Финансовая математика

ФИНАНСОВАЯ
МАТЕМАТИКА

Москва
ИНФРА-М

2020

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

П.Н. БРУСОВ
Т.В. ФИЛАТОВА

Рекомендовано 

УМО по образованию в области финансов, 

учета и мировой экономики в качестве 

учебного пособия для студентов, обучающихся 

по направлению 38.04.01 «Экономика» 

(степень — магистр)

УДК 336(075.8)
ББК 65.261я73
 
Б89

Брусов П.Н.

Финансовая математика : учеб. пособие / П.Н. Брусов, Т.В. Фи
латова. — М. : ИНФРА-М, 2020. — 480 с. — (Высшее образование: 
Магистрат ура). — www.dx.doi.org/10.12737/1255.

ISBN 978-5-16-005134-5 (print)
ISBN 978-5-16-100440-1 (online)

Учебное пособие написано в соответствии с программой курса «Финансо
вая математика» для магистров. 

Предназначено для студентов (магистров, специалистов) всех финансовых 

и экономических специальностей, включая финансы и кредит, бухгалтерский 
учет, аудит, налоги и налогообложение, страхование, международные экономические отношения и др., а также для финансовых аналитиков и  слушателей 
программ MBA. Будет также полезно специалистам всех финансовых и экономических специальностей, а также всем желающим освоить количественные 
методы в финансах и экономике.

УДК 336(075.8)
ББК 65.261я73

Р е ц е н з е н т ы:

М.С. Красс, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Математиче
ское моделирование экономических процессов» Финансового университета при Правительстве РФ; 

Г.А. Парфенов, канд. экон. наук, профессор кафедры «Прикладная 

математика» Финансового университета при Правительстве РФ; 

О.Н. Лихачева, канд. экон. наук, доцент кафедры «Финансовый ме
неджмент» Всероссийского заочного финансово-экономического института. 

Б89

© Брусов П.Н., Филатова Т.В., 2014
ISBN 978-5-16-005134-5 (print)
ISBN 978-5-16-100440-1 (online)

Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М

Подписано в печать 25.10.2013. 

Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 

Усл. печ. л. 30,0. ПТ17.

ТК 457750-6184-251013

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Корпоративные финансы

Глава 1 
Капитал Компании 

1.1. стоимость Капитала

Капитал, как и всякий другой фактор производства, имеет свою 
стоимость. Стоимостью (или ценой) капитала (cost of сарitаl) называется сумма средств, которую необходимо уплатить за использование финансовых ресурсов. Обычно стоимость капитала измеряется 
в процентах или долях, т.е. сумма средств делится на объем привлеченных ресурсов.
Под стоимостью капитала понимается доход, который должны 
принести новые капиталовложения для того, чтобы они себя оправдали. 
Обычно считается, что стоимость капитала — это альтернативная 
стоимость, т.е. тот доход, который могут получить инвесторы от альтернативных возможностей вложения капитала при неизменной величине риска. В самом деле, если компания хочет получить средства, 
она должна обеспечить доход на них, как минимум равный величине 
дохода, который могут принести инвесторам альтернативные возможности вложения капитала. 
В инвестиционных проектах стоимостью капитала является 
ставка дисконтирования, которая используется при расчете эффективности инвестиций, т.е. процентная ставка прибыли, которую 
фирма предполагает получить в процессе реализации проекта.
Таким образом, стоимость капитала характеризует:
• цену, которую компания должна уплатить владельцам финансовых ресурсов за их использование;
• норму операционной прибыли компании;
• норму прибыли инвестированного капитала, т.е. минимально 
приемлемую рентабельность для новых вложений, как по реальному, так и по финансовому инвестированию;
• минимально приемлемый уровень внутренней нормы доходности при использовании в инвестиционном анализе;
• ставку дисконтирования доходности при расчете чистого приведенного денежного потока.

