Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2019, № 1

ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2019 / № 1

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2019 / № 1

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW REGION 
STATE UNIVERSITY

серия

series

Рецензируемый научный журнал. Основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки 
Российской Федерации в «Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные 
результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата 
наук, на соискание ученой степени доктора наук» по следующим 
научным специальностям: 01.04.02 – Теоретическая физика (физико-математические науки); 01.04.07 – Физика конденсированного состояния (физико-математические науки) (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России). 

The peer-reviewed journal was founded in 1998

«Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission of the Ministry 
of Education and Science of the Russian Federation into “the List of leading 
reviewed academic journals and periodicals recommended for publishing 
in corresponding series basic research thesis results for a Ph.D. Candidate 
or Doctorate Degree” on the following scientific specialities: 01.04.02 – 
Theoretical physics (physical-mathematical sciences); 01.04.07 – Physics 
of the condensed state (physical-mathematical sciences) (See: the online 
List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the 
Ministry of Education and Science of the Russian Federation).

Ответственный редактор серии:

Бугаев А. С. – д. ф.-м. н., академик РАН, Московский 
физико-техничекий институт (Государственный университет)

Заместитель ответственного редактора:

Жачкин В. А. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет

Ответственный секретарь:

Васильчикова Е. Н. – к. ф.-м. н., доц., Московский государственный областной университет

Члены редакционной коллегии:

Беляев В. В. – д. т. н., проф., Московский государственный областной университет; 

Бугримов А. Л. – д. т. н., проф., Российский государственный университет имени А.Н. Косыгина (Технологии. Дизайн. Искусство);

Геворкян Э. В. – д. ф.-м. н., проф., Московский государственный областной университет;

Калашников Е. В. – д. ф.-м. н., Московский государственный областной университет;

Осипов М. А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);

Смирнова И. М. – д. п. н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Чаругин В. М. – д. ф.-м. н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Чигринов В. Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

Рецензируемый научный журнал «Вестник московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» публикует статьи по математическим проблемам 
термодинамики, кинетики и статистической физики; теории 
конденсированного состояния классических и квантовых, 
макроскопических и микроскопических систем; изучению 
различных состояний вещества и физических явлений в них; 
статистической физике и кинетической теории равновесных и 
неравновесных систем; теоретическому и экспериментальному исследованию физических свойств неупорядоченных неорганических систем; изучению экспериментального состояния 
конденсированных веществ и фазовых переходов в них. Журнал адресован ученым, докторантам, аспирантам и всем, интересующимся достижениями физико-математических наук.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-Математика» зарегистрирован в 
Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС 77-73344.

Индекс серии «Физика-Математика» по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723

Журнал включён в базу данных Российского индекса научного цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую 
версию в Интернете на платформе Научной электронной 
библиотеки (www.elibrary.ru), с августа 2017 г. на платформе 
Научной электронной библиотеки «КиберЛенинка» (https://
cyberleninka.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru).

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Публикация материалов осуществляется в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

Ответственность за содержание статей несут авторы. Мнение 
автора может не совпадать с точкой зрения редколлегии серии. Рукописи не возвращаются.

Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. – 2019. – № 1. – 120 с.

© МГОУ, 2019.
© ИИУ МГОУ, 2019.

Адрес Отдела по изданию научного журнала «Вестник 
Московского государственного областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала «Вестник Московского государственного областного университета»: 
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Выходит 4 раза в год

Редакционная коллегия серии 
«Физика-Математика»
ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Editor-in-chief :

A. S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, Academican of RAS, Moscow Institute of Physics and Technology (State University)

Deputy editor-in-chief:

V. A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow Region State University

Executive secretary:

E. N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, 
Associate Professor, Moscow Region State University

Members of Editorial Board:

V. V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;

A. L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Kosygin State University of Russia;

E. V. Gevorkyan – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;

E. V. Kalashnikov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Moscow Region State University;

I. M. Smirnova – Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, 
Moscow State Pedagogical University;

M. A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Strathclyde University (Glasgow, UK);

V. M. Charugin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow State Pedagogical University;

V. G. Chigrinov – Hong Kong University of Science and 
Technology (China)

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

The reviewed scientifi c journal “Bulletin of the Moscow Region 
State University. Series: Physics-Mathematics” publishes articles 
on mathematical problems of thermodynamics, kinetics and 
statistical physics; the theory of the condensed state of classical 
and quantum, macroscopic and microscopic systems; the study 
of various states of substance and physical phenomena in them; 
statistical physics and the kinetic theory of equilibrium and nonequilibrium systems; theoretical and experimental research of 
physical features of disordered inorganic systems; the study of the 
experimental state of condensed substances and phase transitions 
in them. The journal is addressed to scientists, doctoral students, 
PhD students and everyone interested in the achievements of 
physical and mathematical sciences.

