Высшая математика

ВЫСШАЯ

МАТЕМАТИКА

Рекомендовано

Научно-методическим cоветом по математике 

Министерства образования и науки РФ 

в качестве учебника для студентов 

высших учебных заведений, обучающихся 

по инженерно-техническим и экономическим

специальностям

Москва
РИОР

ИНФРА-М

Л.Т. ЯЧМЕНЁВ

УЧЕБНИК

УДК  330.115(075.8)
ББК 22.11я73
 
 Я95

Ячменёв Л.Т. 

Высшая математика : учебник / Л.Т. Ячменёв. — Москва : 

РИОР : ИНФРА-М, 2020. — 752 с. — (Высшее образование: 
Бакалавриат). — DOI: https://doi.org/10.12737/8181

ISBN 978-5-369-01032-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-005400-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102959-6 (ИНФРА-М, online)

В учебнике представлена фундаментальная часть высшей математи
ки для изучения специалистами инженерно-технических и экономических специальностей и направлений подготовки.

Книга будет полезна студентам вузов в их самостоятельной работе 

по высшей математике, а также преподавателям, ведущим лекционные и практические занятия.

Я95

© Ячменёв Л.Т.

ISBN 978-5-369-01032-7 (РИОР)
ISBN 978-5-16-005400-1 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102959-6 (ИНФРА-М, online)

Подписано в печать 12.07.2017. 

Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 

Усл. печ. л. 47,0. Уч.-изд. л. 45,39. 

Тираж 3000 экз.

ТК 172000 - 918472 - 120717

ООО «Издательский Центр РИОР»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В.

Тел.: (495) 280-38-67. Факс: (495) 280-36-29.
E-mail: info@riorр.ru    http://www.riorpub.com

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1.
Тел.: (495) 280-15-96. Факс: (495) 280-36-29.

E-mail: books@infra-m.ru     

http://www.infra-m.ru

А в т о р
:

Ячменёв Леонид Тимофеевич — канд. техн. наук, профессор кафедры высшей 
математики РЭУ им. Г.В. Плеханова

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра высшей математики МГУИЭ (и.о. зав. кафедрой — канд. физ.-мат. 
наук, доцент Б.Г. Бочков); 
и.о. зав. кафедрой прикладной математики ГУУ, канд. экон. наук Л.А. Константинова

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

УДК 330.115(075.8)
ББК 22.11я73

ПРЕДИСЛОВИЕ

В современной науке и технике математические методы исследования и моделирования играют все большую роль. Использование 
компьютеров и пакетов прикладных программ расширяет возможности применения математических методов при решении задач как 
в области техники, так и в области экономики.
Быстрые темпы развития науки и техники, непрерывное и динамичное совершенствование технологических процессов, появление 
новых отраслей знания делают невозможной подготовку специалистов, имеющих готовые рецепты для решения новых задач, с которыми им придется столкнуться в практической или исследовательской 
работе. Для успешной работы нужно постоянно совершенствовать 
свои знания, приобретать новые умения и навыки. Это придает особую значимость математической подготовке студентов. Тот, кто владеет основами математических знаний, сможет разобраться в специальной литературе, использующей математический аппарат, и найти 
ответы на интересующие его вопросы, с тем чтобы выработать подход к решению стоящей перед ним задачи.
Настоящий учебник разработан на основе многолетнего опыта 
работы автора на инженерно-экономическом факультете Российского экономического университета им. Г.В. Плеханова. Высшая 
математика на этом факультете является одной из профилирующих 
дисциплин и включает фундаментальную и прикладную части.
Фундаментальная часть содержит следующие разделы: аналитическая геометрия, линейная алгебра, дифференциальное исчисление, 
интегральное исчисление, дифференциальные уравнения, ряды. Эти 
разделы студенты изучают на первом курсе.
К прикладной части относятся ряды Фурье, численные методы 
анализа, линейное программирование, теория вероятностей, математическая статистика. Эти разделы студенты  изучают в третьем, 
четвертом и пятом семестрах.
В данном учебнике представлена фундаментальная часть высшей 
математики. Прикладная часть требует отдельного рассмотрения.
Усвоение материала фундаментальной части является необходимым условием для изучения прикладной части математики и специальных дисциплин. Однако этот материал наиболее труден для студентов. Его усвоение возможно лишь при их  систематической самостоятельной работе по математике. Кроме того, студентам трудно 
сразу переключиться со школьных методов и требований на вузовские.

