Математический анализ и инструментальные методы решения задач. В 2 кн. Кн. 2

У Ч Е Б Н И К И  П Р Е З И Д Е Н Т С К О Й  А К А Д Е М И И

| И  ДЕЛО |
Москва | 2019

В.Г. Чирский, К.Ю. Шилин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ
и инструментальные методы 
решения задач 

Книга 2

__________________ 
Рекомендовано Федеральным государственным 
бюджетным образовательным учреждением 
высшего образования «Российская академия 
народного хозяйства и государственной службы 
при Президенте Российской Федерации» 
в качестве учебника по дисциплине 
«Математический анализ» для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 38.03.01 
Экономика

УДК 517
ББК 22.161
Ч-65

Рецензенты:
В.А. Артамонов, д-р физико-математических наук, профессор
М.В. Шамолин, д-р физико-математических наук, профессор

Чирский, В.Г., Шилин, К.Ю.
Ч-65
Математический анализ и инструментальные методы решения задач:
в 2 кн. Книга 2: учебник / В. Г. Чирский, К. Ю. Шилин. –– М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2019. –– 272 с. –– (Учебники Президентской академии).

ISBN 978-5-7749-1383-1 (общ.)
ISBN 978-5-7749-1385-5 (кн. 2)

В этой книге содержатся материалы курсов «Дополнительные главы математического анализа» и «Математико-экономические методы», читаемых
на втором курсе отделения экономики экономического факультета Института экономики, математики и информационных технологий РАНХиГС. Кроме стандартных разделов математического анализа, в нем содержатся первоначальные сведения из вариационного исчисления, теории оптимального
управления и теории дискретной оптимизации.
Как и в первой части книги, каждая глава, как правило, состоит из четырех параграфов. Первый из них содержит основные определения, формулировки теорем и простые доказательства. Во втором параграфе приведены
доказательства теорем и добавлены сведения, полезные для более глубокого
усвоения материала. Третий содержит решения типовых задач. В четвертом
параграфе эти же задачи решены с использованием математического пакета
Wolfram Mathematica.
По мнению авторов, этот подход сближает теоретические курсы математики с курсом инструментальных методов и позволяет студентам с большим
пониманием использовать компьютерные программы.

УДК 517
ББК 22.161
ISBN 978-5-7749-1383-1 (общ.)
ISBN 978-5-7749-1385-5 (кн. 2)

© ФГБОУ ВО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации», 2019

Оглавление

33. Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Необходимый
признак сходимости. Ряды с неотрицательными членами.
Теоремы сравнения
11
33.1. Определения и формулировки теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
◁ Понятие числового ряда
◁ Сходящиеся и расходящиеся ряды
◁ Остатки
ряда
◁ Свойства суммы ряда
◁ Критерий Коши сходимости ряда
◁ Бесконечная геометрическая прогрессия
◁ Ряды с неотрицательными членами. Теоремы
сравнения
◁ Неотрицательные ряды и бесконечные 𝑞-ичные дроби
33.2. Доказательства теорем сравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33.3. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34. Интегральный признак сходимости Маклорена—Коши
23
34.1. Интегральный признак Маклорена—Коши. Сходимость
ряда ∑∞
𝑛=􏷠 1/𝑛𝑝. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
◁ Ряды и несобственные интегралы
◁ Интегральный признак сходимости
Маклорена—Коши
34.2. Доказательство интегрального признака сходимости Маклорена—
Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
34.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
34.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
35. Признаки Даламбера, Коши, Раабе, Куммера и Гаусса
31
35.1. Признаки сходимости Коши и Даламбера неотрицательных рядов. . 31
35.2. Признаки сходимости Раабе, Куммера, Бертрана и Гаусса . . . . . . . . . 33
◁ Доказательство теоремы 35.3 ◁ Доказательство теоремы 35.6 ◁ Признак сходимости Раабе
◁ Признак Куммера
35.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
35.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
36. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле
45
36.1. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Формулировки признаков Лейбница, Абеля и Дирихле . . . 45
◁ Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость
◁ Признак сходимости Лейбница
◁ Формулировки признаков Дирихле и Абеля
36.2. Суммирование по частям. Доказательства признаков Дирихле
и Абеля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
36.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
36.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Оглавление

