Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2018, № 2

ВЕСТНИК
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2018 / № 2

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2018 / № 2

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW REGION 
STATE UNIVERSITY

Рецензируемый научный журнал. Основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён в 
«Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук» Высшей аттестационной 
комиссии при Министерстве образования и науки Российской 
Федерации (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России) по Физике (01.04.00). 

The peer-reviewed journal was founded in 1998

«Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and 
Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission 
of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation 
into “the List of leading reviewed academic journals and periodicals 
recommended for publishing in corresponding series basic research 
thesis results for a Ph.D. Candidate or Doctorate Degree” (See: the 
online List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the Ministry of Education and Science of the Russian 
Federation) in Physics (01.04.00).

серия

series

Журнал включен в базу данных Российского индекса научного 
цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую версию 
в Интернете на платформе Научной электронной библиотеки 
(www.elibrary.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru)

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Опубликованные в журнале материалы могут использоваться 
только в некоммерческих целях. Ответственность за содержание 
статей несут авторы. Мнение редколлегии серии может не совпадать с точкой зрения автора. Рукописи не возвращаются. 

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. – 2018. – № 2. – 100 с.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-Математика» зарегистрирован 
в Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного 
наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС77-26136

Индекс серии «Физика-Математика» 
по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723
© МГОУ, 2018.
© ИИУ МГОУ, 2018.
Адрес Отдела по изданию научного журнала 
«Вестник Московского государственного
областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала «Вестник Московского государственного областного университета»: 
Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области
Московский государственный областной университет

Редакционная коллегия серии 
«Физика-Математика»

Выходит 4 раза в год

Редакционно-издательский совет 
«Вестника Московского государственного 
областного университета»

Хроменков П.Н. – к.филол.н., проф., ректор МГОУ (председатель совета)
Ефремова Е.С. – к. филол. н., и.о. проректора по научной работе МГОУ (зам. председателя);
Клычников В.М. – к.ю.н., к.и.н., проф., проректор по учебной работе и международному сотрудничеству МГОУ (зам. председателя) 
Антонова Л.Н. – д.пед.н., проф., академик РАО, Комитет Совета Федерации по науке, образованию и культуре
Асмолов А.Г. – д.псх.н., проф., академик РАО, директор Федерального института развития образования
Климов С.Н. – д.ф.н., проф., Московский государственный 
университет путей сообщения (МИИТ)
Клобуков Е.В. – д. филол. н., проф., Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Манойло А.В. – д.пол.н., проф., МГУ им. М.В. Ломоносова
Новоселов А.Л. – д.э.н., проф., Российский экономический 
университет им. Г.В. Плеханова
Пасечник В.В. – д.пед.н., проф., МГОУ
Поляков Ю.М. – к. филол. н., главный редактор «Литературной газеты»
Рюмцев Е.И. – д.ф-м.н., проф., Санкт-Петербургский государственный университет
Хухуни Г.Т. – д.филол.н., проф., МГОУ
Чистякова С.Н. – д. пед. н., проф., Российская академия образования (г. Москва)

Ответственный редактор серии:
Бугаев А.С. – д. ф.-м. н., академик РАН, Московский физико-техничекий институт (Государственный университет)
Заместитель ответственного редактора:
Жачкин В.А. – д.ф.-м.н., проф. Московский государственный областной университет
Ответственный секретарь:
Васильчикова Е.Н. – к. ф.-м. н., доц., Московский государственный областной университет
Члены редакционной коллегии:
Беляев В.В. – д.т.н., проф., Московский государственный областной университет; 
Бугримов А.Л. – д. т. н., проф., Московский государственный областной университет;
Калашников Е.В. – д.ф.-м.н., Московский государственный областной университет;
Смирнова И.М. – д.п.н., проф., Московский педагогический государственный университет;
Осипов М.А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);
Чаругин В.М. – д.ф.-м.н., проф., Московский педагогический государственный университет;
Чигринов В.Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

The journal is included into the database of the Russian 
Science Citation Index, has a full text network version on 
the Internet on the platform of Scientific Electronic Library 
(www.elibrary.ru), as well as at the site of the Moscow State 
Regional University (www.vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of the 
Moscow Region State University» is obligatory. The materials 
published in the journal are for non-commercial use only. The 
authors bear all responsibility for the content of their papers. 
The opinion of the Editorial Board of the series does not necessarily coincide with that of the author Manuscripts are not 
returned. 

