Математика и информатика

МАТЕМАТИКА

И ИНФОРМАТИКА

Москва

ИНФРАМ

2020

В.Я. ТУРЕЦКИЙ

Третье издание, переработанное и дополненное

Допущено

Министерством образования Российской Федерации 

в качестве учебного пособия

для студентов высших учебных заведений, 

обучающихся по гуманитарным 

направлениям и специальностям

УЧЕБНИК

УДК 681.3.06(075.8)
ББК 22.18я73
 
Т86

Турецкий В.Я. 

Математика и информатика : учебник / В.Я. Турецкий. – 

3е изд., испр. и доп. – Москва : ИНФРАМ, 2020. – 558 с. –
 (Высшее образование).

ISBN 9785160052960

Содержит базовые разделы математики и основы информатики. Материал 

изложен с учетом требований, предъявляемых к студентам гуманитарных 
направлений и специальностей.

Предназначен для студентовгуманитариев.

УДК 681.3.06(075.8)

ББК 22.18я73

Т86

Р е ц е н з е н т ы:  др физ.мат. наук, профессор А.В. Арутюнов, 

 
др физ.мат. наук, профессор Н.А. Бобылев

Редактор И.В. Мартынова
Корректор М.В. Литвинова

Компьютерная верстка О.В. Савостиной

Оформление серии Е.А. Доний

Подписано в печать 25.10.2011. 

Формат 6090/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. 

Печать цифровая. Усл. печ. л. 35,0.  

ПТ20. 

ТК 26800-995-250800

ISBN 9785160052960 
© Турецкий В.Я., 2000

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Уважаемый читатель!

Перед Вами один из учебников нового поколения по дисциплине «Математика и информатика» для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по гуманитарным направлениям и специальностям профессионального образования, прошедший сложный
и длительный путь конкурсного отбора.
Данное учебное пособие является одним из двух победителей по
дисциплине «Математика и информатика» Всероссийского конкурса учебников нового поколения по общим фундаментальным естественнонаучным дисциплинам. Этот конкурс впервые в истории
высшей школы в России был инициирован Г
оскомвузом России
(в дальнейшем – Минобразованием России) в связи с реформированием структуры и содержания программ высшего образования и
проведен в течение 1995–1998 годов на базе Российского университета дружбы народов.
В конкурсе приняли участие свыше 350 авторских коллективов
практически из всех регионов России, заявки представлялись по
11 номинациям, а в их оценке участвовало более ста высококвалифицированных экспертов.
В результате двух туров конкурса было отобрано 39 авторских
коллективов, чьи заявки, а затем и рукописи более всего соответствовали как новым учебным программам, так и государственным
образовательным стандартам по каждой дисциплине.
Конкурсная комиссия выражает надежду , что данное учебное
пособие внесет свой полезный вклад в дело дальнейшего совершенствования российского высшего профессионального образования,
и желает всем читателям – студентам и преподавателям – больших
творческих успехов.

Заместитель министра образования России,
академик Российской академии образования,
председатель конкурсной комиссии профессор
В.Д. Шадриков

Îãëàâëåíèå

Предисловие ректора ..................................................................... 13
К читателю .................................................................................... 15
Предисловие автора ....................................................................... 19

Часть 1
ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ ............................................... 21

Глава 1
Множества ............................................................................... 22

1.1. Канторовское понятие множества ........................................ 22
1.2. Конечные и бесконечные множества ................................... 24
1.3. Равенство множеств ............................................................... 25
1.4. Подмножества ........................................................................ 26
1.5. Операции над множествами .................................................. 28
1.6. Алгебраические свойства операций над множествами ........ 31
Задачи............................................................................................ 33

Глава 2
Отношения и функции ............................................................... 35

2.1. Понятие отношения............................................................... 35
2.2. Отношение эквивалентности ................................................ 38
2.3. Отношение частичного порядка ........................................... 39
2.4. Функции ................................................................................. 41
2.5. Числовые функции ................................................................ 44
2.6. Композиция функций ........................................................... 53
2.7. Обратная функция ................................................................. 55
Задачи............................................................................................ 58

