Прикладные методы для решения задач электроэнергетики и агроинженерии

13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»,

35.03.06 «Агроинженерия»

2020

УДК 621.311
ББК 31.19

Х81

Рецензенты:
А.С. Степанов — доктор технических наук, заместитель директора
по научной работе Института электроэнергетики, электроники
и нанотехнологий СевероКавказского федерального университета;
С.В. Оськин — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой
электрических машин и электропривода Кубанского государственного
аграрного университета

Хорольский В.Я. 

Х81
Прикладные методы для решения задач электроэнергетики и агроинженерии : учебное пособие / В.Я. Хорольский, М.А. Таранов.,
В.Н. Шемякин, С.В. Аникуев. — М. : ФОРУМ : ИНФРАМ, 2020. —
176 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 9785911349400 (ФОРУМ)
ISBN 9785160100999 (ИНФРАМ)

Изложены теоретические и практические положения по использованию

прикладных математических методов для решения задач электроэнергетики и агроинженерии. Учтена специфика построения и функционирования
электроэнергетических объектов. Приводятся методические положения по
теории массового обслуживания, линейному программированию, построению графовых моделей, сетевому планированию и проведению оптимизационных расчетов.

Для студентов вузов по направлениям подготовки 13.03.02 

энергетика и электротехника» и 35.03.06 «Агроинженерия».

УДК 621.311
ББК 31.19

ISBN 9785911349400 (ФОРУМ)
ISBN 9785160100999 (ИНФРАМ)

© Хорольский В.Я.,Таранов М.А.,

Шемякин В.Н., Аникуев С.В., 2014

© Издательство «ФОРУМ», 2014

«ЭлектроПредисловие

Переход высшей школы на систему образования с подготовкой
бакалавров и магистров диктует необходимость создания методического обеспечения для разработки магистерских диссертаций. Среди
различных дисциплин, обеспечивающих решение такой задачи, необходимо отметить использование прикладных математических методов.
Специфика построения и функционирования электроэнергетических объектов связана с необходимостью проведения плановых и неплановых мероприятий по поддержанию электрооборудования в исправном состоянии и обеспечения надежного электроснабжения потребителей. При этом необходимо учитывать случайный характер
процессов, происходящих в электроустановках, и необходимость оперативного и квалифицированного устранения возникающих неисправностей. Решение таких задач немыслимо без применения математических методов.
Учитывая ограниченный объем методических материалов по вопросу разработки магистерской диссертации, авторы при написании
пособия придерживались точки зрения, что излагаемый материал
должен быть написан кратко, ясно, доступно для понимания, а необходимые теоретические выкладки подкреплены решением задач из
области электроэнергетики и электротехники.
Основное теоретическое содержание пособия составляют вопросы, связанные с использованием теории массового обслуживания,
линейного программирования, сетевого планирования, построения
графовых моделей, проведения оптимизационных расчетов, разработки методов оценки надежности восстанавливаемых систем, к котрым в целом относятся электроэнергетические установки.

Внедрение прикладных математических методов позволит более
качественно проводить научные исследования при освоении магистерских программ, получать научнообоснованные рекомендации по
вопросам проектирования и эксплуатации электросетевого оборудования. В конечном итоге знание и умение применять математические
методы даст возможность магистранту качественно и в установленные сроки разработать диссертацию, а производству получить квалифицированных специалистов, способных на должном уровне решать
производственные задачи, творчески мыслить и спосбствовать дальнейшему развитию и совершенствованию закрепленного за ними
производственного участка.
Авторы надеются, что методические рекомендации, изложенные
в данном пособии, будут также полезны студентам и аспирантам других направлений, работающим над магистерскими и кандидатскими
диссертациями.

4
Предисловие

Глава 1
ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1.1. Общие сведения

Возникновение теории массового обслуживания относится к началу XX в. и связано с необходимостью решения задач строительства
и развития телефонных сетей. Большой вклад в развитие и становления теории массового обслуживания внесли зарубежные ученые
Ф.В. Иоханнсен, А.К. Эрланг, а также отечественный математик
А.Я. Хинчин, систематизировавший достигнутые к тому времени основные положения теории массового обслуживания в монографии
«Работы по теории массового обслуживания» (1963). В зарубежной
практике указанное направление исследований известно под названием «Теории очередей».
Теорию массового обслуживания следует рассматривать как раздел прикладной математики, изучающий процессы, связанные с удовлетворением массового спроса на выполнение какоголибо вида услуг
с учетом случайного характера спроса и обслуживания. Применительно к электроэнергетике это могут быть задачи: формирования резервного фонда электрооборудования, работа ремонтного персонала по
ликвидации аварийных ситуаций в электроустановках, производство
переключений и подготовка рабочих мест в электрических сетях оперативным персоналом, оценка надежности восстанавливаемых систем и т. д.
Каждая система массового обслуживания (СМО) может быть
представлена в виде определенного числа обслуживающих единиц,