37. Перестановки членов ряда. Теоремы Дирихле и Римана
57
37.1. Перестановки членов ряда. Теорема Дирихле и формулировка
теоремы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
37.2. Доказательство теоремы Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
37.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
37.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
38. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная
сходимость и равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости
63
38.1. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная сходимость и равномерная сходимость. Формулировка критерия Коши равномерной сходимости ряда. Признак Вейерштрасса мажорантной сходимости. Формулировки признаков Абеля и Дирихле
равномерной сходимости ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

◁ Поточечная сходимость функциональной последовательности и ряда
◁ Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
◁ Критерии Коши равномерной сходимости последовательности и ряда
◁ sup-критерий
равномерной сходимости
◁ Теорема Вейерштрасса о мажорантной сходимости
◁ Формулировки признаков Абеля и Дирихле равномерной сходимости ряда
38.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
38.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
39. Использование равномерной сходимости
71
39.1. Формулировки теорем о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций, почленном интегрировании и дифференцировании функциональных рядов . . . . . . . . . . . . 71

◁ Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций
◁ Равномерная сходимость и интегрирование
◁ Равномерная сходимость
и дифференцирование
39.2. Доказательства теорем. Теорема Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

◁ Доказательство теоремы 39.1 ◁ Признак Дини ◁ Доказательство теоремы 39.2
◁ Доказательство теоремы 39.3
39.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
40. Степенные ряды. Радиус сходимости, интервал сходимости
79
40.1. Радиус сходимости степенного ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
40.2. Формула для вычисления радиуса сходимости в общем случае . . . . 82
40.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
40.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
41. Непрерывность степенного ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов
87
41.1. Свойства степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

◁ Непрерывность степенного ряда ◁ Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов
◁ Умножение и деление степенных рядов
41.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
41.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
41.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Оглавление
7

42. Ряд Тейлора
97

42.1. Ряд Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

◁ Ряд Тейлора ◁ Сходимость ряда Тейлора к его производящей функции ◁ Разложение основных элементарных функций в ряды Тейлора
42.2. Сходимость ряда Тейлора не к производящей функции. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100

◁ Доказательство теоремы 42.4
42.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
42.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
43. Ряды Фурье
111

43.1. Ортонормированные системы функций. Тригонометрические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

◁ Ортонормированные системы функций
◁ Тригонометрический ряд Фурье, его
коэффициенты
◁ Коэффициенты Фурье четных и нечетных функций
43.2. Теорема о сходимости ряда Фурье (без доказательства). Обобщенные ряды Фурье. Разложения по косинусам и по синусам . . . . . . . . .116

◁ Сходимость ряда Фурье в точке
◁ Обобщенные тригонометрические ряды
◁ Разложения только по косинусам или только по синусам
43.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
43.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
44. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная
сходимость.
Признаки
равномерной
сходимости
127

44.1. Несобственные
интегралы,
зависящие
от
параметра,
и
их
сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

◁ Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость
◁ Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра
◁ Признак Вейерштрасса мажорантной сходимости
◁ Несобственные интегралы по конечному промежутку, зависящие от параметра
44.2. Доказательства
теорем.
Формулировки
признаков
Абеля
и Дирихле равномерной сходимости интегралов, зависящих от
параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

◁ Доказательства теорем
◁ Признаки Абеля и Дирихле
44.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
44.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
45. Предельный переход под знаком несобственного интеграла. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего
от параметра
139

45.1. Предельный переход под знаком несобственного интеграла.
Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
45.2. Доказательства теорем. Теорема Дини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
45.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
45.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

Оглавление

46. Дифференцирование по параметру несобственных интегралов, зависящих от параметра. Интегрирование несобственного интеграла по параметру
147