Следует различать два понятия — «стоимость (цена) капитала 
компании» и «стоимость (цена) компании как субъекта на рынке 
капиталов». Первое понятие является количественным выражением 
относительных расходов по обслуживанию задолженности компании 
перед своими собственниками, кредиторами и инвесторами. Второе 
понятие характеризуется величиной собственного капитала компании, или котировками ее ценных бумаг, или другими аналогичными 
показателями. «Стоимость (цену) капитала компании» следует также 
отличать от величин собственного и заемного капитала, а также совокупного капитала компании.
После этих пояснений, надеемся, будет понятно, когда идет речь 
о стоимости акций, облигаций и других финансовых активов, а когда 
о стоимости капитала, связанного с данным активом, т.е. о стоимости акционерного капитала и т.п.
Стоимость капитала компании зависит от общего состояния финансовых рынков, ставки ссудного процента, доступности различных источников финансирования и величины финансового 
 левериджа (соотношения собственных и заемных средств) для конкретной компании, от соотношения объемов операционной и инвестиционной деятельности, степени риска проводимых операций, 
уровня налогообложения и других факторов.
Стоимость каждого элемента (компонента) капитала называется 
компонентной стоимостью этого определенного вида капитала. 
Расчет и анализ стоимости капитала происходит в таком порядке: 
сначала проводится стоимостная оценка элементов финансовой 
структуры капитала, т.е. элементов собственного и заемного капитала, затем рассчитывается средневзвешенная стоимость капитала 
WACC. После оценки WACC для выявления тенденции изменения 
стоимости капитала может быть проведена ее динамическая оценка.
Итак, каждый элемент капитала имеет свою цену. Например, цена 
кредитов — это финансовые издержки, включая проценты, уплачиваемые кредиторам; цена капитала, привлекаемого за счет облигаций, — это процентный доход по ним; цена капитала, привлекаемого за счет акций, — это дивиденды; цену нераспределенной 
прибыли принято приравнивать к стоимости капитала, привлекаемого за счет обыкновенной акции.
Расчет стоимости таких элементов капитала, как кредиты и облигационные займы, значительных трудностей не вызывает. Определение же стоимости капитала, привлекаемого за счет эмиссии акций 
(особенно обыкновенных), стоимости нераспределенной прибыли 
и кредиторской задолженности, сопряжено с решением множества 

проблем. Это связано с тем, что цена заемного капитала заранее 
четко оговорена. Стоимость же основных элементов собственного 
капитала требует оценки будущих дивидендов и ожиданий собственников капитала по динамике рыночной стоимости акций. Что касается кредиторской задолженности, то определение ее стоимости как 
элемента капитала до сих пор остается дискуссионным, оно связано 
с расчетом тех выгод или потерь, которые несет компания в случае 
несовпадения кредиторской и дебиторской задолженностей.
Стоимость капитала является динамической величиной, она меняется со временем и зависит от временного интервала, выбранного 
для ее оценки.
Существуют четыре метода для оценки стоимости акций, облигаций 
и других финансовых активов, а также стоимости компании (бизнеса) — 
сравнительный, затратный, капитализации и дисконтирования, описанных в следующем параграфе. Оценка же стоимости капитала, 
связанного с тем или иным активом, может быть произведена двояко: 
либо непосредственно (в простейших случаях), либо с использованием стоимости активов, полученной одним из упомянутых методов.
В качестве примера непосредственного расчета стоимости капитала можно привести оценку стоимости ссудного капитала. Пусть 
kd — процентная ставка на заемные средства компании, равная стоимости обязательств до вычета налогов. Тогда стоимость обязательств 
за вычетом налогов (с учетом налогового щита) равна kd(1 - t), где 
t — предельная налоговая ставка компании.
Для иллюстрации расчета стоимости капитала по известной 
(либо вычисленной) стоимости актива приведем пример с привилегированными акциями. Вначале вычислим стоимость вечной привилегированной акции как дисконтированную сумму постоянных 
дивидендных выплат d: 

 
P
d
r
d
r
i
i
=
+
=

=

∞
∑(
)
.
1
1

 
(1.1) 

Зная P и d, найдем r:

 
r
d
P
=
.  
(1.2) 

Это и будет стоимость акционерного капитала, связанного с привилегированными акциями.
В общем, принцип вычисления стоимости капитала с помощью указанных методов расчета стоимостей активов состоит в следующем:
1) вычисляем стоимость актива одним из четырех методов;

2) из уравнения для стоимости актива находим ставку дисконта, 
которая и будет являться стоимостью капитала, связанного с данным 
активом. Отметим, что далеко не всегда это удается сделать аналитически, тогда необходимо вычислять ее численно.