Была поставлена цель — разработать учебник, который бы в наибольшей степени соответствовал программе подготовки инженераэкономиста, с тем чтобы помочь студентам в их самостоятельной 
работе по математике. При этом ставилась задача изложить мате риал 
в строгой логической последовательности с доказательствами важнейших положений теории и их разъяснением с помощью подробно 
решенных примеров и задач, чтобы студент смог разобраться в содержании определений и теорем и сознательно применять их на 
практических занятиях.
Каждый раздел учебника имеет самостоятельную нумерацию глав. 
Для параграфов, теорем, формул и рисунков применяется двойная 
нумерация. Первая цифра указывает номер главы, а вторая — номер 
параграфа, теоремы, формулы или рисунка. Если в параграфе имеются пункты, то используется тройная нумерация — номер главы, 
параграфа, пункта. Завершение доказательства теоремы, утверждения, свойства обозначается значком .
Автор надеется, что учебник будет полезен студентам и преподавателям, а также всем, кто самостоятельно хочет изучить математику 
или обновить и углубить свои знания.

Раздел 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Глава 1. 
Метод координат

Метод координат — основной метод аналитической геометрии. 
Он устанавливает связь между геометрическими образами и алгебраическими понятиями, позволяя тем самым исследовать геометрические формы с помощью алгебраического анализа. Кроме того, 
благодаря методу координат выводы математического анализа получают наглядную геометрическую интерпретацию. Метод координат 
был введен французским ученым Рене Декартом (1596–1650).

§ 1.1. Направленные отрезки оси

Рассмотрим прямую линию u, выберем на ней одно из двух противоположных направлений и будем называть его положительным. 
На чертеже положительное направление указывают стрелкой. Прямая, на которой указано положительное направление, называется 
осью (рис. 1.1). Выберем некоторый отрезок в качестве единицы масштаба. С ее помощью может быть измерен любой отрезок, т.е. определена его длина.
Возьмем на оси u две любые точки A и B. Отрезок, ограниченный 
точками A и B, называется направленным, если на нем указано направление, т.е. известно, какая из точек A и B является началом, а какая — 
концом. Направленный отрезок условимся обозначать символом AB

, 
если точка A является началом, а точка B — концом отрезка. 
Величиной направленного отрезка оси называется число, равное 
длине отрезка AB

и взятое со знаком «плюс», если направление от
Рис. 1.1

резка AB

совпадает с положительным направлением оси, и со знаком 
«минус», если оно противоположно положительному направлению 
оси.
Длину направленного отрезка AB

будем обозначать символом 
AB
, а его величину — символом вел. AB

.
На рис. 1.1 изображены ось u, направленные отрезки AB

, CD

и 
единица масштаба. Направление отрезка AB

совпадает с положительным направлением оси, а его длина AB

 = 2; направление отрезка CD

противоположно направлению оси, а длина отрезка CD

 = 3. Поэтому 
вел. AB

= 2, а вел. CD

= 3.
Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называется нулевым. Величина нулевого направленного отрезка равна 
нулю, а направление можно выбирать произвольно.
Два ненулевых отрезка оси AB

и CD

называются равными, если 
при движении отрезка AB

вдоль этой оси до совмещения начала отрезка AB

с началом отрезка  CD

концы этих отрезков также совместятся.
Необходимое и достаточное условие равенства направленных отрезков оси дает следующая теорема.

Теорема 1.1. Направленные отрезки AB

и  CD

равны тогда и только 
тогда, когда равны величины этих направленных отрезков.

