Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математический анализ и инструментальные методы решения задач. В 2 кн. Кн. 1

Покупка
Артикул: 735338.01.99
Доступ онлайн
776 ₽
В корзину
В этой книге содержатся материалы курса «Математический анализ», читаемого в первом и втором семестрах на отделении экономики экономического факультета Института экономики, математики и информационных технологий "РАНХиГС Как правило, каждая глава состоит из четырех параграфов. Первый из них содержит основные определения, формулировки теорем и простые доказательства. Во втором параграфе приведены доказательства теорем и добавлены сведения, полезные для более глубокого усвоения материала. Третий содержит решения типовых задач. В четвертом параграфе эти же задачи решены с использованием математического пакета Wolfram Mathematica. По мнению авторов, этот подход сближает теоретические курсы математики с курсом инструментальных методов и позволяет студентам с большим пониманием использовать компьютерные программы. Рекомендовано Федеральным государственным бюджетным образовательным учреждением высшего образования «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации» в качестве учебника по дисциплине «Математический анализ» для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 38.03.01 Экономика
Чирский, В. Г. Математический анализ и инструментальные методы решения задач. В 2 кн. Кн. 1 : учебник / В. Г. Чирский, К. Ю. Шилин. — Москва : Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2019. — 464 с. — (Учебники Президентской академии). - ISBN 978-5-7749-1384-8. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1085536 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
У Ч Е Б Н И К И  П Р Е З И Д Е Н Т С К О Й  А К А Д Е М И И

| И  ДЕЛО |
Москва | 2019

В.Г. Чирский, К.Ю. Шилин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ 
АНАЛИЗ
и инструментальные методы 
решения задач 

Книга 1

__________________ 
Рекомендовано Федеральным государственным 
бюджетным образовательным учреждением 
высшего образования «Российская академия 
народного хозяйства и государственной службы 
при Президенте Российской Федерации» 
в качестве учебника по дисциплине 
«Математический анализ» для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся 
по направлению подготовки 38.03.01 
Экономика

УДК 517

ББК 22.161

Ч-65

Рецензенты:

В.А. Артамонов, д-р физико-математических наук, профессор

М.В. Шамолин, д-р физико-математических наук, профессор

Чирский, В.Г., Шилин, К.Ю.

Ч-65
Математический анализ и инструментальные методы решения задач:
в 2 кн. Книга 1: учебник / В. Г. Чирский, К. Ю. Шилин. –– М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2019. –– 464 с. –– (Учебники Президентской академии).

ISBN 978-5-7749-1383-1 (общ.)

ISBN 978-5-7749-1384-8 (кн. 1)

В этой книге содержатся материалы курса «Математический анализ», читаемого в первом и втором семестрах на отделении экономики экономического факультета Института экономики, математики и информационных технологий РАНХиГС.
Как правило, каждая глава состоит из четырех параграфов. Первый из них
содержит основные определения, формулировки теорем и простые доказательства. Во втором параграфе приведены доказательства теорем и добавлены
сведения, полезные для более глубокого усвоения материала. Третий содержит решения типовых задач. В четвертом параграфе эти же задачи решены
с использованием математического пакета Wolfram Mathematica.
По мнению авторов, этот подход сближает теоретические курсы математики с курсом инструментальных методов и позволяет студентам с большим
пониманием использовать компьютерные программы.

УДК 517

ББК 22.161
ISBN 978-5-7749-1383-1 (общ.)

ISBN 978-5-7749-1384-8 (кн. 1)

© ФГБОУ ВО «Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации», 2019

Оглавление

Введение
13

◁ Зачем учить математический анализ?
◁ Элементы математической логики.
Немного о теоремах и определениях
1. Множества и отображения
19
1.1. Множества и операции над ними. Отображения множеств. . . . . . . . . 19
◁ Понятие множества
◁ Подмножества
◁ Операции над множествами
◁ Декартово произведение множеств
◁ Бинарные отношения
◁ Отображения и их
свойства
1.2. Бинарные отношения конечных множеств. Классы эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
◁ Классы эквивалентности
1.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
◁ Операции со множествами
◁ Операции с целочисленными вычетами
2. Множество действительных чисел
31
2.1. Действительные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
◁ Измерение отрезков. Аксиома отделимости ◁ Верхняя и нижняя грани ◁ Стягивающиеся отрезки
◁ Предельные точки
◁ Счетные и несчетные множества
◁ Несчетные множества
2.2. Приближенные вычисления. Натуральные, целые, рациональные
числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
◁ Приближенные вычисления
◁ Натуральные числа
◁ Целые числа
◁ Рациональные числа
2.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
◁ Целые и действительные числа ◁ Двоичные и десятичные числа ◁ Абсолютное
значение и округление чисел
◁ Точность вычислений
3. Предел последовательности, предел функции
53
3.1. Предел последовательности. Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
◁ Определение предела последовательности, предела функции ◁ Единственность
предела
◁ Бесконечно малые величины
◁ Арифметические свойства предела
◁ Односторонние пределы. Пределы при стремлении к бесконечности
3.2. Предел частного. Предел по базе. Бесконечно большие последовательности и функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
◁ Предел частного ◁ Понятие предела по базе ◁ Бесконечно большие последовательности, бесконечно большие функции
3.3. Примеры вычисления пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
◁ Вычисление пределов

