алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики Московского 
государственного областного университета;
e-mail: zabelina_sb@mail.ru;

Марченко 
Татьяна 
Андреевна – 
студент 
физико-математического 
факультета 
Московского государственного областного университета;
e-mail: tatian96@rambler.ru;