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)
Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2018. – № 2. – 100 p.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the Moscow 
State Regional University is registered in Federal service on supervision of legislation observance in sphere of mass communications and 
cultural heritage protection. The registration certificate ПИ № ФС7726136

Index of the series «Physics and Mathematics» according 
to the union catalog «Press of Russia» 40723
© MRSU, 2018.
© Information & Publishing department of MRSU, 2018.

Founder of journal «Bulletin of the Moscow Region State University»: 
Moscow Region State University

Publishing council «Bulletin of the 
Moscow Region State University»

Editor-in-chief :
A.S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, Academican of 
RAS, Moscow Institute of Physics and Technology (State University)
Deputy editor-in-chief:
V.A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Moscow Region State University
Executive secretary:
E.N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, Associate 
Professor, Moscow Region State University
Members of Editorial Board:
V.V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow 
Region State University;
A.L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, Moscow 
Region State University;
E.V. Kalashnikov – Doctor of Physics and Mathematics, Moscow 
Region State University;
I.M. Smirnova – Doctor of Pedagogical Sciences, Professor, 
Moscow State Pedagogical University;
M.A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, 
Strathclyde University (Glasgow, UK);
V.M. Charugin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, 
Moscow State Pedagogical University;
V.G. Chigrinov – Hong Kong University of Science and Technology 
(China)

Series editorial board 
«Physics and Mathematics»

Issued 4 times a year 

P.N. Khromenkov – Ph. D. in Philology, Professor, Principal of 
Moscow Region State University (Chairman of the Council)
E.S.Yefremova – Ph. D. in Philology, Acting Vice-Principal for 
scientific work of Moscow Region State University (Vice-Chairman 
of the Council)
V.M. Klychnikov – Ph.D. in Law, Ph. D. in History, Professor, 
Vice-Principal for academic work and international cooperation of 
Moscow Region State University (Vice-Chairman of the Council)
L.N. Antonova – Doctor of Pedagogics, Professor, Member of 
the Russian Academy of Education, The Council of the Federation 
Committee on Science, Education and Culture
A.G. Asmolov – Doctor of Psychology, Professor, Member of the 
Russian Academy of Education, Principal of the Federal Institute of 
Development of Education
S.N. Klimov – Doctor of Phylosophy, Professor, Moscow State 
University of Railway Engineering
E.V. Klobukov – Doctor of Philology, Professor, Lomonosov 
Moscow State University
A.V. Manoylo – Doctor of Political Science, Professor, Lomonosov 
Moscow State University
A.L. Novosjolov – Doctor of Economics, Professor, Plekhanov 
Russian University of Economics
V.V. Pasechnik – Doctor of Pedagogics, Professor, Moscow Region 
State University
Yu. M. Polyakov – Ph.D. in Philology, Editor-in-chief of 
“Literaturnaya Gazeta”
E.I. Rjumtsev – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, 
Saint Petersburg State University
G. T. Khukhuni – Doctor of Philology, Professor, Moscow Region 
State University
S.N. Chistyakova – Doctor of Pedagogics, Professor, the Russian 
Academy of Education

The Editorial Board address:
Moscow Region State University

10А Radio st., office 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 2

4

ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ

ÐÀÇÄÅË I. ÔÈÇÈÊÀ

Гладков С.О., Богданова С.Б. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ 
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ТЕЛА С УПРУГОЙ СВЯЗЬЮ В ВЯЗКОМ 
КОНТИНУУМЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Соломатин А.C. СВЕТООРИЕНТИРУЕМЫЕ ЯЧЕЙКИ НЕМАТИЧЕСКОГО 
ЖК С ОДНОЙ СТОРОНОЙ, ПОКРЫТОЙ ОРИЕНТАНТОМ  . . . . . . . . . . . . . . .21

Соломатин А.C. ДИСПЛЕЙ С МНОГОПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИМ 
ИНДИВИДУАЛЬНО-РАЗЛИЧНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ. УПРАВЛЯЕМОЕ 
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЕЦИРУЕМОГО СВЕТОВОГО ПОТОКА 
ПРОЕКТОРОМ НА ОСНОВЕ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛОВ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Жачкин В.А., Тарасова В.В. ЭЛЕКТРОННЫЙ ПАРАМАГНИТНЫЙ 
РЕЗОНАНС ФОСФАТНЫХ СТЁКОЛ, ИМПЛАНТИРОВАННЫХ 
ИОНАМИ 95Mo1+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