The series «Russian Philology» of the Bulletin of the Moscow 
Region State University is registered in Federal service on 
supervision of legislation observance in sphere of mass 
communications and cultural heritage protection. The registration 
certifi cate ПИ № ФС 77 - 73348.

Index series «Russian Philology» according to the union 
catalog «Press of Russia» 40718

The journal is included into the database of the Russian Science 
Citation Index, has a full text network version on the Internet 
on the platform of Scientifi c Electronic Library (www.elibrary.
ru), and from August 2017 on the platform of the Scientifi c 
Electronic Library “CyberLeninka” (https://cyberleninka.ru), as 
well as at the site of the Moscow Region State University (www.
vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of 
the Moscow Region State University» is obligatory. Scientifi c 
publication of materials is carried out in accordance with the 
license of Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). 

The authors bear all responsibility for the content of their papers. 
The opinion of the Editorial Board of the series does not necessarily 
coincide with that of the author Manuscripts are not returned.

Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2019. – № 1. – 120 p.

© MRSU, 2019.
© Moscow Region State University Editorial Offi  ce, 2019.

The Editorial Board address:
Moscow Region State University
10А Radio st., offi  ce 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

Founder of journal «Bulletin of the Moscow Region State University»: 
Moscow Region State University

Series editorial board 
«Physics and Mathematics»

Issued 4 times a year 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 1

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÐÀÇÄÅË I. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Усенов И. А., Кенжебаев М. К. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ 
ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ГАММЕРШТЕЙНА ПЕРВОГО РОДА 
С ПРИБЛИЖЕННЫМ ОПЕРАТОРОМ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

ÐÀÇÄÅË II. ÔÈÇÈÊÀ
Гладков С. О. ОБ АЛЬТЕРНАТИВНОМ ВЫЧИСЛЕНИИ КОВАРИАНТНЫХ 
ПРОИЗВОДНЫХ С ПРИЛОЖЕНИЕМ К ПРОБЛЕМАМ МЕХАНИКИ, 
ФИЗИКИ И ГЕОМЕТРИИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Зверев Н. В., Юшканов А. А. ЭЛЕКТРОННАЯ ПЛАЗМА 
И ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ ОТ МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ 
И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛЁНОК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

Мащенко В. И., Константинов М. С., Цебрук И. С., Чаусова О. В., 
Беляев В. В. НОВЫЕ ЭЛЕКТРОПРОВОДЯЩИЕ НАНОКОМПОЗИТЫ 
НА ОСНОВЕ СИЛОКСАНОВЫХ МАТЕРИАЛОВ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

Зиборов В. С., Ростилов Т. А. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА VISAR 
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ФРОНТА УДАРНОЙ 
ВОЛНЫ В ГАЗЕ И ТВЁРДОЙ ПОВЕРХНОСТИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

Абдуев А. Х., Асваров А. Ш., Ахмедов А. К., Беляев В. В., Скворцов А. Ю., 
Пленцова Д. С. МЕТОДЫ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК 
ПРОЗРАЧНЫХ ЭЛЕКТРОДОВ НА ОСНОВЕ ОКСИДА ЦИНКА. . . . . . . . . . . . .74

Курилов А. Д., Волосникова Н. И. АНИЗОТРОПИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ 
ПРОНИЦАЕМОСТИ 1-(4-ГЕКСИЛЦИКЛОГЕКСИЛ)-4-ИЗОТИОЦИАНАТБЕНЗОЛА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