Глава 3
Основы математической логики ................................................. 60

3.1. Высказывания и логические связки ...................................... 61
3.2. Логическая эквивалентность.
Свойства логических операций............................................. 66

3.3. Тавтологии, или законы логики ............................................ 68
3.4. Правила логического вывода................................................. 70
Задачи............................................................................................ 73

Часть 2
ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ
И АНАЛИТИЧЕСКОЙ  ГЕОМЕТРИИ .................................... 75

Глава 4
Аналитическая геометрия .......................................................... 76

4.1. Векторы на плоскости ........................................................... 76
4.1.1. Понятие вектора. Операции над векторами ............................. 76
4.1.2. Разложение по базису. Система координат .............................. 83
4.1.3. Скалярное произведение ........................................................... 87
4.2. Векторы в пространстве......................................................... 90
4.3. Определители 2-го порядка ................................................... 96
4.4. Прямая на плоскости ........................................................... 100
4.4.1. Уравнение линии ..................................................................... 100
4.4.2. Уравнения прямой ................................................................... 103
4.4.3. Расположение прямой на плоскости.
Взаимное расположение прямых ............................................ 107
4.4.4. Основные задачи о прямых ..................................................... 111
4.5. Плоскость и прямая в пространстве ................................... 113
4.5.1. Поверхности и линии в пространстве ..................................... 113
4.5.2. Уравнения плоскости .............................................................. 115
4.5.3. Расположение плоскости в пространстве.
Взаимное расположение плоскостей ...................................... 117
4.5.4. Основные задачи о плоскостях ............................................... 119
4.5.5. Прямая в пространстве ............................................................ 119
Задачи...........................................................................................121

Глава 5
Элементы линейной алгебры.....................................................123

5.1. Пространство R n ....................................................................................................................123
5.1.1. n-мерные векторы и операции над ними ................................ 123
5.1.2. Линейная независимость. Базис ............................................. 124
5.1.3. Скалярное произведение в R n.
Норма вектора .......................................................................... 127
5.2. Матрицы ............................................................................... 128
5.2.1. Понятие матрицы.
Основные операции над матрицами ....................................... 128

5.2.2. Умножение матриц .................................................................. 130
5.2.3. Транспонирование матриц ...................................................... 133
5.2.4. Квадратные матрицы ............................................................... 134
5.3. Определители и системы линейных уравнений ................. 136
5.4. Линейное пространство ....................................................... 146
5.4.1. Понятие и примеры линейного пространства........................ 146
5.4.2. Линейное подпространство ..................................................... 150
5.4.3. Норма и расстояние ................................................................. 151
5.4.4. Скалярное произведение. Евклидово пространство .............. 153
Задачи.......................................................................................... 155

Глава 6
Алгебраические структуры ........................................................156

6.1. Бинарные операции ............................................................. 157
6.2. Полугруппы, группы и подгруппы ...................................... 164
6.3. Кольца. Тела. Поля............................................................... 173
Задачи.......................................................................................... 178

Часть 3
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ........................180

Глава 7
Теория пределов .......................................................................180

7.1. Предел последовательности ................................................ 180
7.1.1. Последовательности ................................................................ 180
7.1.2. Предел ...................................................................................... 183
7.1.3. Арифметические свойства предела ......................................... 188
7.1.4. Бесконечно большие и бесконечно малые
последовательности ................................................................. 191
7.1.5. Монотонные ограниченные последовательности .................. 193
7.2. Предел функции....................................................................198
7.2.1. Определение предела ............................................................... 198
7.2.2. Пределы справа и слева ........................................................... 203
Задачи.......................................................................................... 204

Глава 8
Непрерывные функции ............................................................. 204

8.1. Непрерывность в точке ........................................................ 204
8.1.1. Основные определения ........................................................... 204

