Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2018, № 3

ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2018 / № 3

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2018 / № 3

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW REGION 
STATE UNIVERSITY

Рецензируемый научный журнал. Основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён в 
«Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук» Высшей аттестационной 
комиссии при Министерстве образования и науки Российской 
Федерации (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России) по Физике (01.04.00). 

The peer-reviewed journal was founded in 1998

«Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and 
Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission 
of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation 
into “the List of leading reviewed academic journals and periodicals 
recommended for publishing in corresponding series basic research 
thesis results for a Ph.D. Candidate or Doctorate Degree” (See: the 
online List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the Ministry of Education and Science of the Russian 
Federation) in Physics (01.04.00).

серия

series

Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. – 2018. – № 3. – 
118 с.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия «Физика-Математика» зарегистрирован в Федеральной службе по надзору за соблюдением 
законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного наследия. Регистрационное свидетельство 
ПИ № ФС 77-73344.

Индекс серии «Физика-Математика» 
по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723

© МГОУ, 2018.
© ИИУ МГОУ, 2018.

Адрес Отдела по изданию научного журнала 
«Вестник Московского государственного
областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала «Вестник Московского государственного областного университета»: 
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Редакционная коллегия серии 
«Физика-Математика»
ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Выходит 4 раза в год

Ответственный редактор серии:

Бугаев А.С. – д. ф.-м. н., академик РАН, Московский 
физико-техничекий институт (Государственный университет)

Заместитель ответственного редактора:

Жачкин В.А. – д.ф.-м.н., проф. Московский государственный областной университет

Ответственный секретарь:

Васильчикова Е.Н. – к. ф.-м. н., доц., Московский государственный областной университет

Члены редакционной коллегии:

Беляев В.В. – д.т.н., проф., Московский государственный областной университет; 

Бугримов А.Л. – д. т. н., проф., Московский государственный областной университет;

Калашников Е.В. – д.ф.-м.н., Московский государственный областной университет;

Смирнова И.М. – д.п.н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Осипов М.А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);

Чаругин В.М. – д.ф.-м.н., проф., Московский педагогический государственный университет;

Чигринов В.Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

Журнал включён в базу данных Российского индекса научного цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую 
версию в Интернете на платформе Научной электронной 
библиотеки (www.elibrary.ru), с августа 2017 г. на платформе Научной электронной библиотеки «КиберЛенинка» 
(https://cyberleninka.ru), а также на сайте Московского 
государственного областного университета (www.vestnikmgou.ru)

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника 
Московского государственного областного университета» 
обязательна. Публикация материалов осуществляется в 
соответствии с лицензией Creative Commons Attribution 4.0 
(CC-BY). Ответственность за содержание статей несут авторы. Мнение автора может не совпадать с точкой зрения 
редколлегии серии. Рукописи не возвращаются. 

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: 
Physics and Mathematics. – 2018. – № 3. – 118 p.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the 
Moscow State Regional University is registered in Federal service on supervision of legislation observance in sphere of mass 
communications and cultural heritage protection. The registration certificate ПИ № ФС 77-73344.

Index of the series «Physics and Mathematics» 
according to the union catalog «Press of Russia» 40723

© MRSU, 2018.
© Information & Publishing department of MRSU, 2018.

The Editorial Board address:
Moscow Region State University
10А Radio st., office 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

Founder of journal «Bulletin of the Moscow Region State University»: 
Moscow Region State University

Editor-in-chief :

A.S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, Academican of RAS, Moscow Institute of Physics and Technology 
(State University)

Deputy editor-in-chief:

V.A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow Region State University

Executive secretary:

E.N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, Associate Professor, Moscow Region State University

Members of Editorial Board:

V.V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow Region State University;

A.L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, 
Moscow Region State University;

E.V. Kalashnikov – Doctor of Physics and Mathematics, 
Moscow Region State University;

I.M. Smirnova – Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, 
Moscow State Pedagogical University;

M.A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Strathclyde University (Glasgow, UK);

V.M. Charugin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow State Pedagogical University;

