Численные методы в математическом моделировании


Прикладная математика, ~ инфарматика, информационные технологии


Министерство образования и науки РФ Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Факультет вычислительной математики и кибернетики


Н.П. САВЕНКОВА, О.Г. ПРОВОРОВА, А.Ю. МОКИН


ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Второе издание, исправленное и дополненное

Допущено УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 01.03.04 «Прикладная математика» и 02.03.02 «Фундаментальная информатика
и информационные технологии»


znanium.com

Москва АРГАМАК-МЕДИА ИНФРА-М 2019

УДК 519.61(075)
ББК 22.192.3я73
С13

   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Печатается по решению Редакционно-издательского совета факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В. Ломоносова

Рецензенты:
Р.Н. Кузьмин, академик РАЕН, профессор МГУ им. М.В. Ломоносова; А.В. Гулин, профессор МГУ им. М.В. Ломоносова


           Савенкова Н.П., Проворова О.Г., Мокин А.Ю.
О64 Численные методы в математическом моделировании: Учеб. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: АРГАМАК-МЕДИА: ИНФРА-М, 2019. — 176 с. — (Прикладная математика, информатика, информационные технологии).
           ISBN 978-5-00024-019-9 (АРГАМАК-МЕДИА)
           ISBN 978-5-16-009705-3 (ИНФРА-М, print)
           ISBN 978-5-16-101124-9 (ИНФРА-М, online)
           В учебном пособии рассматриваются основы математического моделирования, акцентируется внимание на научном подходе к выбору математического моделирования. Обсуждаются вопросы построения алгоритма вычисления, учитывающего особенности операторов, входящих в алгоритм и их зависимость от ошибок округления. Приводятся сопоставления различных численных методов, предназначенных для решения одной и той же задачи, обсуждаются возможности применения тех или иных численных методов в зависимости от особенностей постановки математической модели. Приводятся наглядные примеры, иллюстрирующие теоретический материал.
           Предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 01.03.04 «Прикладная математика» и 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии».

ISBN 978-5-00024-019-9 (АРГАМАК-МЕДИА)                          ББК 22.1я73
ISBN 978-5-16-009705-3 (ИНФРА-М, print)            © Коллектив авторов, 2014
ISBN 978-5-16-101124-9 (ИНФРА-М, online)           © АРГАМАК-МЕДИА, 2014


Подписано в печать 25.02.2014.
Формат 60x90/16. Гарнитура Newton. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 11,0. Уч.-изд. л. 12,07. ПТ10.
ТК 465950-13052-250214
ООО «АРГАМАК-МЕДИА»
105043, г. Москва, Измайловский б-р, д. 14/36, корп. 1
Тел./факс: (499) 163 27 18, 363 42 70, доб. 3-86 E-mail: argamak@infra-m.ru

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127282, Москва, ул. Полярная, 31В, стр. 1
Тел.: (495) 380-05-40, 380-05-43. Факс: (495) 363-92-12
E-mail: books@infra-m.ru http://www.infra-m.ru

                Оглавление





Предисловие                                        5

Введение                                           7

§ 1. Математическое моделирование случайнвтх процессов в предположении равновозможности различнвтх исходов                                 9

§ 2. Моделирование процессов на основе аппарата математической статистики                          13

§ 3. Обвткновеннвте дифференциалвнвте уравнения и их приложение к анализу динамических систем.
Прямые методы решения ОДУ                          24

§ 4. ОДУ и их приложение к анализу динамических систем. Классификация численнвтх методов
решения задачи Коши                                41

§ 5. ОДУ и их приложение к анализу динамических систем. Численнвте методы решения задачи Коши      50

§ 6. Анализ устойчивости динамического процесса    64

§ 7. Исследование устойчивости
динамического процесса методами Ляпунова           77

§ 8. Анализ поведения динамических систем
на фазовой плоскости (качественное исследование устойчивости по Ляпунову)                         85


3

§ 9. Алгебраическая проблема собственных значений 116

§10.  Диссипативные и консервативнвте динамические системы                                 126

§11.  Нелинейнвте отображения.
Понятие теории бифуркации                            138