Оглавление

4. Предельный переход в неравенствах,
первый замечательный предел
69
4.1. Предельный переход в неравенствах. Первый замечательный
предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2. Доказательство теоремы о первом замечательном пределе. . . . . . . . 73
4.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
◁ Первый замечательный предел
5. Предел монотонной и ограниченной последовательности,
функции, экспонента
81
5.1. Предел монотонной и ограниченной последовательности, функции, число 𝕖. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
◁ Предел монотонной и ограниченной последовательности ◁ Предел монотонной
и ограниченной функции
◁ Число 𝕖
5.2. Доказательство теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
◁ Доказательство теоремы о существовании предела последовательности
◁ Доказательство теоремы о втором замечательном пределе
◁ Еще о числах 𝕖 и 𝜋
5.3. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
◁ Второй замечательный предел
6. Критерий Коши существования предела
последовательности, предела функции
89
6.1. Критерий Коши существования предела последовательности, предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
◁ Критерий Коши существования предела последовательности ◁ Критерий Коши
существования предела функции
6.2. Доказательства достаточности в теоремах критерия Коши. Полнота числовой прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
◁ Доказательство достаточности в теореме критерий Коши для последовательности
◁ Доказательство достаточности в теореме критерий Коши для функции
◁ Полнота числовой прямой
6.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.
Непрерывность функции
97
7.1.
Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
◁ Определение непрерывности ◁ Точки разрыва и их классификация ◁ Непрерывность многочленов
◁ Непрерывность рациональной функции
◁ Непрерывность монотонной функции
◁ Непрерывность показательной функции, логарифмической функции и степенной функции
◁ Непрерывность тригонометрических
функций
◁ Непрерывность обратных тригонометрических функций
7.2.
Теорема о пределе сложной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103
7.3.
Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
7.4.
Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106
◁ Кусочно-заданная функция ◁ Разрывы первого и второго рода ◁ Несуществующий предел
8. Вычисление некоторых типов пределов. Символы Ландау
109
8.1. Вычисление некоторых типов пределов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
8.2. Символы Ландау. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

Оглавление
7

8.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
8.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
◁ Вычисление некоторых типов пределов
◁ Решение задач
9. Свойства функций, непрерывных на отрезке
119
9.1. Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции.
Ограниченность непрерывной на отрезке функции . . . . . . . . . . . . . . .119
◁ Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции ◁ Ограниченность
непрерывной на отрезке функции. Теоремы Вейерштрасса
◁ Обратная функция
9.2. Равномерная непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123
9.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
9.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
◁ Нахождение обратной функции
10. Производная и дифференциал
127
10.1. Производная и ее основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
◁ Дифференцируемость функции ◁ Производная ◁ Касательная к графику функции
10.2. Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
◁ Понятие дифференциала числовой функции
◁ Геометрический и механический смысл дифференциала
◁ Дифференциал суммы, разности, произведения
и частного функций
10.3. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
10.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
◁ Вычисление производной
◁ Вычисление дифференциала
11. Вычисление производных
137
11.1. Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные основных элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
◁ Дифференцирование суммы, произведения и частного ◁ Производные основных элементарных функций
11.2. Производная произведения и частного, производная обратной
функции, производная сложной функции, инвариантность формы
первого дифференциала, эластичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
◁ Завершение доказательства теоремы о производной суммы, разности, произведения и частного
◁ Производная обратной функции
◁ Производные обратных тригонометрических функций
◁ Производная сложной функции
◁ Производная функции, заданной параметрически
◁ Инвариантность формы первого
дифференциала
◁ Эластичность и ее свойства
11.3. Примеры вычисления производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .147
11.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148
◁ Вычисление производных сложных функций ◁ Уравнение касательной к функции в заданной точке ◁ Анимация уравнения касательной к функции в заданной
точке
12. Производные и дифференциалы высших порядков
153
12.1. Последовательные производные и дифференциалы . . . . . . . . . . . . . .153
◁ Последовательные производные
◁ Вычисление некоторых производных 𝑛-го
порядка ◁ Линейное свойство производных высших порядков ◁ Вторая производная функции, заданной параметрически ◁ Дифференциалы
высших порядков
12.2. Производная высшего порядка произведения двух функций. . . . . . .156
12.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
12.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158
◁ Вычисление производных высших порядков

Оглавление

13. Основные теоремы дифференциального исчисления
159
13.1. Теоремы Ферма, Ролля, необходимое условие экстремума
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

◁ Теорема Ферма
◁ Теорема Ролля
13.2. Теоремы Лагранжа, Коши. Критерий постоянства функции
на интервале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

◁ Теорема Лагранжа. Критерий постоянства функции на интервале
◁ Теорема
Коши
13.3. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
13.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

