Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика, 2017, № 2

научный журнал
Покупка
Артикул: 735517.0001.99
Вестник Московского государственного областного университета. Серия Физика-математика : научный журнал. - Москва : Московский государственный областной университет, 2017. - № 2. - 100 с. - ISSN 2310-7251. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1085871 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ВЕСТНИК

МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО

ОБЛАСТНОГО УНИВЕРСИТЕТА

2017 / № 2

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА

2017 / № 2

PHYSICS AND MATHEMATICS

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2072-8387 (print)

ISSN 2310-7251 (online)

ISSN 2310-7251 (online)

BULLETIN OF THE MOSCOW STATE

REGIONAL UNIVERSITY

Научный журнал основан в 1998 г.

Журнал «Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-математика» включён в 
«Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук» Высшей аттестационной 
комиссии при Министерстве образования и науки Российской 
Федерации (См.: Список журналов на сайте ВАК при Минобрнауки России) по наукам: Математика (01.01.00); Физика 

(01.04.00); Педагогические науки (13.00.00). 

The academic journal is established in 1998

«Bulletin of Moscow State Regional University. Series: Physics and 
Mathematics» is included by the Supreme Certifying Commission 
of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation 
into “the List of leading reviewed academic journals and periodicals 
recommended for publishing in corresponding series basic research 
thesis results for a Ph.D. Candidate or Doctorate Degree” (See: the 
online List of journals at the site of the Supreme Certifying Commission of the Ministry of Education and Science of the Russian Federation) in Physics and Mathematics: Mathematics (01.01.00); Physics 

(01.04.00); Pedagogics (13.00.00).

серия

series

Журнал включен в базу данных Российского индекса научного 
цитирования (РИНЦ), имеет полнотекстовую сетевую версию 
в Интернете на платформе Научной электронной библиотеки 
(www.elibrary.ru), а также на сайте Московского государственного областного университета (www.vestnik-mgou.ru)

При цитировании ссылка на конкретную серию «Вестника Московского государственного областного университета» обязательна. Опубликованные в журнале материалы могут использоваться 
только в некоммерческих целях. Ответственность за содержание 
статей несут авторы. Мнение редколлегии серии может не совпадать с точкой зрения автора. Рукописи не возвращаются. 

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика. – 2017. – № 2. – 100 с.

Журнал «Вестник Московского государственного областного 
университета. Серия «Физика-Математика» зарегистрирован 
в Федеральной службе по надзору за соблюдением законодательства в сфере массовых коммуникаций и охране культурного 
наследия. Регистрационное свидетельство ПИ № ФС77-26136

Индекс серии «Физика-Математика» 
по Объединенному каталогу «Пресса России» 40723
© МГОУ, 2017.
© ИИУ МГОУ, 2017.
Адрес Отдела по изданию научного журнала 
«Вестник Московского государственного
областного университета»
г. Москва, ул. Радио, д.10А, офис 98
тел. (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (доб. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; сайт: www.vestnik-mgou.ru

Учредитель журнала «Вестник Московского государственного областного университета»: 

Государственное образовательное учреждение высшего образования Московской области

Московский государственный областной университет

Редакционная коллегия серии 

«Физика-Математика»

Выходит 4 раза в год

Редакционно-издательский совет 

«Вестника Московского государственного 

областного университета»

Хроменков П.Н. – к.филол.н., проф., ректор МГОУ (председатель совета)
Ефремова Е.С. – к. филол. н., и.о. проректора по научной работе МГОУ (зам. председателя);
Клычников В.М. – к.ю.н., к.и.н., проф., проректор по учебной работе и международному сотрудничеству МГОУ (зам. председателя) 
Антонова Л.Н. – д.пед.н., проф., академик РАО, Комитет Совета Федерации по науке, образованию и культуре
Асмолов А.Г. – д.псх.н., проф., академик РАО, директор Федерального института развития образования
Климов С.Н. – д.ф.н., проф., Московский государственный 
университет путей сообщения (МИИТ)
Клобуков Е.В. – д. филол. н., проф., Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Манойло А.В. – д.пол.н., проф., МГУ им. М.В. Ломоносова
Новоселов А.Л. – д.э.н., проф., Российский экономический 
университет им. Г.В. Плеханова
Пасечник В.В. – д.пед.н., проф., МГОУ
Поляков Ю.М. – к. филол. н., главный редактор «Литературной газеты»
Рюмцев Е.И. – д.ф-м.н., проф., Санкт-Петербургский государственный университет
Хухуни Г.Т. – д.филол.н., проф., МГОУ
Чистякова С.Н. – д. пед. н., проф., Российская академия образования (г. Москва)