V.G. Chigrinov – Hong Kong University of Science and 
Technology (China)

Series editorial board 
«Physics and Mathematics»

Issued 4 times a year 

The journal is included into the database of the Russian Science 
Citation Index, has a full text network version on the Internet 
on the platform of Scientific Electronic Library (www.elibrary.
ru), and from August 2017 on the platform of the Scientific 
Electronic Library “CyberLeninka” (https://cyberleninka.ru), 
as well as at the site of the Moscow Region State University 
(www.vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of 
the Moscow Region State University» is obligatory. Scientific 
publication of materials is carried out in accordance with the 
license of Creative Commons Attribution 4.0 (CC-BY). The authors bear all responsibility for the content of their papers. 
The opinion of the Editorial Board of the series does not necessarily coincide with that of the author Manuscripts are not 
returned. 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 3

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÐÀÇÄÅË I. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Алгазин О.Д. ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ 
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ-НЕЙМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ 
ТРИКОМИ В ПОЛОСЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

ÐÀÇÄÅË II. ÔÈÇÈÊÀ
Алиев И.Н., Самедова З.А., Копылов И.С. ВЛИЯНИЕ 
РАСКЛИНИВАЮЩЕГО ДАВЛЕНИЯ НА КРИТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ 
РЕАЛИЗАЦИИ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ 
ЖИДКОСТИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Геворкян Э.В. ДИНАМИКА СДВИГА ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ 
В МАГНИТНЫХ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЯХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Соколов В.В., Курилов А.Д. ПОГЛОЩЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА 
МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТЬЮ ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ МАГНИТНОМ 
ПОЛЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

Адамсон Н.Н., Калашников Е.В. САМООРГАНИЗАЦИЯ В СИСТЕМЕ 
«УЧИТЕЛЬ-УЧЕНИКИ» В РАМКАХ МОДЕЛИ КЛЕТОЧНЫХ 
АВТОМАТОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

Дубас Л.Г. ТЕРМОМЕТРИЧЕСКАЯ ПИРОМЕТРИЯ ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЙ 
ТЕМПЕРАТУРЫ ИЗЛУЧАТЕЛЕЙ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

Кузнецов М.М., Молоствин Е.В., Перов А.А., Решетникова Ю.Г., 
Смотрова Л.В. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ И АНАЛИТИЧЕСКАЯ 
ОЦЕНКА ВЕЛИЧИНЫ ЭФФЕКТА ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ 
НЕРАВНОВЕСНОСТИ В УДАРНО-СЖАТЫХ ГАЗОВЫХ СМЕСЯХ. . . . . . . . . .65

Соколов В.В., Осипов М.И. АНИЗОТРОПИЯ СКОРОСТИ 
УЛЬТРАЗВУКА В МАГНИТОРЕОЛОГИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ  . . . . . . . . . . . . .77

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 3

5

ÐÀÇÄÅË III. 
ÒÅÎÐÈß È ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÎÁÓ×ÅÍÈß È ÂÎÑÏÈÒÀÍÈß
Чаругин В.М. СТРОЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ И МЕСТО ЧЕЛОВЕКА 
В НЕЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

Ê 110-ËÅÒÈÞ ÑÎ ÄÍß ÐÎÆÄÅÍÈß 
À.À. ÂËÀÑÎÂÀ
Беляев В.В. АНАТОЛИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ ВЛАСОВ В МОПИ 
ИМЕНИ Н.К. КРУПСКОЙ (К 110-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ 
ПО МАТЕРИАЛАМ АРХИВА МОПИ/МГОУ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

Высикайло Ф.И., Беляев В.В. РАЗВИТИЕ ИДЕЙ А.А. ВЛАСОВА 
В МОПИ (МГОУ): К 110-ЛЕТИЮ СО ДНЯ РОЖДЕНИЯ 
АНАТОЛИЯ АЛЕКСАНДРОВИЧА ВЛАСОВА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2018 / № 3