◁ Поиск максимума (минимума) функции на отрезке ◁ Локальный максимум (минимум) в окрестностях точки
14. Формулы Тейлора
169
14.1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
и с остаточным членом в форме Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

◁ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа ◁ Формула Тейлора
с остаточным членом в форме Пеано
14.2. Формула Тейлора с другими остаточными членами . . . . . . . . . . . . . . .172
14.3. Решение задач. Разложения функций по формуле Тейлора . . . . . . . .173
14.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178

◁ Разложение функции по формуле Тейлора ◁ Демонстрация приближенных вычислений значения функции в окрестностях заданной точки
15. Приложения дифференциального исчисления
к исследованию функций
181
15.1. Монотонность функции и экстремумы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

◁ Монотонность функции
◁ Достаточные условия экстремума функции
15.2. Выпуклость графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

◁ Выпуклость непрерывной функции ◁ Выпуклость дифференцируемой функции
◁ Выпуклость дважды дифференцируемой функции
◁ Точки перегиба
◁ Свойства выпуклых функций
15.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
15.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192

◁ Поиск точек экстремума и перегиба функции
◁ График функции и ее производных первого и второго порядка
16. Правила Лопиталя
195
16.1. Правила Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

◁ Неопределенность вида 0/0
◁ Неопределенность вида ∞/∞
◁ Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (в ослабленных предположениях)
16.2. Доказательства теорем. Теорема Штольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199
16.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202
16.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204

◁ Вычисление пределов, неопределенности
17. Построение графиков функций
207
17.1. Построение графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

◁ Схема построения графиков
◁ Преобразования графиков
◁ Графики основных элементарных функций
◁ Построение кривых, заданных параметрически
◁ Построение кривых, заданных уравнением в полярных координатах

Оглавление
9

17.2. Построение различных графиков в Wolfram Mathematica . . . . . . . . .224

◁ График функции вида 𝑦 = 𝑓(𝑥) ◁ График функции вида 𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦) = 𝑎 ◁ График
параметрической функции
◁ График в полярной системе координат
◁ Анимированная кардиоида
◁ Анимированная циклоида
18. Пространство ℝ𝑛, множества в нем. Отображения
и функции
229

18.1. Пространство ℝ𝑛, множества в нем. Отображения и функции . . . . . .229

◁ Пространство ℝ𝑛, метрическое пространство
◁ Внутренние, предельные, граничные точки множества в метрическом пространстве
◁ Открытые и замкнутые
множества в метрическом пространстве ◁ Компактные множества в метрическом
пространстве
18.2. Функции и отображения. Предел, непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . .233

◁ Функции и отображения
◁ Линии уровня, поверхности уровня
◁ Предел,
непрерывность функции и отображения
◁ Функции Кобба—Дугласа
18.3. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

◁ Доказательства теорем 18.1, 18.2, 18.3 ◁ Доказательство теорем 18.4, 18.5, 18.6
◁ Доказательство теорем 18.9, 18.10 и 18.11
18.4. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245
18.5. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

◁ Скалярное произведение векторов
◁ Расстояние между точками
19. Дифференциальное
исчисление
функций
нескольких
переменных
249

19.1. Дифференцируемость функции многих переменных. . . . . . . . . . . . . .249

◁ Определение дифференцируемости функции многих переменных. Частные
производные ◁ Достаточное условие дифференцируемости функции нескольких
переменных
◁ Дифференциал функции многих переменных
◁ Дифференциал отображения. Матрица Якоби
◁ Производная сложной функции
◁ Инвариантность формы первого дифференциала
◁ Свойства матрицы Якоби. Якобиан
◁ Геометрические приложения. Касательная плоскость
◁ Производная по направлению, градиент
19.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .259
19.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263
19.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267

◁ Дифференцирование функций нескольких переменных
◁ Градиент функции
20. Производные
и
дифференциалы
высших
порядков.
Формулы
Тейлора.
Экстремумы
функций
нескольких
переменных
269

20.1. Производные и дифференциалы высших порядков. . . . . . . . . . . . . . .269

◁ Производные высших порядков
◁ Дифференциалы высших порядков
◁ Второй дифференциал функции. Матрица Гессе ◁ Формулы Тейлора ◁ Экстремумы
функций нескольких переменных
◁ Достаточные условия экстремума
20.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .276

◁ Метод наименьших квадратов
20.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .282
20.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .283