Ответственный редактор серии:
Бугаев А.С. – д. ф.-м. н., академик РАН, МФТИ
Заместитель ответственного редактора:
Жачкин В.А. – д.ф.-м.н., проф. МГОУ
Ответственный секретарь:
Васильчикова Е.Н. – к. ф.-м. н., доц., МГОУ
Члены редакционной коллегии:
Беляев В.В. – д.т.н., проф., МГОУ;
Богданов Д.Л.– д. ф.-м. н., проф., МГОУ;
Бугримов А.Л. – д. т. н., проф., МГОУ;
Рассудовская М.М. – к.п.н., проф., МГОУ;
Осипов М.А. – д. ф.-м. н., проф., Университет Стратклайд (Великобритания);
Чигринов В.Г. – д. ф.-м. н., проф., Гонконгский университет науки и технологий (Китай)

The journal is included into the database of the Russian 
Science Citation Index, has a full text network version on 
the Internet on the platform of Scientific Electronic Library 
(www.elibrary.ru), as well as at the site of the Moscow State 
Regional University (www.vestnik-mgou.ru)

At citing the reference to a particular series of «Bulletin of the 
Moscow State Regional University» is obligatory. The materials published in the journal are for non-commercial use only. 
The authors bear all responsibility for the content of their 
papers. The opinion of the Editorial Board of the series does 
not necessarily coincide with that of the author Manuscripts 
are not returned. 

ISSN 2072-8387 (print)
ISSN 2310-7251 (online)

Bulletin of the Moscow State Regional University. Series: Physics 
and Mathematics. – 2017. – № 2. – 100 p.

The series «Physics and Mathematics» of the Bulletin of the Moscow 
State Regional University is registered in Federal service on supervision of legislation observance in sphere of mass communications and 
cultural heritage protection. The registration certificate ПИ № ФС7726136

Index of the series «Physics and Mathematics» according 
to the union catalog «Press of Russia» 40723
© MSRU, 2017.
© Information & Publishing department of MSRU, 2017.

Founder of journal «Bulletin of the Moscow State Regional University»: 

Moscow State Regional University

Publishing council «Bulletin of the 
Moscow State Regional University»

Editor-in-chief :
A.S. Bugaev – Doctor of Physics and Mathematics, Academican of 
RAS, MIPT
Deputy editor-in-chief:
V.A. Zhachkin – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, MSRU
Executive secretary:
E.N. Vasilchikova – Ph.D. in Physics and Mathematics, Associate 
Professor, MSRU
Members of Editorial Board:
V.V. Belyaev – Doctor of Technical Sciences, Professor, MSRU 
D.L. Bogdanov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, MSRU
A.L. Bugrimov – Doctor of Technical Sciences, Professor, MSRU
M.M. Rassudovskaya – Ph.D. in Pedagogical Sciences, Professor, MSRU
M.A. Osipov – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, 
Strathclyde University (UK)
V.G. Chigrinov – University of Science and Technology (Hong 
Kong, China)

Series editorial board 

«Physics and Mathematics»

Issued 4 times a year 

P.N. Khromenkov – Ph. D. in Philology, Professor, Principal of 
MSRU (Chairman of the Council)
E.S.Yefremova – Ph. D. in Philology, Acting Vice-Principal for 
scientific work of МSRU (Vice-Chairman of the Council)
V.M. Klychnikov – Ph.D. in Law, Ph. D. in History, Professor, VicePrincipal for academic work and international cooperation of МSRU 
(Vice-Chairman of the Council)
L.N. Antonova – Doctor of Pedagogics, Professor, Member of 
the Russian Academy of Education, The Council of the Federation 
Committee on Science, Education and Culture
A.G. Asmolov – Doctor of Psychology, Professor, Member of the 
Russian Academy of Education, Principal of the Federal Institute of 
Development of Education
S.N. Klimov – Doctor of Phylosophy, Professor, Moscow State 
University of Railway Engineering
E.V. Klobukov – Doctor of Philology, Professor, Lomonosov 
Moscow State University
A.V. Manoylo – Doctor of Political Science, Professor, Lomonosov 
Moscow State University
A.L. Novosjolov – Doctor of Economics, Professor, Plekhanov 
Russian University of Economics
V.V. Pasechnik – Doctor of Pedagogics, Professor, MSRU
Yu. M. Polyakov – Ph.D. in Philology, Editor-in-chief of 
“Literaturnaya Gazeta”
E.I. Rjumtsev – Doctor of Physics and Mathematics, Professor, 
Saint Petersburg State University
G. T. Khukhuni – Doctor of Philology, Professor, MSRU
S.N. Chistyakova – Doctor of Pedagogics, Professor, the Russian 
Academy of Education