Дока зательст во.
1. Пусть направленные отрезки AB

и  CD

равны. Будем перемещать отрезок AB

вдоль оси до совмещения начала отрезка AB

с началом отрезка  CD

. Так как AB

=  CD

, то концы отрезков AB

и  CD

также совместятся. Следовательно, отрезок AB

имеет ту же длину и 
направление, что и отрезок  CD

, поэтому вел. AB

= вел.  CD

.
2. Пусть равны величины направленных отрезков AB

и CD

: 
вел. AB

= вел.  CD

. Это означает, что отрезки AB

и  CD

имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Поэтому в результате движения отрезка AB

вдоль оси до совмещения его начала с началом отрезка  CD

концы этих отрезков также совместятся. Следовательно, 
отрезки AB

и CD

равны. 

Рассмотрим линейные операции над направленными отрезками 
оси — умножение направленного отрезка на действительное число и 
сложение направленных отрезков.
Произведением направленного отрезка AB

на число  называется 
направленный отрезок  CD

, определенный следующим образом:
 
• длина отрезка CD

 = ·AB

;

• направление отрезка  CD

совпадает с направлением отрезка AB

, 
если  > 0, и противоположно ему, если  < 0. 
Суммой AB

+  CD

направленных отрезков AB

и  CD

называется 
направленный отрезок AD

, начало которого совпадает с началом A 
отрезка AB

, а конец — с концом D отрезка CD

при условии, что отрезок CD

передвинут вдоль оси так, что его начало С совпадает с концом В отрезка AB

.
При сложении отрезков AB

и CD

, имеющих одинаковое направление, их сумма — отрезок AD

имеет то же направление, что и 
отрезки AB

и CD

(рис. 1.2).

Рис. 1.2

При сложении отрезков AB

и CD

, направленных в п р о т и в о п о л о ж н ы е  стороны, их сумма — отрезок AD

имеет направление 
того из отрезков AB

или CD

, длина которого больше (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Теорема 1.2. Величина суммы направленных отрезков равна сумме 
величин этих отрезков:

 
вел. (AB

+ CD

) = вел. AB

+ вел. CD

 . 
(1.1)

Дока зательст во. Возможны следующие случаи:
1. Ненулевые отрезки AB

и CD

направлены в о д н у  сторону 
(см. рис. 1.2). В этом случае величины направленных отрезков AB

, 

BD
= CD

и AD

= AB

+ CD

имеют один и тот же знак. Пусть, для определенности, направление этих отрезков совпадает с положительным 
направлением оси. Тогда величины направленных отрезков равны 
их длинам, т.е. вел. AB

= AB

, вел. BD

= вел. CD

= CD

, вел. AD

= AD

. 
Так как AD

 = AB

 + CD

, то, заменив в этом равенстве длины направленных отрезков их величинами, получим равенство (1.1). Аналогично доказывается равенство (1.1) и в случае, когда направление 
отрезков AB

, CD

и AD

противоположно положительному направлению оси.

2. Ненулевые отрезки AB

и CD

направлены в противоположные стороны (см. рис. 1.3). Пусть длина отрезка AB

меньше длины 
отрезка  CD

. В случае 1 мы доказали, что

вел. BD

= вел. CD

= вел. BA

 + вел. AD

или

вел. AD

= вел. CD

– вел. BA

.

Учитывая, что вел. BA

= –вел. AB

, приходим к равенству (1.1). 
Если AB

 > CD

, то доказательство проводится точно так же.
3. Один из отрезков, например CD

, нулевой. Так как величина 
нулевого отрезка равна нулю, то вел. (AB

+ CD

) = вел. AB

и равенство (1.1) справедливо. 

Из теоремы 1.2 следует основное тождество: при любом расположении точек A, B, C на оси выполняется соотношение

 
вел. AB

+ вел. BC
= вел. AC

. 
(1.2)

§ 1.2. Декартовы координаты на прямой линии

Установим на прямой линии систему координат. Для этого выполним следующее:
1) назначим на прямой положительное направление, сделав ее 
осью;
2) отметим на прямой некоторую точку О;
3) выберем единицу масштаба (рис. 1.4).
Тогда положение любой точки М прямой линии вполне определяется 
числом — величиной направленного отрезка OM
. Это число называется координатой этой точки.

Рис. 1.4

Прямую, на которой устанавливают систему координат, обычно 
располагают горизонтально и выбирают положительное направление 
слева направо. Очевидно, что точки, лежащие справа от точки О, 
имеют положительные координаты, а точки слева от нее — отрицательные координаты. Точка О имеет координату, равную нулю.
Таким образом, координатой любой точки М на оси называется 
величина направленного отрезка OM
. 
Если координата точки М равна х, то используют запись М(х).