Оглавление

21. Неявная функция
287
21.1. Формулировки теорем о неявной функции и системе неявных
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287
◁ Теорема о неявной функции, определенной уравнением 𝐹(𝑥, 𝑦) = 􏷟
◁ Теорема
о неявной функции, определенной уравнением 𝐹 􏿴𝑥􏷠, ..., 𝑥𝑛, 𝑦􏿷 = 􏷟
◁ Теорема
о системе неявных функций
21.2. Доказательство теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .290
◁ Доказательство теоремы 21.1
◁ Геометрическая иллюстрация к теореме 21.4
21.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294
21.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .296
22. Условный экстремум
299
22.1. Определение условного экстремума, метод множителей
Лагранжа, достаточные условия условного экстремума. . . . . . . . . . . .299
◁ Определение условного экстремума
◁ Необходимые условия условного
экстремума ◁ Метод множителей Лагранжа ◁ Достаточные условия экстремума.
Окаймленный гессиан
22.2. Доказательство теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .302
◁ Понятие независимости функций
22.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .306
22.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308
23. Определенный интеграл
309
23.1. Понятие площади плоской фигуры. Задача о вычислении площади
криволинейной трапеции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .309
◁ Площадь многоугольника
◁ Площадь плоской фигуры
◁ Разбиение отрезка. Интегральные суммы. Определение интеграла (по Риману)
◁ Необходимое
условие интегрируемости функции
◁ Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости
◁ Критерий интегрируемости функции ◁ Интегрируемость монотонной функции.
Интегрируемость непрерывной функции
23.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315
23.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324
23.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325
24. Свойства определенного интеграла и его вычисление
327
24.1. Свойства определенного интеграла и его вычисление
(формулировки) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .327
◁ Свойства определенного интеграла
◁ Теоремы о среднем значении
◁ Определенный интеграл с переменным верхним пределом
◁ Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона–Лейбница)
◁ Замена переменной
и интегрирование по частям в определенном интеграле
24.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331
◁ Основная формула интегрального исчисления (формула Ньютона–Лейбница)
24.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .339
24.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .340
25. Неопределенный
интеграл,
таблица
неопределенных
интегралов и правила интегрирования
343
25.1. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343
◁ Основные определения
◁ Таблица основных интегралов
◁ Правила
интегрирования
◁ Представления рациональных функций суммами простейших дробей
◁ Неопределенный интеграл от рациональной функции
◁ Ин
Оглавление
11

тегрирование выражений: 𝑅 􏿶𝑥,
𝑚
√

𝛼𝑥+𝛽
𝛾𝑥+𝛿 􏿹
◁ Интегрирование выражений вида:

𝑅 􏿵𝑥, √𝑎𝑥􏷡 + 𝑏𝑥 + 𝑐􏿸. Подстановки Эйлера
◁ Интегралы вида: ∫ 𝑅 (sin 𝑥, cos 𝑥) 𝑑𝑥

◁ Интегралы вида: ∫ sin 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥, ∫ sin 𝑎𝑥 sin 𝑏𝑥 𝑑𝑥, ∫ cos 𝑎𝑥 cos 𝑏𝑥 𝑑𝑥
25.2. Доказательство теорем. Тригонометрические подстановки.
Биномиальные дифференциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .349

◁ Доказательство теоремы ◁ Тригонометрические подстановки ◁ Интегрирование биномиальных дифференциалов
25.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353
25.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354
26. Приложения определенного интеграла
357
26.1. Приложения определенного интеграла к геометрическим и экономическим задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .357

◁ Площадь в полярных координатах ◁ Нахождение объема тела вращения ◁ Вычисление длины линии ◁ Площадь поверхности вращения ◁ Приложения определенного интеграла к задачам экономики
26.2. Доказательство теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362
26.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365
26.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .367

◁ Площадь в полярных координатах
◁ Объем тела вращения
◁ Длина кривой
◁ Приложение определенного интеграла к задачам экономики
27. Несобственные интегралы
373
27.1. Обобщение понятия площади плоской фигуры. Несобственный
интеграл с бесконечными пределами. Несобственный интеграл от
неограниченной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373

◁ Несобственный интеграл с бесконечным пределом
◁ Несобственный инте
грал от неограниченной функции
◁ Сходимость интегралов ∫
+∞

𝑎

𝑑𝑥
𝑥𝑝 , 𝑎 > 􏷟, ∫
􏷠

􏷟

𝑑𝑥
𝑥𝑝
◁ Признаки сравнения для несобственных интегралов от неотрицательных
функций
◁ Абсолютно сходящиеся и условно сходящиеся интегралы
◁ Главное
значение в смысле Коши
27.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .380
27.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382
27.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .383
28. Двойные интегралы
385
28.1. Двойной интеграл, его свойства и вычисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385

◁ Определение двойного интеграла
◁ Критерий интегрируемости
◁ Свойства
двойных интегралов ◁ Вычисление двойного интеграла сведением к повторному
интегралу
◁ Замена переменных в двойном интеграле
◁ Переход к полярным

координатам. Вычисление ∫
∞

􏷟
𝕖−𝑥􏷫𝑑𝑥

28.2. Доказательство теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392
28.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .397
28.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .398
29. Тройные интегралы
403
29.1. Тройные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .403

◁ Свойства тройных интегралов
◁ Переход к цилиндрическим координатам
◁ Переход к сферическим координатам