ÐÀÇÄÅË III. ÒÅÎÐÈß È ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÎÁÓ×ÅÍÈß È ÂÎÑÏÈÒÀÍÈß
Казаков Н. А., Кузнецова Т. И. МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ 
ОКРУЖНОСТИ В ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ЕГЭ  . . . . . . . . . . . . . . . .97

Акбаров Э. А., Калашников Е. В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 
ОБЪЕКТА СЛОЖНОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОЙ КОНФИГУРАЦИИ 
В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2019 / № 1

5

CONTENTS

SECTION I. MATHEMATICS
I. Usenov, M. Kenzhebaev. REGULARIZATION OF THE SOLUTION 
OF THE OPERATOR EQUATION OF THE HAMMERSTEIN FIRST 
KIND WITH APPROXIMALLY SPECIFIED OPERATOR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

SECTION II. PHYSICS
S. Gladkov. ABOUT ALTERNATIVE CALCULATION OF COVARIANT 
DERIVATIVES WITH AN APPENDIX TO THE PROBLEMS OF MECHANICS, 
PHYSICS AND GEOMETRY  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

N. Zverev, A. Yushkanov. ELECTRON PLASMA AND INTERFERENCE 
OF RADIATION FROM METALLIC AND DIELECTRIC FILMS. . . . . . . . . . . . . . . .46

V. Mashchenko, M. Konstantinov, I. Cebruk, O. Chausova, V. Belyaev. 
NEW ELECTRICALLY CONDUCTIVE NANOCOMPOSITES BASED 
ON SILOXANE MATERIALS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

V. Ziborov, T. Rostilov. APPLICATION OF THE METHOD 
FOR VISAR STUDIES OF THE INTERACTION OF THE SHOCK FRONT 
IN THE GAS AND SOLID SURFACE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

A. Abduev, A. Asvarov, A. Ahmedov, V. Belyaev, A. Skvortsov, D. Plentsova. 
IMPROVING THE CHARACTERISTICS OF TRANSPARENT ELECTRODES 
BASED ON ZINC OXIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

A. Kurilov, N. Volosnikova. ANISOTROPY OF DIELECTRIC PERMITTIVITY 
OF 1-(4-HEXYLCYCLOHEXYL)-4-ISOTHIOCYANATOBENZENE. . . . . . . . . . . . .83

SECTION III. THEORY AND METHODS OF TEACHING AND EDUCATION
N. Kazakov, T. Kuznetsova. AUXILIARY CIRCLE METHOD 
IN PLANIMETRIC TASKS OF THE FINAL EXAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

E. Akbarov, E. Kalashni. MOTION SIMULATION OF OBJECT WITH 
IMMUTABLE COMPLEX CONFIGURATION IN A CONFINED SPACE . . . . . . .107

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 1

6

© CC BY Усенов И. А., Кенжебаев М. К., 2019.

ÐÀÇÄÅË I. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

УДК 519.683.5
DOI: 10.18384-2310-7251-2019-1-6-15

ÐÅÃÓËßÐÈÇÀÖÈß ÐÅØÅÍÈß ÎÏÅÐÀÒÎÐÍÎÃÎ ÓÐÀÂÍÅÍÈß 
ÃÀÌÌÅÐØÒÅÉÍÀ ÏÅÐÂÎÃÎ ÐÎÄÀ Ñ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÍÛÌ ÎÏÅÐÀÒÎÐÎÌ

Усенов И. А.1, Кенжебаев М. К.2

1 Кыргызский Национальный Университет имени Ж. Баласагына
720033, г. Бишкек, ул. Фрунзе, д. 547, Кыргызстан

2 Кыргызский Экономический Университет имени М. Рыскулбекова
720033, г. Бишкек, ул. Т. Молдо, д. 58, Кыргызстан
Аннотация. В Гильбертовом пространстве исследован класс нелинейных операторных 
уравнений первого рода. Построено приближенное решение, устойчивое относительно 
исходных данных задачи. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению исходного уравнения. Произведён выбор параметра регуляризации от погрешностей. 
Ключевые слова: уравнение Гаммерштейна, регуляризация, сходимость, уравнение первого рода.