46.1. Дифференцирование и интегрирование несобственного интеграла по параметру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
46.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
46.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152
47. Интегралы Эйлера
155

47.1. Гамма-функция и бета-функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

◁ Гамма-функция
◁ Бета-функция
◁ Полезные формулы
47.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
47.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
47.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162
48. Интеграл Эйлера—Пуассона. Нормальное распределение
случайной величины
165

48.1. Интеграл Эйлера—Пуассона. Нормальное распределение. Вычисление его моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

◁ Интеграл Эйлера—Пуассона
◁ Нормальное распределение случайной
величины
◁ Моменты нормального распределения
◁ Многомерное нормальное распределение
48.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168
48.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170
48.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173
49. Функционал. Линейное нормированное пространство. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве
175

49.1. Функционал. Линейное нормированное пространство. Метрическое пространство. Сходимость в метрическом пространстве . . . . . .175

◁ Простейшая задача вариационного исчисления
◁ Сходимость в метрическом
пространстве
◁ Равномерная сходимость и сходимость в среднем
49.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179
49.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
50. Полные метрические пространства. Понятие о топологических пространствах
185

50.1. Полные метрические пространства и их примеры . . . . . . . . . . . . . . . .185

◁ Полные метрические пространства ◁ Примеры полных метрических пространств
50.2. Доказательства теорем. Пополнение метрического пространства.
Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186

◁ Доказательства теорем
◁ Пополнение метрического пространства
◁ Топологические пространства
50.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

Оглавление
9

51. Непрерывность функционала. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала
193
51.1. Непрерывность функционала. Вариация функционала. Необходимое условие экстремума функционала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193
◁ Непрерывность функционала
◁ Вариация функционала
◁ Экстремум
функционала
51.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
51.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
52. Уравнение Эйлера
199
52.1. Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
◁ Вычисление вариации функционала
◁ Экстремали
◁ Случаи интегрируемости уравнения Эйлера
◁ Уравнение Эйлера для математической модели задачи
Рамсея ◁ Задача с подвижной границей. Условия трансверсальности ◁ Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
52.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205
52.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .208
52.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210
53. Элементы теории оптимального управления
213
53.1. Функция Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .213
53.2. Стандартная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215
◁ Схема использования принципа максимума
53.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217
53.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220
54. Принцип максимума и вариационное исчисление
229
54.1. Принцип максимума и вариационное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . .229
◁ Сведение задачи вариационного исчисления к принципу максимума Понтрягина
◁ Достаточные условия оптимальности
54.2. Сопряженная функция как скрытая цена. Задача с неопределенным временем окончания. Задача с дисконтным множителем. . . . . .231
◁ Задача с переменным временем окончания
◁ Задача с дисконтным множителем
54.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234
54.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .236
55. Дискретная оптимизация
249
55.1. Динамическое программирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249
◁ Постановка задачи
◁ Свойства целевой функции
55.2. Вывод уравнения Беллмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252
55.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252
55.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .256
56. Уравнение Эйлера и принцип максимума в задачах дискретной оптимизации
257
56.1. Уравнение Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .257
56.2. Принцип максимума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258
56.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
56.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263
Рекомендуемая литература
265
Предметный указатель
267

Глава 33.
Числовые ряды. Критерий Коши сходимости.
Необходимый признак сходимости. Ряды
с неотрицательными членами. Теоремы сравнения

33.1.
Определения и формулировки теорем

■
Понятие числового ряда

Пусть {𝑎𝑛} — заданная числовая последовательность. Складывая один
за другим ее члены, получаем последовательность сумм вида:

𝑠􏷠 = 𝑎􏷠 , 𝑠􏷡 = 𝑎􏷠 + 𝑎􏷡, ..., 𝑠𝑛 = 𝑎􏷠 + 𝑎􏷡 + ... + 𝑎𝑛, ...