которые называются каналами обслуживания (термин взят из телефонных сетей, применительно к которым начала развиваться теория
массового обслуживания). В качестве канала могут рассматриваться
различного вида приборы и приспособления, вычислительная машина, коллектив людей или отдельный исполнитель, выполняющий определенный вид работ. По числу каналов СМО делится на одноканальные и многоканальные системы.
Функционирование любой СМО заключается в обслуживании
поступающего в нее потока заявок или требований. Заявки обычно
поступают нерегулярно, образуя случайный поток заявок (требований). На обслуживание заявки также необходимо определенное время. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к неравномерной загрузке СМО. В какието периоды времени
скапливается большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО, не получив обслуживания), в другие периоды СМО может работать с недогрузкой или простаивать.
Систематизируем основные термины и понятия, используемые в
теории массового обслуживания.
Системой массового обслуживания называется любая система,
предназначенная для обслуживания какихлибо заявок (требований),
поступающих в нее в случайные моменты времени.
Под обслуживанием понимается удовлетворение потребности в
чемто. По своей природе обслуживание может иметь самый различный характер.
Любое устройство, коллектив людей или отдельный исполнитель,
непосредственно занимающийся обслуживанием заявок, называется
каналом обслуживания. Система массового обслуживания может
быть одноканальной или многоканальной. Пример одноканальной
СМО — касса в городской электрической сети по оплате потребителями израсходованной электроэнергии с одним кассиром. Пример
многоканальной СМО — та же касса с несколькими кассирами.
Система массового обслуживания может быть с отказами и с очередью. В СМО с отказами заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и в дальнейшем процессе работы СМО
не участвует. В СМО с очередью заявка, пришедшая в момент занятости всех каналов, не покидает СМО, а становится в очередь и ждет,
пока не освободится какойлибо канал. Наглядным примером СМО с
очередью является работа аварийновосстановительной бригады в

6
Глава 1. Теория массового обслуживания

распределительной электрической сети при возникновении нескольких отключений линии электропередачи.
В зависимости от числа мест в очереди различают СМО с отказами и без отказов. В СМО с отказами число мест в очереди конечно и
вследствие вероятностного характера как входящего потока, так и
процессов обслуживания, существует ненулевая вероятность того, что
поступившая на вход СМО заявка застанет все каналы занятыми обслуживанием и все места в очереди занятыми ожидающими заявками,
т. е. она получит отказ. Ярким примером СМО с отказами является
очередь в энергосбыте по обслуживанию потребителей перед обеденным перерывом, когда оператор, производящий обслуживание, ограничивает число потребителей, которые будут приняты до обеда.
В СМО без отказов заявка либо сразу назначается на обслуживание,
если в момент ее поступления свободен хотя бы один канал, либо безусловно принимается в очередь.
В зависимости от допустимого времени пребывания заявки в
системе различают СМО с «нетерпеливыми» и «терпеливыми» заявками. В системе с «нетерпеливыми» заявками заявка может «уйти» из
системы, если время пребывания ее в СМО превысит некоторое допустимое значение, которое в общем случае может быть случайным
и характеризуется определенным законом распределения. «Терпеливые» заявки, попав в СМО, непременно дождутся конца обслуживания.
Системы массового обслуживания различаются не только по ограничению в очереди, но и по дисциплине поступающих заявок. При
этом рассматриваются различные правила обслуживания заявок: обслуживается ли заявка в порядке поступления, в случайном порядке
или она обслуживается вне очереди (СМО с приоритетом). В зависимости от принятых в СМО дисциплин ожидания и обслуживания различают СМО с бесприоритетными и приоритетными дисциплинами.
В СМО с бесприоритетной дисциплиной обслуживания все заявки
считаются равноправными, никакая из них не получает какихлибо
преимуществ по отношению к другим заявкам. В СМО с приоритетной дисциплиной обслуживания одни типы заявок имеют более высокий приоритет (более важны с точки зрения принятого в данной
системе критерия эффективности по отношению к другим типам заявок). При таком подходе может наблюдаться «выталкивание» заявок
из очереди. Приоритетный метод устранения неисправностей, напри1.1. Общие сведения
7

мер, может быть установлен при устранении неисправностей в электрических сетях с учетом категорийности электроснабжения различных потребителей.
Обобщенная структурная схема СМО показана на рис. 1.1.
На вход СМО поступает поток заявок (требований), состоящий из
заявок на обслуживание.
Поток заявок, нуждающихся в обслуживании и поступающих в
систему, называется входящим потоком. Он представляет собой последовательность однородных событий, которые поступают через
случайные интервалы времени. Типичным примером такой ситуации
является поток отказов в распределительной электрической сети.
Средней интенсивностью входящего потока называется математическое ожидание числа требований, поступающих в единицу времени.
Например, в результате обработки статистических данных по числу
отключений воздушных линий электропередачи в одном из районов
электрических сетей Ставропольского края установлено, что среднее
значение числа аварийных отключений составляет λ = 0,085 отказ/км⋅год.
Интенсивность (скорость) обслуживания µ характеризуется средним числом заявок, обслуживаемых в единицу времени. Эта величина