6

CONTENTS

SECTION I. MATHEMATICS

O. Algazin. POLYNOMIAL SOLUTIONS OF THE MIXED BOUNDARY 
VALUE PROBLEM OF DIRICHLET-NEUMANN FOR THE TRICOMI 
EQUATION IN THE STRIP  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

SECTION II. PHYSICS

I. Aliev, Z. Samedova, I. Kopylov. INFLUENCE OF THE DISJOINING 
PRESSURE ON THE CRITICAL CONDITIONS FOR THE REALIZATION 
OF THE INSTABILITY OF A CHARGED LIQUID SURFACE  . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

E. Gevorkyan. SHEAR DYNAMICS OF LIQUID CRYSTALS 
IN MAGNETIC AND ELECTRIC FIELDS  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

V. Sokolov, A. Kurilov. ULTRASONIC ATTENUATION OF MAGNETIC 
FLUID IN A ROTATING MAGNETIC FIELD  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

N. Adamson., E. Kalashnikov. SELF-ORGANIZATION IN THE SYSTEM 
“TEACHER-STUDENTS” IN THE FRAMEWORK OF THE MODEL 
OF CELLULAR AUTOMATA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

L. Dubas. THERMOMETRIC PYROMETRY FOR MEASUREMENTS 
OF TEMPERATURE OF RADIATORS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

M. Kuznetsov, E. Molostvin, A. Perov, Ju. Reschetnikova, L. Smotrova. 
SUFFICIENT CONDITIONS AND ANALYTICAL ESTIMATE VALUE 
OF HIGH-SPEED NON-EQUILIBRIUM IN SHOCK COMPRESSED GAS 
MIXTURES  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

V. Sokolov, M. Osipov. ULTRASOUND VELOCITY ANISOTROPY 
IN MAGNETORHEOLOGICAL FLUID  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2018 / № 3

7

SECTION III.
THEORY AND METHODS OF TEACHING AND EDUCATION
V. Charugin. THE STRUCTURE OF THE UNIVERSE AND MAN’S 
PLACE IN IT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

TO THE 110TH ANNIVERSARY OF THE BIRTH OF A.A. VLASOV
V. Belyaev. ANATOLIY A. VLASOV IN MOSCOW REGION TEACHERS 
TRAINING INSTITUTE (TO HIS 110TH ANNIVERSARY). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93

P. Vysikaylo, V. Belyaev. DEVELOPMENT OF IDEAS BY ANATOLY 
A. VLASOV IN MRTTI (MRSU): TO THE 110TH ANNIVERSARY 
OF THE BIRTH OF ANATOLY ALEXANDROVICH VLASOV . . . . . . . . . . . . . . . .107

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 3

8

© CC BY Алгазин О.Д., 2018.

ÐÀÇÄÅË I.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

УДК 517.958
DOI: 10.18384-2310-7251-2018-3-8-21

ÏÎËÈÍÎÌÈÀËÜÍÛÅ ÐÅØÅÍÈß ÑÌÅØÀÍÍÎÉ ÊÐÀÅÂÎÉ ÇÀÄÀ×È 
ÄÈÐÈÕËÅ-ÍÅÉÌÀÍÀ ÄËß ÓÐÀÂÍÅÍÈß ÒÐÈÊÎÌÈ Â ÏÎËÎÑÅ

Алгазин О.Д.
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, Российская Федерация
Аннотация. Рассмотрено неоднородное уравнение Трикоми в полосе с полиномиальной 
правой частью. Показано, что краевая задача Дирихле-Неймана с полиномиальными краевыми условиями имеет полиномиальное решение. Приведён алгоритм построения этого 
полиномиального решения и рассмотрены примеры. Если полоса лежит в области эллиптичности уравнения, то это решение единственно в классе функций полиномиального 
роста. Если полоса лежит в смешанной области, то решение задачи Дирихле-Неймана 
не единственно в классе функций полиномиального роста, но оно единственно в классе 
полиномов.
Ключевые слова: уравнение Трикоми, задача Дирихле-Неймана, преобразование Фурье, 
обобщённые функции медленного роста, полиномиальные решения. 