§12.  Пространственно однороднвте и пространственно неоднороднвте математические модели                  146

§ 13. Вариационнвте и классические математические постановки физических задач                         154

§ 14. Математическое моделирование
неформализуемых процессов                           162

Список литературвт                                  175


4

                Предисловие





   Учебное пособие написано на основе годового курса лекций, который в течение ряда лет читался Н.П. Савенковой студентам 3, 4-х курсов факультета ВМК МГУ им. М. В. Ломоносова на кафедре вычислительных методов. Пособие является вторым изданием, исправленным и дополненным, книги Савенковой Н. П. и Мокина А.Ю. "Численные методы в математическом моделировании" (Москва, 2007). Новое издание дополнено наглядными математическими моделями, иллюстрирующими изучаемый материал, и упражнениями для самостоятельной работы студентов.
   Настоящее пособие опирается на полученные студентами базовые знания в области высшей математики и демонстрирует, где и как их следует применять при математическом моделировании. Основная цель курса - показать, что имеющиеся у студента знания должны быть активно использованы и, конечно, пополнены и развиты далее в ходе выполнения предлагаемой каждому из них научно-исследовательской работы на кафедре. Кроме того, пособие поможет переориентировать ещё ученическое мышление студента на творческий подход к процессу математического моделирования при выполнении курсовых, практических и дипломных работ.
   Опираясь на освоенный студентами материал на первых годах обучения, данное пособие демонстрирует студентам современную точку зрения на математическое моделирование как на основной инструмент исследования сложных нелинейных нестационарных процессов различных областей естествознания. Доказательства приводимых в пособии теорем специально опущены, чтобы не уводить внимание читателей от основной цели - грамотного применения теоретического материала к математическому моделированию (доказательства теорем можно восстановить по книгам, предложенным в списке литературы). В пособии приводится определение современного понятия математического моделирования, введённое академиком А.А. Самарским, перечисляются различные актуальные

5

проблемы математического моделирования, делается упор на необходимость научного подхода к математическому моделированию как в формализованных, так и в слабо формализованных процессах. Демонстрируются принципы выбора математического аппарата при математическом моделировании тех или иных процессов, прививаются навыки осознанного выбора численного метода для решения конкретных постановок отдельных математических моделей и методов анализа полученных результатов численного решения задач. В пособии используются достаточно простые, но наглядные примеры, поясняющие теоретический материал.
   Авторы выражают глубокую благодарность заслуженному профессору МГУ им. М. В. Ломоносова А. В. Гулину за прочтение материала и ценные замечания.

6

                Введение




   Исследование динамики протекания нестационарных процессов живой и неживой природы имеет много общего. Прошлое, настоящее и будущее любого процесса тесно взаимосвязаны. Прошлое имеет свойство накапливатвся в виде опыта, включающего познание господствующих в мире закономерностей (или способов приспоспосабления к этим закономерностям в том или в ином виде) и причинных связей. Будущее проявляется в настоящем в виде целей, которые обусловливают последующий алгоритм их достижения на основе выявленных благодаря прошлому закономерностей. Цели достигаются за разное время (от долей секунды до десятков и более лет) или не достигаются вообще. Исследовав причинно-следственные связи, люди учатся вырабатывать стратегии достижения желаемого в будущем, разрабатывают методы научного прогнозирования.
   Сегодня известно более двухсот методов научного прогнозирования, которые разбиваются на две группы.
  1. Методы для формализуемых процессов (т. е. процессов, которые можно достаточно точно описать на языке современной математики).
  2. Экспертные методы прогнозирования для процессов, не поддающихся формализации, которые требуют привлечения экспертов по изучаемой проблеме.
Нас будут интересовать методы первой группы.
   Окружающий нас мир состоит из взаимодействующих объектов живой и неживой природы и является динамической системой, охваченной громадным количеством прямых и обратных связей. Будущее любой системы связано с прошлым и настоящим системы причинно-следственными связями трёх видов:
1) жёстко детерминированные (предсказывают или определяют ситуацию будущего однозначно);
2) вероятностные (определяют статистически предсказуемые ситуации);