The Editorial Board address:
Moscow State Regional University

10А Radio st., office 98, Moscow, Russia
Phones: (495) 723-56-31; (495) 780-09-42 (add. 6101)
e-mail: vest_mgou@mail.ru; site: www.vestnik-mgou.ru

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 2

4

СОДЕРЖАНИЕ

РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИКА

Ройтенберг В.Ш. О РОЖДАЮЩИХСЯ ИЗ БЕСКОНЕЧНОСТИ 
ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛАХ ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО 
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ОКРУЖНОСТИ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .6

Махина Н.М. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ 
И ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В НЕКОТОРЫХ ОБЛАСТЯХ 
КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .16

РАЗДЕЛ II. ФИЗИКА

Аскерова В.И.,  Латышев А.В.  ПРОДОЛЬНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ 
ТОК В КЛАССИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВУХ 
НЕКОЛЛИНЕАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .23

Мащенко В.И., Шашкова Ю.О., Соломатин А.C., Беляев В.В. 
ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ МИКРОСТРУКТУРЫ 
ЖИДКОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ КОМПОЗИТОВ НА ОСНОВЕ 
БОРОСИЛОКСАНА  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .34

Дудко В.В., Юшканов А.А. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЭФФЕКТЫ ВО ВТОРОЙ 
ЗАДАЧЕ СТОКСА .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .46

Соломатин А.C., Мащенко В.И., Шашкова Ю.О., Беляев В.В. 
ОСОБЕННОСТИ ФОРМИРОВАНИЯ МИКРОСТРУКТУРЫ 
И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ 
КОМПОЗИТНЫХ ТВИСТ-ЯЧЕЕК .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .53

Костиков И.Е., Кузнецов Е.Е., Матченко Н.М. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ 
ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ АНИЗОТРОПИИ ЛИСТОВЫХ 
ПРОКАТНЫХ МАТЕРИАЛОВ ИЗ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .64

Неверов А.Н. ГЕНЕРАЦИЯ ВЫСШИХ ГАРМОНИК В СОСТАВНЫХ 
СТЕРЖНЕВЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .72

РАЗДЕЛ III. ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ

Паркесов А.В. КОМПЬЮТЕРНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ КАК СРЕДСТВО 
ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИЗУЧЕНИЯ МЕЖПРЕДМЕТНЫХ 
ПОНЯТИЙ  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .82

Власова Е.А., Попов В.С., Пугачев О.В. СПЕЦИФИКА ВЫПОЛНЕНИЯ 
КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ» .  .88

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 2

5

CONTENTS

SECTION I. MATHEMATICS

V. Roitenberg. LIMIT CYCLES OF A SECOND-ORDER DIFFERENTIAL 
EQUATION ON THE CIRCLE THAT ARISE FROM INFINITY  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .6

N. Makhina. ESTIMATES OF DERIVATIVES OF ANALYTIC AND 
HARMONIC FUNCTIONS IN SOME DOMAINS ON THE COMPLEX 
PLANE  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .16

SECTION II. PHYSICS

V. Askerova,  A. Latyshev.  LONGITUDINAL ELECTRIC CURRENT 
UNDER THE INFLUENCE OF TWO NONCOLLINEAR ELECTROMAGNETIC 
WAVES IN CLASSICAL PLASMA .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .23

V. Mashchenko, A. Solomatin, Y. Shashkova, V. Belyaev. PECULIARITIES 
OF THE FORMATION OF A MICROSTRUCTURE OF BOROSILOXANE 
LIQUID CRYSTAL COMPOSITES  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .34

V. Dudko, A. Yushkanov. TEMPERATURE EFFECTS IN STOKES’ 
SECOND PROBLEM  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .46

A. Solomatin, V. Mashchenko, Yu. Shashkova, V. Belyaev. FORMATION 
AND OPTICAL PROPERTIES OF TWIST STRUCTURES IN A NEMATIC 
LIQUID CRYSTAL COMPOSITE  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .53

I. Kostikov, Е. Kuznetsov, N. Mattchenko. EXPERIMENTAL STUDY 
OF PLASTIC ANISOTROPY OF SHEET-ROLLED ALUMINUM ALLOY 
MATERIALS  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .64

A. Neverov. GENERATION OF HIGHER HARMONICS IN COMPOSITE 
ROD VIBRATION SYSTEMS   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .72

SECTION III. THEORY AND METHODS OF TEACHING AND EDUCATION

A. Parkesov. COMPUTER TECHNOLOGY AS A MEANS OF IMPROVING 
EFFICIENCY OF STUDY OF CROSS-CURRICULAR CONCEPTS .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .82

E. Vlasova, V. Popov, O. Pugachev. SPECIFICS OF TERM PAPERS 
IN THE SUBJECT ‘FUNCTIONAL ANALYSIS’  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .88

РАЗДЕЛ I.