Хасанов А.С. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИСПАРЕНИИ ДВУХ КАПЕЛЬ 
ОПЕРАТОРНЫМИ МЕТОДАМИ ДЛЯ ЛЮБЫХ РАДИУСОВ КАПЕЛЬ 
И ЛЮБЫХ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ НИМИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

Калытка В.А. НЕЛИНЕЙНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ 
ПРИ ПОЛЯРИЗАЦИИ ТВЁРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

Галканов А.Г., Харитонов К.Е. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 
ПФАФФА И РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ  . . . . .76

Чаусова О.В. К ВОПРОСУ О ВЫМЫВАНИИ ЛЕТУЧИХ УМЕРЕННО 
КРУПНЫХ АЭРОЗОЛЬНЫХ ЧАСТИЦ ИСПАРЯЮЩИМИСЯ КАПЛЯМИ 
ПРИ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА И ПЕКЛЕ МНОГО МЕНЬШИХ ЕДИНИЦЫ. . . . .82

ÐÀÇÄÅË II.
ÒÅÎÐÈß È ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÎÁÓ×ÅÍÈß È ÂÎÑÏÈÒÀÍÈß

Смирнова И.М. РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТАПРЕДМЕТНОГО ПОДХОДА 
В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

ISSN 2072-8387
Bulletin of Moscow Region State University. Series: Physics and Mathematics
2018 / № 2

5

CONTENTS

SECTION I. PHYSICS

S. Gladkov, S. Bogdanova. NONLINEAR DYNAMICS OF MOTION OF A 
CYLINDRICAL BODY WITH ELASTIC CONNECTION IN A VISCOUS 
CONTINUUM  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

A. Solomatin. LIGHT-ORIENTED NEMATIC LCD CELLS 
COVERED WITH ORIENTANT ON ONE SIDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

A. Solomatin. DISPLAY WITH MULTIPLAYER INDIVIDUALLY DIFFERENT 
SCREENS. CONTROLLED DISTRIBUTION OF A LIGHT FLUX PROJECTED 
BY A LIQUID-CRYSTAL PROJECTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

V. Zhachkin, V. Tarasova. ELECTRON SPIN RESONANCE OF PHOSPHATE 
GLASSES IMPLANTED WITH 95Mo1+ IONS  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

A. Khasanov. SOLUTION OF THE EVAPORATION PROBLEM OF TWO 
DROPS BY OPERATOR METHODS FOR ARBITRARY RADII OF DROPS 
AND ARBITRARY DISTANCES BETWEEN THEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

V. Kalytka. NONLINEAR KINETIC PHENOMENA UNDER POLARIZATION 
IN SOLID DIELECTRICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

A. Galkanov, К. Kharitonov. PFAFFIAN DIFFERENTIAL EQUATION 
AND UNIFORM MOVEMENT OF A MATERIAL POINT  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

O. Chausova. TO THE PROBLEM OF WASHING FLYING MODERATELY 
LARGE AEROSOL PARTICLES BY EVAPORATING DROPS WITH REYNOLDS 
AND PECLET NUMBERS MUCH LESS THAN UNITY  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

SECTION II.
THEORY AND METHODS OF TEACHING AND EDUCATION

I. Smirnova. IMPLEMENTATION OF THE METASUBJECT APPROACH 
IN THE TEACHING OF GEOMETRY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 2

6

ÐÀÇÄÅË I.
ÔÈÇÈÊÀ

УДК 531.17 
DOI: 10.18384/2310-7251-2018-2-6-20

ÍÅËÈÍÅÉÍÀß ÄÈÍÀÌÈÊÀ ÄÂÈÆÅÍÈß ÖÈËÈÍÄÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÒÅËÀ 
Ñ ÓÏÐÓÃÎÉ ÑÂßÇÜÞ Â ÂßÇÊÎÌ ÊÎÍÒÈÍÓÓÌÅ

Гладков С.О., Богданова С.Б.
Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)
125997, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4, Российская Федерация
Аннотация. Благодаря построенной функции Лагранжа L и вычисленной диссипативной 

функции 
,
Q  получена общая система динамических уравнений, описывающих движение 
полностью погруженного в жидкость цилиндрического тела. Его фиксация предполагается шарнирной на одном конце, где выбирается начало координат. Свободный конец 
может совершать практически любые движения, и упруго держится в произвольной точке 
пружиной. Задача решается в сферической системе координат, в которой на языке двух 
независимых угловых переменных θ и ϕ выводятся дифференциальные уравнения движения с учётом вязкости континуума η.
Ключевые слова: функция Лагранжа, полная энергия, базис, сферические координаты.