8.1.2. Непрерывность слева и справа.
Классификация разрывов........................................................ 207
8.2. Непрерывность на отрезке .................................................. 210
Задачи.......................................................................................... 214

Глава 9
Основы дифференциального исчисления ...................................215

9.1. Производная ........................................................................ 215
9.1.1. Мгновенная скорость. Определение производной ................ 215
9.1.2. Геометрический смысл производной ...................................... 222
9.1.3. Правила дифференцирования................................................. 224
9.2. Исследование функций с помощью производных ............. 230
9.2.1. Монотонность .......................................................................... 230
9.2.2. Максимумы и минимумы ........................................................ 231
Задачи.......................................................................................... 236

Глава 10
Основы интегрального исчисления ............................................237

10.1. Первообразная. Неопределенный интеграл ..................... 238
10.1.1. Основные определения.......................................................... 238
10.1.2. Таблица простейших интегралов ........................................... 240
10.1.3. Линейные свойства интеграла ............................................... 243
10.2. Приемы интегрирования ................................................... 244
10.2.1. Метод замены переменной .................................................... 244
10.2.2. Метод интегрирования по частям ......................................... 248
10.3. Определенный интеграл Римана ....................................... 250
10.3.1. Основные определения.......................................................... 250
10.3.2. Геометрический смысл интеграла Римана ............................ 254
10.3.3. Формула Ньютона – Лейбница ............................................. 256
10.3.4. Свойства интеграла Римана .................................................. 258
10.3.5. Замена переменной и интегрирование по частям ................ 261
10.4. Интегралы на бесконечных промежутках ......................... 262
Задачи.......................................................................................... 263

Часть 4
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ..................................265

Глава 11
Случайные события..................................................................268

11.1. Понятие случайного события ............................................ 268
11.1.1. Классификация событий ....................................................... 268

11.1.2. Действия над случайными событиями.................................. 271
11.1.3. Эмпирическая вероятность ................................................... 274
11.2. Классическое определение вероятности ........................... 277
11.2.1. Классическая схема ............................................................... 277
11.2.2. Комбинаторика и схемы выбора ........................................... 280
11.2.3. Геометрическая вероятность.................................................. 289
11.3. Аксиоматический подход к вероятности .......................... 294
11.3.1. Пространство элементарных исходов ................................... 294
11.3.2. Алгебра случайных событий .................................................. 296
11.3.3. Аксиоматическое определение вероятности ........................ 300
11.4. Условная вероятность ........................................................ 305
11.4.1. Определение условной вероятности ..................................... 305
11.4.2. Независимость событий ........................................................ 310
11.4.3. Формула Байеса ..................................................................... 312
11.5. Схема испытаний Бернулли .............................................. 317
Задачи.......................................................................................... 322

Глава 12
Случайные величины ................................................................ 324

12.1. Понятие случайной величины ........................................... 324
12.2. Конечные случайные величины ........................................ 327
12.2.1. Закон распределения конечной
случайной величины ............................................................. 327
12.2.2. Совместное распределение случайных величин .................. 331
12.2.3. Действия над конечными случайными величинами ............ 335
12.3. Числовые характеристики конечных
случайных величин ............................................................ 339
12.3.1. Математическое ожидание .................................................... 339
12.3.2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение ..................... 344
12.3.3. Ковариация и коэффициент корреляции ............................. 347
12.4. Функция распределения .................................................... 351
12.5. Непрерывные случайные величины.................................. 355
12.6. Числовые характеристики непрерывных
случайных величин ............................................................ 361
12.6.1. Математическое ожидание .................................................... 361
12.6.2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение ..................... 363
12.6.3. Квантили ................................................................................ 364
12.7. Нормальное распределение ............................................... 366
12.7.1. Определение и свойства ........................................................ 366

12.7.2. Важная роль нормального распределения ............................ 378
Задачи.......................................................................................... 383

Часть 5
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ..............386

Глава 13
Задачи оценивания параметров .................................................386