POLYNOMIAL SOLUTIONS TO THE MIXED DIRICHLET-NEUMANN 
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE TRICOMI EQUATION IN THE STRIP

O. Algazin
Bauman Moscow State Technical University
ul. 2-ya Baumanskaya 5, stroenie 1, 105005 Moscow, Russian Federation
Abstract. An inhomogeneous Tricomi equation is considered in a strip with a polynomial righthand side. It is shown that the Dirichlet‒Neumann boundary value problem with polynomial 
boundary conditions has a polynomial solution. An algorithm for constructing this polynomial 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 3

9

solution is presented and examples are considered. If the strip lies in the ellipticity region of the 
equation, then this solution is unique in the class of functions of polynomial growth. If the strip 
lies in a mixed region, then the solution to the Dirichlet‒Neumann problem is not unique in the 
class of functions of polynomial growth, but it is unique in the class of polynomials.
Key words: Poisson equation, Dirichlet‒Neumann problem, Fourier transform, generalized 
functions of slow growth, polynomial solutions. 

Введение
Уравнение

 
0
xx
yy
yu
u
+
=

впервые было рассмотрено Ф. Трикоми [1] и в дальнейшем получило его имя. 
Это уравнение эллиптического типа в верхней полуплоскости y > 0, гиперболического типа в нижней полуплоскости y < 0 и параболически вырождается на 
прямой y = 0. Уравнения смешанного типа применяются в трансзвуковой газовой динамике [2–4]. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в смешанной области в принципе поставлена некорректно [5]. Поиску условий корректности постановки задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в смешанной 
области посвящено много работ, например [6–12]. Смешанная краевая задача 
Дирихле-Неймана также некорректно поставлена в смешанной области, однако 
если ограничиться поиском её решений в классе полиномов, то решение будет 
единственным.
Данная работа посвящена отысканию точных полиномиальных решений 
смешанной краевой задачи Дирихле-Неймана для неоднородного уравнения 
Трикоми в полосе с полиномиальной правой частью. Методом преобразования 
Фурье аналогично тому, как это ранее сделано в [13] для уравнения Пуассона, показано, что краевая задача Дирихле-Неймана с полиномиальными краевыми условиями имеет полиномиальное решение. Приведён алгоритм построения этого 
полиномиального решения и рассмотрены примеры. Если полоса лежит в области эллиптичности уравнения, то это решение единственно в классе функций 
полиномиального роста. Если полоса лежит в смешанной области, то решение 
задачи Дирихле-Неймана не единственно в классе функций полиномиального 
роста, но оно единственно в классе полиномов.

Постановка задачи
Рассмотрим уравнение Трикоми в полосе с полиномиальной правой частью:

 
(
)
(
)
(
)
(
)
 
,
:
,
,
,
,
, 
xx
yy
Tu x y
yu
x y
u
x y
P x y
a
y
b
=
+
=
<
<
 
(1)

где P(x, y) – полином от переменных x и y.
На границе полосы зададим краевые условия Дирихле-Неймана:

 
(
)
( )
(
)
( )
 
,
,  
,
,
y
u x a
x
u
x b
x
= ϕ
= ψ
 
(2)

где ϕ(x) и ψ(y) – полиномы.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 3

10

Если (
)
,
 
u x y

 – частное полиномиальное решение уравнения Трикоми (1), то 

для функции (
)
(
)
(
)
,
,
,
.
v x y
u x y
u x y
=
− 
 получаем однородное уравнение:

 
(
)
,
0,
,
Tv x y
a
y
b
=
<
<
 
(3)

и краевые условия Дирихле-Неймана:

 
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
,
,
,
,
,
.
y
y
v x a
x
u x a
v
x b
x
u
x b
= ϕ
−
= ψ
− 

 
(4)

Решив задачу Дирихле-Неймана для однородного уравнения Трикоми (3), (4), 
мы получим решение задачи Дирихле-Неймана для неоднородного уравнения 
Трикоми (1), (2) по формуле:

 
(
)
(
)
(
)
,
,
,
.
v x y
u x y
u x y
=
− 

Решения задачи Дирихле-Неймана будем искать в классе функций полиномиального роста по x:

 

(
) (
)

 
,
1
 
m
u x y
x
dx
C
−
+
<
∫


 
(5)

для некоторого m ≥ 0 и для каждого y ∈ (a, b).