Оглавление

29.2. Вычисление двойных и тройных интегралов сведением
к гамма- и бета-функциям Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .406
◁ Гамма-функция
◁ Бета-функция
◁ Формула Стирлинга
29.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411
29.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .413
30. Собственные интегралы, зависящие от параметра
415
30.1. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра. Предельный
переход под знаком интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .415
◁ Дифференцирование под знаком интеграла. Правило Лейбница
◁ Интегрирование по параметру под знаком собственного интеграла
30.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .419
30.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423
30.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425
31. Интегралы в 𝑛-мерном пространстве
427
31.1. Определение и основные свойства интеграла в 𝑛-мерном
пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .427
◁ Определение интеграла в 𝑛-мерном пространстве
◁ Свойства интегралов в 𝑛мерном пространстве
31.2. Критерий существования кратного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .430
31.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431
32. Криволинейные и поверхностные интегралы
433
32.1. Криволинейные и поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .433
◁ Криволинейные интегралы первого рода ◁ Криволинейные интегралы второго
рода
◁ Формула Грина
◁ Независимость криволинейного интеграла от формы
пути интегрирования на плоскости ◁ Полный дифференциал ◁ Поверхностные
интегралы первого рода
◁ Поверхностные интегралы второго рода
◁ Поверхностный интеграл второго рода
◁ Формулы Стокса и Остроградского—Гаусса в ℝ􏷢
32.2. Доказательства теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .446
32.3. Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .449
32.4. Решение задач в Wolfram Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .451
Рекомендуемая литература
455
Предметный указатель
457

Введение

■
Зачем учить математический анализ?

Изучение математического анализа представляет собой непростую задачу для многих студентов. Сказываются недостаточная подготовка по математике в школе, отсутствие привычки к логическим рассуждениям и математическим доказательствам. Бытует мнение: «Зачем вообще нужны доказательства теорем? Не проще ли понятными словами объяснить готовые решения тех
задач, которые пригодятся на практике? Зачем вводить абстрактные определения, аксиомы и теоремы, от которых распухает голова?»
Дело в том, что математические методы, в том числе математические методы экономики, бурно развиваются, что связано с еще более бурным развитием компьютерных технологий. В свою очередь, развитие математических
методов способствует дальнейшему прогрессу компьютерных технологий.
Все больше и больше практических задач решается методами математического моделирования. Алгоритмы становятся все сложнее и основываются
на современных математических исследованиях, охватывающих многие отрасли математики, считавшиеся раньше сугубо теоретическими. Все большее количество математических фактов приобретают прикладное значение.
Таким образом, набор готовых рецептов для решения задач может оказаться
недостаточным и устаревшим через некоторое, возможно короткое, время.
Для чтения книг по математическим методам экономики уже сейчас требуются сведения не только из математического анализа, аналитической геометрии и линейной алгебры, но и из теории дифференциальных и разностных уравнений, вариационного исчисления, теории оптимального управления, линейного программирования, динамического программирования,
топологии... Самостоятельное изучение книг, посвященных современным
разделам математики, может оказаться непосильным трудом для человека, не освоившего основные математические курсы. Как правило, эти книги
написаны профессионалами–математиками для будущих профессионалов–
математиков. То, что их будут пробовать читать неподготовленные (хотя,
возможно, весьма хорошо подготовленные в своей отрасли, но не в математике) читатели, авторами книг обычно не учитывается.
Одна из важных целей предлагаемой вашему вниманию книги — дать
вам, уважаемый читатель, необходимые знания и навыки не только для
успешного применения полученных математических инструментов для экономических исследований, но и для самостоятельного пополнения и совершенствования этих инструментов.

Математический анализ и инструментальные методы решения задач

Отметим при этом, что доказательства важных теорем, приведенные
в книге, часто представляют собой абстрактную схему решения тех задач, ради которых теория создавалась и развивалась. Кроме того, язык математики
формировался в течение длительного времени в процессе решения задач,
имеющих важное прикладное значение в различных областях. Часто эти решения представляли собой весьма нетривиальные логические построения,
и додуматься до них было очень непросто.
Разумеется, полученные решения задач относились к математическим
моделям исследуемой ситуации. Всякая модель может лишь приблизительно соответствовать реальной ситуации. Насколько точно предложенная модель отображает ситуацию – вопрос, ответить на который может лишь специалист в предметной области. Есть два полярных мнения. Одно из них —
математика может все! Бытующее противоположное мнение отметил в одной из своих книг академик В.И.Арнольд, цитируя Гете: «Математики, как
французы, переводят все на свой язык и получается совсем не то...». Как обычно,
истина находится где-то между этими полюсами. По-видимому, отличные
плоды должен принести союз глубоких профессиональных знаний и умения
использовать в работе математические методы и инструменты. Еще раз напомним, что основная цель этой книги — помочь вам, уважаемый читатель,
научиться пользоваться этими методами и инструментами.
Кроме того, изучение доказательств прививает полезную привычку
к строгости в рассуждениях. Думать, что математические методы состоят
в том, чтобы выразить формулами то, что и так интуитивно ясно, не стоит!
В качестве примера приведем «интуитивно ясное» доказательство того,
что √2 = 2. Попробуйте сами найти в нем ошибку!
Рассмотрим прямоугольный треугольник со стороной, равной 1:

1) гипотенуза данного треугольника, по теореме Пифагора, равна √2;