NONLINEAR DYNAMICS OF MOTION OF A CYLINDRICAL BODY WITH 
ELASTIC CONNECTION IN A VISCOUS CONTINUUM

S. Gladkov, S. Bogdanova
Moscow Aviation Institute (National Research University)
4 Volokolamskoe shosse, 125997 Moscow, Russian Federation
Abstract. Due to the construction of the Lagrange function L and calculated dissipative function  

,
Q  a general system of dynamic equations describing the motion a cylindrical body completely 
immersed in the fluid is obtained. Its fixation is expected to be hinged at one end, where the 
origin is selected. The free end can perform virtually any movement and is resiliently held at an 
arbitrary point by a spring. The problem is solved in a spherical coordinate system r, θ, ϕ, in 

© CC BY Гладков С.О., Богданова С.Б., 2018.

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 2

7

which differential equations of motion are derived by using two independent angular variables θ 
and ϕ taking into account the viscosity of the continuum η.
Key words: Lagrange function, full energy, basis, spherical coordinates 

ВВЕДЕНИЕ
В последнее время тема исследования сложных динамических явлений, связанная с анализом и выводом разнообразных типов нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих весьма сложные хаотические процессы и 
нелинейные явления, стала весьма популярной. В этом направлении насчитывается масса публикаций, начиная с классической задачи Лоренца [1], в которой 
автором был обнаружен и аналитически описан странный аттрактор, и заканчивая современными исследованиями, посвященными решению широчайшего 
спектра линейных и нелинейных задач из различных областей физики (см., к 
примеру, работы [2–4]). Наш интерес к подобного рода задачам диктуется не 
только чисто природным любопытством, а, главным образом, направлен на 
установление причины, почему происходит именно так, а не иначе, и того, как 
с точки зрения прикладной физики можно подойти к решению этой вовсе не 
тривиальной задачи. Ее постановка довольно проста и может быть сформулирована одним предложением: выяснение динамики движения погруженного в 
вязкий поток цилиндрического тела с учетом сил сопротивления со стороны 
континуума. При этом мы будем говорить не о чисто абстрактном поведении 
цилиндра, а возьмем за основу вполне конкретное модельное представление, несколько упрощающее решение, но при этом качественно не сильно влияющего 
на суть проводимого анализа. В самом деле, при движении цилиндрического 
тела в потоке воды в виде поплавка, мы можем следить лишь за его периодическим всплытием и колебательным движением вблизи дна водоема (при условии, 
что закрепляющий шарнир находится на дне) из-за увлечения гидродинамическим потоком. Подобное поведение, однако, носит чисто инерционный характер 
и не позволяет ввести в рассмотрение такой важный параметр, как вязкость. 
Мы смоделируем эту задачу несколько иначе и предположим, что один конец 
цилиндра шарнирно закреплен в начале координат (причем совершенно неважно на поверхности он или на дне), а его второй конец упругим образом связан с 
абстрактной горизонтальной плоскостью, расположенной на некоторой высоте 
H от его нижнего конца, как это показано на рис. 1. Углы θ0 и ϕ0 представляют собой соответственно азимутальный и полярный углы сферической системы координат в положении равновесия, длина цилиндра l представляет собой радиус 
сферы с центром в начале координат. Жесткость пружины – k, вектор a0 представляет собой длину пружины в положении равновесия до воздействия потока, 
направление которой для удобства выбирается вертикальным. 
Соответственно, все величины без индекса «0» (θ, ϕ, a, l) представляют собой 
неравновесные значения тех же самых параметров в условиях произвольного 
перемещения цилиндра. К слову сказать, физика его движения, в принципе, совершенно понятна. Действительно, в результате конкуренции воздействий ги

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 2

8

дродинамического потока, силы тяжести и жесткости пружины цилиндр должен 
совершать определенные затухающие колебательные движения, собственная частота которых может изменяться под воздействием силы тяжести и упругих сил, 
но резонанса быть не должно.