13.1. Основные понятия ............................................................. 386
13.1.1. Что такое математическая статистика? ................................. 386
13.1.2. Генеральная совокупность и выборка ................................... 388
13.1.3. Эмпирическое распределение ............................................... 390
13.1.4. Первичная обработка выборки ............................................. 391
13.2. Точечные оценки ................................................................ 393
13.2.1. Оценки и их классификация ................................................. 393
13.2.2. Частота и вероятность............................................................ 396
13.2.3. Оценка функции распределения ........................................... 397
13.2.4. Гистограмма и полигон .......................................................... 399
13.2.5. Выборочные характеристики как оценки ............................. 401
13.3. Некоторые статистические распределения....................... 406
13.3.1. χ2-распределение.................................................................... 406
13.3.2. Распределение Стьюдента ..................................................... 407
13.3.3. Распределение Фишера ......................................................... 409
13.4. Интервальные оценки........................................................ 410
13.4.1. Доверительные интервалы .................................................... 410
13.4.2. Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения ................................................. 411
Задачи.......................................................................................... 417

Глава 14
Задачи проверки статистических гипотез................................... 418

14.1. Статистические гипотезы .................................................. 418
14.1.1. Понятие статистической гипотезы.
Классификация гипотез ........................................................ 418
14.1.2. Общая схема проверки гипотез ............................................. 420
14.1.3. Ошибки при проверке гипотез .............................................. 422
14.1.4. Проверка гипотез и доверительные интервалы .................... 424
14.2. Гипотезы о параметрах нормального распределения ....... 425
14.2.1. Гипотеза о математическом ожидании .................................. 425

14.2.2. Гипотеза о равенстве математических ожиданий ................. 429
14.2.3. Гипотеза о дисперсии ............................................................. 433
14.3. Гипотеза о функции распределения. Критерий χ2 ............ 435
14.4. Однофакторный дисперсионный анализ .......................... 442
Задачи.......................................................................................... 447

Часть 6
ИНФОРМАТИКА ................................................................... 449

Глава 15
Основы компьютерной грамотности .......................................... 450

15.1. Из истории компьютера..................................................... 450
15.2. Зачем нужен компьютер? ................................................... 457
15.3. Устройство персонального компьютера ............................ 460
15.3.1. Системный блок..................................................................... 461
15.3.2. Периферийные устройства .................................................... 469
15.4. Работа в системе Norton Commander ................................ 476
15.4.1. Выбор диска и каталога. Просмотр оглавления ................... 478
15.4.2. Запуск программ .................................................................... 479
15.4.3. Работа с файлами и каталогами............................................. 480
15.4.4. Работа с текстовыми файлами ............................................... 484
15.4.5. Работа с панелями .................................................................. 486
15.4.6. Дополнительные возможности ............................................. 486
15.5. Основные команды операционной системы MS DOS ..... 489
15.5.1. Команды работы с дисками и каталогами ............................ 490
15.5.2. Команды работы с файлами .................................................. 492
15.5.3. Служебные команды .............................................................. 494
15.5.4. Командный файл ................................................................... 495
15.6. Основы работы в Windows 95 ............................................. 496
15.6.1. От Windows к Windows 95 ....................................................... 496
15.6.2. Основные понятия Windows 95 ............................................. 499
15.6.3. Разные окна, разные меню .................................................... 501
15.6.4. Операции над объектами.
Работа с файлами и папками ................................................. 505
Упражнения и вопросы .............................................................. 506

Глава 16
Классификация программного обеспечения ...............................507

16.1. Текстовые редакторы ......................................................... 508
16.1.1. Редакторы документов ........................................................... 509
16.1.2. Издательские системы ........................................................... 514

16.2. Графические редакторы ..................................................... 514
16.3. Системы управления базами данных ................................ 516
16.4. Электронные таблицы ....................................................... 521
16.5. Архиваторы ......................................................................... 523
16.6. Антивирусные программы ................................................. 525
16.7. Программы для связи......................................................... 527

Заключение ..................................................................................533