REGULARIZATION OF THE SOLUTION TO THE HAMMERSTEIN OPERATOR 
EQUATION OF THE FIRST KIND WITH AN APPROXIMATELY SPECIFIED 
OPERATOR

I. Usenov1, M. Kenzhebaev2

1 Kyrgyz National University named after Jusup Balasagyn
ul. Frunze 547, 720033 Bishkek, Kyrgyzstan

2 Kyrgyz Economic University named after M. Ryskulbekov
ul. T. Moldo 58, 720033 Bishkek, Kyrgyzstan
Abstract. A class of nonlinear operator equations of the first kind is investigated in the Hilbert 
space. An approximate solution is constructed that is stable with respect to the initial data of 
the problems. The convergence of the approximate solution to the exact solution of the original 
equation is proved. The regularization parameters of the errors are selected.
Keywords: Hammerstein equation, regularization, convergence, equation of the first kind.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 1

7

Регуляризации решения линейного и нелинейного операторного уравнения в 
гильбертовом пространстве посвящены работы авторов [1–7; 9; 10; 12]. 
В работе [11] для решения операторного уравнения первого рода Гаммерштейна, 
когда точно задан линейный оператор, построен регуляризирующий оператор.

Постановка задач
В данной работе исследовано операторное уравнение первого рода 
Гаммерштейна в гильбертовом пространстве H

 
( )
,
AF z
u
=
 
(1)

когда приближенно задан линейный оператор, то есть вместо оператора A известно его приближенное значение Ah такое, что

 
,
h
H
A
A
h
−
≤
 
(2)

где A : H → H – линейный самосопряжённый положительный оператор, 
F : H → H – нелинейный оператор, дифференцируемый по Фреше.
В интегральном случае AF(z) определяется как:

 

( )
(
)
(
)
(
)
(
)
[
] [
]
(
)

(
) ( ) ( )
(
)
[
]

1

2

0
1 1

0,1
0 0

,
, ( )
,
,
,
0,1
0,1 ,

,
0,
, ( )
,
R

AF z
K t s M s z s ds K t s
K s t
L

K t s z s z t dsdt
M s z s
C
×

=
=
∈
×

>
∈

∫

∫∫

|| ⋅ ||H – норма гильбертового пространства.
Допустим, что при u = u0 уравнение (1) имеет точное решение z0, то есть 

 
( )
0
0
AF z
u
=
 
(3)

и истокообразно представимо

 
0
0,
z
A
= σ ϑ
 
(4)

где σ > 0, σ ∈ R, ϑ0 ∈ H. 
Целью данной работы является построение регуляризирующего оператора 
для решения операторного уравнения Гаммерштейна первого рода в пространстве Гильберта.

Регуляризация
Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение:

 
( )
,
h
z
A F z
u
α +
=
 
(5)

где α > 0.
Пусть 

 
( )
( )
,
F z
K z
z
=
+ σ
 
(6)

где K – нелинейный оператор.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 1

8

В [11] относительно нелинейного оператора K доказано, что для любого 
z1, z2 ∈ H он удовлетворяет условию Липшица, то есть:

 
( )
( )
1
2
1
2
,
,
H
H
K z
K z
N z
z
N
−
≤
−
< σ  
(7)

где λi < a ≤ b < λi+1, i = 1, 2, ... a ≤ F′(z) ≤ b, 
,
2
a
b
+
σ =
 
( )
0,
2
H
b
a
K z
N
−
≤
≡
>
′

 
а также доказана обобщённая лемма Лаврентьева М. М., что при любом α > 0 
и σ > 0 имеет место неравенство:

 

1
1
(
)
.
H
E
A −
−
α + σ
≤ α
 
(8)

Из (8) следует, что оператор (αE + σA)–1A удовлетворяет неравенству:

 

1
1
(
)
.
H
E
A
A
−
−
α + σ
≤ σ
 
(9)

В силу представления (6) из уравнения (5) имеем:

 
( )
α + σ
+
= .
h
h
z
AL z
A K z
u  
(10)

Оператор αE + σAh представим в виде:

 
(
) (
) (
)
(
)
(
)
(
)
−
α + σ
= α + σ
+ σ
− σ
= α + σ
+ α + σ
σ
−
1
.
h
h
h
E
A
E
A
A
A
E
A E
E
A
A
A

Используя оценки (2) и (8), оценим норму оператора (αE + σA)–1σ(Ah – A):

 
(
)
(
)

−
−
α + σ
σ
−
≤ σ α
1
1.
h
H
E
A
A
A
h
 
(11)

Пусть имеет место предельное соотношение:

 
( )
−

→
α
=
1

0
lim
0.
h
h
h
 
(12)

Из условия (12) следует, что существует число h0 > 0, такое, что:

 

−
= σ α
<
1
1
1,
q
h
 
(13)

при h < h0.