2) cумма катетов равна 𝐿􏷠 = 2, наиболее удаленной от гипотенузы точкой
является вершина прямого угла, и ее расстояние от гипотенузы равно
𝑟􏷠 = √2/2;

3) проведем из середины гипотенузы перпендикуляры к катетам и рассмотрим два получившихся прямоугольных треугольника, катеты которых
равны 1/2;

4) сумма длин этих катетов 𝐿􏷡 снова равна 2. Наибольшее расстояние точек
полученной из этих четырех катетов ломаной линии до гипотенузы равно 𝑟􏷡 = √2/2􏷡;

5) продолжая этот процесс, на 𝑛-м шаге получим 𝐿𝑛 = 2, 𝑟𝑛 = √2/2𝑛;

6) мы видим, что 𝑟𝑛 → 0 при 𝑛 → ∞ , что означает, что построенные ломаные стремятся к гипотенузе, а значит, их длины стремятся к длине гипотенузы;

7) но lim𝑛→∞ 𝐿𝑛 = 2, а значит, √2 = 2, как и утверждалось...
Приведенный пример помещен здесь отнюдь не с целью окончательно
подорвать вашу веру в математические методы. Хотелось просто показать,
как «очевидные», но неквалифицированные рассуждения приводят к «великим открытиям» и убедить вас в необходимости логической строгости. Что

Введение
15

касается приведенного примера, объяснение того, в чем кроется обман, можно найти в главе 26 на с. 357, посвященной приложениям интегрального исчисления. Кроме того, приведенный пример, кроме обмана, содержит в себе
элементы функционального анализа и теории фракталов, о чем также будет
упомянуто впоследствии.

■
Элементы математической логики. Немного о теоремах и определениях

Этот параграф посвящен особенностям математических рассуждений.
Он помещен здесь потому, что некоторые математические определения,
теоремы и использованные при их доказательстве рассуждения иногда вызывают недоумение у читателя, далекого от математики.
Различные математические теории имеют в своей структуре много общих черт. Как правило, за основу берутся некоторые первичные абстрактные объекты, например точка, прямая, натуральное число и т.п. Эти объекты обладают некоторыми очевидными свойствами, которые формулируются в виде аксиом. Затем вводятся новые определения, относящиеся к объектам исследования математической теории, формулируются правила вывода, с помощью которых из аксиом выводятся теоремы. Основные теоремы
теории как раз и относятся к полному или хотя бы частичному решению
задачи, вызвавшей возникновение самой этой теории. Описанная схема, разумеется, не претендует на полноту и приведена здесь лишь для того, чтобы
объяснить необходимость знакомства с простейшими понятиями математической логики, с помощью которых строятся математические теории.
Рассмотрим высказывания, относительно которых предположим, что
каждое из них либо истинное, либо ложное, но не может одновременно быть
и истинным, и ложным. Содержание высказывания и его структура находятся вне наших рассмотрений, т.е. мы рассматриваем высказывание как величину, которая может принимать значение «истина» или значение «ложь».
С этой точки зрения высказывание «число 2 больше, чем число 1» может
быть заменено символом «истина», а высказывание «топор хорошо плавает
в воде» может быть заменено символом «ложь». В этом пункте мы изображаем высказывания прописными латинскими буквами A, B, C и т.д., а значения высказываний — буквами И и Л. В обычной речи используются связки между высказываниями: «и», «или», «если... , то» и т.п. Эти связки, соединяя исходные высказывания, позволяют образовывать новые высказывания.
Определим операции над высказываниями, позволяющие из данных высказываний получать новые. По существу, эти операции выражают упомянутые
выше связки.
Пусть даны высказывания 𝐴, 𝐵.

Определение 0.1. Конъюнкцией 𝐴 ∧ 𝐵 этих высказываний называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба эти высказывания. Эта операция соответствует связке «и» в обычной речи.
Конъюнкцию иногда обозначают так: 𝐴&𝐵.

Определение 0.2. Дизъюнкцией 𝐴 ∨ 𝐵 этих высказываний называется высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из
этих высказываний. Эта операция соответствует связке «или» в обычной речи.

Математический анализ и инструментальные методы решения задач

Следует отметить, что это «или» не имеет разделительного характера. Если
оба высказывания истинны, то их дизъюнкция тоже истинна.

Определение 0.3. Импликацией 𝐴 ⇒ 𝐵 этих высказываний называется высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание 𝐴, называемое
посылкой, истинно, а высказывание 𝐵, называемое следствием, или заключением,
ложно. В обычной речи импликация соответствует связке «если... , то... ».