МАТЕМАТИКА

УДК 517 .925
DOI: 10 .18384/2310-7251-2017-2-6-15

О РОЖДАЮЩИХСЯ ИЗ БЕСКОНЕЧНОСТИ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛАХ 
ОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 
НА ОКРУЖНОСТИ

Ройтенберг В.Ш.
Ярославский государственный технический университет,
150023, г. Ярославль, Московский проспект, д. 88, Российская федерация 

Аннотация. Дифференциальные уравнения второго порядка, правые части которых – полиномы второго порядка относительно первой производной с периодическими коэффициентами, рассматриваются на компактификации цилиндрического фазового пространства. Описаны бифуркации бесконечно удалённого тройного предельного цикла.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения второго порядка на окружности, предельный цикл, бифуркационное многообразие, бифуркации.

LIMIT CYCLES OF A SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATION 
ON THE CIRCLE THAT ARISE FROM INFINITY 

V. Roitenberg
Yaroslavl State Technical University,
Moscovskii prosp. 88, 150023 Yaroslavl, Russian Federation 

Abstract. The paper considers the second-order differential equations, whose right-hand sides 
are polynomials with periodic coefficients, on the compactification of the cylindrical phase 
space. We describe bifurcations of an infinitely far triple limit cycle. 

Key words: second-order differential equation on the circle, limit cycle, bifurcation variety, 
bifurcations

Введение. Постановка задачи

Для теории колебаний представляет значительный интерес задача нахожде
ния условий, при которых существуют предельные циклы дифференциальных 
уравнений второго порядка (см ., например, [1–3]) .

© Ройтенберг В .Ш ., 2017 .

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 2

7

Будем рассматривать уравнения второго порядка вида

2
0
1
2
( )
( )
( )
x
a x
a x x
a x x
=
+
+




с ω-периодическими Cr-функциями (r ≥ 0) a1 : R → R, i = 0, 1, 2 . Можно считать, 

что уравнение задано на окружности S1 = R/ωZ . Обозначим 

2,r
ω
Α
 – множество

таких уравнений . Пусть Cr(S1) – банахово пространство ω-периодических 
Cr-функций с нормой 
( )

0,1,...,
:
max max
( ) .
k
r
k
r x
x
=
∈
ϕ
=
ϕ
R
 Отождествив уравнение a со 

строкой (a0, a1, a2), мы отождествим 

2,r
ω
Α
 с банаховым пространством 

Cr(S1) ⊕ Cr(S1) ⊕ Cr(S1) с нормой 

{0,1,2}
max
.
i r
i
a
a

∈
=
 Уравнение 

2,r
a
ω
∈Α
 определяет 

на фазовом пространстве TS1 = S1 × R систему уравнений

2
˜
,
( )
( )
( )
,
x
y
y
a x
a x y
a x y x
y
=
=
+
+
=


которую также будем обозначать a . 

Обозначим 
:
{
,
}
=
∪ −∞ +∞
R
R
 – 
двухточечную 
компактификацию 
R . 

Превратим R  в одномерное C ∞-многообразие с краем, взяв в качестве карт 
(R, h1), h1(x) := x, ((0, +∞], h2), h2(x) := 1/x при x ∈ (0, +∞) и h2(+∞) := 0, ([–∞, 0), h3), 
h3(x) := 1/x при x ∈ (–∞, 0) и h3(–∞) := 0 . 