Каждая из этих сумм, начиная со второй, получается из предыдущей
суммы прибавлением одного слагаемого — члена заданной последовательности {𝑎𝑛}, имеющего тот же номер: 𝑠𝑛 = 𝑠𝑛−􏷠 + 𝑎𝑛 для всех 𝑛 > 1. Процесс
образования этих сумм можно представить в виде «бесконечной суммы»
𝑎􏷠 + 𝑎􏷡 + ... + 𝑎𝑛 + ... Это не обычная сумма ( в алгебре определены лишь суммы конечного числа слагаемых), а запись процесса образования последовательности сумм {𝑠𝑛}. Поэтому свойства рядов отличаются от свойств обычных
сумм конечного числа слагаемых, и цель этой главы — указать на некоторые
сходства и различия в понятиях конечной суммы и ряда.

Определение 33.1. Выражение:

𝑎􏷠 + 𝑎􏷡 + ... + 𝑎𝑛 + ... ,
(33.1)

порождаемое числовой последовательностью {𝑎𝑛}, называют числовым рядом, числа 𝑎􏷠, 𝑎􏷡, ..., 𝑎𝑛, ... — его членами: 𝑎􏷠 — первым, 𝑎􏷡 — вторым, ... , 𝑎𝑛 𝑛-м или общим
членом ряда, 𝑠􏷠, 𝑠􏷡, ..., 𝑠𝑛, ... — частичными суммами ряда.

Для ряда (33.1) используется также обозначение ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛. Иногда нумерацию членов ряда начинают не с 1, а с 0. Тогда соответствующий ряд обозначается ∑∞
𝑛=􏷟 𝑎𝑛. При изучении ряда (33.1) часто приходится рассматривать
формальные выражения вида 𝑎𝑘+􏷠+𝑎𝑘+􏷡+... , которые в дальнейшем будут называться остатками ряда. Остатки ряда сами являются числовыми рядами.
Они обозначаются следующим образом: ∑∞
𝑛=𝑘+􏷠 𝑎𝑛.
Определим (пока тоже формально) сумму рядов и умножение ряда на
число.

Определение 33.2. Пусть даны ряды ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛 и ∑∞
𝑛=􏷠 𝑏𝑛. Суммой этих рядов назовем ряд: ∑∞
𝑛=􏷠(𝑎𝑛+𝑏𝑛). Произведением ряда ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛 на число 𝜆 назовем ряд ∑∞
𝑛=􏷠 𝜆𝑎𝑛.

Математический анализ и инструментальные методы решения задач

■
Сходящиеся и расходящиеся ряды

Отметим, что сумма конечного числа заданных слагаемых всегда определена. Для бесконечного ряда требуется ввести дополнительные определения.

Определение 33.3. Если последовательность {𝑠𝑛} частичных сумм ряда ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛
сходится к некоторому числу 𝑠, то этот ряд называют сходящимся к сумме 𝑠 и
пишут 𝑠 = ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛 или 𝑠 = 𝑎􏷠 + 𝑎􏷡 + ... + 𝑎𝑛 + ...

При этом допускается некоторая нестрогость в обозначениях, состоящая
в том, что одним и тем же символом 𝑎􏷠 + 𝑎􏷡 + ... + 𝑎𝑛 + ... или ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛 обозначаются как сам ряд, так и число, равное сумме этого ряда.
Ряд, не являющийся сходящимся, называют расходящимся.
Замечание. Число 𝑠 не следует называть «суммой всех членов ряда», так как
существует класс рядов, сумма которых зависит от порядка нумерации «слагаемых». Заметим еще раз: 𝑠 — это предел частичных сумм ряда, 𝑠 = lim
𝑛→∞ 𝑠𝑛,

если этот предел существует.
Сформулируем и докажем важное утверждение.

■
Остатки ряда

Теорема 33.1

Если сходится ряд (33.1), то для любого 𝑘 сходится остаток ряда ∑∞
𝑛=𝑘+􏷠 𝑎𝑛.
Обратно, если хотя бы для одного значения 𝑘 сходится остаток ряда ∑∞
𝑛=𝑘+􏷠 𝑎𝑛,
то сходится и сам ряд (33.1).