Многие теоремы выражаются с помощью этой операции, при этом 𝐴
также называют условием теоремы, 𝐵 — ее заключением. Отметим, что если посылка является ложной, то импликация истинна как в случае, когда
следствие истинно, так и в случае, когда следствие ложно. Это свойство импликации часто вызывает недоумение. В обычной речи иногда подразумевается, что если высказывание 𝐴 ложное, то высказывание: если 𝐴, то 𝐵 —
бессмысленное. Почему же в математике так не считают? Ответ можно дать
такой. Предположим, что доказана теорема: если выполнено условие 𝐴, то
выполняется заключение 𝐵. Из этой теоремы следует, что если 𝐴 истинное,
то и 𝐵 истинное. А что же будет, если 𝐴 ложное? Можно ли сказать, что теорема: если 𝐴, то 𝐵 неверна? Здравый смысл подсказывает: теорема верна, но
просто неприменима в данном случае, так как ее условие не выполнено и она
не дает определенного ответа.
Другой пример: в приложениях теории чисел, например к криптографии, часто встречаются такие результаты: при условии, что верна гипотеза
Римана (формулировать ее мы не станем, отметим только, что это одна из
важнейших открытых проблем в математике), то скорость работы исследуемого алгоритма не менее, чем некоторая величина. Результаты такого рода
очень важны, невзирая на их условный характер.
Еще одно замечание об импликации. В употребляемом в обычной речи
понятии следования подразумевается, что следствие как-то связано с посылкой. Поэтому утверждение: «если число 2 делит число 4, то Москва — столица России» выглядит в обычной речи абсурдным. Почему же это утверждение истинно во введенном нами понимании импликации? Дело в том,
что оба высказывания: «число 2 делит число 4» и «Москва — столица России»
истинные и, по определению импликации, она истинна. Иными словами, во
введенных нами операциях существенны не содержания включенных в операции высказываний, а только их истинность.

Определение 0.4. Эквиваленцией 𝐴 ⇔ 𝐵 высказываний называется высказывание,
которое истинно тогда и только тогда, когда либо высказывания 𝐴 и 𝐵 одновременно истинны, либо оба они одновременно ложны. В обычной речи эквиваленция
соответствует связке: «тогда и только тогда, когда...».

Стоит отметить, что эквиваленция истинна тогда и только тогда, когда
истинны обе импликации: 𝐴 ⇒ 𝐵 и 𝐵 ⇒ 𝐴. Иными словами, эквиваленция
означает логическую равносильность утверждений и ей выражаются критерии, т.е. необходимые и достаточные условия.

Определение 0.5. Отрицание 𝐴 высказывания 𝐴 истинно тогда и только тогда,
когда высказывание 𝐴 — ложно. В обычной речи отрицание означает: «неверно,
что 𝐴».

Введение
17

Разумеется, в математических исследованиях часто случается так, что одно и то же высказывание, содержащее переменную величину, истинно при
одних значениях этой переменной и ложно при других ее значениях. Например, высказывание 𝑥 > 1 истинно, если 𝑥 = 4, и ложно, если 𝑥 = 0.

Определение 0.6. Высказывания, истинность которых зависит от переменных
величин, принято называть предикатами .

Пусть 𝑃(𝑥) — предикат, истинность которого зависит от переменной 𝑥.
Многие теоремы имеют такую структуру: для любого значения переменной
𝑥 выполняется свойство 𝑃(𝑥). Для краткой записи этого утверждения удобно
применять квантор всеобщности — ∀, с использованием которого получим:
∀𝑥 𝑃(𝑥).
Часто встречаются теоремы, которые утверждают, что существует значение переменной 𝑥, для которого выполняется свойство 𝑃(𝑥). Для краткой записи этого утверждения удобно использовать квантор существования — ∃,
с использованием которого получим: ∃𝑥 𝑃(𝑥).
В книге вам встретятся утверждения о том, что высказывание вида ∀𝑥 𝑃(𝑥)
является неверным. Это означает, что существует хотя бы одно значение переменной 𝑥, для которого не выполняется свойство 𝑃(𝑥). С использованием
введенных символов это можно записать так:

∀𝑥 𝑃(𝑥) ⟺ ∃𝑥 𝑃(𝑥).

Если же мы утверждаем, что неверным является высказывание ∃𝑥 𝑃(𝑥), то
это означает, что для всех 𝑥 свойство 𝑃(𝑥) не выполняется. С использованием
введенных символов это можно записать так:

∃𝑥 𝑃(𝑥) ⟺ ∀𝑥 𝑃(𝑥).

Как отмечалось выше, аксиомы теории принимаются без доказательства,
и из них выводятся теоремы. Во всякой теореме есть две части: условие и
заключение, каждое из них может иногда состоять из нескольких отдельных
частей. Пусть теорема имеет вид:

Теорема 0.1

Если 𝐴, то 𝐵.

Определение 0.7. Обратной теоремой к теореме 0.1 (с. 17) называется такая,
в которой условием является заключение исходной теоремы, а заключением обратной теоремы является условие к теореме 0.1 (с. 17).
Обратная теорема имеет вид: если 𝐵, то 𝐴.

Определение 0.8. Если одновременно справедливы и прямая, и обратная теоремы,
то говорят, что найдены необходимые и достаточные условия, или критерий.

Определение 0.9. Теоремой, противоположной к теореме 0.1 (с. 17), называется
такая теорема, в которой условие и заключение представляют собой отрицание
условия и заключения данной теоремы. Противоположная теорема имеет вид: если не выполняется 𝐴, то не выполняется и 𝐵.