В координатах x, z = 1/y в S1 × (0, +∞) и S1 × (–∞, 0) система a имеет вид

2
0
1
2
1/ ,
( )
( )
( ).
x
z
z
a x z
a x z
a x
=
= −
−
−



В областях S1 × (0, +∞) и S1 × (–∞, 0) она имеет те же (ориентированные) тра
ектории, что и система уравнений, соответственно,

3
2

0
1
2

1,
:
( )
( )
( )
+
=


= −
−
−





x
a
z
a x z
a x z
a
x z

и

3
2

0
1
2

1,
:
( )
( )
( ) .
−
= −


=
+
+





x
a
z
a x z
a x z
a
x z

Но системы 
+
a  и 
−
a  определены и при z = 0, то есть, соответственно, на

S1 × (0, +∞] и S1 × [–∞, 0) . Кривые Г+ := S1 × {+∞} и Г– := S1 × {–∞}, задаваемые 
в координатах x, z уравнением z = 0, являются замкнутыми траекториями, 
соответственно, систем 
+
a  и 
.
−
a
 Будем их называть бесконечно удаленными

траекториями уравнения 
2, .
∈Α
r
a
ω
 Обозначим

0
2
1
2
0

0

( ):
( )
, ( ):
( )exp
( )
.
s
m a
a x dx
a
a s
a
d ds

ω
ω
= −
= −
σ
σ
∫
∫
∫


ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 2

8

В работе [4] было доказано, что если m(a) = 0, (a) ≠ 0, то уравнение 

2,r
a
ω
∈Α


близкое к a при 
( ) ( )
0
m a
a >
 
( ( ) ( )
0)
m a
a <
 
 имеет в S1 × (0, +∞) (S1 × (–∞, 0)) един
ственный предельный цикл, рождающийся из Г+ (Г–) .

В настоящей работе мы покажем, что условия m(a) = 0, (a) = 0, L(a) ≠ 0, где 

ω
Α
→ R
2,
:

r
L
 – некоторая непрерывная функция, задают в 

2,r
ω
Α
 гладкое бифурка
ционное подмногообразие коразмерности два, и опишем разбиение некоторой 
окрестности уравнения a в 
2,
Α
r
ω  на классы топологической эквивалентности в 

окрестности Г+ . Бифуркации в окрестности Г– сводится к бифуркациямв окрестности Г+ заменами x  –x, y  –y .

Функция последования бесконечно удаленного предельного цикла

Обозначим 
ω
× Α
→ R
2,
1
:

r

ia
S
 (i = 0, 1, 2) функции, ставящие в соответствие 

точке x ∈ S1 и уравнению 

2,r
a
ω
∈Α
 коэффициент ai(x) в этом уравнении . Они при
надлежат классу C r по переменным (x, a) и линейны по a .

Пусть уравнение 

2, .

r
a
ω
∈Α
 Обозначим 

2,
( )
{
:
}.
r
v
U a
a
a
a
v
ω
=
∈Α
−
<


 Траектории

уравнения 
( ),
v
a
U a
∈

 лежащие в S1 × (0, +∞), являются интегральными кривыми

уравнения 
3
2
0
1
2
/
( , )
( , )
( , ) .
d z dx
a x a z
a x a z
a x a z
= −
−
−



 Пусть ( , , )
z x u a  – решение 

этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию 
=

(0, , )
.
z
u a
u  При доста
точно малых v > 0, ρ > 0 оно определено для ( , , )
( 2 ,2 ) (
, )
( ),
v
x u a
U a
∈ − ω
ω × −ρ ρ ×


принадлежит классу C r по переменным 

( , , )
x u a  и имеет производные любо
го порядка по переменным 

( , ),
u a  непрерывно зависящие от ( , , ).
˜

 Так как

( ,0, )
0,
z x
a ≡

 то

2
3
1
2
3
( , , )
( , )
( , )
( , )
( , , ),
z x u a
z x a u
z
x a u
z
x a u
x u a
=
+
+
+ζ




  
(1)

где 
( ,0, )/
0
s
s
x
a
u
∂ ζ
∂
=

 при s = 0, 1, 2, 3 . Для функций 
( , ),
k˜

k = 1, 2, 3, получаем

дифференциальные уравнения и начальные условия:

= −
µ =

1
2
1
1
( , ) ,
(0, )
1;
dz
a x a z
z
dx

= −
−
=




2
2
2
2
1
2
1
( , )
( , )
( , ),
(0, )
0;
dz
a x a z
a x a z
x a
z
a
dx

3
3
2
3
1
1
2
0
3
1
( , )
2 ( , ) ( , )
( , )
( , )
( , ),
(0, )
0,
dz
a x a z
a x a z x a z
x a
a x a z
x a
z
a
dx = −
−
−
=








из которых последовательно находим 

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 2

9

(
)
1
2
0
( , )
exp
( , )
,
x
z x a
a s a ds
=
−∫


 
(2)

2
1
1
( , )
( , ) ( , ),
z
x a
z x a I x a
=



 где 1
1
1
0
( , )
( , ) ( , )
,

x
I x a
a s a z s a ds
= −∫



 
(3)

3
1
2
( , )
( , ) ( , ),
z
x a
z x a I
x a
=


  
(4)