1.2. методы оценКи стоимости  
аКций, облиГаций, Компании

1.2.1. методы дисконтирования
В методах дисконтирования, относящихся к так называемым доходным методам, стоимость акций, облигаций, других финансовых 
активов, а также стоимость компании считается равной дисконтированной величине финансового потока, порождаемого данным 
финансовым активом, за некоторый конечный период времени 
(n лет) плюс рыночная стоимость актива в конце этого периода, дисконтированная к начальному моменту времени:

 
P
d
r
A
r

i
i
i

n

n
=
+
+
+
=∑(
)
(
)

,

1
1
1

 
(1.3) 

где di — платежи (элементы финансового потока) в конце i-го временного интервала; A — рыночная стоимость актива на момент продажи; r — ставка дисконтирования.
Если рассматривается перпетуитетный (существующий бесконечно долго) актив, то его стоимость равна дисконтированной величине перпетуитетного финансового потока:

 
P
d
r

i
i
i
=
+
=

∞
∑(
)

.
1
1

 
(1.4) 

Существует несколько разновидностей методов дисконтирования [81]: 
 
• модель дисконтирования дивидендов (Divideпd Discouпt Model — 
DDM) — учитывает поступление дивидендов; 
 
• метод дисконтированных денежных потоков (Discouпted Free Future Cash — Flows — DCF) — учитывает денежные потоки по трем 
видам деятельности: производственной (основной), финансовой и инвестиционной. 
Сравнительный анализ этих методов позволяет выявить следующие их д о с т о и н с т в а  и н е д о с т а т к и.
Так, метод DDM основан на простом, всеми признанном 
принципе: справедливая стоимость ценной бумаги должна равняться 

дисконтированной стоимости денежных поступлений, ожидаемых 
от этой ценной бумаги (включая рыночную стоимость актива при его 
продаже в случае рассмотрения конечного временного интервала). 
Основные исходные данные для DDM совпадают со стандартными 
данными многих крупных инвестиционных компаний. Несмотря 
на кажущуюся простоту модели, существуют проблемы ее применения. Техническая оценка акций с помощью DDM требует знания 
будущих дивидендов на неограниченном временном интервале. Долгосрочная природа используемых оценок, высокая квалификация, 
необходимая для выполнения даже краткосрочных прогнозов, политическая и экономическая нестабильность в условиях России — 
все эти факторы усложняют применение DDM. Кроме того, чтобы 
результаты оценки с помощью DDM были сравнимы и достаточно 
надежны для принятия инвестиционного решения, необходима 
большая аккуратность.
Метод DCF представляется более адекватным, так как отражает 
совокупность денежных потоков от всех видов деятельности компании, что является одним из наиболее значимых факторов для потенциальных инвесторов и менеджмента компании [81]. Хотя и его 
точность в большой мере зависит от качества прогноза денежных 
потоков.
Формулы (1.3) и (1.4) будут использованы далее для оценки стоимости акций и облигаций. Мы же перейдем к характеристике трех 
других методов — сравнительного, затратного и капитализации, применительно к оценке стоимости компании, имея в виду, что некоторые из этих методов, например сравнительный, используются 
также при оценке стоимости ценных бумаг.

1.2.2. необходимость и сущность  
оценки стоимости компании
В условиях рыночной экономики проблема оценки стоимости 
промышленного предприятия для его владельцев, потенциальных 
инвесторов, страховых организаций, налоговых органов и других 
субъектов существует постоянно [27, 58, 83].
Оценка стоимости имеет большое значение для потенциального 
покупателя или продавца при определении обоснованной цены 
сделки, для кредитора — при принятии решения о предоставлении 
ипотечного кредита, для страховой компании — при возмещении 
ущерба в преддверии потерь, для инвесторов — при определении 
исходной и будущей стоимости проекта развития бизнеса. Если правительство отчуждает собственность, собственнику может потребо8