8
Глава 1. Теория массового обслуживания

Рис. 1.1. Обобщенная структурная схема СМО

обратна средней длительности обслуживания, т. е. µ = 1/Тобсл. Совокупность обслуженных и потерянных заявок образует «выходящий»
поток СМО. В зависимости от структуры выходящего потока различаю СМО без потерь и СМО с потерями. Для первых СМО характерно
отсутствие ограничений на число мест в очереди («терпеливые» заявки). По этой причине выходящий поток будет состоять только из обслуженных заявок.
В зависимости от характера источника заявок различают разомкнутые и замкнутые СМО. В разомкнутых СМО число поступивших
заявок считается неограниченным. В замкнутых СМО обслуженные
заявки возвращаются в источник и через некоторое в общем случае
случайное время могут появиться на входе СМО.
Одним из примеров замкнутой СМО может являться эксплуатация электродвигателей в электрохозяйстве при наличии собственной
мастерской по их капитальному ремонту. Отремонтированные электродвигатели вновь поступают на объект и будут работать до отказа,
после чего ремонтируются.

1.2. Потоки событий

1.2.1. Простейший поток

Потоком событий называется последовательность однородных
событий, поступающих одно за другим в общем случае в случайные
моменты времени. Например, поток отказов в распределительной
электрической сети, поток включений бытовых электроприборов, поток заявок на выполнение переключений в сети и т. д. Случайные
временные интервалы между поступлением заявок могут подчиняться
различным законам распределения.
Поток событий характеризуется интенсивностью λ — частотой
появления событий или средним числом событий, поступающих в
СМО в единицу времени.
Потоки событий различаются по своей внутренней структуре. Самым простым с точки зрения его построения является регулярный
поток, в котором события отделены друг от друга одинаковыми промежутками времени. Таким потоком, например, являются получасовые замеры нагрузки в электрической сети.

1.2. Потоки событий
9

При стационарном потоке его вероятностные характеристики не
зависят от времени. При этом интенсивность стационарного потока
является постоянной величиной. Так, величина электрической нагрузки сельскохозяйственного объекта в течение суток не является
стационарной, однако эту величину можно считать стационарной в
период утреннего максимума нагрузок. Аналогично и другие физические процессы можно считать стационарными лишь на некотором
интервале времени.
Поток событий называется потоком без последействия, если число
событий, попадающих на любой интервал времени t, не зависит от
того, сколько событий попало на любой другой не пересекающийся с
ним интервал. Практически отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие
моменты времени независимо друг от друга. Например, поток включений бытовых электрических приборов в поселке представляет собой поток без последействия, так как причины, вызывающие включение электроприемников в отдельно взятом доме, как правило, не связаны с включением приборов в другом жилом доме. Вместе с тем,
поток включения осветительных приборов нельзя считать потоком
без последействия, так как он зависит от такого фактора, как наступление темноты.
Поток событий ординарный, если вероятность попадания на элементарный интервал времени ∆t двух и более событий пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью попадания одного события. Практически ординарность потока означает, что события в нем
появляются «поодиночке», а не группами по два, по три и т. д. (точное совпадение моментов появления теоретически возможно, но
имеет нулевую вероятность). Примером ординарного потока событий
может являться поток отказов электрических машин на предприятии.
Поток событий простейший (стационарный пуассоновский), если
он обладает всеми тремя указанными выше свойствами — стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Допущение о простейшем потоке заявок позволяет получить аналитические зависимости характеристик СМО от параметров входящего потока, что затруднительно для других видов потока заявок.
Название «простейший» обусловлено тем, что СМО с простейшим потоком имеет наиболее простое математическое описание. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении указан10
Глава 1. Теория массового обслуживания

ных трех условий число событий простейшего потока, происходящих
на любом заданном интервале времени, распределяется по закону
Пуассона:

P
(t) = ( t)
m!
e
m

m
t
λ
λ
−
.
(1.1)

Для простейшего потока интенсивность λ (среднее число событий в единицу времени) не зависит от времени, т. е. λ = const. Математическое ожидание случайной величины, распределенной по закону Пуассона:

a =
t
λ .
(1.2)

Выражение (1.1) представляет собой вероятность поступления
ровно m заявок за время ∆t. Таким образом, величина Pm(t) зависит
только от времени t и параметра λ. В результате, полную характеристику простейшего потока можно получить, зная только параметр λ.
Простейший поток следует рассматривать по аналогии с нормальным распределением в теории вероятностей как предельный для
суммы случайных величин: при наложении достаточно большого числа n независимых, стационарных и ординарных потоков, имеющих
интенсивность λi (i = 1, 2, ..., n), получается поток, близкий к простейшему с интенсивность λ, равной сумме интенсивности входящих
потоков:

λ
λ
=
i
i =1

n
∑
.
(1.3)

Переходя к практическому использованию простейшего потока,
рассмотрим ситуацию, когда мы имеем поток отказов электрической
сети и нас интересует вероятность безаварийной работы, т. е. случай с
m = 0 (вероятность отсутствия заявок на ремонт):

P (t) = ( t)
0!
e
= e
0

0
t
t
λ
λ
λ
−
−
.
(1.4)

Другой не менее важной характеристикой, которая нас интересует, является среднее время восстановления, т. е. вероятный размер
интервала Т между двумя ближайшими по времени повреждениями
(заявками).

1.2. Потоки событий
11