При выборе α(h) = hβ, 0 < β < 1 условие (12) выполняется и 
(
) −β
=
σ
>

1
1
0
1
0.
h

Тогда в силу теоремы Банаха [8] оператор E + (αE + σA)–1σ(Ah – A) имеет обратный оператор, причём справедлива оценка:

 

(
)
(
)
(
)
(
)

−
−
−
+ α + σ
σ
−
≤
−

1
1
1
1
1
.
h
H
E
E
A
A
A
q
 
(14)

Таким образом, оператор αE + σAh имеет обратный оператор, и этот оператор 
представим в виде:

 
(
)
(
)
(
)
(
) (
)

−
−
−
−
α
= α + σ
=
+ α + σ
σ
−
α + σ

1
1
1
1
,
.
h
h
h
L
E
A
E
E
A
A
A
E
A
 
(15)

Из (15), используя неравенства (8) и (14), получаем:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 1

9

 
(
)
(
)
−
−
−
α + σ
≤
−
α
1
1
1
1
1
.
h
H
E
A
q
 
(16)

Тогда из уравнения (10) переходим к уравнению:

 
(
)
α
α
α
α
=
−
,
,
,
,
.
h
h
h
h
h
u
z
L
L
A K z
 
(17)

Введём обозначение:

 
(
)
(
)
α
α
α
α
=
,
,
,
,
.
h
h
h
h
h
z
L
A K z
T
 
(18)

Норма оператора (αE + σAh)–1Ah удовлетворяет оценке:

 
(
)
(
) (
)
−
−
−
−
α + σ
≤
−
α
+ σ
1
1
1
1
1
1
.
h
h
H
E
A
A
q
h
 
(19)

Оценим норму оператора Tα,h,σ(z):

 
( )
( )
( )
( )
(
)
,
1
,
2
,
1
2
.
h
h
h
h
H
H
T
z
T
z
L
A
K z
K z
α
α
α
−
=
−
 
(20)

Тогда из (20), используя оценки (7), (19), имеем:

 

( )
( )

(
) (
)

,
1
,
2
,
1
2

1
1
1
1
1
2

( )
(
)

1
.

h
h
h
h
H
H
H
T
z
T
z
L
A
K z
K z

q
h
N z
z

α
α
α

−
−
−

−
≤
−
≤

≤
−
α
+ σ
−
 
(21)

Из условия (12) следует, что существует число 
0
0,
h >
такое, что

 
(
) (
)
−
−
−
=
−
α
+ σ
<
1
1
1
2
1
1
1
q
q
h
N
 
(22)

при 
(
)
(
)
(
)
(
)

−
−β
<
=
σ −
σ σ +
>
1
1 1
0
0.
h
h
N
N

Таким образом, оператор Tα,h,σ(z) является оператором сжатия.
Уравнение (17) решаем методом последовательных приближений. 
За нулевые приближения возьмём элемент

 
0
,
.
h
z
L
u
α
=
(23)

Остальные приближения определяются по формуле:

 
( )
1
0
,
0,1, 2, ...
k
h
h
k
z
z
L
A K z
k
+
α
=
+
=
(24)

Покажем, что последовательность { }
к
к 0
z
∞

=  является сходящейся.

Сходимость последовательности { }
к
к 0
z
∞

=  и функционального ряда вида:

 
[
] [
]
[
]
0
1
0
2
1
1
...
...
k
k
z
z
z
z
z
z
z −
+
−
+
−
+
+
−
+
(25)

эквивалентны.
Нулевое приближение 
0zудовлетворяет неравенству

 
(
)

1
1
0
1
1
.
H
z
q
u
−
−
≤
−
α
(26)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 1

10

Полагая k = 0, из (24), имеем:

 

( )
( )

(
)

1
0
,
0
,
0

1
,
2
0

(0))

(0)
(0)
.
(
h
h
h
h
H
H
H

h
h
H
H
H

z
z
L
A K z
L
A K z
K

L
A K
q
z
N
K

α
α

−
α

−
=
≤
−
+

+
≤
+

(27)

Полагая в (24) k = 1; k = 0 и вычитая из первого второе, получаем: 

 

( )
( )

(
)

2
1
,
1
0
2
1
0

1
2
2
0
(0)
.