7

3) чисто случайные (фактически непредсказуемые ситуации). Доля связей 3-го типа мала, по сравнению с 1-м и 2-м типами. А проявление первых двух типов связей в реальных ситуациях от случая к случаю меняется с вероятноствю от нуля до единицы.
   Универсалвноств математического моделирования процессов различной природы основывается на универсалвности самого математического аппарата. Возможности же математического аппарата базируются на методах решения, разрабо-таннв1х алгеброй, математическим анализом, теорией вероятностей, математической статистикой, теориями обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, теориями численных методов и теорией разностных методов, т. е. фактически на всём объёме современных математических знаний.
   В дальнейшем под математическим моделированием процесса мы будем подразумевать [1; 2]: 1) постановку задачи (выделение достоверной гипотезы); 2) математическую постановку задачи (определение пространства моделирования, естественно-физического или виртуального, математических соотношений или уравнений); 3) численный эксперимент; 4) верификацию модели; 5) внесение изменений в модель.
   При этом сама математическая модель должна быть адекватна изучаемому явлению, т. е. в ней должны быть правильно переданы существенные стороны явления, а несущественные -отброшены. И только сравнение результатов, полученных при помощи математической модели, с результатами эксперимента могут показать, насколько удачно введена математическая модель, т. е. удачно ли выбран математический аппарат для описания изучаемого явления, сильные и слабые стороны математической модели.
   Изучение численных методов математического моделирования начнём с рассмотрения возможностей, которые предоставляет для математического моделирования теория вероятностей.

8

                § 1. Математическое моделирование случайных процессов в предположении равновозможности различных исходов




   Вероятностные методы прогнозирования (гадание на монетке по результату “орёл-решка” для ответа на вопрос типа “да-нет”) использовались с давних времён. Их поддерживала астрология (одна из древнейших наук мира). Современная теория вероятностей подтверждает, что этот метод прогнозирования для определённого класса задач является достаточно точным. Например, при вычислении площади круга, изображенного на поверхности, бросают с высоты нескольких метров в круг монету и подсчитывают число попаданий в круг N. Тогда величина a²N/M, где M - общее число экспериментов, a - сторона квадрата, описывающего круг, даёт приближенное значение площади круга, причём чем больше значение M, тем ближе вычисленная таким образом площадь круга к известной нам величине nR².
   Итак, рассмотрим математические модели случайных явлений. Введём множество Q элементарных исходов эксперимента и назовём его пространством элементарных событий [3]. Тем самым мы введём пространство, в котором будет осуществляться математическое моделирование. Элементы x Е Q называются элементарными событиями. Покажем на примере, как можно выбрать пространство элементарных событий.
   Пример 1. Подбрасывание монеты один раз
   Возможны различные исходы этого эксперимента: выпал герб, выпала решётка, монета встала на ребро, монета укатилась и т. д. С монетой могут произойти исключающие друг друга события. Но при достаточно адекватном математическом описании опыта мы выбираем только два наиболее существенных исхода : xi - “выпадение герба” и Х2 - “выпадение решетки”.
   Пример 2. Стрельба по плоской мишени
   Пусть в плоской мишени введена прямоугольная система координат XOY. Каждому исходу опыта (результата стрель

9

бы) поставим в соответствие точку плоскости с координатами (х,у). Тогда Q = {(х, у) : (x, y) G M}, где M - множество точек мишени. Например, если мишенв - единичный круг с центром в начале координат, то (х, y) G M, если х² + у² < 1. Если мишенв - квадрат со стороной длины 1 с вершиной в начале координат, лежащий в первом квадранте координатной плоскости, то точка (х, у) G M, если 0 < х < 1 и 0 < у < 1 одновременно.
   Напомним, что случайным событием или просто событием называется любое подмножество множества Q. Если Q конечно или счётно, то Q = Х1, Х₂,..., XN и ли Q = X-1 ,X₂, ...,Xn ,..., где Xi - элементарное событие.
   В теории вероятностей для двух событий A и B вводятся операции суммы A+B (A |J B) - это событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих событию A или B, т. е. в реальном опыте должно произойти одно из событий A или B; произведения AB (AQB) - это событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих одновременно и A, и B, т. е. в реальном опыте событие AB происходит тогда и только тогда, когда происходят оба события A и B одновременно; разности событий A \ B— это событие, состоящее из элементарных событий A, не принадлежащих B, т. е. событие A \ B состоит в том, что A произошло, но B не произошло.
   Напомним также, что событие Q называется достоверным. Пустое множество 0 называется невозможным событием. Событие A = Q — A называется противоположным событию A и означает, что A не произошло.
   Приступим теперь к построению простейших математических моделей случайных явлений согласно введённой выше схеме. Пусть U - класс подмножеств множества Q.
   Числовая функция P, определённая на классе событий U, называется вероятностью, если для неё выполняются следующие пять аксиом [3].
   Al. U является алгеброй событий (т. е. Q G U и VA G U и B G UAB G U : A + B G U, A \ B G U откуда следует, что 0 = Q \ Q G U).