Точка О, являющаяся началом направленных отрезков, называется началом координат. Прямая, на которой установлена система 
координат, называется осью координат или числовой осью.
Каждой точке М этой оси соответствует определенное действительное число — ее координата, равная вел. OM
. И наоборот, для 
каждого действительного числа х найдется на оси единственная точка М с данной координатой х, она будет концом направленного отрезка оси OM
, величина которого равна х. Говорят, что точка М изображает число х, отождествляя действительные числа с точками 
числовой оси. Это позволяет формулировать алгебраические соотношения в геометрических терминах.
Например, множество действительных чисел, удовлетворяющих 
неравенствам 2  х  3, определяет отрезок числовой оси, ограниченный точками 2 и 3.
Теорема 1.3. Пусть М1(х1) и М2(х2) — две точки на числовой оси. 
Тогда

 
вел. M M
1

2 = х2  х1. 
(1.3)

Доказательство. Согласно основному тождеству (1.2) вел. OM
1 +
+ вел.M M
1

2 = вел. OM
2, откуда вел. M M
1

2 = вел. OM
2 – вел. OM
1. Так как 
вел. OM
1 = х1, вел. OM
2 = х2, то вел. M M
1

2 = х2 – х1. 

Таким образом, чтобы получить величину направленного отрезка, 
нужно из координаты его конца вычесть координату его начала.
Следствие. Расстояние между двумя точками оси М1(х1) и М2(х2) 
определяется формулой


 (М1, М2) = х2 – х1. 
(1.4)

§ 1.3. Декартовы прямоугольные координаты 
на плоскости
Говорят, что на плоскости введена система координат, если указан 
способ, который позволяет определить положение точек на плоскости с помощью чисел.
Рассмотрим наиболее простую и наиболее употребительную декартову прямоугольную систему координат. Зададим две взаимно 
перпендикулярные оси, выберем единицу масштаба, одинаковую для 
обеих осей. Точка пересечения осей называется началом координат, 
а сами оси — осями координат. Одну из осей (Ох) располагают горизонтально и называют осью абсцисс, а другую (Оy) — вертикально и 
называют осью ординат (рис. 1.5).

Возьмем на плоскости любую точку М. Опустим из нее перпендикуляр на ось Ох и ось Оу. Основания этих перпендикуляров Мх и 
Му есть проекции точки М на ось Ох и ось Оу соответственно.
Координатами точки М называется упорядоченная пара чисел 
(х, у), где число х = вел. OM
х — координата точки Мх на оси абсцисс, 
а число у = вел. OM
у — координата точки Му на оси ординат. Число х 
называется абсциссой точки М, а число у — ее ординатой.
Если точка М имеет абсциссу х и ординату у, то используют запись М(х, у).
Таким образом, в выбранной системе координат каждая точка 
имеет вполне определенную пару координат (х, у). И наоборот, всякая пара действительных чисел (х, у) определяет на плоскости единственную точку, абсцисса которой равна х, а ордината равна у.
Чтобы построить точку М(х, у), нужно на оси абсцисс отложить 
направленный отрезок OM
х, величина которого равна х, а на оси 
ординат — направленный отрезок OM
у, величина которого равна у. 
Затем через точку Мх нужно провести прямую, параллельную оси Oу, 
а через точку Му — прямую, параллельную оси Oх. Искомая точка М 
есть точка пересечения этих прямых. 
Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. Нумерация квадрантов и знаки координат 
точек в каждом из них показаны на рис. 1.6.
Координаты, которые мы вывели для определения положения 
точки на плоскости, называются декартовыми прямоугольными координатами.
Рассмотрим следующие две задачи.
1. Задача о расстоянии между двумя точками на плоскости. Пусть 
на плоскости введена прямоугольная система координат. Заданы две 
точки: М1(х1, y1) и М2(х2, y2), т.е. известны их координаты. Требуется 
найти расстояние (М1, М2) между этими точками.

Рис. 1.5