Доказательство:

Пусть сходится ряд (33.1). При любом 𝑘 рассмотрим частичную сумму
𝑠∗𝑛 = 𝑎𝑘+􏷠 + 𝑎𝑘+􏷡 + ... + 𝑎𝑘+𝑛. Справедливо равенство:

𝑠∗𝑛 = 𝑎𝑘+􏷠 + 𝑎𝑘+􏷡 + ... + 𝑎𝑘+𝑛 = 𝑠𝑘+𝑛 − (𝑎􏷠 + 𝑎􏷡 + ... + 𝑎𝑘) = 𝑠𝑘+𝑛 − 𝑠𝑘.
(33.2)

При любом фиксированном 𝑘 последовательность {𝑠𝑘+𝑛} имеет тот же предел,
что и последовательность {𝑠𝑛}, число 𝑠𝑘 не зависит от 𝑛, поэтому, использовав
теорему о пределе разности, получаем, что существует предел последовательности частичных сумм 𝑠∗𝑛, lim𝑛→∞ 𝑠∗𝑛 = 𝑠 − 𝑠𝑘. Следовательно, ряд ∑∞
𝑛=𝑘+􏷠 𝑎𝑛
сходится.
Пусть теперь для некоторого значения 𝑘 сходится остаток ряда ∑∞
𝑛=𝑘+􏷠 𝑎𝑛.
Это означает, что последовательность {𝑠𝑘+𝑛 − 𝑠𝑘} имеет предел. Используем
теорему о пределе суммы, из которой следует, что существует предел последовательности {𝑠𝑘+𝑛}. Следовательно, как отмечалось выше, существует предел последовательности {𝑠𝑛}.

Следствие. Утверждение означает, что либо все остатки ряда сходятся, либо
все они расходятся.

Глава 33. Числовые ряды
13

Замечание. Если ряд ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛 сходится и имеет сумму 𝑠, то любая его частичная сумма 𝑠𝑛 есть некоторое приближенное значение величины 𝑠, а сумма
соответствующего остатка ряда представляет собой погрешность вычисления.

■
Свойства суммы ряда

Теорема 33.2

Пусть сходятся ряды ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛 , ∑∞
𝑛=􏷠 𝑏𝑛, и их суммы равны 𝑠, 𝑡, соответственно. Тогда сходится ряд ∑∞
𝑛=􏷠(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛), и его сумма равна 𝑠 + 𝑡. Кроме того, для
любого числа 𝑐 ряд ∑∞
𝑛=􏷠 𝑐𝑎𝑛 сходится, и его сумма равна 𝑐 𝑠.

Доказательство:

Пусть 𝑠𝑛, 𝑡𝑛 — частичные суммы, соответственно, рядов ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛, ∑∞
𝑛=􏷠 𝑏𝑛. Последовательности {𝑠𝑛}, {𝑡𝑛}, по условию, имеют пределы, которые равны суммам рядов 𝑠, 𝑡. Применяя теорему о пределе суммы последовательностей, получаем, что последовательность {𝑠𝑛 + 𝑡𝑛}, представляющая собой последовательность частичных сумм ряда ∑∞
𝑛=􏷠(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛), имеет предел, равный 𝑠 + 𝑡.
Аналогично, последовательность {𝑐 𝑠𝑛} частичных сумм ряда ∑∞
𝑛=􏷠 𝑐 𝑎𝑛 имеет
предел 𝑐 𝑠.

Теорема 33.3

Пусть сходится ряд ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛. Тогда ряд ∑∞
𝑁=􏷠 𝑏𝑁, члены которого образованы
в результате последовательной группировки членов исходного ряда, т.е.:

𝑏𝑁 = 𝑎𝑛𝑁−􏷠+􏷠 + ... + 𝑎𝑛𝑁 ,

𝑁 = 1, 2, ...,

1 ≤ 𝑛􏷠 < 𝑛􏷡 < ... < 𝑛𝑁−􏷠 < 𝑛𝑁 < ...

сходится и имеет ту же сумму.