10

   А2. P(A) > 0 для любого A G U.
   A3. P(Q) = 1.
   A4. Если A и B несовместны (AB = 0), to P(A + B) = P (A) + P (B).
   A5. Для убывающей последователвности событий из U, в случае бесконечной последователвности событий, A₁ D A2 D ... D An D ..., такой, что

      ОО
      (| Ai = 0, имеет место равенство lim P (An) = 0. п^ж i=1

Следствие. Из АЗ и А4 ясно, что если события A₁,...,An попарно несовместны и


Ж A = (J Ai, i=1

ТО ж
P (A) = Е P (Ai).

Пусть Q = {x₁,x₂, ...,xₙ} - пространство элементарных событий, тогда алгебра событий U содержит 2n подмножеств A = {xi1,..., xᵢK }, K = 1,2,..., n множества Q.
   Введём классическое определение вероятности: P(xi) = 1/N, i = 1,...,N. Из него видно, что вероятность события A, согласно следствию, равна P(A) =| A | / | Q | = K/N, где в числителе стоит мощность (размерность) множества А, а в знаменателе - мощность множества Q.
   Определённая таким образом функция Р(А) удовлетворяет аксиомам А1-А5 и поэтому является вероятностью.
   Классическое определение вероятности служит хорошей математической моделью тех случайных процессов, для которых верно предположение о равновозможности различных исходов. Такие требования предъявляются к организации лотерей, к изготовлению игральных костей и карт, к организации

П

выборочного контроля и статистических исследований. В качестве примера рассмотрим две математические модели опыта. когда подбрасывают две одинаковые монеты. Наша целв -предсказатв, какое из событий наиболее вероятно.
   Модель 1. Пусть Q = {xi, x₂, x₃}, где элементарное событие xi означает, что обе монетьi выпали гербами вверх, х₂ - обе монеты выпали решётками вверх, хз - монеты выпали разными сторонами. Будем считать элементарные события равновероятными. Тогда вероятность события A = {xi,x₂}, заключающегося в том, что монеты выпали одинаковыми сторонами, равна Pi (A) =2/3.
   Модель 2. Пусть Q = {ГГ,ГР,РГ,РР}, где знак Г на любом месте в обозначении элементарного события показывает, что на одной из монет выпал герб (аналогично Р - выпала решётка). Считая элементарные события равновероятными, для события A = {ГГ,РР}, аналогичного по содержанию событию из первой модели, получим значение вероятности P₂(A) = 2/4 = 1/2.
   Таким образом, в моделях 1 и 2, отличающихся своими рабочими гипотезами, получены две разные вероятности одного и того же события. Возникает вопрос: какая из моделей вернее? Ответ может быть получен только путём верификации модели. Для этого надо просто подбросить пару монет N раз, где N - достаточно велико. И пусть событие A произойдёт K раз. Если частота K/N будет близка к 2/3, то лучшей будет считаться модель 1, если же частота будет близка к 1/2, -модель 2. Если же частота будет сильно отличаться от обоих значений, то скорее всего обе рабочие гипотезы ошибочны.

   Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте определение математического моделирования.

  2. Какие вопросы математического прогнозирования решаются при помощи аппарата теории вероятностей?


12