Частное решение уравнения Трикоми
Уравнение Трикоми с полиномиальной правой частью P(x, y)

 
(
)
(
)
(
)
(
)
,
:
,
,
,
, 
xx
yy
Tu x y
yu
x y
u
x y
P x y
=
+
=

имеет полиномиальные решения, одно из которых можно получить по приводимой далее формуле. Эту формулу достаточно привести для монома 
P(x, y) = xnym. Частным решением уравнения Трикоми с правой частью xnym будет 
функция:

 
(
)
(
)
1
,
n
m
u x y
T
x y
−
=
=


[
]
(
)
(
)
(
)
(
) (
)

/2
0
3
2
2

0

!
1 !
3
1
,
3
2 !
2
!

j
n
j
k
m
j
n
j

j

n m
m
k
y
x
m
j
n
j

=
+
+
−

=

−
+
=
−
+
+
−
∏
∑
 
(6)

где [n/2] – целая часть числа n/2.
Справедливость формулы (6) доказывается непосредственной проверкой:

 
(
)
,
.
n
m
Tu x y
x y
=


Например, для

 
(
)
5
7
,
 
P x y
x y
=

частным решение, полученным по формуле (6), будет полином:

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 3

11

 
(
)
5
9
3
12
15
1
5
1
,
72
2376
16
2
.
63
u x y
x y
x y
xy
=
−
+


Задача Дирихле-Неймана для полосы, 
лежащей в области эллиптичности
Рассмотрим полосу 0 < y < b, в которой уравнение Трикоми эллиптично и параболически вырождается на граничной прямой y = 0. Поскольку решение задачи Дирихле-Неймана для неоднородного уравнения сводится к решению задачи 
Дирихле-Неймана для однородного уравнения, рассмотрим задачу ДирихлеНеймана для однородного уравнения:

 
(
)
(
)
(
)
,
:
,
,
0,  0
, 
xx
yy
Tu x y
yu
x y
u
x y
y
b
=
+
=
<
<
 
(7)

 
(
)
( )
(
)
( )
 
,0
,
,
,
y
u x
x
u
x b
x
= ϕ
= ψ
 
(8)

где ϕ(x) и ψ(x) – полиномы.
Поскольку функции u(x, y) медленного роста по x определяют для каждого y 
из (0, b) регулярные функционалы из пространства S′() – пространства обобщённых функций медленного роста, то к ним можно применить преобразование 
Фурье по x [14]:

 
(
) (
)
(
)
,
,
,
.
x u x y
t y
U t y
⎡
⎤
=
⎣
⎦


Применим преобразование Фурье по x к уравнению (7) и краевым условиям 
(8). Получим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с параметром t ∈:

 
(
)
(
)
2
  
,
,
0,  0
yy
t yU t y
U
t y
y
b
−
+
=
<
<
 
(9)

и краевые условия

 
(
)
( )
(
)
( )
 
,0
,
,
. 
y
U t
t
U
t b
t
= Φ
= Ψ
 
(10)

Уравнение (9) – это уравнение Эйри, его общее решение выражается через 
функции Эйри:

 
(
)
( )
(
)
( )
(
)
Ai
Bi
2/3
2/3
1
2
,
.
U t y
c t
t
y
c
t
t
y
=
+

Используя краевые условия (10), получим единственное решение краевой задачи (9), (10):

 
(
)
(
) ( )
(
)
( )
,
,
,
, 
U t y
K t y
t
L t y
t
=
Φ
+
Ψ
 
(11)

где 

 

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)

2/3
2/3
2/3
2/3

2/3
2/3
,
,
 
0
0

Ai t
y Bi t
b
Bi t
y Ai t
b
K t y
Ai
Bi t
b
Bi
Ai t
b

′
′

′
′
−
=
−

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 3

12

 

(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)

2/3
2/3

2/3
2/3
2/3
0
0
,
.
 