Рис. 1. Геометрия задачи. Показаны системы координат и углы, необходимые 
для получения уравнений движения. Остальные комментарии в тексте.

Это связано с известным фактом о замкнутости рассматриваемой нами системы «цилиндр + пружина» и отсутствием внешних периодических сил. Что 
касается гидродинамических сил, то они носят лишь диссипативный характер. 
Однако, если предположить возможность периодически изменяющегося на поверхности давления, то в таких условиях резонанс вполне возможен. Заметим 
еще, что цилиндр мы считаем идеальным с радиусом R. Угол α представляет собой угол между начальным положением и произвольным, β – угол между векторами a и a0, γ – угол между радиус-вектором, проведенным из начала координат 
в точку крепления пружины B и начальным положением цилиндра. Для удобства в точке B выберем штрихованную систему координат x′, y′, z′, в которой вектор a имеет координаты a = (x′, y′, z′). Вектор l0 = (lsinθ0cosϕ0, lsinθ0sinϕ0, lcosθ0), 
а вектор l = (lsinθcosϕ, lsinθsinϕ, lcosθ).

ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА 
Прежде чем писать функцию Лагранжа системы, приведём вначале необходимые для дальнейшего некоторые простые геометрические формулы, которые 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 2

9

будут полезны в процессе её построения. Итак, из условия l – l0 = a – a0 следует, 
что
 
l2(1 – cosα) = a2 – 2aa0cosθ′ + a2
0,
где a2 = x′2 + y′2 + z′2, x′ = asinθ′cosϕ′, y′ = asinθ′sinϕ′, z′ = acosθ′, а из геометрии 
рисунка видно, что 
 
acosθ′ = H – lcosθ 
(1)
и 

 

2
2
2
0
cos
.
2
d
l
a
dl
+
−
γ =

Кроме того, cosγ = cosλcosθ0 + sinλsinθ0cos(ϕλ – ϕ0), где ϕλ = const, а cosα = 
= cosθcosθ0 + sinθsinθ0cos(ϕ – ϕ0).
Поэтому с учетом (1) имеем:

 
(
)
(
)
(
)
2
2
2
0
0
0
0
0
1 cos cos
sin sin
cos
2
cos
.
a
l
a
H
l
a
=
−
θ
θ −
θ
θ
ϕ −ϕ
+
−
θ −
 
(2) 

Функция Лагранжа системы «цилиндр + пружина» есть разность T – U, где 
T – кинетическая энергия, а U потенциальная (см. [5]). В нашем случае потенциальная энергия складывается из суммы потенциальных энергий пружины U1 и 
цилиндра U2 и имеет очевидный вид:

 

2
0
2
1
2
0 cos
cos ,
2
4
c
k
a
U
U
U
a
aa
mgl
⎛
⎞
=
+
=
−
θ +
−
θ
′
⎜
⎟
⎝
⎠
 
(3)

где фигурирующие здесь параметры определены формулами (1) и (2). Заметим, 
что lc – это расстояние до центра тяжести цилиндра. Что касается кинетической 
энергии, то в общем виде ее можно представить в виде суммы вращательной 
энергии T1 относительно мгновенной оси цилиндра с частотой ω0 и энергии 

криволинейного движения T2. Причём 

2
0
1
,
2
I
T
ω
=
 где момент инерции цилин
дра относительно неподвижной точки крепления определяется как 

2
,
2
mR
I =
 а
 

энергия криволинейного движения есть 
(
)

2
2
2
2
2
sin
.
2

c
ml
T =
ϕ
θ + θ

 Таким образом,
 
полная кинетическая энергия будет равна:

 
(
)

2
2
2
0
2
2
2
sin
.
2
4

c
ml
m
R
T
ω
=
ϕ
θ + θ
+


 
(4)

Это означает, что функция Лагранжа тогда такова:

 

(
)

(
)
(
)
(
)

2
2
2
0
2
2
2

2
0
2
0
0
0
0

sin
cos
2
4
2

1 cos cos
sin sin
cos
cos
.
4

c
c
ml
mR
k
L
mgl

a
l
a
H
l

ω
=
ϕ
θ + θ
+
+
θ −
×

⎡
⎤
×
−
θ
θ −
θ
θ
ϕ −ϕ
−
−
θ +
⎢
⎥
⎣
⎦




 
(5)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 2

10

Полная энергия системы в отсутствии диссипации есть величина постоянная, 
определяемая, как