Приложение 1. Статистические таблицы ....................................... 534

Приложение 2. Справки по программному обеспечению ............. 538

Ответы, указания, решения ........................................................... 541

Список литературы .......................................................................... 557

Ïðåäèñëîâèå
ðåêòîðà

Уважаемый читатель! Вы раскрыли новый учебник по математике и информатике, написанный доцентом кафедры информатики и
процессов управления У ральского государственного университета
Владимиром Яковлевичем Турецким.
В последние годы стремительное проникновение математики и
компьютерных технологий в нематематические, гуманитарные сферы стало свершившимся фактом. Все шире математические методы
применяются в таких, казалось бы, далеких от математики областях
знаний, как психология, социология, лингвистика, педагогика, история. Обработка больших массивов данных становится невозможной без использования компьютеров. Почти неограниченный доступ к информационным ресурсам предоставляет всемирная
компьютерная сеть Интернет. В связи с этим встают совершенно
новые задачи и перед высшим образованием. Необходимо так организовать процесс обучения на гуманитарных факуль
тетах, чтобы
студенты старших курсов не оказались в затруднительном положении, когда им придется применять математические и компьютерные методы в своей работе. Для этого они должны получить основательное базовое образование в области математики и
информатики, и чем раньше, тем лучше. Самым разумным представляется введение нового, единого курса «Математика и информатика» для студентов-гуманитариев первого и второго курсов в
рамках обучения бакалавров. Т акой эксперимент Уральский государственный университет начал в 1992 г . на отделении психологии:
была увеличена доля математики в общей сетке учебных часов.
С первого дня преподавание математики и информатики для студентов-психологов взял на себя В.Я. Т урецкий. Его оригинальный
курс лекций и лег в основу предлагаемого вашему вниманию учебника. Особенно важно, что инициатива по внедрению математических методов в учебный процесс исходила от руководителей факультета психологии, понимавших необходимость у
силения
математической и компьютерной подготовки студентов. В настоящее время курс «Математика и информатика» для гуманитарных
факультетов и специальностей официально введен в образовательные стандарты российских университетов.

Качество учебника, безусловно, может быть проверено только
временем. Однако лекции и занятия В.Я. Т урецкого на отделении
психологии УрГУ всегда воспринимались с интересом и пониманием благодаря хорошему языку, доступному стилю изложения, обилию примеров и иллюстраций. У верен, что эти качества в полной
мере присущи данному учебнику и вы получите удовольствие от
знакомства с этой книгой.
Несколько слов об авторе учебника. Доцент В.Я. Т
урецкий –
мой ученик. Он специалист в области математической теории управления и дифференциальных игр, автор многих статей и докладов, в том числе на международных на учных конференциях. В настоящее время участву ет в на учном проекте, финансиру емом
Российским фондом фундаментальных исследований. Проект данного учебника, разработанный В.Я. Т урецким, победил в конкурсе
Госкомвуза Российской Федерации в 1998 г
. Часть, посвященная
теории множеств и отношений, опубликована ранее в виде методической разработки.
Таким образом, учебник представляет собой плод пятилетнего
труда, параллельного у совершенствования курса лекций и текста
книги. Надеюсь, что он облегчит студентам у
своение непростого
математического материала и обеспечит качество профессиональной подготовки на уровне государственного стандарта.

С уважением
ректор Уральского
государственного
университета
профессор
В.Е. Третьяков