где 

2
2
1
2
0
1
0
( , )
[2 ( , )
( , )
( , )
( , )] .
x
I
x a
a s a z s a
a s a z
s a ds
= −
+
∫





 
(5)

Функция 
ω

 ( ,
, )
u
z
u a u ∈ [0, ρ) – функция последования по траекториям .a

Бифуркационное многообразие коразмерности два

Обозначим для уравнения 

2,r
a
ω
∈Α


2
1
2

0

( ):
( , )
, ( ):
( , ), ( ):
( , ).
m a
a x a dx
a
I
a
L a
I
a

ω

= −
=
ω
=
ω
∫







 
(6)

Функции 
,
2,
, ,
:
r
m
L
ω
Α
→

R  очевидно, бесконечно дифференцируемы . 

Ввиду (1) – (6) Г+ при 
<
( )
0
m a
( ( )
0)
m a >

 является устойчивым (неустойчи
вым) грубым циклом, при 
( )
0,
m a =

( )
0
a <


( ( )
0)
a >


 – устойчивым (неустой
чивым) двойным циклом, а при 
( )
0, ( )
0,
( )
0
m a
a
L a
=
=
<




( ( )
0)
L a >

– устойчи
вым (неустойчивым) тройным циклом . 

Теорема 1. Множество 

2,
2, : {
:
( )
0, ( )
0,
( )
0}
r
r
a
m a
a
L a
ω
Γ
Β
=
∈Α
=
=
≠





является

вложенным С∞-подмногообразием в 

2,r
ω
Α
 коразмерности два .

Доказательство . Пусть 
ω
Α
→ R
2,
2
:
,

r
f
( ) : ( ( ), ( )).
=




f a
m a
a
 Возьмем
2, .
Γ
∈Β
r
a

Найдем производную 
.
∗
ω
=
Α
→
′


R
2,
( ):
r
a
 Если 
( )
( , ),
i
i
a x
a x a
=
ω
∈Α
2, :
r
h

=
+
+


2
0
1
2
( )
( )
( )
,
x
h x
h x x
h x x
 то 

0
0
0
1
1
2
2
0
( )
(
)
( ( )
( ))exp
(
( )
( ))
d
d
d
d
s
h
a
h
a s
h x
a
h
d ds
ω
∗
τ=
τ=
τ
τ
=
+ τ
= −
+ τ
σ + τ
σ
σ
=
∫
∫



0
0

1
1
2
2
0
( )
( )
( )
exp
( )
.

s
s
h s
a s
h
d
a
d ds
ω 

= −
+
σ σ
σ
σ




∫
∫
∫

Для 
:
=


h x
x
m(h) = 0, 

0

2
0
( )
exp
( )
0,

s
h
a
d ds

ω

∗
= −
σ
σ
≠
∫
∫

 а для 
2
:
=


h x
x

m(h) = –ω ≠ 0 . Поэтому линейные функции 

2,
:

r
m
ω
Α
→ R  и 

2,
( ):

r
a
∗
ω
=
Α
→
′


R

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 2

10

линейно независимы . Следовательно, 
2,
2
,
Α
= Ε ⊕ Λ
r
ω
 где E2 – двумерное под
пространство, 
2,
{
:
( )
0,
( )
0},
∗
Λ =
∈Α
=
=




r
a
m a
a
ω
 а отображение 

2
2
( ):
( ( ),
( )( ))
( ( ),
( ))
f a
m
a
m
ε
∗
Ε ∋ ε
ε
ε
=
ε
ε
∈
′
′



R  – сюръективно и потому 

изоморфизм . Пусть 
: {
:
}.
Λ
=
∈Λ
<
δ
λ
λ
δ
 По теореме о неявной функции су
ществует C ∞-отображение 
δ
η
−δ δ
× Λ → Ε

  2
2
: (
, )
, δ >

0,  такое, что η(0,0,0) = 0,

f(η(ε1, ε2, λ) + λ ≡ (ε1, ε2) . Равенство 
1
2
1
2
((
,
), )
(
,
, )
g ε ε
λ = η ε ε λ + λ

 задает такой

C ∞ -диффеоморфизм g  множества 
2
(
, )
δ
−δ δ
× Λ 
 
 на окрестность U уравнения a

в

2, ,
r

ω
Α
 что 

1
2
( )
, ( )
m a
a
= ε
= ε



 для уравнения 
1
2
((
,
), ).
a
g
=
ε ε
λ


 
(7)

Так как L – непрерывная функция, то δ  можно считать выбранным так, что

( )
0
L a ≠

для 
.
a
U
∈

 Поэтому 
2,
({(0,0)}
)
,
r
g
U
Γ
δ
× Λ
= Β
∩


 то есть 
2,r
Γ
Β
 – вложенное

C ∞-подмногообразие 

2,r
ω
Α
 коразмерности два .