 

(
)

(
)
(
)
(
)

2
2
2
0
2
2
2

2
0
2
0
0
0
0

sin
cos
2
4

1 cos cos
sin sin
cos
cos
const.
2
4

c
c
ml
mR
E
mgl

k
a
l
a
H
l

ω
=
ϕ
θ + θ
+
−
θ +

⎡
⎤
+
−
θ
θ −
θ
θ
ϕ −ϕ
−
−
θ +
=
⎢
⎥
⎣
⎦




 
(6)

Формула (6) нам будет необходима при выводе уравнения движения с учетом 
вязких сил. Прежде чем переходить к вычислению диссипативной функции 
,
Q  
нам необходимы будут преобразования от единичного базиса неподвижной системы координат x, y, z i, j, k к подвижному базису e1, e2, e3 на поверхности сферы l. В самом деле, как известно из тензорного анализа (см., например, [6]), при 
преобразовании ковариантных координат к контравариантным следует ввести 

базис 
.
i
ix
∂
= ∂
r
g
 В нашем случае при переходе от декартовых (ковариантных) ко
ординат к сферическим (контравариантным) матрица перехода имеет вид:

 

,

sin cos
sin sin
cos
cos cos
cos sin
sin
,
sin sin
sin cos
0

i
i k
k
x
g
r
r
r
x
r
r

⎛
⎞
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
∂
⎜
⎟
=
=
θ
ϕ
θ
ϕ
−
θ
⎜
⎟
∂
⎜
⎟
−
θ
ϕ
θ
ϕ
⎝
⎠  
(7)

Поэтому искомое преобразование к подвижному единичному базису получается таким:

 
 

1

2

3

sin
cos ,
cos cos
cos sin
sin ,
sin cos
sin sin
cos .

⎧
= −
ϕ +
ϕ
⎪
=
θ
ϕ +
θ
ϕ −
θ
⎨
⎪
=
θ
ϕ +
θ
ϕ +
θ
⎩

e
i
j
e
i
j
k
e
i
j
k
 
(8)

Как видно из (8), 
2
2
2
1
2
3
1,
=
=
=
e
e
e
 e1 ⋅ e2 = e2 ⋅ e3 =  e1 ⋅ e3 = 0, то есть приведённый 
базис является ортонормированным. Заметим ещё, что определитель матрицы 
||A|| преобразования (8), вводимой как ei = Aiksk, где транспонированный вектор 
sk = (i, j, k)T тождественно равен единице. Обратное преобразование, также необходимое для дальнейших вычислений, элементарно получается из (8) и оказывается следующим:

 

1
2
3

1
2
3

2
3

sin
cos cos
sin cos ,
cos
cos sin
sin sin ,
sin
cos .

⎧ =
ϕ +
θ
ϕ +
θ
ϕ
⎪ = −
ϕ +
θ
ϕ +
θ
ϕ
⎨
⎪
= −
θ +
θ
⎩

i
e
e
e
j
e
e
e
k
e
e
 
(9)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 2

11

Дифференцируя уравнения (9) по времени и учитывая, что 
0,
d
d
d
dt
dt
dt
=
=
=
i
j
k

 
легко получить следующие формулы:

 

(
)
1
2
3

2
1
3

3
1
2

cos
sin
,

cos
,

sin
.

⎧
= ϕ
θ +
θ
⎪
= − ϕ
θ −
θ
⎨
⎪
= − ϕ
θ +
θ
⎩

e
e
e

e
e
e

e
e
e









 
(10)

Отсюда видно, что в мгновенном подвижном базисе единичные вектора ei 
подчиняются уравнениям:

 
,
i
ijk
j
k
e
=
ω
e
e

 
(11)

где i, j, k = 1, 2, 3, по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, 
а частоты вращений ωi есть:

 
1
2
3
,
sin ,
cos .
ω = θ ω = ϕ
θ ω = −ϕ
θ



 
(12)

В принципе, этот результат был вполне ожидаем, поскольку квадрат результирующей частоты, как и должно быть, представляет собой сумму квадратов частот 
1
ω = θ  и Ω = ϕ  с результирующим направлением 
1
.
ω = ω + Ω