Ê ÷èòàòåëþ

Мне бы хотелось начать учебник словами, которыми я начинаю
свою первую лекцию по математике: «Здравствуйте, мои дорогие
студенты! Здравствуйте, мои дорогие читатели!» Я вижу перед собой
аудиторию, полную студентов-первокурсников. Несколько десятков
пар глаз направлены на меня. Эти молодые глаза открыты миру
,
в них нет ожидания подвоха, в них – готовность понять и на учиться. По ходу лекции я увижу в них и иронию, и радость понимания,
и недоуменные вопросы. Я весь как на ладони перед этими глазами,
и мне так хочется не подвести, оправдать ожидания, ответить на все
вопросы, научить...
Это очень трудно – и учиться, и учить. И всегда остается сомнение – а можно ли на
учить? Научил ли? И после каждой лекции
кажется, что не все слова найдены, что можно было бы объяснить
проще, нагляднее, короче. С годами приходит опыт, накапливаются
приемы, примеры. Однако каждый раз трудна первая лекция. Когда
я учил плавать своего младшего сына, мне не было легче, чем со
старшим. Точно так же он барахтался, боялся оторваться от меня.
Точно так же опускались у меня руки. И точно так же в конце концов он делал первые правильные движения, проплывал первые сантиметры – плыл! Это я его на учил или он на учился сам? Конечно,
и то и другое. Ведь обучение – это взаимный процесс, это путь навстречу, половину которого должен пройти каждый из нас, учитель
и ученик. В этой дороге не стоит рассчитывать на быстрый у
спех.
Я понимаю ограниченность своих возможностей. Но мои руки не
пусты – у меня есть знания, и я готов поделиться, помочь овладеть
ими другому. Остальное – за вами. Смотрите – руки двигаются вот
так, ноги – вот так. Ну, что же вы? Вот теперь правильно. Плывите!

Ïî÷åìó ó÷åáíèê?

Быть может, книга, учебник – это способ договорить то, что
недосказано на лекциях. Это попытка объяснить все еще раз, расставить по местам, разложить по полочкам. У
чебный план ставит
нас в жесткие рамки, и, читая лекции, я должен жестко отсеивать
материал, отбрасывать все лишнее, не связанное непосредственно
с темой. На страницах книги я могу отвлечься, порассуждать об общих

(но  интересных  для  а удитории)  вопросах.  Иной  раз  философия
предмета столь же увлекательна, как и сам предмет, а лекции просто
не оставляют на это времени. В книге я могу использовать свой
опыт разных лет, опыт других преподавателей, авторов других книг.
Наконец, при создании учебника у меня есть уникальная возможность вернуться к уже написанным главам, изложить их по-новому ,
что-то добавить и что-то вычеркнуть. Преподавание не дает такой
возможности. Я могу прочитать эту лекцию по-другому , но передо
мной будут уже другие люди. В этом я вижу мои личные мотивы для
написания этого учебника. Внешние же обстоятельства вполне понятны: нехватка учебной литературы в университетах, отсутствие
адекватного математического курса для студентов гуманитарных
специальностей.

Çà÷åì? Äâà îòâåòà íà îäèí âîïðîñ

Итак, мы подходим к главному вопросу, который я читаю в глазах вчерашних (и позавчерашних) школьников на своей первой
лекции, а иногда и слышу в непосредственной и простой формулировке. Это вопрос «Зачем нам это нужно?» Речь идет о математике,
поскольку необходимость обучения работе на компьютере сейчас
мало кем оспаривается. Первокурсники становятся год от года все
прагматичнее. Им не хочется тратить время попу
сту на изучение
науки, которая весьма отдаленно связана с их будущей профессией.
Ну что ж, их вопрос вполне законный и достоин честного и обстоятельного обсуждения.
Обдумав эту проблему, я пришел для себя к двум возможным
ответам. Первый дается с общекуль турных позиций. Университетское, а тем более гуманитарное, образование подразумевает освоение базовых фундаментальных достижений человеческой культуры.
То, над чем столетиями бились лучшие умы, достойно как минимум
уважения, и интеллигентный человек, безу словно, должен иметь
представление об этих достижениях. Математике по праву отводится важное место в общечеловеческой куль туре. Как способ описания действительности математика занимает промежуточное положение между точными на уками (физика, химия, механика и т .д.)
и искусством. Математическое мышление сочетает в себе рационализм и эстетические качества, красоту. С одной стороны, математика отталкивается от реальности, ее результаты могут быть применены и применяются на практике. С другой стороны, она развивается
по своим внутренним законам, очень близким к законам красоты и
соразмерности. Математические теоремы ценны сами по себе,