(
)
h
h
H
H
H

H
H

L
A K z
K z
q
z
z

q
z
N
K

z
z
α

−

≤
−
≤
−
≤

≤
+

−
(28)

Далее по методу математической индукции можно доказать, что для любого 
натурального k ≥ 2, справедливо неравенство:

 
(
)
1
1
0
2
(0)
.
k
k
k
H
H
H
z
z
q
z
N
K
−
−
−
≤
+
(29)

Таким образом, ряд (25) мажорируется следующим числовым рядом:

 
(
)
1
0
2
1
(0)
.
k
H
H
k
q
z
N
K

∞
−

=
+
∑
(30)

Следовательно, условие q2 < 1 при 
< 0
h
h
 обеспечивает сходимость ряда (30), 
тогда ряд (25) также является сходящимся. Сумму ряда (25) обозначим через 
zα,h. В силу эквивалентности сходимости последовательности { }
к
к 0
z
∞

=  и ряда (25) 
имеем:

 

,
lim
k
h
k
z
zα
→∞
=
 
(31)

Используя непрерывность оператора Lα,hAhK при k → ∞, переходим к пределу 
в (24) и, используя предельное соотношение (31), получим:

 
(
)
,
0
,
,
.
h
h
h
h
z
z
L
A K z
α
α
α
=
+
(32)

Таким образом, сходимость ряда (25) доказана.
ТЕОРЕМА 1. Пусть: 1) задан оператор Ah, удовлетворяющий неравенству (2); 
2) имеет место предельное соотношение (12). Тогда уравнение (17) при любом 
u ∈ H, α > 0, σ > 0 и 
0
h
h
< имеет единственное решение zα,h ∈ H.

Если решение уравнения (17) при u = u0 обозначить через 
0
, ,
h
zα
 тогда в силу 
формулы (32) оно представимо в виде:

 
(
)
α
α
α
α
=
−
0
0
,
0
,
,
,
.
h
h
h
h
h
z
L
u
L
A K z
 
(33)

Рассмотрим разность 
0
,
0
h
z
z
α −

(
)
α
α
α
α
−
=
−
−
0
0
0
,
0
,
0
,
,
.
h
h
h
h
h
z
z
L
u
L
A K z
z
 
(34)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 1

11

Полагая, что u0 = σAz0 + AK(z0), переходим в норму разности 
0
,
0
h
z
z
α −

(
)
(
)
( )
(
)

(
)
( )
( )
(
)
(
) ( )

0
0
0
,
0
0
0
,
0
,
,

,
0
,
0
0
.

h
h
h
h
h
h
H
H
H

h
h
h
h
H
H

z
z
L
Az
z
A z
L
A
K z
K z

L
A
A K z
K
L
A
A K

α
α
α
α

α
α

−
≤
σ
−α
− σ
+
−
+

+
−
−
+
−
 (35)

Используя (4), из (35) имеем:

 

(
) (
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)

−
−
−
−
−
α

−
−
−
−
α

−
−
α

−
≤ α
−
α
+ σ
+ α
−
σ
σ +
+

+ α
−
+
−
≤ α σ
+
−
+

+ α
−
σ
σ +
+
+
−

1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
,

1
1
1
0
1
1
2
0
1
0
,

1
1
0
1
0
2
0
,

1
1

1
(0)
1

1
(0)
.

h
H
H
H

h
H
H

h
H
H
H

z
z
q
h
v
h
q
M v
N

h
q
K
q
z
z
N
q
v

h
q
M v
N
K
q
z
z
 (36)

В силу условия (22) из (36) имеем оценку:

 

−
α −
≤ α
+ α
0
1
0
1
2
,
,
h
H
z
z
c
h
c  
(37)

 

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
(
)

1
1
1
3
1
0

1
1
2
3
1
0
3
2

1
,

1
(0)
,
1
.