Математический анализ и инструментальные методы решения задач

Определение 0.10. Теоремой, противоположной к обратной для теоремы 0.1
(с. 17), называется такая теорема, в которой условие и заключение представляют собой, соответственно, отрицание заключения и отрицание условия данной
теоремы. Противоположная к обратной имеет вид: если не выполняется 𝐵, то не
выполняется и 𝐴.

Кроме прямого доказательства теоремы часто используется доказательство способом от противного, основанное на том, что утверждения: «если 𝐴,
то 𝐵» и «если не 𝐵, то не 𝐴» логически равносильны. Действительно, из предложения: «если 𝐴, то 𝐵» непосредственно следует, что: «если не 𝐵, то не 𝐴»
(так как если было бы 𝐴, то, по первому предложению, было бы и 𝐵). Обратно, из предложения: «если не 𝐵, то не 𝐴» выводим: «если 𝐴, то 𝐵» (так как если
бы не было 𝐵, то не было бы и 𝐴). Таким образом, прямая теорема и теорема,
противоположная обратной теореме, логически эквивалентны. То же самое
можно сказать и об обратной и противоположной теоремах.
В книге можно встретить замечания о том, что условие какой-то теоремы является существенным. Это означает, что без этого условия заключение
теоремы верно не всегда (как правило, приводится соответствующий контрпример), но это отнюдь не означает, что при невыполнении этого условия
заключение теоремы всегда неверное.
Отметим еще один проверенный и надежный источник ошибок. Он состоит в том, что словам, использованным для определения какого-либо
математического объекта, приписывается смысл, присущий этим словам
в обычной речи. Например, часто важному математическому понятию «предел» приписывается несвойственное ему качество недостижимости, связанное с фразой «предел мечтаний». Не меньшее удивление иногда вызывает
теорема: «если ряд абсолютно сходится, то он сходится». Казалось бы, о чем
тут еще говорить, и так ясно сказано — сходится, да еще абсолютно! Дело
в том, что оба термина: «сходящийся ряд» и «абсолютно сходящийся ряд» имеют свои определения, не зависящие друг от друга. То, что для этих понятий
использованы похожие слова, разумеется, имеет смысл, но трактовать требование абсолютной сходимости ряда как усиление требования сходимости
ряда можно именно ввиду сформулированной теоремы.
Надеемся, что приведенная выше информация поможет вам, уважаемый
читатель, успешно освоить излагаемый далее курс.
Немного о структуре книги. Она состоит из глав, которые разбиты на параграфы, соответствующие лекциям, которые, в свою очередь, разбиты на
пункты. В первом параграфе каждой главы содержится базовый материал.
Второй параграф содержит материал для более глубокого изучения. В третьем параграфе приведены примеры решения типовых задач. В четвертом
параграфе разъясняется, как использовать компьютерные программы для
необходимых вычислений и визуализации курса.
Удачи вам!

Глава 1.
Множества и отображения

1.1.
Множества и операции над ними. Отображения множеств

■
Понятие множества

Понятия множества и его элемента относятся к числу первичных понятий математики.
Георг Кантор описал понятие множества как «объединения в одно целое объектов, хорошо различаемых нашей интуицией или нашей мыслью».

Определение 1.1. Мы будем говорить, что задано некоторое множество 𝐴 объектов, если указан признак, который позволяет относительно каждого объекта
𝑥 сказать, принадлежит ли он множеству 𝐴 или нет.

Элементы множеств будем записывать строчными латинскими буквами,
сами множества – прописными. Обозначение 𝑎 ∈ 𝐴 используется как запись
утверждения: 𝑎 есть элемент множества 𝐴 или: 𝑎 принадлежит 𝐴.
Аналогично, обозначение 𝑎 ∉ 𝐴 используется как запись утверждения:
𝑎 не является элементом множества 𝐴 или: 𝑎 не принадлежит 𝐴.

Определение 1.2. Множество, не имеющее элементов, называется пустым и обозначается ∅.

Укажем ряд способов задания множеств.
Во-первых, можно просто перечислить все элементы множества, если этих элементов — конечное число, т.е. если множество конечное. Для
произвольного конечного множества, состоящего из различных элементов
𝑎􏷠, ..., 𝑎𝑚, используется обозначение {𝑎􏷠, ..., 𝑎𝑚}. В этом обозначении множества
элементы 𝑎􏷠, ..., 𝑎𝑚 должны быть различными, однако они могут быть перечислены в произвольном порядке, например {1, 2, 3, 4} и {2, 1, 3, 4} — различные обозначения одного и того же множества.
Можно указать свойство, которому удовлетворяют элементы рассматриваемого множества. Например множество положительных действительных
чисел. Обозначим его {𝑥 | 𝑥 > 0}, где символ «|» означает «таких, что».
Некоторые множества определяются с помощью указания способа последовательного построения его элементов. Например:

{𝑥 | 𝑥􏷠 = 1, 𝑥𝑛+􏷠 = 2𝑥𝑛}.

Новые множества можно получать и в результате операций над заданными множествами.

Доступ онлайн
776 ₽
В корзину