 Эту частоту 
удобно разложить на параллельную оси цилиндра компоненту ω′ и перпендикулярную ω″, которые в соответствии с (12) определяются как:

 
3
cos ,
ω = ω = ϕ
θ
′

 
(13)

 

2
2
2
2
2
1
2
sin
.
ω =
ω + ω =
ϕ
θ + θ
′′


 
(14)

Заметим здесь, что знак «минус» в формуле (13) перед ϕ  мы убрали, как несу
щественный. Имея, таким образом, в распоряжении формулы (8) – (14), можно 
переходить теперь ко второй части задачи, а именно к вычислению диссипативной функции. 

ДИССИПАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ
Исходя из определения диссипативной функции [7], в мгновенной цилиндрической системе координат с осью z1, направленной вдоль оси цилиндра, можно 
написать, что

 

1

1
1

2
2
2

1
2
0
0
2
2

1

2
2

1
1

v
v
1
v

v
v
v
1
v

v
1
v
v
v
,

l
r
r

R

z
r

z
r
z

Q
dz
rdr
d
r
r

z
r
r
r

r
z
z
r

∞
π
ψ

ψ
ψ

ψ

⎧
⎛
⎞
∂
∂
⎛
⎞
= η
ψ
+
+
+
⎨⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
∂ψ
⎝
⎠
⎩

⎛
⎞
∂
∂
∂
⎛
⎞
+
+
−
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
∂
∂ψ
⎝
⎠

⎫
⎛
⎞
∂
∂
∂
∂
⎛
⎞ ⎪
+
+
+
+
⎬
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∂ψ
∂
∂
∂
⎝
⎠
⎪⎭

∫
∫
∫


 
(15)

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2018 / № 2

12

где цилиндрическая система координат вводится обычным образом согласно 
формулам:

 

1

1

1
1

cos
,
sin
,
,

x
r
y
r
z
z

=
ψ
=
ψ
=
 
(16)

где r, ψ, z1 являются независимыми от θ и ϕ аргументами, а распределение скоростей вблизи поверхности цилиндра обозначено, как v = (vx1, vy1, vz1) = (vr, vψ, 
vz1). Область интегрирования в (15), как видим, распространяется на все пространство вне цилиндра. Наша задача сводится сейчас к вычислению распределения скоростей гидродинамического потока вблизи поверхности цилиндра в 
самом общем случае, когда направление потока, движущегося со скоростью u, 
по отношению к цилиндру произвольно, но в неподвижной системе координат 
x, y, z ориентировано вдоль оси y (см. рис. 1). Для решения этой задачи удобно 
воспользоваться уравнением Навье-Стокса, и записать его в случае несжимаемой жидкости, полагая divv = 0, как (см. [7]):

 

(
)
,
P
t
∂
∇
+
⋅∇
= −
+ νΔ
∂
ρ
v
v
v
v  
(17)

где ν – кинематическая вязкость жидкости, P – давление, а ρ – плотность потока. 
В стационарном случае при малых числах Рейнольдса из (17) следует:

 

0.
P
∇
−
+ νΔ =
ρ
v
 
(18)

Взяв дивергенцию от обеих частей (18), благодаря условию несжимаемости 
divv = 0, приходим к уравнению Лапласа:
 
ΔP = 0. 
(19)
Взяв теперь операцию «ротор» от уравнения (18), получаем:
 
Δrotv = 0. 
(20)
Будем искать решение в виде (как и в случае задачи Стокса об обтекании шара 
потоком вязкого континуума, см. [7]):
 
v = u + rotrotfu, 
(21)
где функцию f предстоит найти.
Подчеркнём, что дифференцирование в (21) осуществляется в координатах x1, y1, z1, или в цилиндрических r, ψ, z1. Подставляя (21) в (20), имеем 
Δrot(graddivfu – Δfu) = –Δ2rotfu = [u × ∇Δ2f] = 0, а потому ∇Δ2f = 0. Отсюда следует, что Δ2f = const. Выбирая эту константу равной нулю и записывая оператор Лапласа в цилиндрической системе координат, а также считая, что искомая 
функция зависит только от радиальной координаты, то есть f = f(r), находим 
1
1
0.
f
r
r
r
r
r r
r
r
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
 Откуда: