Теория вероятностей

Москва
ИНФРАМ
2019

ТЕОРИЯ 
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И.А. ПАЛИЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия 
для студентов высших учебных заведений, обучающихся 
по техническим  и экономическим направлениям подготовки 
(квалификация (степень) «бакалавр»)

Палий И.А.
Теория вероятностей : учеб. пособие / И.А. Палий. – М. : 
ИНФРАМ, 2019. — 236 с. — (Высшее образование).

ISBN 978-5-16-004940-3

В учебном пособии наряду с изложением основ теории вероятностей приводится большое количество задач с примерами их решения.
Для студентов технических и экономических специальностей.

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я73

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171я73
 
П14

П14

ISBN 978-5-16-004940-3
© И.А. Палий, 2012

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

.
− , , , , .
, .
, .
, − (,
, ..). .
.
. , .
,
,
,
,
.
,
, , , .
.
..,
, ,  (). , , ,
, , , . ! .. : 50 (365 !), 1. , ?

3

− 66. 1980-, ,
. , ,
(). , . .
,
.

1. , .
.

1.1. . : k . n1 , – n2 k-, nk , k kn
n
n
…
⋅
⋅
2
1
 
(1.1) 

.
. , , .

1. A , B , . A B ?

. , :
,
A c B;
,
B c C; , .
, – 
. , , .
12
2
2
3
=
⋅
⋅

. ,
A ,
A1B,
2,
3;
,
B , – B1C, 2; , , – 1, 2. , , : A1B —  2— 1. 
12 . 1.1. 

5

. 1.1 

2. 0, 1, 2, 
3, 4, ? ? ?

. – , . : 14203, 32014, 24031. ,
: , . . . (0 ), − (), – . − . , 4×4×3×2×1 = 96 , . , .
, :
, 1 3. 
, (0 , ). . , − , 6

. 2×3×3×2×1 = 36. 96 − 36 = 60. 

1.2. n . , , , : ABC, ACB,
BCA, BAC, CAB, CBA.
n n
P . , n : ,
; , , ..., 
, n-.
n , n ; (n – 1) , (n –  1) ; n-(– ).
(
) (
)
!
1
2
2
1
n
n
n
n
Pn
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
=
…
 
(1.2) 

. 1.2. P3    
1 2 3 

                                              
.1.2. 

3. 4 – , , , .
? , B .

. – . , ACB

BAC

AB

AC

BA

BC

CA

CB

ABC

BCA

CAB

CBA

A

B

C

7

1
2
3
4
!4
4
=
⋅
⋅
⋅
=
=
P
. : ABC, BAC, ACB, .
A , .
, , A 
B, , B , ..
12. 

1.3. k ,
n . , ABC 6 : AB, BA, AC, CA, CB, .
, k : , , ..., 
k-. n
(n ); (n − 1) ((n − 1) 
); k-(n − k + 1) ((n − k+ 1) ). n k (
)
(
)
(
)!
!
1
1
k
n
n
k
n
n
n
Ak
n
−
=
+
−
⋅
⋅
−
⋅
=
…
. 
(1.3) 

4. 1, 2, 3, 4, 5 ,
. , .

. -, - . – . 60
!
2
!
5
3
5
=
=
A
.

: 123, 321, 541 .. ,
, , 625 333 : 6, .
120
4
5 =
A
, – 

120
5
5
5
=
= P
A
. 60 + 120 + 120 = 300 .

1.4. n k k , n . 8

, .
, 5 : , , , , E, 10 
: {A,
,
C}, {A,
,
}
..
(, {A,
,
}) 
3! = 6 : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. k k!
-. n
k (k
n
C ) k! n
k.

(
)

⋅
−
=
=
!
!
!
!
k
n
k
n
k

A
C

k
n
k
n
 
(1.4) 

k
n
C
. :

.1
!
!0
!
0
=
=
=
n
n
C
C
n
n
n
 
(1.5) 

(0! = 1). 

(
)

⋅
−
=
=
−
!
!
!
k
n
k
n
C
C
k
n
n
k
n
 
(1.6) 

1
1
−
+
+
=
k
n
k
n
k
n
C
C
C
. 
(1.7) 

,

(
)
(
) (
) =
+
−
−
+
−
=
+
−
!
1
!
1
!
!
!
!
1
k
n
k
n
k
n
k
n
C
C
k
n
k
n

(
)
(
)

(
)
(
)

=
+
−
+
=
+
−
+
+
−
=
!
1
!
1
!
!
1
!
!
1
!
k
n
k
n
n
k
n
k
k
n
k
n
n
(
)
(
)

k
n
C
k
n
k
n
1
!
1
!
!
1
+
=
+
−
+
;

n
n
n
n
n
C
C
C
2
1
0
=
+
+
+
…
. 
(1.8) 

n.
n  = 1, 2
1
1
1
1
0
1
=
+
=
+ C
C
.

n  = 2, 2
1
2
0
2
2
4
1
2
1
=
=
+
+
=
+ C
C
.
(1.8) n .
(1.7) :

9

0
1
n
n
C
C
=
+
,

0
1
1
1
n
n
n
C
C
C
+
=
+
,

1
2
2
1
n
n
n
C
C
C
+
=
+
,

 
…..……………. 

1
1
−
+
+
=
k
n
k
n
k
n
C
C
C
,

 
……………. 

1
1
−
+
+
=
n
n
n
n
n
n
C
C
C
,

n
n
n
n
C
C
=
+
+
1
1
.
,

1
1
0
1
1
1
1
0
1
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
⋅
=
+
+
+
=
+
+
+
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
C
C
C
C
C
C
…
…
,

 .

5. , ?

. – , . (
)
.
56
!
5
8
!5
!8
5
8
=
−
=
C

6. , . ?

. , : 3 
, – 5; 4 ; 5 , – 3. 
56
5
8
3
8
5
5
3
8
=
=
=
⋅
C
C
C
C
.

10