безотносительно к возможности их практического использования.
Они могут доставлять наслаждение так же, как архитектурный ансамбль, картина, музыкальное или литературное произведение.
Недаром существуют выражения «красивое доказательство», «красивый результат». По существу, математика представляет собой ту
связь между естественными и гуманитарными науками, без которой
картина мира распадается на отдельные части. С этой точки зрения
качественное гуманитарное образование должно включать в себя основательное изучение математики.
Второй ответ продиктован чисто практическими соображениями. Многие гуманитарные науки в качестве инструмента для своих
исследований используют математические методы. Т акие методы
применяются в психологии, социологии, очень развиты математические подходы в лингвистике. У верен, что в скором времени и
другие гуманитарные исследования будут оснащены математическим аппаратом. Прикладные математические методы опираются на
результаты многих математических дисциплин. Эти методы представляют собой лишь верхушку айсберга, их основа, фундамент
скрыты в базовых разделах математики – алгебре, математическом
анализе, теории вероятностей и др. Поэтому , чтобы овладеть математическими методами, применяемыми в какой-либо области, необходимо иметь представление об их основах, т .е. требуется систематическое изложение математических курсов. С моей точки зрения,
это подтверждает целесообразность изучения математики студентами гуманитарных специальностей.

Àâòîðñêîå ïðàâî

Следующий важный вопрос, нуждающийся в прояснении, –
щепетильный вопрос авторского права. Любой учебник в значительной мере представляет собой компиляцию, сводку данных из других книг и пособий. Ведь математические резуль таты уже получены
и описаны другими авторами (если речь идет не о новых достижениях, а о классических разделах математики). Свою задачу я вижу в
разумной организации материала, его доступном и четком изложении. При этом не обойтись без заимствований, в том числе и текстуальных. Если какой-либо раздел уже блестяще изложен в другой
книге, цитата пойдет лишь на пользу учебнику , поможет лучшему
восприятию текста студентами. Цитата может быть дословной,
а может быть и смысловой, переработанной в духе и стиле данной
книги. В таком случае цитата становится неотъемлемой частью текста и кавычки, ссылки и прочие указания на фактическое автор

ство, как правило, опускаются. Хотелось бы заранее принести благодарность авторам книг, фрагменты из которых использованы при
создании данного учебника. Все соответствующие книги перечислены в списке литературы.

Áëàãîäàðíîñòè

В заключение хочу сердечно поблагодарить моих коллег, беседы
и дискуссии с которыми очень помогли мне написать эту книгу
.
В ходе наших неформальных обсуждений оттачивались подходы,
уточнялись принципы расположения материала, план учебника.
Я благодарен коллегам за их доброжелательные советы, за время,
потраченное на обмен мнений об учебнике. Нельзя не упомянуть о
помощи, которую мне оказали В.Е. Т
ретьяков, В.В. Расин,
П.М. Аронов, С.А. Пьянзин. Особая благодарность – Ф.А. Шолоховичу, Б.М. Верникову и Ю.М. Важенину, заметившим множество
опечаток и неточностей при подготовке второго издания. Кроме того,
я благодарен всем сотрудникам кафедры информатики и процессов
управления Уральского государственного университета за более свободный режим работы, которым я пользовался в период написания
книги.
Я благодарен студентам факуль тета психологии Уральского государственного университета, которые своим внимательным отношением и вдумчивыми вопросами способствовали ежегодному у совершенствованию читаемого курса. Первые слушатели курса
(студенты факультета психологии) сейчас уже закончили университет. Мне известно, что знания, полученные на занятиях по математике и информатике, помогают им в работе.
Особая благодарность – моей семье, жене и сыновьям, за терпение и понимание. Хотелось бы выразить благодарность Г оскомвузу
Российской Федерации, чья инициатива и поддержка привели к
написанию данного учебника, а также руководству Г уманитарного
университета, оказавшему помощь в его первом издании.

В.Я. Турецкий