H

H
H

c
c
N
q
v

c
c
q
M v
N
K
c
q

−
−

−
−
=
σ
+
−

=
−
σ
σ +
+
=
−
 
(38)

Минимизируя правую часть (37), имеем:

 
( )
1
2 1
.
h
c c h
−
α
=
 
(39)

Подставляем (39) в правую часть (37), имеем:

 

0
1 2
,
2
.
h
H
z
z
c c
h
δ
α −
≤
 
(40)

ТЕОРЕМА 2. Пусть: 1) выполнены все условия теоремы 1; 2) при u = u0 уравнение (1) имеет точное решение, представимое в виде (4); 3) зависимость параметра регуляризации от погрешности линейного оператора определяется по 
формуле (39). Тогда решение 
0
,h
zα  уравнения (17) при h → 0 сходится к точному 

решению уравнения (1), а скорость сходимости удовлетворяет условию (40).
Пусть правая часть уравнения (1) задана с погрешностью δ, то есть:

 

0
.
H
u
u
δ
≤ δ
−
 
(41)

Основная задача, подлежащая исследованию, заключается в построении 
по приближенным данным {Ah, uδ} такой последовательности решений 
, ,
h
zδ
α
 
которая сходится в пространстве H к точному решению z* уравнения (1) при 
условии сходимости исходных данных при δ, h → 0. 
Решение уравнения (17) при u = uδ обозначим через 
.
,h
zδ
α
 Тогда в силу 

формулы (32) решение 
,h
zδ
α  представимо в виде:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2019 / № 1

12

 
(
)
,
,
,
,
.
h
h
h
h
h
z
L
u
L
A K z
δ
δ
α
δ
α
α
α
=
+
 
(42)

Оценим разность 
.
0
,h
z
z
δ
α −
 Используя неравенство треугольника, имеем:

 

0
0
0
0
,
,
,
,
.
h
h
h
h
H
H
H
z
z
z
z
z
z
δ
δ
α
α
α
α
−
≤
−
+
−
 
(43)

Второе слагаемое в (43) удовлетворяет оценке (37). Оценим первое слагаемое:

 

(
)

(
)
(
)

0
,
0
,
,

0
1
0
,
2
,
,
,
,
.

h
h
h H
H

h
h
h
h
h
H
H
H
h

z
z
L
u
u

L
A
K z
K z
q
z
z

δ
α
δ
α
α

δ
−
δ
α
α
α
α
α

−
≤
−
+

+
−
≤ δα
+
−
  
(44)

Отсюда в силу (12) имеем: 

 

0
1
3
,
,
.
h
h H
z
z
c
δ
−
α
α
−
≤
δα
 
(45)

Тогда из (43) имеем оценку:

 

1
1
0
1
2
3
,
.
h
H
z
z
c
h
c
c
δ
−
−
α −
≤ α
+ α
+
δα
 
(46)

Минимизируя правую часть (46), имеем:

 
(
)
1
3
2
1
,
.
(
)
h
c
hc
c−
α δ
δ +
=
 
(47)
Подставляем (47) в правую часть (46) имеем:

 

0
1
3
2
,
2
.
h
H
z
z
c
c
hc
δ
α −
≤
δ +
 
(48)

Таким образом, доказана теорема, обобщающая теорему 2. 
ТЕОРЕМА 3. Пусть: 1) выполнены все условия теоремы 2; 2) элемент uδ удовлетворяет неравенству (41); 3) зависимость параметра регуляризации от погрешностей определяется по формуле (47). Тогда решение уравнения (17) при 
δ, h → 0 является приближенным решением уравнения (1). Скорость сходимости удовлетворяет условию (48).

Выводы и результаты исследования
В данной работе доказано, что решение операторного уравнения Гаммерштейна 
первого рода в пространстве Гильберта является регуляризируемым.
Обоснование регуляризируемости решения заключается в следующих результатах исследования:
1) построен регуляризирующий оператор для решения операторного уравнения первого рода в пространстве Гильберта;
2) доказана сходимость регуляризированного решения к точному решению 
исходного уравнения;