0
0

Ai
Bi t
y
Bi
Ai t
y
L t y
t
Ai
Bi t
b
Bi
Ai t
b
′
′
−
=
⎡
⎤
−
⎣
⎦

Применяя обратное преобразование Фурье, получим единственное в классе 
функций полиномиального роста решение задачи Дирихле-Неймана (7), (8) в 
виде свертки:

 
(
)
(
)
( )
(
)
( )
 
,
,
,
, 
u x y
k x y
x
l x y
x
=
∗ϕ
+
∗ψ
 
(12)

где 

 
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
1
1
,
,
,
,
,
.
t
t
k x y
K t y
l x y
L t y
−
−
=
=



Чтобы найти свертку (12) с полиномами ϕ(x) и ψ(x) достаточно рассмотреть 
случай монома xn.
K(t, y) и L(t, y) как функции переменного t бесконечно дифференцируемые и 
быстро убывающие, то есть принадлежат пространству S(), а, следовательно, 
и k(x, y) и l(x, y) как функции переменного x принадлежат пространству S(), 
поскольку преобразование Фурье переводит S() в себя. Кроме того, K(t, y) и 
L(t, y) – чётные функции переменного t и, следовательно, k(x, y) и l(x, y) – чётные 
функции переменного x.
Решением задачи Дирихле-Неймана (7), (8) с ϕ(x) = xn, и ψ(x) = 0 будет функция:

 

(
)
(
)
(
)
(
)
,
,
,
n
n
n
u
x y
k x y
x
x
t
k t y dt

∞

−∞
=
∗
=
−
=
∫

(
)
(
)
(
)
(
)

0
0
1
,
1
,
,

n
n
j
j
j
j
n j j
n j
j
n
n
j
j
C x
t
k t y dt
C x
t k t y dt

∞
∞
−
−

=
=
∞
−∞
=
−
=
−
∑
∑
∫
∫

где 
(
)

!
!
!

j
n
n
C
j n
j
=
−
 – биномиальные коэффициенты. Поскольку последний инте
грал для нечётных j равен нулю в силу чётности K(t, y) по t, то

 

(
)

[
]
(
)

/2
2
2
2

0
,
,
,

n
m
n
m
m
n
n
m
u
x y
C
x
t
k t y dt

∞
−

=
−∞
= ∑
∫

где [n/2] – целая часть числа n/2. Пользуясь свойствами преобразования Фурье, 
получим:

 

( )
(
)
(
)
2
2
2
 
0
,
lim
,
m
m
ixt
m
x
p
y
t
k t y dt
t
k t y e dt

∞
∞

→
−∞
−∞
=
=
=
∫
∫

(
) (
) (
)
(
)

2
2
2
0
0
lim
,
,
1
lim
,
.

m
m
m
x
m
x
x
d
t
k t y
x y
K x y
dx
→
→
⎡
⎤
=
= −
⎣
⎦


ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 3

13

Здесь p2m(y) являются полиномами от y, производящая функция которых есть 
K(t, y).

 

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )(
)
(
)

2/3
2/3
2/3
2/3
2

2
2/3
2/3
0

1
,
.
2
!
 
0
0

m
m

m
m

Ai t
y Bi t
b
Bi t
y Ai t
b
t
K t y
p
y
m
Ai
Bi t
b
Bi
Ai t
b

′
′
∞

′
′
=

−
−
=
=
−
∑

Приведём несколько первых полиномов p2m(y) и соответствующих решений 
задачи Дирихле-Неймана un(x, y):

 
( )
0
1,
p
y =

( )
(
)
2
2
2
1
3
,
3
p
y
y
y
b
=
−
+

( )
(
)
5
2
3
5
4
1
2
15
48
,
15
p
y
y
y
b y
b
=
−
+

( )
(
)
8
2
6
5
3
8
6
1
7
90
1008
3465
,
126
p
y
y
y
b y
b y
b
=
−
+
−
+

( )
(
)
11
2
9
5
6
8
3
11
8
1
7
132
3168
38115
131520
,
297
p
y
y
y
b y
b y
b y
b
=
−
+
−
+