ваться ее оценка, чтобы оспорить предложение правительства 
о «справедливой компенсации» при переуступке долговых обязательств, связанных с объектами оценки, принадлежащими государству. Если одна компания стремится приобрести другую, то ей 
может потребоваться оценка текущей стоимости бизнеса, принадлежащего последней. Оценка может проводиться в целях оптимизации 
налогообложения, вывода хозяйствующих субъектов из состояния 
банкротства, формирования и проведения антикризисной политики 
по предотвращению банкротства. При этом процедура оценки позволяет сбалансировать структуру активов предприятия, навести 
порядок в начислениях амортизации и оптимизировать структуру 
себестоимости продукции. В итоге проведение оценки стоимости 
предприятия способствует оптимизации системы его управления 
и успеху применения современных методов финансового менеджмента для управления кризисными хозяйственными ситуациями 
и при реструктуризации производства.
Оценку объектов собственности проводят и в других ц е л я х  [83]:
• реструктуризации предприятия. Ликвидация предприятия, слияние, поглощение либо выделение самостоятельных предприятий из состава холдинга предполагает проведение его рыночной оценки, так как необходимо определить цену покупки 
или выкупа акций, величину премии, выплачиваемой акционерам поглощаемой фирмы, и т.п.;
• определения стоимости ценных бумаг в случае купли­продажи 
акций предприятия на фондовом рынке;
• повышения эффективности текущего управления предприятием, фирмой;
• определения кредитоспособности предприятия и стоимости залога при кредитовании. В данном случае оценка требуется 
в силу того, что величина стоимости активов по бухгалтерской 
отчетности может резко отличаться от их рыночной стоимости;
• принятия обоснованных управленческих решений.
Оценка предприятия представляет собой упорядоченный целенаправленный процесс определения в денежном выражении стоимости 
объекта с учетом потенциального и реального времени в условиях 
конкретного рынка. Целью этого процесса является расчет стоимости, которая может быть наиболее вероятной продажной ценой 
и может характеризовать свойства предприятия как товара, т.е. его 
полезность и затраты, необходимые для этой полезности.
В соответствии с российскими и международными стандартами 
при оценке рыночной стоимости различных объектов, в частности 

предприятия (компании, фирмы), рекомендуется использовать три 
основных подхода (концепции) исходя из области применения 
оценки — затратный, доходный и рыночный.
Суть затратного (имущественного) подхода [83] состоит в оценке 
стоимости предприятия с точки зрения издержек на его создание при 
условии, что предприятие останется действующим. Назначение 
оценки, определенной затратным подходом, разноплановое, например: для целей имущественного и подоходного налогообложения, 
страхования, технико­экономического анализа, обновления, итогового согласования стоимости и пр.
Другими задачами оценки стоимости промышленного предприятия являются определение будущих преимуществ и выгод 
от владения оцениваемыми активами, поскольку при определении, 
в частности, инвестиционной стоимости (привлекательности) предприятия инвестора прежде всего интересуют будущие доходы от владения бизнесом. Поэтому суть доходного подхода к оценке стоимости — в определении времени и размеров доходов, которые будет 
получать собственник, и сопряженного с этим риска. Концепция 
предполагает составление прогноза доходов и их приведение к текущей стоимости. Доходный подход всегда применяется для инвестиционной оценки стоимости бизнеса (стоимости для конкретного 
инвестора), определяемой мотивами поведения типичного покупателя и продавца (в частности, индивидуальными требованиями к инвестициям) исходя из оценки затрат, степени риска, налоговой ситуации и прочих условий.
Суть сравнительного (рыночного) подхода [83] состоит в сопоставлении стоимости оцениваемого предприятия со стоимостью других 
аналогичных предприятий. В рамках этого подхода используется один 
или несколько методов, основанных на сравнении данного предприятия с аналогичными предприятиями, долями акционеров в капитале предприятий и ценными бумагами, уже реализованными на 
рынке. Данные о рыночных сделках по компаниям, долям акционеров 
в капитале компаний или ценным бумагам могут служить источником 
объективной информации для выведения стоимостных показателей, 
применимых в оценке бизнеса. Этот подход можно использовать и для 
оценки стоимости предприятия, акции которого либо не участвуют 
в купле­продаже на фондовом рынке, либо малоликвидны, в сравнении с аналогичными по своей производственной деятельности 
предприятиями, акции которых участвуют в биржевых операциях.
Очевидно, что оценка стоимости предприятия должна осуществляться как с учетом показателя затратности, определяемого одним 