Доказательство:

Рассмотрим последовательность 􏿺𝑠∗
𝑁􏿽 частичных сумм ряда ∑∞
𝑁=􏷠 𝑏𝑁. Ее члены имеют вид:

𝑠∗
𝑁 = 𝑏􏷠 + ... + 𝑏𝑁 =

= (𝑎􏷠 + ... + 𝑎𝑛􏷠) + (𝑎𝑛􏷠+􏷠 + ... + 𝑎𝑛􏷡) + ... + (𝑎𝑛𝑁−􏷠+􏷠 + ... + 𝑎𝑛𝑁 ) =

= 𝑎􏷠 + ... + 𝑎𝑛𝑁 = 𝑠𝑛𝑁 ,

и, следовательно, она является подпоследовательностью последовательности
частичных сумм ряда ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛. Вспомним теперь, что если последовательность имеет предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.

Математический анализ и инструментальные методы решения задач

Замечание. Рассмотрим ряд ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛. Пусть ряд ∑∞
𝑁=􏷠 𝑏𝑁, члены которого образованы в результате последовательной группировки членов исходного ряда, т.е.:

𝑏𝑁 = 𝑎𝑛𝑁−􏷠+􏷠 + ... + 𝑎𝑛𝑁 ,

𝑁 = 1, 2, ..., ,

1 ≤ 𝑛􏷠 < 𝑛􏷡 < ... < 𝑛𝑁−􏷠 < 𝑛𝑁 < ...

сходится. Верно ли, что ряд ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛 сходится и имеет ту же сумму?
Ответ на этот вопрос: вообще говоря, это неверно. Например, ряд
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … , члены которого имеют вид (1 − 1), т.е. равны 0,
сходится и имеет сумму 0 + 0 + 0 + ⋯ = 0. Однако ряд 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
расходится. Это следует из приведенного ниже следствия критерия Коши
(см. следствие теоремы 33.4 на с. 14).
Замечание. Как отмечено выше, понятие ряда обобщает понятие суммы конечного числа слагаемых. Для конечных сумм выполняются сочетательный
и переместительный законы. Вопрос о сочетательном законе для ряда рассмотрен выше: согласно теореме 33.2 (см. с. 13), группы членов сходящегося
ряда можно заключить в скобки, получив новый ряд с той же суммой. Ввиду
сделанного выше замечания раскрывать скобки можно только в том случае,
если в результате получается сходящийся ряд, при этом, вновь согласно теореме 33.2 (см. с. 13), сумма не изменится.
Вопрос о переместительном законе для рядов будет рассмотрен в главе 37
на с. 57.

■
Критерий Коши сходимости ряда

Теорема 33.4 (критерий Коши сходимости ряда)

Ряд ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛 сходится тогда и только тогда, когда для любого 𝜀 > 0 существует число 𝑁(𝜀), такое, что для любого номера 𝑛 > 𝑁(𝜀) и любого натурального 𝑝 выполняется неравенство |𝑠𝑛+𝑝 − 𝑠𝑛| < 𝜀 или равносильное неравенство
|𝑎𝑛+􏷠 + 𝑎𝑛+􏷡 + ... + 𝑎𝑛+𝑝| < 𝜀.

Доказательство:

Вспомним критерий Коши существования предела последовательности частичных сумм {𝑠𝑛}: предел этой последовательности существует тогда
и только тогда, когда для любого 𝜀 > 0 существует число 𝑁(𝜀), такое, что
для любого номера 𝑛 > 𝑁(𝜀) и любого натурального 𝑝 выполняется неравенство
|𝑠𝑛+𝑝 − 𝑠𝑛| < 𝜀.

Следствие (необходимый признак сходимости ряда). Если сходится ряд
∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑛, то lim
𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0.

Доказательство:

Для доказательства следствия применим критерий Коши, в котором положим 𝑝 = 1. Для любого 𝜀 > 0 существует число 𝑁(𝜀), такое, что для любого

Глава 33. Числовые ряды
15

номера 𝑛 > 𝑁(𝜀) и любого натурального 𝑝 выполняется неравенство |𝑎𝑛+􏷠| < 𝜀,
что означает, что lim𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 0.