Бифуркации бесконечно удаленного тройного цикла 

Вследствие (1) – (7) для 
1
2
((
,
), )
a
g
=
ε ε
λ


 функция последования имеет вид

1
1
2
2
1
2
( ,
, )
( ,
,
, ) ,
z
u a
e u
e
u
q u
u
ε
ε
ω
=
+
ε
+
ε ε λ

 где 

∞
∈
ε ε λ =
ε ε λ =
=
′
′′
1
2
1
2
, (0,
,
, )
(0,
,
, )
0,
(0,0,0,0)
2 ( ).
u
uu
q
C
q
q
q
L a

При достаточно малом δ ∈
δ
(0, ) равенство 

1
1
2
1
2
1
((
,
), ):
((ln(1
),
(1
) ), )
g
g
−
ε ε
λ =
+ ε
ε
+ ε
λ


задает C ∞-диффеоморфизм g множества 
2
(
, )
δ
−δ δ
× Λ  на окрестность уравнения

a в 

2, ,

r
ω
Α
 причем ((0,0), )
((0,0), ).
g
g
λ =
λ

 Диффеоморфизм g дает более удобную

параметризацию окрестности уравнения a, поскольку

2
1
2
1
2
1
2
(( ,
), )
( ,
, )
(1
)
( ,
,
, ) ,
a
g
z
u a
u
u
q u
u
∀ =
ε ε
λ
ω
=
+ ε
+ ε
+
ε ε λ


 
(8)

где

1
2
1
2
, (0,
,
, )
(0,
,
, )
0,
(0,0,0,0)
2 ( ).
u
uu
q
C
q
q
q
L a
∞
∈
ε ε λ =
ε ε λ =
=
′
′′
 
(9)

Теорема 2. Пусть 
2,r
a
Γ
∈Β
 и L(a) < 0. Тогда существуют числа ρ0 > 0,

0
(0, )
δ ∈
δ  и разбиение 
0

2
0
0
(
,
)
δ
−δ δ
× Λ
 на множества
0
0
0
1
1
1
1
2
3
1
2
3
,
,
,
,
,
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
Σ
и Σ2

(рис . 1), где

0
0
1
2
2
0
2
1
1
{(
,
, ): 0
,
,
(
, )
0},
δ
Σ =
ε ε λ
< ε < δ
λ ∈Λ
γ ε λ < ε <

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 2

11

,
0
0
0
: (
,
)
,
C∞
δ
γ
−δ δ
×Λ
→
γ∈
R

0
2
(
, )
0
−δ < γ ε λ <
 при 
< ε < δ
γ
λ = ∂γ
λ
∂ε =
2
0
2
0
, (0, )
(0, )/
0,

0
0
1
2
2
0
0
1
2
2
{(
,
, ):
, 0
,
(
, )
δ
Σ =
ε ε λ
λ ∈Λ
< ε < δ
−δ < ε < γ ε λ  или 
0
2
0
1
0,
0},
−δ < ε ≤
−δ < ε <

0
0
0
0
0
3
(0,
) (
,
)
,
δ
Σ =
δ
× −δ δ
× Λ
δ
Σ =
ε ε λ
ε = γ ε λ
< ε < δ
λ ∈Λ 0
1
1
2
1
2
2
0
1
{(
,
, ):
(
, ), 0
,
},

δ
δ
δ
Σ =
× −δ
× Λ
Σ =
×
δ
× Λ
Σ =
× Λ
0
0
0
1
1
2
0
0
2
3
{0} (
,0)
,
{0} (0,
)
,
{(0,0)}
,

со 
следующими 
свойствами: 1) 
Уравнения 
из 
2
2
(
)
g
Γ
Σ
⊂ Β  
имеют 
в

1
0
(
):
(
,
]
V
S
+
Γ
=
× ρ +∞  единственный (устойчивый тройной) цикл Г+. 2) Уравнения 

из 
0
(
),
k
g Σ
 k = 1, 2, 3, имеют в V(Г+) только грубые циклы, при k = 1 два устой
чивых, включая Г+, и один неустойчивый, при k = 2 один устойчивый – Г+, при 
k = 3 один неустойчивый – Г+ и один устойчивый. 3) Уравнения из 
Σ1

1
(
)
g
 имеют

в V(Г+) грубый устойчивый цикл Г+ и двойной цикл. 