из методов затратного подхода, так и с учетом стоимости, рассчитанной по методологии доходного подхода [83]. При этом в случае 
существования активного рынка сопоставимых объектов собственности необходимо учитывать рыночную (сравнительную) оценку 
стоимости аналогичных предприятий. Другими словами, для более 
точной и обоснованной оценки стоимости предприятия необходим 
комплексный метод, базирующийся на одновременном использовании трех подходов к оценке, что позволит устранить односторонность рассматриваемых оценок.
Решение данной проблемы может быть осуществлено по аналогии с решениями многокритериальных задач принятия решений, 
в частности посредством формирования интегрального критерия качества оценки, учитывающего разные оценки, в том числе затратную, 
доходную и сравнительную (рыночную).
Итак, оценка стоимости компании необходима [58]:
• при выдаче и получении кредитов под залог имущества;
• принятии обоснованного решения о партнерстве;
• преобразовании и ликвидации компании;
• принятии инвестиционных решений;
• принятии решений о санации или банкротстве компании, страховании имущества;
• оптимизации налогообложения;
• переоценке основных фондов.

1.2.3. принципы оценки стоимости компании 

Предприятие — это производственно­экономический и имущественный комплекс, используемый для осуществления предпринимательской деятельности. При проведении оценочной деятельности 
предприятие рассматривается как единое целое (товар), в состав которого входят все виды имущества, функционирующие в его организационно­правовых рамках при осуществлении предпринимательской деятельности, и права на это имущество.
Теоретическим фундаментом для оценки стоимости предприятия 
является единый набор оценочных принципов, в котором можно 
выделить следующие группы [83]:
• принципы, основанные на представлениях пользователя;
• принципы, связанные с рыночной средой;
• принцип наилучшего и наиболее эффективного использования.
Принципы, основанные на представлениях пользователя, включают 
принципы полезности, замещения и ожидания [83].

Принцип полезности основан на том постулате, что объект оценки 
обладает стоимостью только в том случае, если он полезен какому­либо потенциальному собственнику, т.е. способен удовлетворить его потребности в течение определенного времени. Определение принципа: полезность — это способность объекта собственности удовлетворять потребность владельца в данном месте 
и в течение данного периода времени.
Принцип замещения основан на том факте, что, несмотря на разнообразие объектов оценки, они являются сопоставимыми с точки 
зрения своей способности удовлетворять определенные потребности 
собственника или приносить ему доход. Осведомленный покупатель 
на открытом рынке не заплатит за объект собственности цену, превышающую затраты на приобретение другого объекта, столь же привлекательного для него, что и данный объект собственности. Определение принципа: максимальная стоимость собственности определяется наименьшей ценой или стоимостью, по которой может быть 
приобретена другая собственность с эквивалентной полезностью.
Таким образом, принцип замещения дает возможность установить 
верхний предел стоимости оцениваемого имущества. Данный 
принцип лежит в основе применения метода сделок (метода сравнения продаж).
Принцип ожидания основан на том, что стоимость объекта оценки 
прежде всего зависит не от прошлых данных по ценам продажи сопоставимых объектов или затрат на замещение этого имущества, а от 
тех выгод, которые участники рынка предполагают получить в будущем от приобретения этого имущества. Определение принципа: 
ожидание — это установление текущей стоимости доходов или других 
выгод, которые могут быть получены в будущем от владения объектом 
оценки.
Ожидание может принимать как позитивный, так и негативный 
характер. Экономический спад, высокая безработица, напряженная 
социальная обстановка, государственные ограничения на застройку 
территории способны отрицательно повлиять на стоимость объекта.
Принципы, связанные с рыночной средой, включают следующие 
принципы: зависимости, соответствия между спросом и предложением, конкуренции, изменения стоимости [83].
Принцип зависимости обусловлен местоположением объекта 
оценки. Местоположение — один из наиболее важных факторов, 
влияющих на стоимость объекта оценки, так как если в окружающей 
его экономической среде происходят изменения, это может повлиять 
на его стоимость. Потоки доходов в большей степени зависят от того,