( )
(

)

14
2
12
5
9
8
6
10

11
3
14

1
13
330
13728
353925
1287
4274400
14753310
.

p
y
y
y
b y
b y
b y

b y
b

=
−
+
−
+
−

−
+

(
)
0
,
1,
u
x y =

(
)
1
,
,
u
x y
x
=

(
)
2
3
2
2
1
,
,
3
u
x y
x
y
b y
=
−
+

(
)
3
3
2
3
,
3
,
u
x y
x
xy
b xy
=
−
+

(
)
4
2
3
2
2
6
2
4
5
4
2
16
,
2
6
,
15
5
u
x y
x
x y
b x y
y
b y
b y
=
−
+
+
−
+

(
)
5
3
3
2
3
6
2
4
5
5
10
2
,
10
5
16
.
3
3
u
x y
x
x y
b x y
xy
b xy
b xy
=
−
+
+
−
+

Аналогично, решением задачи Дирихле-Неймана (7), (8) с ϕ(x) = 0, ψ(x) = xn 
будет функция:

 

(
)

[
]
( )

/2
2
2
2
0
,
,

n
m
n
m
n
n
m
m
v
x y
C
x
q
y
−

=
= ∑

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 3

14

где q2m(y) – полиномы от y, производящая функция которых есть L(t, y).

 

(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )(
)
(
)

2/3
2/3
2

2
2/3
2/3
2/3
0

0
0
1
,
.
2
!
 
0
0

m
m

m
m

Ai
Bi t
y
Bi
Ai t
y
t
L t y
q
y
m
t
Ai
Bi t
b
Bi
Ai t
b

∞

′
′
=

−
−
=
=
⎡
⎤
−
⎣
⎦ ∑

Приведём несколько первых полиномов q2m(y) и соответствующих решений 
задачи Дирихле-Неймана vn(x, y):

 
( )
0
,
q
y
y
=

( )
4
3
2
1
2
,
6
3
q
y
y
b y
= −
+

( )
7
3
4
6
4
1
2
7
,
21
3
3
q
y
y
b y
b y
=
−
+

( )
10
3
7
6
4
9
6
1
10
35
1270
,
63
21
6
63
q
y
y
b y
b y
b y
= −
+
−
+

( )
13
3
10
6
7
9
4
12
8
2
8
70
2540
8768
,
351
27
9
27
27
q
y
y
b y
b y
b y
b y
=
−
+
−
+

( )
16
3
13
6
10
9
7
12
4
15
10
1
20
70
12700
21920
983584
.
468
117
9
63
9
117
q
y
y
b y
b y
b y
b y
b y
= −
+
−
+
−
+

(
)
0
,
,
v
x y
y
=

(
)
1
,
,
v
x y
xy
=

(
)
2
4
3
2
1
2
,
,
6
3
v
x y
x y
y
b y
=
−
+

(
)
3
4
3
3
1
,
2
, 
2
v
x y
x y
xy
b xy
=
−
+

(
)
4
2
4
3
2
7
3
4
6
4
1
2
7
,
4
,
21
3
3
v
x y
x y
x y
b x y
y
b y
b y
=
−
+
+
−
+

(
)
5
3
4
3
3
7
3
4
6
5
5
20
5
10
35
,
.
3
3
21
3
3
v
x y
x y
x y
b x y
xy
b xy
b xy
=
−
+
+
−
+

Пример. Рассмотрим задачу Дирихле-Неймана для неоднородного уравнения 
Трикоми:

 
(
)
2
3
3
4
 
,
2
18
,  
,  0
,
Tu x y
x y
x y
x
y
b
=
−
∈
<
<


(
)
(
)
 
,0
0,    
,
0,  
.
y
u x
u
x b
x
=
=
∈