4) Уравнения из 
1
2
(
)
g Σ
 имеют в V(Г+) единственный (устойчивый двойной)

цикл Г+. 5) Уравнения из 
1
3
(
)
g Σ
 имеют в V(Г+) двойной цикл Г+ и грубый устой
чивый цикл. 

Замечание . При L(a) > 0 утверждение теоремы остается справедливым, если 

устойчивые циклы заменить на неустойчивые и наоборот .

Рис. 1. Бифуркационная диаграмма

ISSN 2072-8387
Вестник Московского государственного областного университета. Серия: Физика-Математика
2017 / № 2

12

Доказательство. Для уравнения 
1
2
((
,
), )
a
g
=
ε ε
λ

 функцию расхождения

1
2
( ,
,
, ):
( ,
, )
d u
z
u a
u
ε ε λ =
ω
−


 представим в виде 
1
2
1
2
( ,
,
, )
( ,
,
, ),
d u
ud u
ε ε λ =
ε ε λ

 где

ввиду (8) и (9)

1
2
1
2
1
2
( ,
,
, )
( ,
,
, ),
d u
u
q u
ε ε λ = ε + ε
+
ε ε λ
 
(10)

=
=
=
′
′′
(0,0,0,0)
(0,0,0,0)
0,
(0,0,0,0)
2 ( ).
u
uu
d
d
d
L a  
(11)

Уменьшив при необходимости ρ и δ  можно считать, что для всех u ∈ [–ρ, ρ],

2
1
2
(
,
, )
(
, )
δ
ε ε λ ∈ −δ δ
× Λ

1
1
2
( ,
,
, )
1/2,
d
u
ε
ε ε λ ≥
′
 
(12)

1
2
( ,
,
, )
( )
0.
uu
d
u
L a
ε ε λ ≤
<
′′
 
(13)

Зафиксируем ρ . Так как z(x, 0, a) = 0 при x ∈ [0, ω], мы можем выбрать числа 

ρ0 ∈ [0, ρ] и 
0
(0, )
δ ∈
δ  так, чтобы

0
( , , )
z x u a
<
< ρ

 при 
[0, ],
x ∈
ω
0
(0,
),
u∈
ρ
0
2
1
2
0
0
(
,
, )
(
,
)
.
δ
ε ε λ ∈ −δ δ
× Λ
 (14)

Фиксируем ρ0 . Ввиду (11) d(u, 0, 0, 0) < 0 для u ∈ (0, ρ] . Поэтому δ0 можно вы
брать так, что 

 
d(u, ε1, ε2, λ) < 0 для всех u ∈ [ρ0, ρ], 
0
2
1
2
0
0
(
,
, )
(
,
)
.
δ
ε ε λ ∈ −δ δ
× Λ
 
(15)

Рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных ε1, u

1
2
1
2
1
2

1
2
2
1
2

( ,
,
, )
( ,
,
, )
0,
( ,
,
, )
( ,
,
, )
0.
u
u

d u
u
q u
d u
q u
ε ε λ = ε + ε
+
ε ε λ =

ε ε λ = ε +
ε ε λ =
′
′

 
(16)

Так как при (u, ε1, ε2, λ) = (0, 0, 0, 0) d и 
u
d′  обращаются в нуль, а 

1

1

1
0
2 ( )
0,
0
2 ( )

u

u
uu

d
d
L a
d
d
L a

ε

ε

′
′ =
=
≠
′′
′′

то по теореме о неявной функции найдутся такие числа 
1
2
,
(0, ),
δ δ ∈
δ
ρ1 ∈ (0, ρ),

что для любых 
1
2
1
1
(
, )
(
,
)
δ
ε λ ∈ −δ δ
× Λ  система (16) имеет в (–δ2, δ2) × (–ρ2, ρ2)

единственное решение ε1 = γ(ε2, λ), u = ψ(ε2, λ),
 где γ : (–δ1, δ1) × Λδ1 → (–δ2, δ2) и ψ : (–δ1, δ1) × Λδ1 → (–ρ1, ρ1) – С∞-функции . Ввиду 
(9) и (10) при (ε2, λ) ∈ {0} × Λδ1 ε1 = 0, u = 0 – решение системы (16) . Поэтому 

γ(0, λ) = ψ(0, λ) = 0 для любых λ ∈ Λδ1  
(17)

Подставив u = ψ(ε2, λ), ε1 = γ(ε2, λ) в (16) и продифференцировав по ε2, 

получим