Замечание. В частности, ряд 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … расходится, так как не
выполнен необходимый признак сходимости.

■
Бесконечная геометрическая прогрессия

Таким термином принято называть ряд ∑∞
𝑛=􏷠 𝑎𝑞𝑛−􏷠, 𝑎 ≠ 0. Рассмотрим частичные суммы 𝑠𝑛 = 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞􏷡 + ... + 𝑎𝑞𝑛−􏷠 этого ряда, рассмотрим также величину 𝑠𝑛𝑞 = 𝑎𝑞􏷡 + 𝑎𝑞􏷢 + ... + 𝑎𝑞𝑛 и разность этих двух величин:

𝑠𝑛 − 𝑠𝑛𝑞 = (𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞􏷡 + ... + 𝑎𝑞𝑛−􏷠) − (𝑎𝑞 + 𝑎𝑞􏷡 + ... + 𝑎𝑞𝑛−􏷠 + 𝑎𝑞𝑛) = 𝑎 − 𝑎𝑞𝑛.

При 𝑞 ≠ 1 получаем: 𝑠𝑛 = 𝑎
􏷠−𝑞𝑛

􏷠−𝑞 . При 𝑞 = 1, очевидно, 𝑠𝑛 = 𝑛𝑎.

Если |𝑞| < 1, то lim
𝑛→∞ 𝑞𝑛 = 0 и lim
𝑛→∞ 𝑠𝑛 = lim
𝑛→∞ 𝑎 􏿶
1 − 𝑞𝑛

1 − 𝑞 􏿹 =
𝑎

1 − 𝑞, т.е. ряд сходится

к сумме 𝑠 =
𝑎

1 − 𝑞. Если |𝑞| ≥ 1, то этот ряд расходится, поскольку не выполнен

необходимый признак сходимости ряда.

■
Ряды с неотрицательными членами. Теоремы сравнения

Определение 33.4. Неотрицательным рядом называют любой числовой ряд
∑∞
𝑛=􏷟 𝑎𝑛, все члены которого удовлетворяют условию 𝑎𝑛 ≥ 0.

Замечание. Если неравенство 𝑎𝑛 ≥ 0 выполняется не для всех 𝑛, а только для
𝑛, начиная с некоторого номера 𝑛􏷟, то мы можем рассматривать не сам исходный ряд, а его остаток ∑∞
𝑛=𝑛􏷟 𝑎𝑛, который будет неотрицательным рядом.
Согласно теореме 33.1 (см. с. 11), ряд и любой его остаток либо одновременно являются сходящимися, либо одновременно являются расходящимися. Поэтому предположение о том, что неравенство 𝑎𝑛 ≥ 0 выполняется для
всех 𝑛, не ограничивает общности изложения.

Теорема 33.5 (критерий сходимости неотрицательного ряда)

Неотрицательный ряд ∑∞
𝑛=􏷟 𝑎𝑛 сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных (частных) сумм 𝑠𝑛 = ∑𝑛
𝑘=􏷟 𝑎𝑘, 𝑛 = 0, 1, 2, ... ограничена сверху.

Доказательство:

Из условия следует:

0 ≤ 𝑠𝑛 = 𝑎􏷠 + ... + 𝑎𝑛 ≤ 𝑎􏷠 + ... + 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+􏷠 = 𝑠𝑛 + 𝑎𝑛+􏷠 = 𝑠𝑛+􏷠.

Таким образом, {𝑠𝑛} — неубывающая последовательность. Если она ограничена сверху, то, по теореме Вейерштрасса (напомним формулировку этой теоремы: всякая неубывающая и ограниченная сверху последовательность имеет
предел), существует предел lim𝑛→∞ 𝑠𝑛 = 𝑠, и число 𝑠, по определению, есть
сумма рассматриваемого ряда. Обратно, если последовательность частичных